2. Probabilité. 2.1: Espaces de probabilité 2.2: Probabilité conditionelle 2.3: Indépendance.

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1 2. Probabilité 2.1: Espaces de probabilité 2.2: Probabilité conditionelle 2.3: Indépendance Probabilité et Statistiques I Chapître 2 1

2 2.1 Espaces de Probabilité Contenu Exemples élémentaires de probabilité, motivation Expériences aléatoires, espace de probabilité, ensemble fondamental, espace des événements, mesure de probabilité, formules d inclusion-exclusion Références: Ross (Chapitre 2); notes de Ben Arous (II.1 II.3). Probabilité et Statistiques I Chapître 2 2

3 Motivation: Jeu de dé Illustration: Deux dés équilibrés sont lancés, un rouge et un vert. (a) Quel est l ensemble des résultats possibles? (b) Quels résultats donnent un total de 6? (c) Quels résultats donnent un total de 12? (d) Quels résultats donnent un total impair? (e) Quelles sont les probabilités des événements (b), (c), (d)? Probabilité et Statistiques I Chapître 2 3

4 Calcul de Probabilités On peut essayer de calculer les probabilités d événements tels que (b), (c), (d) en lançant le dé de nombreuses fois et en posant probabilité d un événement = # de fois où l événement se produit. # expériences réalisées C est une réponse pratique plutôt que mathématique, disponible (si disponible) seulement après beaucoup de travail (combien de fois doit-on lancer le dé?), et qui risque de donner des réponses différentes à chaque fois insatisfaisante! Pour des exemples simples, on utilise souvent la symétrie pour le calcul des probabilités. Ceci n est plus possible pour des cas plus compliqués on construit des modèles mathématiques, basés sur les notions d expérience aléatoire et d espace de probabilité. Probabilité et Statistiques I Chapître 2 4

5 Expérience Aléatoire Définition : Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est (ou peut être traîté comme) aléatoire. Exemple 2.1: Je jette une pièce. Exemple 2.2: Le nombre de crevaisons qui m arrive lorsque je rentre à la maison. Exemple 2.3: Je lance 2 dés équilibrés, un rouge et un vert. Exemple 2.4: Le nombre d s que je reçois aujourd hui. Exemple 2.5: Le temps d attente jusqu à la fin de ce cours. Exemple 2.6: Le temps qu il fera ici demain à midi. Une expérience aléatoire est modelisée par un espace de probabilité. Probabilité et Statistiques I Chapître 2 5

6 Espace de Probabilité (Ω, F, P) Définition : Un espace de probabilité (Ω, F, P) est un objet mathématique associé à une expérience aléatoire, constitué de: un ensemble Ω, l ensemble fondamental, qui contient tous les résultats (épreuves, événements élémentaires) possibles de l expérience; une collection F de sous-ensembles de Ω. Ces sous-ensembles sont appelés événements, et F est appelé l espace des événements; une fonction P : F [0, 1] appelée loi de probabilité, qui associe une probabilité P(A) à chaque A F. Probabilité et Statistiques I Chapître 2 6

7 Ensemble Fondamental Ω L ensemble fondamental Ω est l ensemble composé d éléments représentant tous les résultats possibles d une expérience aléatoire. Chaque élément ω Ω est associé à un résultat différent. Ω est analogue à l ensemble univers. Il peut être fini, dénombrable ou non dénombrable. Ω est non-vide. (Si Ω = alors rien d intéréssant ne peut arriver.) Exercice : Décrire les ensembles fondamentaux pour les Exemples Probabilité et Statistiques I Chapître 2 7

8 Pour les exemples élémentaires avec Ω fini, on choisit souvent Ω de manière à ce que ω Ω soit équiprobable: P{ω} = 1, pour chaque ω Ω. Ω Alors P(A) = A / Ω, pour tout A Ω. Probabilité et Statistiques I Chapître 2 8

9 Espace des Evénements F F est un ensemble de sous-ensembles de Ω qui représente les événements d intérêt. Exemple 2.3 (ctd): Donner les événements A le dé rouge montre 4, B A B le total est impair, C le dé vert montre 2, le dé rouge montre 4 et le total est impair. Calculer leurs probabilités. Probabilité et Statistiques I Chapître 2 9

10 Définition : Un espace des événements F est un ensemble de sous-ensembles de Ω tel que: 1. F est non vide; 2. si A F alors A c F; 3. si {A i } i=1 sont tous des éléments de F, alors i=1 A i F. F est aussi appelée une tribu. Exercice: Donner les espaces des événements pour les Exemples Probabilité et Statistiques I Chapître 2 10

11 Soient A, B, C, {A i } i=1 impliquent que des éléments de F. les axiomes précédents n i=1 A i F, Ω F, F, A B F, A \ B F, A B F, n i=1 A i F. Si Ω est dénombrable, on prend souvent pour F l ensemble de tous les sous-ensembles de Ω. C est le plus grand (et le plus riche) espace des événements possibles pour Ω. On peut définir des espaces des événements différents pour le même ensemble fondamental. Probabilité et Statistiques I Chapître 2 11

12 Exemple 2.3 (ctd): Je lance deux dés équilibrés, un rouge et un vert. (a) Quel est mon espace des événements F 1? (b) J informe mon ami seulement du total. Quel est l espace des événements F 2? (c) Mon ami regarde lui-même les dés, mais il est daltonien. Quel est maintenant l espace des événements F 3? Habituellement l espace des événements est clair d après le contexte, mais il est important d écrire Ω et F explicitement, afin d éviter la confusion. Cela peut aussi être utile lorsque des soi-disant paradoxes surviennent (généralement en raison d une formulation mathématique du problème peu claire ou erronée). Il est essentiel de donner Ω et F lors des exercices, tests, et des examens. Probabilité et Statistiques I Chapître 2 12

13 Problème de Trois Dés Galileo ( ) Trois dés équilibrés sont lancés. Soient T i l événement le total est i, pour i = 3,...,18. Quel est le plus probable, T 9 ou T 10? T 9 peut se produire si les dés ont les résultats suivants 9 = = = = = = T 10 peut se produire si les dés ont les résultats suivants 10 = = = = = = Ainsi ils sont équiprobables. Vrai ou faux? Probabilité et Statistiques I Chapître 2 13

14 Exemple 2.7 (Famille): Une femme planifiant sa future famille considère les situations suivantes (on suppose que les chances d avoir un garçon ou une fille sont égales à chaque fois) : (a) avoir trois enfants; (b) mettre au monde des enfants jusqu à ce que la première fille naisse, ou jusqu à ce que les trois enfants naissent, s arrêter lorsque l une des 2 situations se réalise. (c) mettre au monde des enfants jusqu à ce que il y en ait un de chaque sexe ou jusqu à ce qu il en ait trois, s arrêter lorsque l une des 2 situations se réalise. Soient B i l événement i garçons sont nés, C l événement il y a plus de filles que de garçons. Calculer P(B 1 ) et P(C) sous (a) (c). Probabilité et Statistiques I Chapître 2 14

15 Loi de Probabilité P Définition : Une loi de probabilité P associe une probabilité à chaque élément de l espace des événements F, avec les propriétés suivantes: 1. si A F, alors 0 P(A) 1; 2. P(Ω) = 1; 3. si {A i } i=1 sont disjoints deux à deux (c est à dire que, A i A j =, i j), alors ( ) P A i = i=1 P(A i ). i=1 Probabilité et Statistiques I Chapître 2 15

16 Propriétés de P Théorème 2.1: Soient A, B, {A i } i=1 probabilité (Ω, F, P). Alors des événements de l espace de (a) P( ) = 0, (b) si A B =, alors P(A B) = P(A) + P(B), (c) P(A c ) = 1 P(A), P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), (d) si A B, alors P(A) P(B), et P(B \ A) = P(B) P(A) (e) P ( i=1 A i) i=1 P(A i) ( inégalité de Boole), (f) si A 1 A 2, alors lim n P(A n ) = P ( i=1 A i), (g) si A 1 A 2, alors lim n P(A n ) = P ( i=1 A i). Probabilité et Statistiques I Chapître 2 16

17 Continuité de P Rappel: Une fonction f est continue en x si pour toute suite {x n } telle que lim x n = x, on a lim f(x n) = f(x). n n Les parties (f) et (g) du Théorème 2.1 peuvent être étendues pour montrer que pour toutes suites d ensembles pour lesquelles lim A n = A, on a lim P(A n) = P(A). n n C est pourquoi P est appelée fonction d ensembles continue. Probabilité et Statistiques I Chapître 2 17

18 Formules d Inclusion-Exclusion Si A 1,...,A n sont des événements de (Ω, F, P), alors P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A 1 A 2 ) P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) P ( n i=1 A i ). = P(A 1 A 2 ) P(A 1 A 3 ) P(A 2 A 3 ) +P(A 1 A 2 A 3 ) n ( 1) r+1 r=1 1 i 1 < <i r n Le nombre de termes dans la formule générale est ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n 1 n P(A 1 A ir ). = 2 n 1. Probabilité et Statistiques I Chapître 2 18

19 Exemple 2.8: Quelle est la probabilité d obtenir au moins un 6 quand je lance 3 dés équilibrés? Exemple 2.9: Une urne contient 1000 tickets de loterie numérotés de 1 à On tire un ticket au hasard. Auparavant un artiste de foire a offert de payer $3 à quiconque qui lui donne $2, si le numéro du ticket est divisible par 2, 3, ou 5. Est ce que vous lui donneriez vos $2 avant le tirage? (Vous perdez votre argent si le ticket n est pas divisible par 2, 3, ou 5.) Probabilité et Statistiques I Chapître 2 19

20 2.2 Probabilité Conditionnelle Contenu Probabilité conditionnelle. Conditionnement et ces conséquences. Théorème de Bayes. Conditionnement multiple. Problèmes d appariement. Equations aux différences Références: Ross (Chapitre 3); notes de Ben Arous (Sections II.5, II.4). Probabilité et Statistiques I Chapître 2 20

21 Probabilité Conditionnelle Illustration: On lance deux dés équilibrés, un rouge et un vert. Soient A et B les événements le total excède 8, et on a 6 sur le dé rouge. Si on sait que B s est produit, comment change P(A)? Définition : Soient A, B des événements de l espace de probabilité (Ω, F, P), tel que P(B) > 0. Alors la probabilité conditionnelle de A sachant B est P(A B) P(A B) =. P(B) Si P(B) = 0, on adopte la convention P(A B) = P(A B)P(B), des deux côtés on a la valeur zéro. Ainsi P(A) = P(A B) + P(A B c ) = P(A B)P(B) + P(A B c )P(B c ) même si P(B) = 0 ou P(B c ) = 0. Probabilité et Statistiques I Chapître 2 21

22 Théorème 2.2 (Loi des probabilités totales): Soient {B i } i=1 les événements disjoints 2 à 2 (i.e. B i B j =, i j) de l espace de probabilité (Ω, F, P), et soit A événement satisfaisant A i=1 B i. Alors P(A) = P(A B i ) = P(A B i )P(B i ). i=1 Théorème 2.3 (Bayes): Supposons que les conditions ci-dessus soient vérifiées, et que P(A) > 0. Alors i=1 P(B j A) = P(A B j )P(B j ) i=1 P(A B, pour tout j N. i)p(b i ) En particulier, ces résultats sont vrais si les {B i } i=1 partitionent Ω. Probabilité et Statistiques I Chapître 2 22

23 Exemple 2.10: Des voitures sont fabriqués dans les villes de Farad, Gilbert et Henry. De 1000 voitures produites à Farad 20% sont défectueuses, de 2000 produites à Gilbert 10% sont défectueuses, et de 3000 produites à Henry 5% sont défectueuses. Vous achetez une voiture. Si D est l événement la voiture est défectueuse, calculer (a) P(F H c ), (b) P(D H c ), (c) P(D), et P(F D). Supposez que vous avez les mêmes chances d acheter une des 6000 voitures produites. Exemple 2.11: Vous passez un test de détection d une maladie rare qui est présente par hasard chez 1 personne sur 100,000. Le test est assez fiable: si vous avez la maladie, il a une probabilité de 0.95 d être positif ; si vous n avez pas la maladie, le test sera faussement positif avec une probabilité de Si le test est positif, quelle est la probabilité que c est un diagnostic correct de la maladie? Probabilité et Statistiques I Chapître 2 23

24 Lois de Probabilité Conditionnelle Théorème 2.4: Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité, et soient B F tel que P(B) > 0 et Q(A) = P(A B). Alors (Ω, F, Q) est un espace de probabilité. En particulier, 1. si A F, alors 0 Q(A) 1; 2. Q(Ω) = 1; 3. si {A i } i=1 sont disjoints 2 à 2, alors Q ( i=1 A i ) = Q(A i ). j=1 Ainsi le conditionnement nous permet de construire beaucoup de lois de probabilités différentes, à partir d une loi de probabilité donnée. Probabilité et Statistiques I Chapître 2 24

25 Conditionnement Multiple Théorème 2.5 (Prédiction décomposition): Soient A 1,...,A n des événements d un espace de probabilité. Alors P(A 1 A 2 ) = P(A 2 A 1 )P(A 1 ) P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 3 A 1 A 2 )P(A 2 A 1 )P(A 1 ). P(A 1 A n ) = n P(A i A 1 A i 1 )P(A 1 ) i=2 Probabilité et Statistiques I Chapître 2 25

26 Exemple 2.14: On lance 2 dés équilibrés. Définir les événements A, B, C qui sont le total est au plus 6, le total est impair, et on obtient 4 pour le premier dé. (a) Comment la connaissance que B ou C soit réalisé, affecte la probabilité de A? (b) Calculer P(A B C). Probabilité et Statistiques I Chapître 2 26

27 Appariements Exemple 2.15: n hommes vont à un diner. Chacun laisse son chapeau au vestiaire. Lorsqu ils repartent, ayant bien échantillioné du vin régional, ils choisissent leurs chapeaux de façon aléatoire. (a) Quelle est la probabilité que personne n ait son chapeau? (b) Quelle est la probabilité qu exactement r hommes choisissent leur propre chapeau? (c) Que se passe-t-il lorsque n est très grand? Remarque: Les variations de cet exemple ont beaucoup d applications. Probabilité et Statistiques I Chapître 2 27

28 Equations aux Différences Le conditionnement est une notion importante en probabilité. Souvent il aboutit à des équations de différence qui doivent être résolues. Ci-dessous, un résultat qui peut être utile : Théorème : Soient a, α, c, d, {a k } k=0 {u k } k=0. des réels, et une suite (a) Si u k+1 a k u k = 0 pour k = 0, 1,..., alors u k = u 0 k 1 j=0 a j. (b) Si u k+1 u k = cα k pour k = 0, 1,..., alors { c(α u k u 0 = k 1)/(α 1), α 1, kc, α = 1. (c) Si a α et u k+1 au k = c + dα k pour k = 0, 1,..., alors u k = u 0 a k + c(1 a k )/(1 a) + d(α k a k )/(α a). Probabilité et Statistiques I Chapître 2 28

29 Exemple 2.12 (Ruine de Gambler): Vous entrez dans un casino avec $k, et à chaque tour de roulette, vous pariez $1 sur l événement R: le résultat est rouge. La roulette n est pas équilibrée, ainsi P(R) = p < 1 2. Si vous perdez vos $k vous devez partir, et si jamais vous possèdez $K $k, vous partez immédiatement. Quelle est la probabilité que vous partez sans argent? Exemple 2.13 (La mouche): Une pièce a 4 murs, un plancher, et un plafond. Une mouche se déplace entre ces surfaces. Si elle quitte le plancher ou le plafond alors il est équiprobable qu elle se pose sur un des 4 murs ou la surface qu elle vient juste de quitter. Si elle quitte un mur alors il est équiprobable qu elle se pose sur un des 3 autres murs, sur le plancher ou sur le plafond. Elle est initiallement au plafond. Calculer f k, la probabilité qu elle soit sur le plancher après k déplacements. Probabilité et Statistiques I Chapître 2 29

30 2.3 Indépendance Contenu Evénements indépendants Définition Types d indépendance Notions de fiabilité Applications Références: Ross (Chapitre 3); notes de Ben Arous (Sections II.5, II.4). Probabilité et Statistiques I Chapître 2 30

31 Evénements Indépendants Intuitivement, dire que A et B sont indépendants signifie que la réalisation d un des deux n affecte pas la réalisation de l autre. C est à dire que, P(A B) = P(A), donc la connaissance de la réalisation de B laisse P(A) inchangée. Exemple 2.16 (Dé à nouveau): On lance deux dés équilibrés. Soient A et B les événements le total est impair et le résultat du premier dé est un nombre impair. Calculer P(A) et P(A B). Exemple 2.17 (Garçons): Une famille a deux enfants. (a) On sait que le premier est un garçon. Quelle est la probabilité que le second soit un garçon? (b) On sait qu un des deux est un garçon. Quelle est la probabilité que l autre soit un garçon? Probabilité et Statistiques I Chapître 2 31

32 Indépendance Définition : Soient (Ω, F, P) un espace de probabilité. Deux événements A, B F sont indépendants (que l on note A B) ssi P(A B) = P(A)P(B). Conformément à notre intuition, cela implique que P(A B) = P(A B) P(B) et par symétrie P(B A) = P(B). = P(A)P(B) P(B) = P(A), Exemple 2.18: Un jeu de cartes est bien battu et une carte est tirée au hasard. Est ce que les événements A la carte est un as, et H la carte est un coeur sont indépendants? Que peut on dire à propos des événements A et K la carte est un roi? Probabilité et Statistiques I Chapître 2 32

33 Types d Indépendances Définition : (a) Les événements A 1,...,A n sont (mutuellement) indépendants si pour tout ensemble d indices F {1,..., n}, on a P( P(A i ). i F A i ) = i F (b) Les événements A 1,...,A n sont indépendants 2 à 2 si P(A i A j ) = P(A i ) P(A j ), 1 i < j n. (c) Les événements A 1,...,A n sont conditionnellement indépendants sachant B si pour tout ensemble d indices F {1,...,n} on a ( ) P A i B = P(A i B). i F i F Probabilité et Statistiques I Chapître 2 33

34 Remarque: L indépendance est un idée clée qui simplifie considérablement beaucoup de calculs de probabilité. En pratique, il est sage de vérifier à la base que les événements sont indépendants, étant donné qu une dépendance non détectée peut modifier grandement le calcul des probabilités. Remarque: L indépendance mutuelle entraîne l indépendance deux à deux, mais l inverse est vrai seulement quand n = 2. Remarque: L indépendance mutuelle entraîne l indépendance conditionnelle, mais l inverse est vrai seulement si B = Ω. Exemple 2.19: Une famille a deux enfants. Montrer que les événements le premier enfant est un garçon, le second enfant est un garçon, et il y a exactement un garçon sont indépendants 2 à 2 mais pas mutuellement. Probabilité et Statistiques I Chapître 2 34

35 Exemple 2.20 (Anniversaires): n personnes sont dans une pièce. Quelle est la probabilité qu ils aient tous une date d anniversaire différente? Probability n Probabilité et Statistiques I Chapître 2 35

36 Exemple 2.21: A une année donnée, la probabilité qu un conducteur fasse une déclaration de sinistre à son assurance est µ, indépendamment des autres années. La probabilité pour une conductrice est de λ < µ. Un assureur a le même nombre de conducteurs que de conductrices, et en sélectionne un(e) au hasard. (a) Donner la probabilité qu il (elle) déclare un sinistre cette année? (b) Donner la probabilité qu il (elle) déclare des sinistres durant 2 années consécutives? (c) Si la compagnie sélectionne une personne ayant fait une déclaration au hasard, donner la probabilité qu elle fasse une déclaration l année suivante? (d) Montrer que la connaissance qu une déclaration de sinistre ait été faite une année augmente la probabilité d une déclaration l année suivante. Probabilité et Statistiques I Chapître 2 36

37 Exemple 2.22 (Filtre anti-spam): Quelques types de filtre anti-spam dites Bayesian se basent sur une liste de n mots (Viagra, Nigeria, miracle, pharmacy, porn,...). Pendant un période on informe le filtre si chaque est un spam ou pas, et les probabilités qu un mot tiré au hasard d un est le mot i = 1,...,n sont ainsi estimés pour les vrais s et les spams. Ceci donne p i = probabilité qu un mot tiré au hasard est i, sachant est un spam, q i = probabilité qu un mot tiré au hasard est i, sachant est bon pour i = 1,...,n. Si la proportion des spams est de π, trouver la probabilité qu un où apparaissent m 1,...,m n fois les mots 1,...,n soit un spam, supposant que les mots sont indépendants. Si π = 0.9, et pour les mots Viagra et miracle (i = 1, 2) on a p 1 = 0.05, q 1 = 0.001, p 2 = 0.1, q 2 = 0.5, quelle est la probabilité qu un avec m 1 = 2, m 2 = 1 est un spam? Probabilité et Statistiques I Chapître 2 37

38 Exemple 2.23 (Génétique mendelien): Supposons que deux allèles b, B (bleu, brun) controlent le couleur de nos yeux; notre génotype peut être bb, bb, Bb, ou BB. B est dominant, et b recessif; donc une personne avec combinaison bb a des yeux bleus, mais les autres génotypes donnent des yeux bruns. Chaque enfant hérite un allèle choisit au hasard des deux de chacun de ses parents. On suppose que 25% des anglais ont des yeux bleus. (a) Mes parents ont des yeux bruns. Quelle était la probabilité que leur premier enfant (moi) aurait des yeux bruns? (b) Mon frère et ma première soeur ont des yeux brun aussi. Sachant ceci, quelles sont les probabilités que mes parents ont des génotypes {(bb, bb), (bb, bb), (bb, bb), (bb, bb),(bb,bb), (bb, BB), (BB, BB)}, où (x, y) indique les génotypes (père, mère)? Probabilité et Statistiques I Chapître 2 38

39 (c) Ma deuxième soeur a des yeux bleus. Sachant ceci en plus de l information ci-dessus, donner la probabilité que mon génotype est BB? (d) Ma femme a des yeux bruns, mais son père avait des yeux bleus. Quelle est la probabilité que mon génotype est BB, sachant que nos trois enfants ont des yeux bruns? Probabilité et Statistiques I Chapître 2 39

40 Systèmes en Séries et Parallèles Un système électrique a des composants 1,...,n, qui tombent en panne indépendamment. Soient A i l événement le ième composant est défaillant, avec P(A i ) = p i. L événement B, la défaillance du système se produit si le courant ne peut pas passer d un bout du système à l autre. Si les composants sont arrangés en parallèle, alors n P P (B) = P(A 1 A n ) = p i. Si les composants sont arrangés en série, alors P S (B) = P(A 1 A n ) = 1 i=1 n (1 p i ). Si 1 > p + > p i > p > 0, i, et n, alors P P (B) 0, P S (B) 1. i=1 Probabilité et Statistiques I Chapître 2 40

41 Fiabilité Exemple 2.24 (Chernobyl): Une centrale nucléaire dépend d un système de sécurité dont les composants sont arrangés suivant la figure (tableau noir). Les composants tombent en panne indépendamment avec la probabilité p, et le système devient défaillant si le courant électrique ne peut pas passer de A à B. (a) Quelle est la probabilité que le système devienne défaillant? (b) Les composants sont fabriqués par lots, qui peuvent être bons ou mauvais. Pour un bon lot, p = 10 6, tandis que pour un lot mauvais p = La probabilité qu un lot soit bon est Quelle est la probabilité que le système soit défaillant (i) si les composants proviennent de différents lots? (ii) si tous les composants proviennent du même lot? Probabilité et Statistiques I Chapître 2 41

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