Les théorèmes fondamentaux

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1 Université d Artois Fculté des ciences Jen Perrin Mesure et Intégrtion (Licence 3 Mthémtiques-Informtique) Dniel Li Les théorèmes fondmentux 21 vril 28 1 L notion de presque prtout Avnt de donner les théorèmes fondmentux, il nous fut prler d une notion primordile en théorie de l mesure : celle de propriété vrie (ou fusse) presque prtout. 1.1 Ensembles négligebles Définition 1.1 oit (, T, m) un espce mesuré. On dit qu une prtie mesurble N est négligeble, pour l mesure m, ou m-négligeble, si l on besoin de préciser l mesure m, si m(n) =. En fit, on peut définir cette notion pour des ensembles qui ne sont ps forcément mesurbles : on dit que N est négligeble s il existe une prtie mesurble A T telle que N A et m(a) = ; mis nous n urons ps besoin de cette notion. Dns toute l suite, qund on prler de prtie négligeble, on sous-entendr qu elle est mesurble. Exemples. 1) Pour l mesure de Dirc en : une prtie N est δ -négligeble si et seulement si / N. 2) Pour l mesure de comptge c sur un ensemble : une prtie N est c-négligeble si et seulement si elle est vide. 3) On vu que toute prtie dénombrble de R d est négligeble pour l mesure de Lebesgue λ d. En prticulier, Q d est négligeble pour l mesure de Lebesgue. Il existe pr contre des prties λ d -négligebles de R d qui ne sont ps dénombrbles. 1

2 Exemples. 1) En dimension > 1, c est fcile à obtenir ; pr exemple dns R 2, l ensemble N = R {} (une droite) est λ 2 -négligeble ( une ire nulle). En effet, pour tous les entiers j, k 1, on : ] λ 2 (] k, k[ 1 j,1 [) ( 2 ) = (2k) ; j j donc λ 2 (] k, k[ {}) =, cr : ] λ 2 (] k, k[ {}) λ 2 (] k, k[ 1 j,1 [) j il en résulte que : λ 2 (R {}) = λ 2 ( k 1 ( 2 ) = (2k) j ; j ) ] k, k[ {} = lim λ 2(] k, k[ {}) =. k 2) En dimension 1, c est-à-dire dns R, c est un peu plus difficile à obtenir, l ensemble de Cntor est négligeble pour l mesure de Lebesgue, bien qu il ne soit ps dénombrble. Rppelons que l ensemble tridique de Cntor K est contenu dns K = [, 1], et qu il est l intersection K = n=1 K n de l suite d ensembles K n, pour n 1, où K n est obtenu à prtir de K n 1 en retirnt à chque intervlle composnt K n 1 le tiers centrl ouvert de cet intervlle : [ K 1 =, 1 ] [ 2 3 3, ] 1 ; K 2 = [, 1 ] [ ,1 [ 2 3] 2 3, 7 ] [ , ] 2 1 ;.... Chque K n est compct et non vide ; donc K est un compct (en prticulier un borélien) non vide. Comme chque K n est l réunion de 2 n intervlles fermés disjoints de longueur 1 3, on λ(k n n ) = 2 n 1 3 ; donc λ(k) λ(k n n ) = (2/3) n, pour tout n 1, de sorte que λ(k) =. Pr contre, K n est ps dénombrble.en effet, si l on écrit le nombre x [, 1] en bse 3 : x = k=1 k3 k, vec k {, 1, 2}, on voit, près un moment de réflexion, que x K n si k = ou 2, c est-à-dire k 1, pour 1 k n. Il en résulte que K contient (et ne contient en fit que ceux-là) tous les nombres x = k=1 k3 k vec k = ou 2, pour tout k 1. Or tous ces nombres sont distincts, et leur ensemble est donc en bijection vec {, 2} N, qui n est ps dénombrble. Il fut fire ttention que l notion d ensemble négligeble dépend de l mesure m ; en effet, dns R, Q est λ-négligeble, et δ 2-négligeble, mis ps δ -négligeble, ni c-négligeble. Les deux propriétés suivntes, bien que simples, sont essentielles. Proposition 1.2 1) Tout sous-ensemble mesurble d une prtie négligeble est négligeble. 2) Toute réunion d une fmille dénombrble de prties négligebles est encore négligeble. 2

3 Preuve. Le 1) est évident, puisque l mesure positive m est croissnte, et le 2) résulte de l sous σ-dditivité de m : ( m n 1 ) N n m(n n ) = =. n=1 1.2 Propriétés vries presque prtout n=1 Définition 1.3 oit P une propriété, pouvnt être ou non vérifiée pr les éléments x. On dit que cette propriété est mesurble si {x ; P(x) vrie} est mesurble. On dit qu elle vrie m-presque prtout, en brégé vrie m- p.p., si {x ; P(x) fusse} est m-négligeble : m ( {x ; P(x) fusse} ) =. Précisons quelques propriétés de ce type.. Fonctions finies presque prtout Définition 1.4 i f : R est une fonction mesurble, on dit que f est finie m-presque prtout si { f = + } est m-négligeble : m ( { f = + } ) =. On écrit ussi : f < + m-p.p.. Théorème 1.5 i f : R est m-intégrble, lors f est finie m-presque prtout. Ainsi une fonction intégrble, si elle peut prendre des vleurs infinies, ne peut ps les prendre trop souvent. Pour prouver ce théorème, on v utiliser l inéglité très utile suivnte. 3

4 Lemme 1.6 (Inéglité de Mrkov-Tchebychev) Pour toute fonction mesurble g : R ou C, on, pour tout > : m ( { g } ) 1 g dm. Preuve du lemme. Il suffit de réliser l chose évidente qui est que, lorsque x { g }, on g(x) ; donc : g dm g dm dm = m ( { g } ). { g } { g } Preuve du théorème. Pour tout >, on : m ( { f = + } ) m ( { f } ) 1 Comme f est intégrble, on f dm < +, et donc : 1 f dm. + Il en résulte que m ( { f = + } ) =. f dm. Remrque. On peut insi compléter ce qui été dit pour l intégrbilité pr rpport à une mesure à densité u chpitre précédent. En effet, soit w : R + une fonction mesurble positive (une densité ; on dit ussi un poids) ; lors si f : C est (w.m)-intégrble, l églité : f w dm = f d(w.m) < + montre que f w est finie m-presque prtout. On peut donc modifier f, en posnt f(x) = si f(x) w(x) = + ; l nouvelle fonction f est égle m-presque prtout à l ncienne, et permet de pouvoir redéfinir f w pour qu elle soit à vleurs dns C. b. Fonctions égles presque prtout. Fonctions négligebles Définition 1.7 oit f, g : R ou C des fonctions mesurbles ; on dit que f et g sont égles m-presque prtout, et l on écrit : f = g m-p.p., si {f g} est négligeble : m ( {f g} ) =. On dit que l fonction mesurble f est m-négligeble, ou négligeble pour l mesure m, si elle est nulle m-presque prtout : m ( {f } ) =. 4

5 Notons que cel bien un sens cr {f g} est mesurble. C est clir si f, g : R ou C, cr lors f g est définie sur et est mesurble ; donc {f g} = {f g } est mesurble. Dns le cs où f, g : R peuvent prendre des vleurs infinies, notons f 1 = f1i { f <+ } (c est-à-dire que f 1 (x) = f(x) si f(x) < +, et f 1 (x) = si f(x) = + ), et g 1 = f1i { g <+ }. Alors f 1 et g 1 sont mesurbles et prennent des vleurs finies. Il ne reste plus qu à remrquer que {f g} est l réunion des ensembles mesurbles suivnts : {f 1 g 1 }, {f = } {g }, {f = + } {g + }, {f } {g = }, {f + } {g = + }. Pour un ensemble mesurble A, s fonction indictrice 1I A est m-négligeble si et seulement si A est m-négligeble, c est-à-dire m(a) =. Pr exemple l fonction indictrice de Q est négligeble pour l mesure de Lebesgue sur R. Théorème 1.8 oit f : R ou C une fonction m-intégrble. On : f dm = f = m p.p.. Preuve. 1) upposons d bord f = m-presque prtout. Contrirement à ce que l on pourrit croire, il n est ps tout-à-fit immédit de conclure. ) upposons d bord f bornée : ( M < + ) : f(x) M, x. Dns ce cs, c est clir, cr : donc : f = f 1I {f } M 1I {f } ; f dm M m ( {f } ) = M =. b) Dns le cs générl, soit f n = inf( f, n). Comme f = m-p.p., on ussi f n = m-p.p., et, puisque f n est bornée (pr n), on f n dm =. Alors, le Théorème de convergence monotone donne : f dm = lim f n dm =. 2) Réciproquement, si f dm =, on, pour tout >, pr l inéglité de Mrkov-Tchebychev : m ( { f } ) 1 f dm = ; donc m ( { f } ) =, et : m ( {f } ) ( = m n 1 { f 1/n } ) = lim m({ f 1/n }) =, ce qui termine l preuve. 5

6 Il résulte de ce théorème que, pour ce qui concerne les intégrles, les ensembles négligebles n ont ps d influence, et des fonctions égles presque prtout se comportent de l même fçon, comme nous llons le préciser dns les corollires suivnts. Corollire 1.9 i N est une prtie négligeble : m(n) =, lors, pour toute fonction mesurble f : R ou C, on : N f dm =. Pr conséquent, f est m-intégrble sur si et seulement si elle l est sur \ N, et l on : f dm = f dm. Preuve. 1) On : N f dm = \N f 1I N dm =, cr f 1I N = m-presque prtout ; en effet, { f 1I N } N, grâce à l convention (± ) =. i f est m-intégrble, il en résulte que f dm =, N puisque : f dm f dm =. N N 2) Alors, en prticulier f1i N est m-intégrble. Comme f = 1I \N + f1i N, il en résulte que f est m-intégrble sur si et seulement si f1i \N l est, c est-à-dire si et seulement si f est m-intégrble sur \ N. De plus, dns ce cs : f dm = f1i \N dm+ f1i N dm = f dm+ f dm = f dm. Corollire 1.1 oit f, g : R ou C des fonctions m-intégrbles. i f = g m-presque prtout, lors : f dm = g dm. Preuve. En effet, si N = {f g}, lors f(x) = g(x) pour tout x N c, et l on : f dm = f dm = g dm = g dm. \N \N \N N \N 6

7 Cs de l mesure de Lebesgue sur R. i f est définie sur [, b], lors f est λ-intégrble sur [, b] si et seulement si elle l est sur ], b], ou sur [, b[, ou sur ], b[, et l on lors : f dλ = f dλ = f dλ = f dλ ; [,b] [,b[ ],b] ],b[ on noter donc cette vleur pr : b f dλ ou b f(x) dλ(x). De même, f est λ-intégrble sur [, + [ (respectivement ], ]) si et seulement si elle l est sur ], + [ (respectivement ], [), et l on lors : f dλ = f dλ, resp. f dλ = f dλ, [,+ [ ],+ [ ],] ],[ et l on noter ces vleurs, respectivement : + f dλ = + f(x) dλ(x), et f dλ = f(x) dλ(x). c. Convergence presque prtout Proposition 1.11 i (f n ) n 1 est une suite de fonctions mesurbles f n : R ou C, son ensemble de convergence : C = { x ; ( f n (x) ) n 1 converge } est mesurble. Notons que, dns le cs réel, on demnde l convergence, c est-à-dire l existence d une limite finie ; ce n est ps une obligtion ; une preuve tout-à-fit similire montrerit que C = {x ; ( f n (x) ) pour limite + ou } n 1 est mesurble, et donc C C est mesurble. Preuve. L suite ( f n (x) ) converge si et seulement si elle est de Cuchy, ce n 1 qui s écrit : ( k 1) ( n 1) [ f n+p (x) f n+q (x) 1, p, q 1 ; k donc : C = k 1 n 1 p,q 1 { x ; f n+p (x) f n+q (x) 1 }. k 7

8 Mis pour tous k, n, p, q 1, l ensemble { } x ; f n+p (x) f n+q (x) 1 k = C k,n,p,q est mesurble cr l fonction f n+p f n+q est mesurble. Donc C est mesurble. Définition 1.12 On dit que l suite (f n ) n 1 de fonctions mesurbles converge presque prtout si l ensemble \ C est négligeble : m( \ C) =. On peut définir lors : f(x) = { lim f n(x) si x C, si x / C. On obtient insi une fonction mesurble. On noter que l vleur donnée à f sur \ C n ur en générl ps d influence : toute utre fonction, à condition qu elle soit mesurble, définie sur \ C, urit fit l ffire. Exemples.. Prenons = [, 1], vec l mesure de Lebesgue, et f n (x) = ( x) n. L suite (f n ) n 1 converge pour tout x C = [, 1[, mis ps pour x = 1. Comme λ({1}) =, l suite converge presque prtout sur [, 1], pour l mesure de Lebesgue. b. Prenons = R, toujours vec l mesure de Lebesgue, et f n (x) = e n sin x. Alors : si sin x, on f n (x) ; si sin x =, c est-à-dire si x πz, on f n (x) = 1 ; l suite ( f n (x) ) converge pour tout x R, mis l limite 1 est sns grnd n 1 intérêt : comme λ(πz) =, l suite (f n ) n 1 converge λ-presque prtout vers. c. Modifions un peu l exemple précédent, en prennt toujours = R, mis f n (x) = e n sin x +( 1)n x n. Alors : si x / πz, f n (x) ; si x =, f n (x) = f n () = 1 ; si x πz, x, l suite ( f n (x) ) n ps de limite ; n 1 mis là ussi, l suite (f n ) n 1 converge presque prtout vers. d. Fonctions définies presque prtout Définition 1.13 oit (, T, m) un espce mesuré. On dit qu une fonction f est définie presque prtout sur s il existe une prtie négligeble N telle que f soit définie sur \ N. Pr exemple, l fonction x 1 x est définie presque prtout, pour l mesure de Lebesgue, sur R. On verr qu elle est intégrble, ps sur R, mis sur, pr exemple, [ 1, 1]. 8

9 On conviendr de toujours prolonger une fonction mesurble définie presque prtout à tout entier en posnt f(x) = si x N. On noter ce prolongement encore pr f. Lorsque cette fonction est mesurble, pour l tribu-trce T N c sur N c, ce prolongement ser mesurble sur, d près le lemme de recollement. En fit, tout prolongement mesurble de f à est égl presque prtout à ce prolongement pr ; vis-à-vis de l intégrle, il n y donc ps de différence entre prolonger pr sur N, ou pr prolonger pr une utre fonction (du moment qu elle soit mesurble). 1.3 Complément Rppelons que l on dit qu une prtie N est m-négligeble s il existe une prtie mesurble A T telle que N A et m(a) =. De telles prties ne sont ps forcément mesurbles ; on dit qu un espce mesuré (, T, m) est complet si toute prtie m-négligeble est mesurble. Il est toujours possible de plonger un espce mesuré (, T, m) dns un espce mesuré complet. En effet, si l on pose e T = {A N ; A T etn est m-négligeble}, on vérifie fcilement que T e est une tribu de prties de contennt T. De plus, si A N = A N, vec A, A T et N, N négligebles, lors m(a) = m(a ), et l on peut donc définir em(a N) = m(a) ; il est immédit que em est une mesure positive sur (, T e ), qui prolonge m. Il, reste à réliser que toute prtie N telle que em(n) = est dns T e, pour en déduire que l espce mesuré (, T e, em) est complet. On dit que (, e T, em) est l tribu complétée de (, T, m). L tribu complétée de l tribu borélienne Bor (R) s ppelle l tribu de Lebesgue de R, et notée Leb (R). es éléments sont dits mesurbles u sens de Lebesgue. Il y des ensembles mesurbles u sens de Lebesgue qui ne sont ps boréliens : on peut trouver dns le livre de Cohn, Mesure theory, l construction d un ensemble nlytique (c est-à-dire l projection sur R d un ensemble borélien de R 2 ) qui n est ps borélien ; or tout ensemble nlytique est mesurble u sens de Lebesgue. En fit, tribu de Lebesgue est beucoup plus grosse que l tribu borélienne ; on peut montrer en effet que le crdinl de Bor (R) est le même que celui de R, c est-à-dire que l on peut indexer les boréliens pr les nombres réels, lors que le crdinl de Leb (R) est le même que celui de P(R), puisque Leb (R) contient toutes les prties de l ensemble de Cntor K, qui le même crdinl que R. Toutefois, en utilisnt l xiome du choix, on peut montrer qu il existe des prties de R qui ne sont ps mesurbles u sens de Lebesgue (on choisit un élément de [, 1] dns chque clsse d équivlence de R/Q). Mis ce résultt est effectivement dépendnt de l xiome du choix : olovy démontré en 1968 qu en renonçnt à l xiome du choix, on pouvit mettre comme xiome que toute prtie de R est mesurble u sens de Lebesgue. Ce qu il fut retenir de l discussion précédente, c est que toute prtie de R que l on peut construire explicitement, c est-à-dire sns utiliser l xiome du choix, est mesurble u sens de Lebesgue : il n est ps possible de rencontrer dns l nture de prtie de R qui ne soit ps mesurble u sens de Lebesgue! 9

10 2 Comprison vec l intégrle de Riemnn 2.1 Cs d un intervlle compct Il s vère que dns ce cs, toute fonction Riemnn-intégrble (à condition de l supposer mesurble) est intégrble pr rpport à l mesure de Lebesgue. Théorème 2.1 Toute fonction borélienne f : [, b] R qui est Riemnnintégrble est intégrble sur [, b] pr rpport à l mesure de Lebesgue. De plus, les deux intégrles sont égles : [,b] f dλ = b f(x) dx. On noter que le théorème s pplique en prticulier si f est continue, ou plus générlement continue pr morceux. Il en résulte que, pour ces fonctions, et pour l mesure de Lebesgue, on peut utiliser toutes les techniques vues pour le clcul des intégrles de Riemnn : utilistion de primitives, lorsque f est continue, vi le Théorème fondmentl du Clcul Intégrl, chngement de vrible, intégrtion pr prties, etc. Preuve. Tout d bord, puisque f est Riemnn-intégrble, elle est, pr hypothèse, bornée. Comme elle est supposée mesurble, et que l mesure de Lebesgue de l intervlle compct [, b] λ([, b]) = b est finie, f est λ-intégrble. Pour l églité des intégrles, on peut supposer f positive ; en effet, si f est Riemnn-intégrble, lors f ussi, et il en est de même de f + = 1 2 ( f + f) et f = 1 2 ( f f). i on l églité des intégrles, de Riemnn et pr rpport à λ, pour les fonctions positivesf + et f, on l ur pour f = f + f. upposons donc f Riemnn-intégrble positive. Il existe lors une suite croissnte de fonctions positives en esclier g n, n 1, et une suite décroissnte de fonctions, positives, en esclier h n, n 1 telles que g n f h n pour tout n 1, et : (2.1) R b ( f(x) dx = lim R b ) ( g n (x) dx = lim R b ) h n (x) dx, où l on noté provisoirement vec un R les intégrles de Riemnn, pour plus de clrté. D utre prt, si l on note : g = lim g n et h = lim h n, le Théorème de convergence monotone (ppliqué ux suites positives croissntes (g n ) n 1 et (h 1 h n ) n 1 ) donne : (2.2) lim g n dλ = g dλ et lim h n dλ = h dλ. [,b] [,b] 1 [,b] [,b]

11 Le point essentiel est mintennt que les fonctions en esclier ϕ = J j=1 c j1i Ij sont en prticulier des fonctions étgées, et que leur intégrle de Riemnn est égle à leur intégrle pr rpport à l mesure de Lebesgue : (2.3) R b ϕ(x) dx = J c j (b j j ) = j=1 J c j l(i j ) = j=1 [,b] ϕ dλ, si I j est d extrémités j et b j, cr l mesure de Lebesgue de l intervlle I j est λ(i j ) = (b j j ). On obtient donc, en combinnt (2.1), (2.2), et (2.3) : (2.4) [,b] g dλ = [,b] h dλ = R b f(x) dx. Cel prouve, puisque g et h sont mesurbles positives, qu elles sont λ-intégrbles sur [, b], et que : (h g) dλ =. [,b] Il résulte lors du Théorème 1.8, puisque h g, que g = h λ-presque prtout. Mis g f h ; donc g = f = h λ-presque prtout, et il résulte du Corollire 1.1 que : f dλ = g dλ = h dλ. [,b] [,b] [,b] Alors (2.4) entrîne : f dλ = R b [,b] f(x) dx, comme on voulit le montrer. Remrque. Riemnn montré que f : [, b] R, supposée mesurble, est Riemnn-intégrble si et seulement si elle est continue presque prtout, c est-àdire que : λ ( {x [, b] ; f ne soit ps continue en x} ) =. Il en fit montré que f Riemnn-intégrble si et seulement si l ensemble des points où elle n est ps continue peut être recouvert, pour tout ε >, pr l réunion d une suite d intervlles dont l somme des longueur est ε. Cel entrîne évidemment que f est continue presque prtout, u sens donné cidessus, mis on peut montrer que c est équivlent. 2.2 Cs des intégrles générlisées Les choses se pssent ici un peu moins bien. On peut s en douter cr, pr définition, une fonction mesurble est λ-intégrble si et seulement si s vleur bsolue f l est. Mis c est en fit l seule contrinte. 11

12 Théorème 2.2 oit I un intervlle non compct de R, d extrémités t b, < b +, et soit f : I R une fonction mesurble et loclement R-intégrble. Alors f est intégrble sur I pour l mesure de Lebesgue si et seulement si l intégrle de Riemnn générlisée de f est bsolument convergente. Rppelons que toute fonction continue, ou plus générlement continue pr morceux est mesurble et loclement R-intégrble. Nous verrons dns l Prtie 3, Théorème 3.2, en utilisnt le Théorème de convergence dominée, que, dns ces conditions, il y églité entre l intégrle de f sur I pr rpport à l mesure de Lebesgue et l intégrle de Riemnn générlisée de f de à b. Pr exemple, l fonction, définie presque prtout x [ 1, 1] 1 x, prolongée pr en, est λ-intégrble sur [ 1, 1], puisque les intégrles générlisées dx 1 x et 1 dx x sont bsolument convergentes. Remrque. Ainsi, les intégrles de Riemnn générlisées semi-convergentes n entrent ps dns le cdre de l intégrtion de Lebesgue ; elles conservent nénmoins leur sttut de limites d intégrles, et les résultts vus pour elles restent bien évidemment vlbles. Insistons sur le fit que les intégrles Riemnn générlisées bsolument convergentes n pprissent plus mintennt comme des limites d intégrles, mis bel et bien comme de vries intégrles, pr rpport à l mesure de Lebesgue. Preuve du théorème. En coupnt l intervlle I, on se rmène u cs où I = [, b[, vec < < b +. oit (b n ) n 1 une suite croissnte, telle que < b n < b pour tout n 1, et ynt pour limite b. Posons f n = f1i [,bn]. On f n f. Alors, comme l suite ( f n ) n 1 est croissnte, le Théorème de convergence monotone donne : [,b[ f dλ = lim = lim = R [,b[ [ R b f n dλ = lim ] bn f(x) dx. f(x) dx [,b n] f dλ cr f est R-intégrble sur [, b n ] Il en résulte que l fonction f est λ-intégrble sur [, b[ si et seulement si R b f(x) dx < +. Remrque. Lorsque l fonction F : I R + est positive, dns le théorème, on peut toujours identifier l intégrle de Riemnn générlisée R b f(x) dx vec 12

13 l intégrle f dλ, puisque si f n est ps λ-intégrble sur I, ces deux intégrles I vlent +. A prtir de mintennt, on ne fer plus de distinction d écriture entre l intégrle pr rpport à l mesure de Lebesgue et les intégrles de Riemnn, lorsque l fonction est Riemnn-intégrble sur un intervlle compct, ou les intégrles de Riemnn générlisées pour les fonctions mesurbles loclement Riemnn-intégrbles, lorsqu elles sont bsolument convergente, ou lorsque l fonction est positive. 3 Le Théorème de convergence dominée 3.1 Théorème de convergence dominée de Lebesgue Rppelons que l un des théorèmes fondmentux est le Théorème de convergence monotone. Il est très utile, mis ses conditions d utilistion nécessitent d voir une suite croissnte de fonctions mesurbles positives. il est possible de modifier le théorème pour se psser de l positivité (c est le Théorème de Beppo Levi, dont on n ur ps besoin), l croissnce de l suite est essentielle. On sit bien (des exemples très simples le montrent, que l on peut produire vec l intégrle de Riemnn, mintennt à notre disposition) qu il n est ps possible, sns hypothèse supplémentire, de pouvoir intervertir intégrles et limites. Le Théorème de convergence dominée v permettre de le fire vec des conditions très simples à vérifier. Théorème 3.1 (Théorème de convergence dominée de Lebesgue) oit (, T, m) un espce mesuré, et soit (f n ) n 1 une suite d pplictions mesurbles f n : R ou C. On suppose que : 1) l suite (f n ) n 1 converge presque prtout vers une fonction mesurble f : R ou C ; 2) il existe une fonction intégrble g : R + positive telle que l on it l condition de domintion : f n g presque prtout, n 1. Alors, les fonctions f n et f sont intégrbles et : f dm = lim f n dm ; et même : lim f n f dm =. 13

14 Bien sûr, ce théorème s pplique si les deux conditions sont vérifiées prtout, et ps seulement presque prtout. Bien que cel soit clir dns l énoncé, insistons bien sur le fit que l condition de domintion signifie qu il existe une fonction intégrble g qui mjore toutes les f n (presque prtout) : cette fonction g ne doit donc ps dépendre de n! L intérêt de ce théorème, insistons, est qu il est très fcile à utiliser, et que les conditions d ppliction sont peu exigentes : on juste besoin de l condition de domintion. On noter que cette condition de domintion est vérifiée si et seulement si l fonction sup n 1 f n est intégrble ; mis il n y ps besoin de clculer cette borne supérieure, ce qui peut être difficile, voire hors de portée : il y juste besoin de l mjorer, en s ssurnt qund même que ce soit pr une fonction intégrble (on peut donc mjorer, mis il ne fut ps le fire trop brutlement). Exemple. Prenons = [, + [, vec l mesure de Lebesgue, bien sûr. oit : f n (x) = sin(nx)+rctn(x+n) e nx + (cos x) n 1 + x 2 1 On f n (x) 1+x pour tout x / πn, donc presque prtout sur [, + [ (et 2 il n y ps de limite si x est de l forme (2k + 1)π, k N). Il n est évidemment ps question de clculer sup f n (et encore moins + f n (x) dx). Nénmoins, il est immédit que : f n (x) e x 2 4, x. 1 + x2 Comme il est bien connu, et fcile à voir, que l intégrle de Riemnn générlisée + dx 1+x est convergente, et bsolument puisque l fonction est positive, l 2 fonction g définie pr g(x) = 4 1+x est λ-intégrble sur [, + [ ; le Théorème de 2 convergence dominée s pplique donc, et l on obtient : + 1 lim f n (x) dx = lim f n (x) dλ(x) = 1 + x 2 dλ(x) = [,+ [ + [,+ [ x 2 dx = [ rctn x ] + = π 2 Pour terminer le clcul, on utilisé le Théorème 2.2, vec l précision suivnte. Théorème 3.2 oit I un intervlle non compct de R d extrémités et b, et soit f : I R telle que son intégrle de Riemnn génélisée R b f(x) dx soit bsolument convergente. Alors l intégrle de f sur I pr rpport à l mesure de Lebesgue est égle à l intégrle de Riemnn générlisée de f de à b : b f dλ = R f(x) dx. I 14

15 Preuve. Reprenons les nottions de l preuve du Théorème 2.2, vec f n = f1i [,bn] f. Comme f n f, et que f est λ-intégrble, le Théorème de convergence dominée donne : [,b[ f dλ = lim [,b[ f n dλ = lim f dλ [,b n] b bn = lim R f(x) dx = R f(x) dx. Preuve du Théorème de convergence dominée. 1. Tout d bord, on peut supposer que l on : { f(x) = lim (3.1) f n(x) pour tout x. f n (x) g(x) et g(x) < + En effet, l condition de domintion étnt vérifiée, il existe, pour chque n 1 un ensemble négligeble N n tel que f n (x) g(x) pour tout x \ N n. Donc si N = n 1 N n, l ensemble N est négligeble, et f n (x) g(x) pour tout x \ N, et pour tout n 1. D utre prt, si C = {x ; ( f n (x) ) converge }, l convergence presque n 1 prtout de l suite (f n ) n 1 s exprime en disnt que \ C est négligeble. Enfin, comme g est intégrble, elle est finie presque prtout, c est-à-dire que si l on pose F = {g < + }, on m( \ F ) =. Alors, si A = C F ( \ N), son complémentire A c = ( \ C) ( \ F ) N est négligeble, comme réunion de trois ensembles négligebles. En trvillnt sur A u lieu de trviller sur (ou bien, en trvillnt sur, mis en remplçnt f n, f et g pr f n 1I A, f1i A et g1i A ), ce qui ne chnger ps les conclusions du théorème, on bien les conditions (3.1). De plus, on peut supposer les f n à vleurs réelles, en séprnt les prties réelles et imginires lorsqu elles sont à vleurs complexes. 2. Pssons mintennt à l preuve proprement dite du théorème. Tout d bord, puisque f n g, vec g intégrble, les f n sont ussi intégrbles, et, comme, en pssnt à l limite on ussi f g, f est ussi intégrble. Voyons mintennt l convergence des intégrles. On : f n f f n + f 2g ; les fonctions h n = 2g f n f sont donc mesurbles positives, et on peut donc leur ppliquer le Lemme de Ftou : [ ( (2g) dm = lim 2g fn f )] dm [ ( lim inf 2g fn f ) ] dm = (2g) dm lim sup f n f dm, 15

16 ce qu il est possible d écrire cr toutes les intégrles sont finies. On peut de plus simplifier pr (2g) dm < + ; on obtient : lim sup f n f dm. Comme les intégrles f n f dm sont positives, cel signifie que l limite existe et est nulle : f n f dm =. En prticulier, on : en utilisnt l inéglité : f n dm lim lim f n dm = lim f dm, f dm = (f n f) dm f n f dm, et cel termine l preuve du Théorème de convergence dominée. Remrque. Le théorème montre l conclusion forte : lim f n f dm = ; mis elle découle de l conclusion, priori plus fible lim f n dm = lim f dm, si on pplique cette dernière à l suite ( f n f ) n 1, u lieu de (f n ) n 1, qui vérifie l condition de domintion f n f 2g p.p. pour tout n 1. Voyons quelques conséquences du Théorème de convergence dominée. Corollire 3.3 upposons que m() < +. oit f n : R ou C des fonctions mesurbles, n 1. i : 1) l suite (f n ) n 1 converge simplement sur : f n (x) f(x), x, 2) l suite (f n ) n 1 est uniformément bornée : ( M < + ) f n (x) M, x, n 1, les fonctions f n et f sont m-intégrbles et l on : lim f n dm = lim f dm. Preuve. C est une conséquence directe du Théorème de convergence dominée : puisque m() < +, l fonction constnte égle à M est m-intégrble. Comme exemple d ppliction, supposons que les f n : [, 1] R soient continues, uniformément bornées, et convergent simplement vers ; lors on : 1 f n(x) dx. Ce résultt, ne fisnt intervenir que des fonctions continues, peut être vu comme concernnt l intégrle de Riemnn. Il peut être démontré vec les méthodes issues de cette notion d intégrle ; mis si on essie de le fire, on se rend compte que c est plutôt difficile. 16

17 Corollire 3.4 upposons toujours que m() < +. oit f n : R ou C des pplictions mesurbles, chcune étnt bornée. Alors, si l suite (f n ) n 1 converge uniformément vers f sur, les fonctions f n et f sont m-intégrbles et l on : lim f n dm = lim f dm. Preuve. Notons, pour toute g : R ou C : g = sup x g(x). Comme l suite (f n ) n 1 converge uniformément, elle est uniformément de Cuchy ; il existe donc N 1 tel que f n f k 1 pour n, k N. En prticulier : f n f N 1, et donc f n f N + 1, pour n N. Alors, pour tout n 1, on : f n (x) M = mx{ f 1,..., f N 1, f N + 1}, pour tout x, et il suffit donc d ppliquer le Corollire 3.3. Lorsque l on pplique le Théorème de convergence dominée à l mesure de comptge sur N, on obtient : Corollire 3.5 oit ( k,n ) k,n 1 une suite double de nombres complexes. On suppose que : 1) lim k,n = k C existe pour tout k 1, 2) il existe des b k tels que : ) b k < +, k=1 b) k,n b k, k, n 1. Alors : lim ( ) k,n = k, k=1 les séries écrites étnt bsolument convergentes. Voyons mintennt, non plus un corollire du Théorème de convergence dominée, mis plutôt un résultt l utilisnt de fçon essentielle, sous s forme forte. On y voit ussi pprître, de fçon nturelle, même si elles n interviennent ps u déprt, les notions de fonction pouvnt prendre l vleur +, de fonction finie presque prtout, de fonction définie presque prtout, et de convergence presque prtout. Ainsi, on voit que ces notions n ont ps été introduites rbitrirement. C est en fit plus s preuve, pour l instnt, que le résultt lui-même, même s il est intéressnt, qui le rend remrquble. Ce théorème montre en fit que l espce de Lebesgue L 1 (m) est un espce normé complet, comme on le verr u Chpitre 6, mis on peut ussi simplement le voir comme un résultt d interversion d intégrles et de limites. On noter que l hypothèse ne porte plus ici sur les fonctions, mis seulement sur leurs intégrles. k=1 17

18 Théorème 3.6 oit (, T, m) un espce mesuré, et soit f n : R ou C des fonctions m-intégrbles telles que : Alors : ( n=1 f(x) = ) f n dm < +. f n (x) n=1 existe pour presque tout x, et l fonction f = n=1 f n insi définie presque prtout, et prolongée pr illeurs, est intégrble, et l on : Preuve. Posons : ( ) ( f n dm = n=1 ϕ(x) = n=1 ) f n dm f n (x) x. n=1 Alors ϕ: R + est mesurble positive, et, pr le Théorème de convergence monotone, pour les séries à termes positifs, donne : ϕ dm = ( n=1 ) f n dm = ( n=1. ) f n dm < +, pr hypothèse. Cel signifie que l fonction ϕ est m-intégrble. Elle est donc finie presque prtout : si F = {ϕ < + }, on m(f c ) =. Mis dire que ϕ(x) < + signifie que l série n=1 f n(x) est bsolument convergente, et en prticulier convergente. Donc : f(x) = f n (x) n=1 existe pour tout x F, et donc presque prtout. L fonction f, prolongée pr sur F c, est mesurble, et comme f(x) ϕ(x), elle est intégrble. De plus, si l on pose : s N = f f N, lors : et : s N f N m-presque prtout, s N ϕ, N 1, prtout ; 18

19 le Théorème de convergence dominée entrîne donc : ( ) f dm = lim s N dm N [ N ] = lim s N dm = lim f n dm = N N comme nnoncé. n=1 n=1 f n dm, 3.2 Quelques exemples d utilistion Exemple 1. 1) Considérons f n (x) = x 2n (1 x) sur [, 1]. ) f n est continue sur [, 1] ; elle est donc intégrble sur [, 1] pour l mesure de Lebesgue, et les deux intégrles, de Riemnn et pr rpport à λ coïncident. Comme de plus les fonctions f n sont positives, on peut utiliser le Théorème de convergence monotone pour les séries à termes positifs : [ 1 ] 1 [ ] x 2n (1 x) dx = x 2n (1 x) dx. n= n= Mis, pour x < 1 : x 2n (1 x) = 1 1 (1 x) = 1 x2 1 + x = f(x); n= comme, pour x = 1, on n= f n(1) =, on n= f n(x) = 1 1+x seulement pour x < 1, mis ps pour x = 1 ; c est nénmoins vri pour presque tout x [, 1]. Donc : 1 [ ] 1 x 2n dx (1 x) dx = 1 + x = [ ln(1 + x) ] 1 = ln 2. n= Remrque. On urit, pour éviter d voir seulement une églité presque prtout, se plcer sur [, 1[ u lieu de [, 1] ; mis dns ce cs, on n plus un intervlle compct, et on est donc confronté à des intégrles de Riemnn générlisées, u lieu de vries intégrles de Riemnn. on : b) D utre prt, comme : 1 [ 1 n= x 2n (1 x) dx = = 1 ] x 2n (1 x) dx = (x 2n x 2n+1 ) dx = 1 2n n + 2, n= [ ] x 2n+1 1 2n + 1 x2n+2 2n + 2 [ 1 2n ] ( 1) k+1 = 2n + 2 k 19 k=1

20 c) On obtient donc : ( 1) k+1 k=1 k = ln 2. 2) Posons mintennt : s N (x) = N ( 1) n x 2n (1 x), x 1. n= Notons que les termes dns l somme ne sont plus positifs ; on ne peut donc plus risonner comme ci-dessus. Nénmoins, on : s N (x) x 2n (1 x) = f(x). n= Comme f(x) = 1 1+x pour x < 1, donc pour λ-presque tout x [, 1], f est, comme l fonction continue x 1, 1+x λ-intégrble sur [, 1] ; on peut donc ppliquer le Théorème de convergence dominée, et l on obtient : [ 1 ( 1) n n= Mis : 1 on obtient donc : ] x 2n (1 x) dx = lim N x 2n (1 x) dx = n= = = = = s N (x) dx ( ) lim s N(x) dx N [ ] ( 1) n x 2n (1 x) dx n= 1 (1 x) dx 1 + x2 [ rctn x 1 2 ln(1 + x2 ) ] 1 = π 4 1 ln n n + 2 = 1 (2n + 1)(2n + 2) ; ( 1) n (2n + 1)(2n + 2) = π 4 1 ln ) En combinnt 1) et 2), on obtient : π 4 = [ ( 1) n 1 2n ] + 2n + 2 n= n= ( 1) n 2(n + 1), 2

21 soit : π 4 = ( 1) n 1 2n + 1 n= Exemple 2. Pour < θ < 2π, considérons : f θ (x) = eiθ 1 e iθ x, x [, 1]. 1) f θ étnt continue sur [, 1], ses prties réelle et imginire le sont ussi ; elles sont donc λ-intégrbles sur [, 1], et donc f θ ussi. De plus les intégrles pr rpport à λ sont égles ux intégrles de Riemnn ; On : [ 1 e iθ ] Re 1 e iθ x dx = 2) Posons : = = 1 1 [ Re e iθ 1 e iθ x ] dx cos θ x 1 2x cos θ + x 2 dx [ 1 2 ln(1 2x cos θ + x2 ) n (x) = Pour x [, 1], on, puisque e iθ 1 : donc, pour x < 1 : n e i(k+1)θ x k. k= n (x) = eiθ e i(n+2)θ x n+1 1 e iθ x e iθ n (x) 1 e iθ x ; ] 1 = ln 2 sin θ 2 Il n y ps convergence pour x = 1 ; il y en tout cs convergence presque prtout sur [, 1]. Comme, d utre prt : n (x) 2 1 e iθ x = G(x), et que l fonction G, étnt continue sur [, 1], y est λ-intégrble, on peut ppliquer le Théorème de convergence dominée : [ 1 k= ] 1 e i(k+1)θ x k dx = e iθ 1 e iθ x dx. 21

22 Comme, pour tout k, on : 1 on obtient, en prennt les prties réelles : n=1 e i(k+1)θ x k dx = ei(k+1)θ k + 1, cos(nθ) n Exemple 3. On veut clculer lim = ln 2 sin θ 2 n ( 1 + x n) ne αx dx, pour α > 1. L borne supérieure de l intégrle dépend de n ; si l on veut pouvoir ppliquer un théorème de convergence, il fut donc prendre un intervlle contennt tous les intervlles [, n], n 1. On se plce donc sur = [, + [, que l on munit de l mesure de Lebesgue. On pose, pour x : ( f n (x) = 1 + n) x ne αx 1I [,n] (x), c est-à-dire que f n (x) = fonction f n est continue pr morceux. donc : On sit que : ( 1 + x n) ne αx si x n et f n (x) = si x > n. L ( 1 + x ) n e x n et que f n (x) f(x) = e (α 1)x f n (x) e (α 1)x = g(x) ( 1 + x n) n e x ;, x. L intégrle de Riemnn générlisée + e (α 1)x dx étnt bsolument convergente (pr exemple prce que : X e (α 1)x dx = 1 e X 1 α 1 X + α 1, et que l fonction est positive), l fonction g est λ-intégrble sur [, + [, et l on peut utiliser le Théorème de convergence dominée : lim n ( 1 + n) x ne αx dx = lim f n (x) dλ(x) R + = f(x) dλ(x) = R + + e (α 1)x dx = 1 α 1 22

23 4 Intégrles dépendnt d un prmètre 4.1 Position du problème oit (, T, m) un espce mesuré. On considère une fmille (f x ) x X de fonctions f x : R ou C m-intégrbles. On pose : F (x) = f x (t) dm(t). Cel définit une fonction F : X R ou C, et on cherche à obtenir des propriétés pour F à prtir de celles des f x. C est une fçon importnte de construire de nouvelles fonctions. Notons qu il est préférble de voir l fmille de fonctions (f x ) x X comme une fonction de deux vribles f : (t, x) X f(t, x) = f x (t) R ou C. Pour mémoire, on remrquer que, dns les énoncés qui suivent, on demnde que certines conditions soient vérifiées prtout, et que d utres le soient seulement presque prtout ; il ne fut y voir trop de compliction, et se perdre entre les deux : il fut juste se rppeler que l on peut utoriser qu une condition ne soit vérifiée que presque prtout qund cette condition est reltive à l espce sur lequel on intègre. Un peu de réflexion permet de s y retrouver. 4.2 Continuité Théorème 4.1 oit (, T, m) un espce mesuré, et soit (X, d) un espce métrique. oit f : X R ou C telle que : () pour presque tout t, l ppliction : (b) pour tout x X, l ppliction : x X f(t, x) est continue ; f x : t f(t, x) = f x (t) est mesurble ; (c) on l condition de domintion : il existe une fonction g : R + m-intégrble positive telle que : ( x X) f(t, x) g(t) pour m-presque tout t. Alors F (x) = f(t, x) dm(t) existe pour tout x X, et l ppliction F : X R ou C insi définie est continue sur X. 23

24 Comme cs prticulier, on retrouve le cs connu où f : [, b] [c, d] R ou C est continue sur le pvé [, b] [c, d] R 2 (il suffit de prendre pour g l fonction constnte égle à f = sup t,x f(t, x) ). Preuve. D bord, F (x) existe grâce ux conditions (b) et (c). Pour montrer l continuité, on montre que, en chque x X, F est continue en x ; mis, X étnt un espce métrique, il suffit de montrer que pour toute suite (x n ) n 1 tendnt vers x, on F (x n ) F (x). Pour une telle suite, posons : h n (t) = f(t, x n ) et h(t)f(t, x). Les fonctions h n et h: R ou C sont mesurbles, pr (), et : h n g m-presque prtout, n 1, pr l condition (c). De plus, l condition () entrîne : h n h m-presque prtout. On peut donc ppliquer le Théorème de convergence dominée : lim F (x n) = lim h n (t) dm(t) = h(t) dm(t) = F (x), ce qui est le résultt cherché. Exemple. Posons : F (x) = + e tx t(1 + t) dt. Ici, l espce mesuré ser =], + [, vec l mesure de Lebesgue, et l espce métrique est X = [, + [. Posons : f(t, x) = e tx t(1 + t) Pour tout t >, l fonction x pour tout x, l fonction t =], + [. De plus, on : e tx t(1+t) e tx t(1+t) est continue sur X = [, + [, et est continue, donc mesurble, sur e tx 1 = g(t), t >, x. t(1 + t) t(1 + t) L fonction g est λ-intégrble sur ], + [ cr elle est continue (donc mesurble et loclement Riemnn-intégrble) et cr l intégrle de Riemnn générlisée de g est bsolument convergente : u voisinge de : 1 t(1 + t) 1 t et 1 dt t converge ; 24

25 + 1 u voisinge de + : 1 dt et converge. t(1 + t) t3/2 1 t3/2 Il en résulte que les f x sont ussi λ-intégrbles, et que leur inégrle pr rpport à λ est égle à leur intégrle de Riemnn gńérlisée F (x). Nous sommes dns les condition du Théorème de continuité, et on peut dire que F est continue sur [, + [. 4.3 Limites De l même fçon, on démontre : Théorème 4.2 oit (, T, m) un espce mesuré et I = [, b[, < < b +, un intervlle de R, ouvert en b. oit f : I R ou C une fonction telle que : () pour presque tout t, lim x b f(t, x) = l(t) R ou C existe ; (b) pour tout x I, l ppliction f x : t f(t, x) est mesurble ; (c) on l condition de domintion : il existe une fonction g : R + m-intégrble positive telle que : ( x I) : f(t, x) g(t) pour m-presque tout t. Alors, l ppliction l : R ou C est m-intégrble, et : lim f(t, x) dm(t) = l(t) dm(t). x b Notons que l on ne peut ps ppliquer directement le Théorème de convergence dominée, cr celui-ci n est vlble que pour des suites de fonctions. Ici l fmille (f x ) x I n est ps dénombrble ; nénmoins, comme dns l preuve du théorème sur l continuité, on se rmène à des suites (x n ) n 1 d éléments de I telles que x n b, et donc à des suites de fonctions h n : t h n (t) = f(t, x n ). Exemple. Reprenons l exemple précédent, vec I = [, + [. on : e tx =, t >. t(1 + t) lim x + Les conditions d ppliction du Théorème 4.2 ont déjà été vérifiées ci-dessus ; on donc : lim F (x) =. x + 25

26 4.4 Dérivbilité Il fut fire ttention que pour l dérivbilité, l condition de domintion doit porter sur les dérivées. Théorème 4.3 oit (, T, m) un espce mesuré et I un intervlle ouvert de R. oit f : I R ou C une fonction telle que : () pour presque tout t, l ppliction x I f(t, x) soit dérivble sur I, de dérivée 2 f(t, x) ; (b) pour tout x I, l ppliction f x : t f(t, x) est m-intégrble sur ; (c) on l condition de domintion pour l dérivée : il existe une fonction g : R + m-intégrble positive telle que, pour m-presque tout t : 2 f(t, x) g(t) x I. Alors, les fonctions t 2 f(t, x) sont m-intégrbles, et l ppliction F : I R ou C définie pr : F (x) = f(t, x) dm(t) est dérivble sur I, et on l formule de Leibniz : F (x) = 2 f(t, x) dm(t). Remrquons que, dns l condition (b) on demndé l m-intégrbilité, et ps seulement l mesurbilité, comme dns les théorèmes précédents ; dns ceux-ci, l m-intégrbilité découlit de l condition de domintion, ce qui n est ps le cs ici. De toute fçon, dns l prtique, cette m-intégrbilité ur déjà, l pluprt du temps, été montrée vnt. Notons ici un point délict : dns l condition de domintion (c) (et dns ()), on écrit qu elle devit être vérifiée pour presque tout t, mis, pour chcun de ces t, pour tout x I ; explicitement, on demnde : il existe une prtie m-négligeble N telle que 2 f(t, x) g(t), pour tout t \ N et pour tout x I (ce qui sous-entend que, pour tout t \ N), l ppliction x I f(t, x) est dérivble sur I tout entier). Il est en effet essentiel que pour les t \ N, l inéglité soit vrie pour tout x I, cr, comme on le verr dns l preuve, on v ppliquer le Théorème des ccroissements finis pour chcun de ces t. Dns les théorèmes sur l continuité et les limites, on vit demndé quelquechose de plus fible : pour tout x X, ou x I, il y domintion presque prtout, ce qui s écrit : il existe un ensemble m-négligeble N x, pouvnt donc dépendre de x, tel que f(t, x) g(t) pour tout t \N x. Pour ces théorèmes, cel n ps d importnce, cr, comme on se rmène à des suites (x n) n 1, on trville en fit vec des t \ N, où N = n 1 Nxn est m-négligeble. Il en résulte que le Théorème fondmentl du Clcul Intégrl, si importnt, n est ps 26

27 une conséquence du Théorème 4.3. En effet, si U(x) = R x u(t) dt, on doit écrire, pour voir un intervlle d intégrtion fixe : U(x) = R b u(t)1i [,x](t) dt. Mis l fonction x [, b] u(t)1i [,x] (t) est dérivble seulement sur [, b]\{t} (et de dérivée nulle) ; son complémentire {t} est négligeble, mis il dépend de t! D illeurs, si le Théorème 4.3 s ppliquit, on obtiendrit U (x) =, ce qui est évidemment inepte! Notons que le théorème reste vri (voir l preuve) si I est semi-ouvert, vec dérivbilité à droite (resp. à droite) en si est l extrémité guche (resp. droite) de I. En combinnt ce théorème vec le Théorème de continuité, ppliqué à 2 f, on obtient : Corollire 4.4 i, dns les conditions du Théorème 4.3, on demnde dns () que l ppliction x I f(t, x) soit continûment dérivble, lors F est continûment dérivble sur I. Preuve du Théorème 4.3. Pr hypothèse, il existe une prtie m-négligeble N telle, pour tout t \ N), l ppliction x I f(t, x) soit dérivble sur I, et telle que 2 f(t, x) g(t), pour tout t \ N et pour tout x I. 1) oit x I, fixé, et soit (x n ) n 1 une suite d éléments de I, telle que x n x, n 1, et convergent vers x. Comme, pour tout t \ N : f(t, x n ) f(t, x) 2 f(t, x) = lim, x n x l fonction, définie m-presque prtout, et prolongée pr pour t N, t 2 f(t, x) est mesurble, comme limite d une suite d pplictions mesurbles. 2) oit I et r > tel que [ r, + r] I. Le Théorème des ccroissements finis donne, pour tout x I tel que x r, un nombre c t entre et x ( c t < x ) tel que, pour t \N : (4.1) f(t, x) f(t, ) x = 2 f(t, c t ) g(t). Le Théorème 4.2, ppliqué ux intervlles [ r, [ et ], + r], nous dit que l ppliction t 2 f(t, ) est m-intégrble sur, et que : F (x) F () f(t, x) f(t, ) = dm(t) 2 f(t, ) dm(t), x x x c est-à-dire que F est dérivble en, et que : F () = 2 f(t, ) dm(t), comme nnoncé. 27

28 On noter dns cette preuve que, comme on n ps d informtion sur c t, on doit bien, pour pouvoir écrire l mjortion dns (4.1), voir l condition de domintion, lorsque t \ N, pour tout x I. Exemple 1. Reprenons les exemples précédents, vec : vec : F (x) = f(t, x) = + e tx t(1 + t) dt, e tx t(1 + t), t >, x. On, pour tous t > et x : t e tx t 2 f(t, x) = = t(1 + t) (1 + t) e tx. On n ps l condition de domintion pour tout x, ni même pour tout x >, cr : + t dt = +, (1 + t) mis on v montrer que, pour tout α >, F est dérivble sur ]α, + [ ; de sorte que F ser dérivble sur ], + [= α> ]α, + [. Pour cel, fixons un nombre α >, et ppliquons le Théorème 4.3 sur l intervlle I =]α, + [. ur cet intervlle, on : 2 f(t, x) t (1 + t) e αt = g(t), et g est λ-intégrble sur =], + [ cr son intégrle de Riemnn générlisée + g(t) dt converge bsolument : g est positive et : t lim t + t2 g(t) = lim t + t2 (1 + t) e αt =, cr α > ; donc g(t) 1 t pour t ssez grnd (il est importnt d voir 2 α >, pour grder une exponentielle). Le Théorème 4.3 s pplique donc : F est continûment dérivble sur ]α, + [, et : + t F (x) = (1 + t) e tx dt. Remrque. On urit pu risonner de fçon un tout petit peu différente, en montrnt que, pour chque x >, F est dérivble en x, et pour cel, choisir un α > tel que α < x (pr exemple α = x /2), et montrer que F est dérivble sur ]α, + [, ce qui donne, en prticulier, l dérivbilité de F en x. 28

29 Appliction. Clcul de A = + e u2 du. Pour cel, remrquons que, pour x >, on : F (x) F (x) = = = + [ + + = 2A x t (1 + t) 1 t(1 + t) ] e tx dt e tx t dt e u2 ( 2 x ) du, en posnt u = tx, d où du = x dt 2 t On une éqution différentielle linéire du 1 er ordre, à coefficients constnts, que l on intègre pr l méthode de vrition de l constnte : on cherche F de l forme F (x) = k(x) e x ; cel donne : ( k (x) e x + k(x) e x) k(x) e x = 2A x, soit : k (x) = 2A e x x, x >, d où : x e t k(x) = 2A dt + C, x, t prce que k est, comme F, continue sur [, + [, et donc en. Donc : (4.2) F (x) = Comme, pr définition : F () = + on obtient C = π. [ 2A dt v= t = t (1 + t) x e t ] dt + C e x, x. t + 2 dv 1 + v 2 = [ 2 rctn v ] + = π, D utre prt, on vu que F (x) ; il résulte donc de (4.2) que : x + ] [ x e t (4.3) lim 2A dt + π x + t Mis : (4.4) lim x + x e t + e t dt = dt v= t = t t 29 = lim x + F (x) e x =. + e v2 (2dv) = 2A.

30 Il résulte de (4.3) et (4.4) que 4A 2 = π, soit A = t/2 : + e u2 du = t 2 Exemple 2. L fonction ϕ: R R + définie pr : ϕ(t) = 1 2π e t2 /2, t R, intervient de fçon très importnte en Probbilités, et s ppelle l densité de Guss. D près l Exemple 1, on : R ϕ(t) dλ(t) = + + e t2 /2 ϕ(t) dt = 2 dt u=t/ 2 = 2π On définit s fonction crctéristique pr : Φ(x) = + Clculons-l. Pour cel, posons, pour t, x R : ϕ(t) e itx dt, x R. f(t, x) = e t2 /2 e itx. 2 + e u2 du = 1. π Pour tout x R, l ppliction t f(t, x) est intégrble sur R, puisque f(t, x) = e t2 /2, et que e t2 /2 e t pour t 1. D utre prt, pour tout t R, l fonction x f(t, x) est continûment dérivble sur R, et : 2 f(t, x) = it e t2 /2 e itx = t e t2 /2 = g(t). L fonction g est intégrble sur R cr son intégrle générlisée converge bsolument : g est positive et t 2 g(t) = t 3 e t2 /2, donc g(t) t + 1/t2 pour t ssez grnd. Pr conséquent, Φ est continûment dérivble sur R et : Intégrons pr prties : Φ (x) = 1 + it e t2 /2 e itx dt, x R. 2π Φ (x) = 1 [ i e t2 /2 e itx] π 2π En intégrnt cette éqution différentielle, on trouve : Φ(x) = Φ() e x2 /2. i(ix) e t2 /2 e itx dt = xφ(x). 3

31 Comme : on obtient finlement : Φ() = + ϕ(t) dt = 1, Φ(x) = e x2 /2. 31

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