Fonctions holomorphes au sens de Ferrand définies sur des ensembles discrets, ou fonctions monodiffriques de seconde espèce au sens d Isaacs

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1 Fonctions holomorphes au sens de Ferrand définies sur des ensembles discrets, ou fonctions monodiffriques de seconde espèce au sens d Isaacs Colloque Henri Skoda Paris, le 13 septembre 2005 Christer Kiselman 1. Introduction 2. Fonctions définies sur des polygones 3. Opérateurs de Cauchy Riemann 4. Les équations de Cauchy Riemann 5. Domaines d holomorphie 6. Le phénomène de Hartogs 1

2 1. Introduction L étude des fonctions holomorphes sur Z 2 a une histoire de plus de soixante ans. Rufus Isaacs introduisit en 1941 deux notions de fonctions holomorphes définies sur des ensembles discrets qu il appela respectivement fonctions monodiffriques de première et de seconde espèce. En 1944 Jacqueline Ferrand poursuivit l étude des fonctions monodiffriques de seconde espèce, qu elle appela préholomorphes. Dans un article de 1952 Isaacs fit de même avec les fonctions de première espèce. Dans cette conférence je vais montrer que les équations de Cauchy Riemann admettent des solutions, déterminer les domaines d holomorphie en une variable discrète et étudier le phénomène de Hartogs en deux variables discrètes, toujours pour les fonctions monodiffriques de seconde espèce. En référence au travail fondamental de Jacqueline Ferrand, je nommerai ces fonctions fonctions holomorphes au sens de Ferrand. 2. Fonctions définies sur des polygones Soit Γ un polygone fermé dans le plan complexe C comprenant m arêtes [a 0, a 1 ], [a 1, a 2 ],..., [a m 1, a 0 ]. Nous dirons qu une fonction f à valeurs complexes est affine par morceaux si f est affine sur chaque segment [a j, a j+1 ] sauf peut-être en les points qui appartiennent à deux segments. Cela veut dire que, si a j+1 = a j, f (z) = a j+1 z f (a a j+1 a j ) + z a j f (a j a j+1 a j+1 ), j z [a j, a j+1 ], j = 0,..., m 1, à l exception des points (dont le nombre est fini) qui appartiennent à un autre segment [a k, a k+1 ]. Proposition 2.1. Soit f affine par morceaux sur un polygone fermé Γ déterminé par (a 0,..., a m 1 ). Alors Γ f (z)dz = 1 2 m 1 0 f (a j )(a j+1 a j 1 ) = 1 2 m 1 ( f (aj 1 ) f (a j+1 ) ) a j. 0 Définition 2.2. Étant donné un polygone fermé Γ dans C, nous dirons qu une fonction f définie sur ses nœuds est holomorphe sur Γ si Γ f aff (z)dz = 0, où f aff est l unique fonction affine par morceaux sur Γ qui prend les mêmes valeurs que f sur les nœuds de Γ. Corollaire 2.3. Soient a 0,..., a m 1 m points dans le plan complexe. Une fonction définie sur les nœuds du polygone Γ défini par (a 0,..., a m 1 ) est holomorphe sur Γ si et seulement si m 1 f (a j )(a j+1 a j 1 ) = 0. j=0 2

3 Pour m = 2 toute fonction est holomorphe. Quand m = 3 et (a 0, a 1, a 2 ) = (a, b, c) : que l on pourra écrire f (a)(b c) + f (b)(c a) + f (c)(a b) = 0, f (b) f (a) b a En particulier, si b = a + 1 et c = a + i, on obtient = f (c) f (a). c a (2.1) f (a + 1) f (a) 1 = f (a + i) f (a). i Définition 2.4. Une fonction f à valeurs complexes définie sur un sous-ensemble A de Z[i] sera dite monodiffrique de première espèce ou holomorphe au sens d Isaacs si (2.1) est valable pour tout a A tel qu aussi a + 1 et a + i appartiennent à A. Quand m = 4 et (a 0, a 1, a 2, a 3 ) = (a, b, c, d) : que l on peut écrire f (a)(b d) + f (b)(c a) + f (c)(d b) + f (d)(a c) = 0, f (c) f (a) c a Cette définition a été étudiée par Ferrand (1944). = f (d) f (b), d b En particulier, si b = a + 1, c = a i et d = a + i, on obtient (2.2) f (a i) f (a) 1 + i = f (a + i) f (a + 1). i 1 Définition 2.5. Une fonction f définie sur un sous-ensemble A de Z 2 = Z[i] sera dite monodiffrique de seconde espèce ou holomorphe au sens de Ferrand si (2.2) est valable pour tout point a A tel qu aussi a + 1, a + i, et a i soient des éléments de A. 3. Opérateurs de Cauchy Riemann L opérateur de Cauchy Riemann qui correspond à la seconde définition d Isaacs est (CR f )(z) = f (z i) f (z) + i f (z + i) i f (z + 1), z Z[i]. Ferrand (1944:154) appelle cette quantité l écart de f sur la maille formée par a = z, b = z + 1, c = z i, et d = z + i. 3

4 Une fonction f : A C, où A est un sous-ensemble de Z[i], est holomorphe dans A au sens de Ferrand si et seulement si CR( f )(z) = 0 en tout point z tel que z, z i, z + i, z + 1 A. Cela veut dire que f est solution d une équation de convolution µ f = 0 dans A (A 1 i) (A i) (A 1), où µ = δ 1 i δ 0 + iδ i iδ 1. Nous écrirons f O F (A) ou bien f O(A). Une variante de cet opérateur est CR 1 ( f )(z) = f (z + 1) f (z 1) + i f (z + i) i f (z i). Ce dernier opérateur a aussi été introduit par Isaacs (1941:179). Exemple. Un polynôme en z de dégré au plus deux est holomorphe. Un polynôme de dégré trois n est pas holomorphe, et en général CR P est de dégré m 3 si P est un polynôme de dégré m 3. Exemple. Une fonction exponentielle F a,b (z) = a x b y = e αx+βy, z = x + iy C, Z[i] est holomorphe si et seulement si α + iβ = 0. Sa restriction G a,b = F a,b aux entiers gaussiens Z[i] est monodiffrique si et seulement si (a + i)(b i) = 2 : CR G a,b = ( (a + i)(b i) 2 ) G a,b. 4. Les équations de Cauchy Riemann Théorème 4.1. Il existe une solution E de l équation CR E = δ 1 i avec support dans le premier quadrant. On a E(x + iy) = i y x d x,y, x, y Z, où d x,y sont les nombres de Delonnay. Démonstration. Les nombres de Delonnay sont définis par : d x,y = 0 si x ou y est strictement négatif, d 0,0 = 1, et d x,y = d x 1,y + d x,y 1 + d x 1,y 1, (x, y) N 2 {(0, 0)} (Delonnay 1895). On peut définir un opérateur f µ f, où µ = δ 1 i δ 0 δ i δ 1, lié à l opérateur de Cauchy Riemann CR f = µ f, et il est facile à vérifier que µ f = µ f, où nous définissons f (z) = f (z)i Im z Re z. Il est évident alors que 4

5 E peut être définie par induction pour x + iy en utilisant les valeurs déjà obtenues pour x 1 + iy, x + i(y 1), et x 1 + i(y 1), exactement comme pour les nombres de Delonnay, et que E(x, y) = i y x d x,y. Les nombres de Delonnay apparaissent dans beaucoup de problèmes en mathématiques ; voir Sulanke (2003). En particulier d m,n = d n,m est la cardinalité de la boule de rayon m dans Z n muni de la métrique l 1 (ou hyperoctaèdre), { x Z n ; x 1 = x j m } (Vassilev & Atanasov 1994). Les nombres centraux de Delonnay d n,n ont beaucoup été étudiés ; les nombres généraux d m,n, moins. Les nombres de Delonnay avec 0 x, y 6 sont : Les valeurs de E(x, y) pour 1 x, y 6 sont : i i i i 11 61i i i 0 1 9i i i i 7 25i i i 0 1 5i 13 25i 41 61i 85 0 i 3 5i 7 9i 11 13i 0 1 i 1 i 1 i Théorème 4.2 (Isaacs 1941 :197). Étant donné n importe quelle fonction f sur Z[i], l équation CR u = f admet une solution. C est facile en utilisant la fonction E et une solution fondamentale analogue avec support dans le secteur opposé. En effet, l existence de E montre que l opérateur de Cauchy Riemann est hyperbolique. Cependant, les estimations que l on peut obtenir par cette méthode sont très mauvaises à cause de la très forte croissance de E. Il y a une autre solution fondamentale qui correspond à (πz) 1 pour l opérateur de Cauchy Riemann classique, et qui tend donc vers zéro à l infini. Cependent celle-ci est difficile à construire. 5

6 Théorème 4.3. Un système d équations CR 1 u = f 1, CR 2 u = f 2, où les f j sont données dans Z[i] 2, peut être résolu si et seulement si CR 2 f 1 = CR 1 f 2. Proposition 4.4. Une équation CR 2 v = g, où g est donnée dans Z[i] 2, peut être résolu avec v holomorphe en z 1 si et seulement si g est holomorphe en z Domaines d holomorphie Étant donnés deux sous-ensembles A et B de Z[i], il existe un opérateur de restriction R B A : O(B) O(A). Il se peut que RB A soit injectif mais non surjectif, ou surjectif mais non injectif. Exemple 5.1. Soient A = {0, 1, i}, B = A {1 + i}. Alors R est bijectif. Exemple 5.2. Soient A = {0, i, 1 + i, 2 + i, 2}, B = A {1}. Alors R est injectif ; mais il n est pas surjectif, car une fonction holomorphe sur B doit satisfaire i f (1 + i) + i f (0) + f (i) = f (1) = f (2 + i) + i f (1 + i) i f (2). Sa restriction à A doit alors satisfaire i f (0) + f (i) f (2 + i) 2i f (1 + i) + i f (2) = 0. Mais n importe quelle fonction sur A est holomorphe. Exemple 5.3. Soient A = {0, 1, 1 + i, i} et B = A {2}. Alors l opérateur de restriction est surjectif mais non injectif. Vu les propriétés de l opérateur de restriction R B A il paraît raisonnable de proposer la définition suivante. Définition 5.4. Un domain d holomorphie dans Z[i] est un ensemble A tel que, si B A et si R B A est bijectif, alors B = A. Nous dirons qu un ensemble A est 4-connexe si n importe quels points dans A peuvent être liés dans A par un chemin de segments horisontaux ou verticaux. À tout ensemble A dans Z[i] nous associons le plus petit rectangle Rect(A) de la forme (5.1) [a 0, a 1 ] + i[b 0, b 1 ] = {z; a 0 Re z a 1, b 0 Im z b 1 } qui le contient. 6

7 Theorem 5.5. Supposons que A Z[i] est 4-connexe et tel que A L soit toujours un intervalle lorsque L est une droite horisontale ou verticale. Alors toute fonction f O(A) peut être prolongée de façon unique au plus petit rectangle de la forme (5.1) qui contient A. Lemme 5.6. Soient A un ensemble borné satisfaisant aux hypothèses du théorème 5.5 et B un sous-ensemble 4-connexe propre de (A + N) (A + in) qui contient A et admet la propriété que B L soit un intervalle pour toute droite horisontale ou verticale et à lequel toute fonction holomorphe sur A peut être prolongée de façon unique. Alors il existe un ensemble B contenant B strictement avec les mêmes propriétés. Corollaire 5.7. Un ensemble 4-connexe de Z[i] tel que l intersection A L soit un intervalle quand L est une droite horisontale ou verticale est un domaine d holomorphie si et seulement si A = Rect(A). Si Ω est un rectangle dans Z[i] défini par a 0 Re z a 1 et b 0 Im z b 1, on définit b Ω = {z Ω; Re z = a 1 ou Im z = b 0 }, b Ω = {z Ω; Re z = a 0 ou Im z = b 1 }, et bω = b Ω b Ω. Dans la suite nous utiliserons bω comme une sorte de frontière de Ω. Une fonction holomorphe sur un rectangle Ω est déterminée par sa restriction à b Ω ; de même par sa restriction à b Ω. On a et h(z) = h(z) = où C Ω (, s) O(Ω) pour tout s bω. C Ω (z, s)h(s), z Ω, h O(Ω), C Ω (z, s)h(s), z Ω, h O(Ω), s b Ω Ces formules nous fournissent des estimations : (5.2) h(z) C Ω (z, s) sup h(s) A sup h(s), où A = sup z Ω C Ω (z, s), est une très mauvaise constante. Cependant, les formules sont utiles por la démonstration de l unicité d un prolongement. Il est connu (Ferrand 1944:157) que les fonctions holomorphes satisfont à un principe du maximum, de façon que (5.2) est satisfaite avec A = 1 si on prend le sup de h sur toute la frontière bω et non pas seulement sur b Ω. 7

8 6. Le phénomène de Hartogs Théorème 6.1. Soient Ω un ouvert dans C n, n 2, et K un sous-ensemble compact de Ω. Si h O(Ω K), il existe une fonction H O(Ω) telle que H = h dans Ω L pour un compact L Ω. Théorème 6.2. Soient Ω = Ω 1 Ω 2, où Ω j sont deux rectangles dans Z[i], et K Ω un sous-ensemble qui n intersecte pas (bω 1 Ω 2 ) (Ω 1 bω 2 ). Si h O(Ω K), il existe une fonction H O(Ω) telle que H = h dans Ω L pour un ensemble L qui ne coupe pas (bω 1 Ω 2 ) (Ω 1 bω 2 ). Démonstration. Nous contruisons une fonction H par la formule H(z 1, z 2 ) = s 1 b Ω 1 C Ω (z 1, s 1 )h(s 1, z 2 ), (z 1, z 2 ) Ω. Évidemment H est holomorphe en z 1 (car C Ω l est), et aussi en z 2 (car h l est). Fixons d abord z 2 Ω 2 π 2 (K), où π 2 est la projection (z 1, z 2 ) z 2. Alors H(z 1, z 2 ) = h(z 1, z 2 ) pour tout z 1 Ω 1. Ensuite fixons z 1 Ω 1 π 1 (K). Nous savons que H(z 1, z 2 ) = h(z 1, z 2 ) quand z 2 Ω 2 π 2 (K), en particulier quand z 2 b Ω 2. Vu l unicité du prolongement holomorphe nous pouvons en déduire que H(z 1, z 2 ) = h(z 1, z 2 ) pour tout z 2 Ω 2. En conclusion nous avons démontré que H est holomorphe dans Ω et que H = h dans Ω 1 ( Ω 2 π 2 (K) ) aussi bien que dans ( Ω 1 π 1 (K) ) Ω 2. Nous pouvons donc définir L comme π 1 (K) π 2 (K), un ensemble qui ne coupe pas (bω 1 Ω 2 ) (Ω 1 bω 2 ). 8

9 Pour Henri, toutes mes félicitations!!! 9