Statistiques descriptives

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1 Méthode 1 Calculer les fréquences. Pour calculer la fréquence d'une modalité : diviser l'effectif de cette modalité par l'effectif total multiplier le résultat par 100 pour exprimer la fréquence en % La somme des fréquences est égale à 1. automobilistes ont été réparties en fonction de leur consommation énergétique en quatre classes A, B, C et D. Il y a 17, 8, 11 et 1 véhicules de classes A, B, C et D respectivement. La fréquence des automobilistes de classe A est : f A = 17 = 0,3 ou 3 % La fréquence des automobilistes de classe B est : f B = 8 = 0,16 ou 16 % 11 La fréquence des automobilistes de classe C est : f C = = 0, ou % La fréquence des automobilistes de classe D est : f D = 1 = 0,8 ou 8 % Méthode Calculer les effectifs cumulés croissants ECC et les effectifs cumulés décroissants ECD. Pour calculer l'effectif cumulé croissant d'un modalité (ou classe) : ajouter à l'effectif de cette modalité (ou classe) la somme des effectifs des modalités (ou classes) précédentes. Pour calculer l'effectif cumulé décroissant d'un modalité (ou classe) : ajouter à l'effectif de cette modalité (ou classe) la somme des effectifs des modalités (ou classes) suivantes. Températures relevées pendant 300 jours. Températures Effectifs ECC ECD [0 ; 5[ = 300 [5 ; 10[ = = 37 [10 ; 15[ = = 10 [15 ; 0[ = = 5 [0 ; 5[ + 76 = 300

2 Méthode 3 Calculer les fréquences cumulées croissantes FCC et les fréquences cumulées décroissantes FCD. Calculer la fréquence de chaque modalité. Pour calculer la fréquence cumulée croissante d'un modalité (ou classe) : ajouter à la fréquence de cette modalité (ou classe) la somme des effectifs des modalités (ou classes) précédentes. Pour calculer la fréquence cumulée décroissante d'un modalité (ou classe) : ajouter à la fréquence de cette modalité (ou classe) la somme des effectifs des modalités (ou classes) suivantes. Températures relevées pendants 300 jours. Températures Effectifs Fréquences FCC FCD [0 ; 5[ 63 0,1 0,1 0,79 + 0,1 = 1 [5 ; 10[ 98 0,33 0,1 + 0,33 = 0,5 0,6 + 0,33 = 0,79 [10 ; 15[ 88 0,9 0,5 + 0,9 = 0,83 0,17+ 0,9 = 0,6 [15 ; 0[ 8 0,09 0,83 + 0,09 = 0,9 0,08 + 0,09 = 0,17 [0 ; 5[ 3 0,08 0,9 + 0,08 = 1 0,08 Méthode Calculer la moyenne arithmétique d'une série statistique. Pour calculer la moyenne arithmétique simple d'une série statistique : additionner toutes les valeurs du caractère de la série diviser la somme obtenue par l'effectif total de la série 5,, 17, 19, 0 est le relevé des températures en degré cinq jours de suite. La température moyenne est égale à , soit 0,6 5 Pour calculer la moyenne arithmétique pondérée d'une série statistique : additionner les produits des effectifs par les valeurs correspondantes du caractère diviser la somme obtenue par l'effectif total Le tableau contient les notes de maths obtenues par les élèves d'une classe. otes Effectifs La note moyenne à cet examen est : 7 x + 8 x x x x x 17 = 8,8

3 Méthode 5 Calculer la médiane. Pour calculer la médiane d'une série : ordonner les données dans l'ordre croissant ou décroissant calculer l'effectif total si l'effectif total est impair, la médiane est la valeur située au rang + 1 si l'effectif total est pair, la médiane est la moyenne arithmétique des valeurs de rang et de rang + 1 Exemple 1 : Un élève a obtenu les notes suivantes : 6 ; 7 ; 8 ; 10 ; Comme = 5, effectif total impair, alors la médiane est le terme de rang = = 3 La médiane est donc la valeur située au rang 3, soit Me = 8 Exemple : Un élève a obtenu les notes suivantes : 5 ; 8 ; 8 ; 10 ; 1 ; 1 ; 13 ; 16 Comme = 8, effectif total pair, alors la médiane est la moyenne arithmétique des valeurs de rang 8 8 et de rang + 1, soit de rang = et de rang + 1 = La médiane est donc la moyenne des valeurs situées au rang et au rang 10, soit = 11 Méthode 6 Calculer l'étendue. Pour calculer l'étendue d'une série statistique : relever la plus grande modalité et la plus petite modalité du caractère faire la différence entre la plus grande et la plus petite de ces valeurs On a relevé le nombre mensuel de calculatrices vendues dans le semestre par une enseigne : 5, 38, 17, 3, 7, 3 L'étendue est égale à 38 7, soit 31

4 Méthode 7 Calculer le mode. Pour calculer le mode d'une série statistique discrète : relever la modalité associée au plus grand effectif On a relevé les notes obtenues par une classe de 15 élèves : 7, 1, 7, 1, 10, 11, 1, 13, 1, 5, 17, 1, 10, 11, 1. On ordonne ces valeurs dans l'ordre croissant : 5, 7, 7, 10, 10, 11, 11, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 17. La note la plus répandue dans la classe est 1. Elle a été obtenue par élèves. Le mode est donc égal à 1. Pour calculer le mode d'une série statistique continue : relever la classe modale associée au plus grand effectif rectifié si les classes sont d'amplitudes inégales calculer le centre de classe pour obtenir le mode Exemple 1 : classe d'amplitudes égales Soit la distribution statistique d'une population de 0 élèves d'une classe répartie selon la taille. Taille en cm xi Effectifs ni [1 ; 160[ 3 [160 ; 170[ 5 [170 ; 180[ 10 [180 ; 190[ [170 ; 180[ est la classe modale, car c'est la classe associée au plus grand effectif : 10 Le mode est le centre de classe : , soit 175 cm Exemple : classe d'amplitudes inégales Soit la distribution statistique d'une population de 100 élèves d'une école répartie selon l'âge. Âge xi Effectifs ni Effectifs ni rectifiés [ ; 5[ 1 1 [5 ; 6[ 1 1 [6 ; 8[ [8 ; 1[ 11 [6 ; 8[ est la classe modale, car elle est associée au plus grand effectif rectifié : 15 Le mode est le centre de classe :, soit

5 Méthode 8 Calculer les quartiles, l'intervalle interquartile et l'écart interquartile. Pour calculer le premier quartile Q 1 : ranger les données dans l'ordre croissant calculer l'effectif total calculer si est un multiple de, alors Q 1 est le terme de rang si n'est pas un multiple de, alors Q 1 est le terme de rang égal à la partie entière du quotient de par majorée de 1 Pour calculer le troisième quartile Q 3 : reprendre toutes les étapes ayant permis le calcul de Q 1, en remplaçant par L'intervalle interquartile est l'intervalle [Q 1 ; Q 3 ] 3 Pour calculer l'écart interquartile calculer Q 3 - Q 1 Exemple 1 : Soit la série de valeurs rangées dans l'ordre croissant 6, 8, 15, 15, 15, 19, 3, 7. Comme l'effectif total vaut = 8 est que =, le premier quartile Q 1 est la valeur de rang, soit Q 1 = 8 et le troisième quartile Q 3 est la valeur de rang 3 = 6, soit Q 3 = 19 Exemple : Soit la série de valeurs : 7, 10, 13, 15, 15, 1, 3, 7, 9, 3, 0. L'effectif total est = 11 Comme = 11 =,75, le premier quartile Q 1 est le terme de rang ( + 1) = 3, soit Q 1 = 13 3 Comme = = 8,5, le troisième quartile Q 3 est le terme de rang 9, soit Q 3 = 9 3 x 11 Le deuxième quartile Q est égal à la médiane : Q = Me = 1, terme de rang 6. L'intervalle interquartile est l'intervalle [13 ; 9] L'écart interquartile est égal à Q 3 Q 1 = 9 13, soit 16

6 Méthode 9 Tracer le polygone des effectifs cumulés croissants. Pour tracer le polygone ou courbe des effectifs cumulés croissants ECC : tracer un repère avec en abscisse les classes et en ordonnées les ECC placer chaque point dont l'abscisse est la borne supérieure de la classe et l'ordonnée le ECC associé à cette classe joindre tous les points par une ligne brisée, en ajoutant le point d'abscisse égale à la borde inférieure de la plus petite classe et d'ordonnée 0 Pour tracer le polygone ou courbe des effectifs cumulés décroissants ECD : tracer un repère avec en abscisse les classes et en ordonnées les ECD placer chaque point dont l'abscisse est la borne inférieure de la classe et l'ordonnée le ECD associé à cette classe joindre tous les points par une ligne brisée, en ajoutant le point d'abscisse égale à la borde supérieure de la plus grande classe et d'ordonnée 0 Températures relevées pendant 300 jours. Températures Effectifs ECC ECD [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 15[ [15 ; 0[ [0 ; 5[ 300

7 Méthode 10 Déterminer graphiquement la médiane et les quartiles. Pour déterminer graphiquement la médiane et les quartiles : tracer le polygone des effectifs cumulés croissants ECC l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée est la médiane, Me l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée est le premier quartile, Q 1 3 l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée est le troisième quartile, Q 3 Méthode 11 Tracer un diagramme en boîte. Pour tracer un diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) : calculer le premier quartile, la médiane et le troisième quartile tracer au-dessus d'une droite graduée un rectangle délimité par le premier quartile, le troisième quartile et coupé par la médiane. Ce rectangle constitue le diagramme en boîte tracer ensuite deux segments délimités par les valeurs extrêmes

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