E(ϕ(Z, Y )) = ϕ(r(x + f(y)), y)dxdm(y). ϕ(ξ)dξ.

Transcription

1 Corrigé 191 (Les pièges de l indépendnce) Soit (Ω,, P ) un espce probbilisé et X, Y deux v..r. indépendntes. n suppose que X pour loi l loi uniforme sur [, 1]. Pour x, on pose e(x) = mx{n Z, n x} et r(x) = x e(x). Soit f une fonction borélienne de dns. n définit l v..r. Z pr l formule Z = r(x + f(y )) (c est-à-dire Z(ω) = r(x(ω) + f(y (ω)) pour tout ω Ω). 1. Montrer que Z pour loi l loi uniforme sur [, 1]. [Soit ϕ une fonction borélienne bornée de [, 1[ dns. n note ϕ l fonction de dns obtenue en prolongent ϕ pr périodicité (de période 1), c est-à-dire ϕ(x + n) = ϕ(x) si x [, 1[ et n Z. n pourr commencer pr montrer que E(ϕ(Z)) = 1 ϕ(x + f(y)) dx dm(y), où m est l loi de Y, c est-à-dire m = P Y.] L fonction r est borélienne de dns. Pr composition de fonctions mesurbles on en déduit donc que Z est bien une v..r.. n remrque ussi que Z ne prend ses vleurs que dns l intervlle [, 1[. Soit ϕ une fonction borélienne bornée de [, 1[ dns et ϕ l fonction de dns obtenue en prolongent ϕ pr périodicité de période 1. Comme les v..r. X et Y sont inépendntes, l loi du couple (X, Y ) est le produit tensoriel des lois de X et Y, on donc 1 E(ϕ(Z)) = ϕ(r(x + f(y)))dxdm(y). Comme z = r(z) + n vec n Z, on ϕ(z) = ϕ(r(z)) pour tout z et donc 1 E(ϕ(Z)) = ϕ(x + f(y))dxdm(y). Pour tout y, on utilise mintennt le chngement de vrible ξ = x + f(y) dns l intégrle pr rpport à x. Puis, on utilise l périodicité de ϕ. n obtient insi ( f(y)+1 E(ϕ(Z)) = ϕ(ξ)dξ ) ( 1 dm(y) = ϕ(ξ)dξ ) ( 1 dm(y) = ϕ(ξ)dξ ) dm(y). f(y) Comme m est une probbilité, on donc finlement E(ϕ(Z)) = 1 ϕ(ξ)dξ. Cette dernière églité est vlble pour toutr fonction borélienne bornée de dns (on rppelle que Z prend ses vleurs dns [, 1[), elle donne bien que Z pour loi l loi uniforme sur [, 1]. 2. Montrer que Z et Y sont indépendntes. [Soit ϕ une fonction borélienne bornée de [, 1[ dns. n pourr s inspirer de l question précédente pour exprimer E(ϕ(Z, Y )).] Pour montrer l indépendnce de z et Y, il suffit de montrer que l loi du couple (Z, Y ) est le produit tensoriel des mois de Z et Y. Soit ϕ une fonction borélienne bornée de [, 1[ dns. n, grâce à l indépendnce de X et Y, 1 E(ϕ(Z, Y )) = ϕ(r(x + f(y)), y)dxdm(y). 517

2 Ici ussi, on prolonge ϕ pr périodicité (en x) de période 1, c est-à-dire que l on pose ϕ(x + n, y) = ϕ(x, y) si x [, 1[, n Z et y. n obtient E(ϕ(Z, Y )) = 1 ϕ(x + f(y), y)dxdm(y). y fixé, on utilise le chngement de vrible ξ = x + f(y). Puis on utilise l périodicité de ϕ. n lors E(ϕ(Z, Y )) = ( f(y)+1 ϕ(ξ, y)dξ ) dm(y) = f(y) ( 1 ϕ(ξ, y)dξ ) dm(y) = 1 ϕ(ξ, y)dξdm(y). Finlement, pour tout fonction borélienne bornée de 2 dns on E(ϕ(Z, Y )) = 1 ϕ(ξ, y)dξdm(y). Ceci montre bien que l loi du couple (Z, Y ) est le produit tensoriel de l loi uniforme vec l loi de Y et donc de l loi de Z vec l loi de Y. les v..r. Z et Y sont donc indépendntes. 3. Montrer, en donnnt un exemple, que Z et Y peuvent ne ps être indépendntes si on retire l hypothèse que X pour loi l loi uniforme sur [, 1]. n suppose, pr exemple, que Y pour loi l loi uniforme sur [, 1], que f(s) = s pour tout s et que X ne prend que des vleurs entières. n lors Z = r(x + f(y )) = r(y ) = Y p.s.. n en déduit que Z et Y ne sont ps indépendntes. (n, pr exemple, P (Z [, 1/2[ et Y [, 1/2]) = 1/2 1/4 = P (Z [, 1/2])P (Y [, 1/2]).) 518

3 Corrigé 175 (Chngement de vribles W 1,1 croissnt) Soit f L 1 (, B(), λ) t.q. f > p.p.. Pour x, on pose ϕ(x) = x b f(t)dt désigne 1 ],b[ fdλ.) f(t)dt. (n rppelle que, pour < b, 1. Montrer que ϕ C(, ) et que ϕ est strictement croissnte. Pour x, y, x < y, on ϕ(y) ϕ(x) = y f(t)dt. n en déduit que ϕ est continue (sur ) et même x uniformément continue en utilisnt l proposition 4.9. n en déduit ussi que ϕ est strictement croissnte cr f > p.p.. n note I m l imge de ϕ (I m est donc un intervlle dont les bornes sont et fdλ) et on note ψ : I m l fonction réciproque de ϕ. L fonction ψ est donc continue de I m dns et on ϕ(ψ(s)) = s pour tout s I m et ψ(ϕ(s)) = s pour tout s. n rppelle que si I est un intervlle de et B(I) est s tribu borélienne, on B(I) = P(I) B(). Pour, on note ϕ() = {ϕ(x), x }. Pour I m, on note ψ() = {ψ(x), x }. 2. Montrer que {ϕ(), B()} = B(I m ) et que {ψ(), B(I m )} = B(). Les fonctions ϕ et ψ sont continues, elles sont donc boréliennes (c est-à-dire que l imge réciproque, pr ϕ ou ψ, d un borélien est un borélien). Soit B(), Comme ϕ() = ψ 1 () et que ψ est borélienne, on donc ϕ() B(). Puis, comme Im(ϕ) = I m on ϕ() I m et donc ϕ() B(I m ). éciproquement, si C B(I m ), on C = ϕ(ϕ 1 (C)) et donc C = ϕ() vec = ϕ 1 (C). Comme ϕ est borélienne, on = ϕ 1 (C) B() et donc C {ϕ(), B()}. n bien montré que {ϕ(), B()} = B(I m ). De mnière semblble on montre que {ψ(), B(I m )} = B(). 3. Soit I un intervlle de. Montrer que λ(ϕ(i)) = I fdλ. Soit, b les bornes de I, vec b. L ensemble ϕ(i) est lors un intervlle dont les bornes sont ϕ() et ϕ(b). n donc, en utilisnt ussi l définition de ϕ, b λ(ϕ(i)) = ϕ(b) ϕ() = fdλ = fdλ. 4. Soit un ouvert de. Montrer que λ(ϕ()) = fdλ. En déduire que, pour tout ε > il existe δ > t.q. : ouvert, λ() δ λ(ϕ()) ε. L ouvert est une union dénombrble d intervlles ouverts disjoints 2 à 2 (lemme 2.4). Il existe donc une suite (I n ) n N d intervlles ouverts disjoints 2 à 2 t.q. = n N I n (noter que certins intervlles ouverts peuvent être vides). n lors ϕ() = n N ϕ(i n ) et les ϕ(i n ) sont ussi disjoints 2 à 2 (pr injectivité de ϕ). n donc, pr σ-dditivité de λ et pr l question précédente, λ(ϕ()) = λ(ϕ(i n )) = fdλ = fdλ = fdλ. n N n N I n n N I n I 498

4 n utilise mintennt l proposition 4.9. Soit ε >, il existe δ > t.q. B(), λ() δ fdλ ε (18.15) n en déduit, en prticulier, que si est un ouvert et que λ() δ, on lors fdλ ε et donc λ(ϕ()) ε. 5. Soit B(). Montrer que λ(ϕ()) = fdλ. [n pourr, pr exemple, utiliser l régulrité de λ et l question précédente.] n commence pr remrquer que ϕ() I m et donc λ(ϕ() λ(i m ) = fdλ < +. n ussi fdλ fdλ < +. Soit ε >. n v montrer que λ(ϕ()) fdλ 2ε. Pour cel, on utilise δ donné pr (18.15). L régulrité de λ donne l existence de ouvert contennt et F fermé inclus dns t.q. λ( \ F ) δ. n en déduit, grâce à (18.15), en remrqunt que \ F est un ouvert, λ(ϕ()) λ(ϕ()) = λ(ϕ( \ )) λ(ϕ( \ F )) = fdλ ε. n ussi, toujours, grâce à (18.15), fdλ fdλ = fdλ ε. \ Comme l question précédente donne λ(ϕ()) = fdλ, on en déduit que λ(ϕ()) fdλ 2ε. Il reste à remrquer que ε > est rbitrire pour conclure que λ(ϕ()) fdλ. 6. Soit, b t.q. < b. () Soit B B(). n pose g = 1 B. Montrer que : ϕ(b) ϕ() g(t)dt = b \F g(ϕ(s))f(s)ds. (18.16) [Prendre = ψ(b I m ) ], b[ et utiliser l question précédente.] Puisque g = 1 B, on ϕ(b) ϕ() g(t)dt = B ]ϕ(),ϕ(b)[ dλ = λ(b ]ϕ(), ϕ(b)[). Comme Im(ϕ) = I m, on B ]ϕ(), ϕ(b)[) = (B I m ) ]ϕ(), ϕ(b)[. Puis, comme ϕ ψ est l indentité sur I m on en déduit, vec = ψ(b I m ) ], b[, (B I m ) ]ϕ(), ϕ(b)[= ϕ(ψ((b I m ) ]ϕ(), ϕ(b)[)) = ϕ(ψ(b I m ) ψ(]ϕ(), ϕ(b)[)) = ϕ(). 499

5 n donc, vec l question précédente et l définition de, ϕ(b) ϕ() g(t)dt = λ(ϕ()) = fdλ = ψ(b I m) ],b[ fdλ = b 1 ψ(b Im)(s)f(s)ds. Pour conclure, il reste à remrquer que s ψ(b I m ) si et seulement si ϕ(s) B. n obtient bien insi ϕ(b) ϕ() g(t)dt = b 1 B (ϕ(s))f(s)ds = b g(ϕ(s))f(s)ds. (b) Montrer que (18.16) est encore vrie pour g E + (, B()), puis pour g M + (, B()). Si g E + (, B()), il existe n N, 1,..., n + et B 1,... B n B() t.q. Pour chque i, l question précédente donne ϕ(b) ϕ() g = g i (t)dt = n i 1 Bi. i=1 b g i (ϕ(s))f(s)ds. n multiplie les termes de cette églité pr i, on somme sur i et on obtient bien (18.16). Soit mintennt g M + (, B()). Il existe une suite (g n ) n N d éléments de E + (, B()) t.q. g n g (convergence simple en croissnt). Pr convergence monotone on peut psser à l limite qund n dns (18.16) écrit vec g n u lieu de g. n obtient bien insi (18.16). (c) Soit g : mesurble. n suppose que g1 ]ϕ(),ϕ(b)[ L 1 (, B(), λ). Montrer g ϕf1 ],b[ L 1 (, B(), λ) et que (18.16) est vrie. n pplique l question précédente à g + et g (prties positive et négtive de g), c est-à-dire qu on écrit (18.16) vec g + et g. n en déduit que les fonctions g ± 1 ]ϕ(),ϕ(b)[ f sont intégrbles et donc que leur différence est intégrble. Ceci donne que g1 ]ϕ(),ϕ(b)[ f est intégrble (pour λ). Puis en fisnt l différence de (18.16) vec g + vec (18.16) vec g, on obtient bien (18.16) vec g. NB : n peut montrer que ϕ est dérivble p.p. et que ϕ = f p.p.. L formule (18.16) est lors l formule hbituelle de chngement de vrible. Noter ussi que l fonction ϕ, restreinte à l intervlle ], b[, pprtient à un espce ppelé W 1,1 (], b[) (ce qui explique le titre de l exercice). 5

6 Corrigé 24 (Espérnce conditionnelle pour une suite décroissnte de tribus) Soit (Ω,, P ) un espce probbilisé et (B n ) n N une suite de tribus incluses dns. n suppose B n+1 B n, pour tout n N, et on pose B = n N B n (de sorte que B est ussi une tribu incluse dns ). 1. Soit X une v..r.. n suppose que pour tout n N il existe Y n v..r. B n -mesurble t.q. X = Y n p.s.. Montrer qu il existe Y v..r. B-mesurble t.q. X = Y p.s.. N.B. Cette première question montre en quel sens on peut écrire L p (Ω, B, P ) = n N L p (Ω, B n, P ) pour tout p [1, + ]. Pour tout n N, il existe n t.q. P ( n ) = et X = Y n sur c n. n pose = n N n. n donc P () = (pr σ-sous-dditivité de P ) et, pour tout n N, X = Y n sur c. n définit mintennt Ȳ de Ω dns en posnt Ȳ (ω) = lim inf n Y n (ω). Comme Y n = X sur c (pour tout n N), on donc Ȳ = X sur c et donc Ȳ = X p.s.. Soit p N. Comme Y n est B p -mesurble pour n p (cr B n B p ), l stbilité des fonctions mesurbles donne que Ȳ est B p-mesurble. Soit C un borélien de, on donc Ȳ 1 (C) B p pour p N. Pr l définition de B, on en déduit que Ȳ 1 (C) B. n donc Ȳ B-mesurble de Ω dns et Ȳ = X p.s.. Il nous reste à modifier légèrement Ȳ pour obtenir une v..r.. Pour cel, on pose E = {ω Ω, Ȳ (ω) = ± }. n E B (cr Ȳ est B-mesurble). n peut définir Y pr Y (ω) = Ȳ (ω) si ω E, Y (ω) = si ω E. L fonction Y est insi une v..r. B-mesurble et Y = X p.s. (noter que E ). 2. Soit (X n ) n N une suite de v..r.. n suppose que, pour tout n N, X n est B n -mesurble et de crré intégrble. () n suppose que X n X dns L 2 (Ω,, P ) qund n. Montrer que X est B-mesurble (u sens qu il existe Y B-mesurble t.q. X = Y p.s.). n peut supposer, près extrction éventuelle d une sous suite (encore notée (X n ) n N ), que X n X p.s.. (près cette extrction, on toujours n N B n = B.) Comme X n X p.s., il existe donc t.q. P () = et X n (ω) X(ω) (qund n ) pour tout ω c. n procède lors comme à l question précédente en posnt Ȳ (ω) = lim inf n X n (ω). L fonction Ȳ v de Ω dns et est B p-mesurble pour tout p N (cr X n est B p -mesurble pour n p). L fonction Ȳ est donc B-mesurble et Ȳ = X p.s. (cr Y = X sur c ). Enfin, on pose E = {ω Ω, Ȳ (ω) = ± }. n E B (cr Ȳ est B-mesurble) et on définit Y pr Y (ω) = Ȳ (ω) si ω E, Y (ω) = si ω E. L fonction Y est insi une v..r. B-mesurble et Y = X p.s.. (b) n suppose que X n X fiblement dns L 2 (Ω,, P ) qund n. Montrer que X est B-mesurble. n peut montrer cette question en utilisnt une petite remrque d nlyse fonctionnelle (voir l remrque 6.25). Puisque X n X fiblement dns L 2 (Ω,, P ) qund n, il existe une suite (Y n ) n N t.q. i. Y n X dns L 2 (Ω,, P ) qund n, 54

7 ii. pour tout n N, Y n est une combinison convexe de l ensemble des X p, p n. Comme X p est B n -mesurble pour p n, l v..r. Y n est ussi B n -mesurble. n est insi rmené à l question précédente et on obtient qu il existe Y v..r. B-mesurble t.q. X = Y p.s.. 3. Soit X une v..r. de crré intégrble. Montrer que E(X B n ) E(X B) dns L 2 (Ω,, P ) qund n. n pose Z n = E(X B n ) (en étnt quelque peu pointilleux, on devrit plutôt dire qu on choisit un élément de l ensemble E(X B n )). n pose ussi Z = E(X B) et on risonne pr l bsurde. Si Z n Z dns L 2 (Ω,, P ) qund n, il existe ε > et une sous suite, encore notée (Z n ) n N, t.q. Z n Z 2 ε pour tout n N. (22.4) n remrque mintennt que l suite (Z n ) n N est bornée dns L 2 (Ω,, P ) (plus précisément, on E(Z 2 n) E(X 2 ) cr E(Z 2 n) = E(Z n X) E(Z 2 n) E(X 2 )). Comme L 2 (Ω,, P ) est un espce de Hilbert, on peut donc supposer, toujours près extrction d une sous suite, qu il existe Z t.q. n montre mintennt que Z = Z p.s.. Z n Z fiblement dns L 2 (Ω,, P ) qund n. L question précédente montre que Z est B-mesurble. Puis pour tout U v..r. B-mesurble et de crré intégrble on E(Z n U) = E(XU) pour tout n N. Comme Z n Z fiblement dns L 2 (Ω,, P ), on peut psser à l limite (qund n ) dns cette églité. n obtient E( ZU) = E(XU). Ce qui prouve que Z = E(X B) p.s. et donc que Z = Z p.s.. Pour conclure, il reste à montrer que Z n Z dns L 2 (Ω,, P ) (en contrdiction vec (22.4)). Pour cel, il suffit de montrer que E(Zn) 2 E(Z 2 ) (cr E((Z n Z) 2 ) = E(Zn) 2 2E(Z n Z) + E(Z 2 ) et E(Z n Z) E(Z 2 ) gràce à l convergence fible de Z n vers Z). n utilise une nouvelle fois l convergence fible de Z n vers Z (et le fit que Z n = E(X B n ) et Z = E(X B) pour écrire que E(Z 2 n) = E(Z n X) E(ZX) = E(Z 2 ) qund n. Finlement, on obtient bien que Z n Z dns L 2 (Ω,, P ), en contrdiction vec (22.4). 541