Loi Gamma, loi du 2 et loi de Student

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1 Loi Gmm, loi du t loi d Studt A. Foctio Gmm A.. Défiitio L foctio Gmm st défii pour ls réls positifs pr l itégrl : () t t dt pour A. Rltio d récurrc Cosidéros (+) : ( ) t t dt E itégrt pr prti ous otos : ( ) () pour Pour ctt riso l foctio Gmm st ussi pplé fctorill géérlisé. A.3 Argumt tir ou dmi-tir Clculos () : t t ( ) dt L rltio d récurrc ous prmt d clculr () pour tout tir : ( ) ( )! Clculos mitt (/) : t dt t Pr chgmt d vril (t = u ) ous otos : u du u du S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4 -

2 L clcul d ctt itégrl s trouv ds l du chpitr sur l distriutio orml. C résultt ssocié à l formul d récurrc ous prmt d clculr l foctio pour tout dmi-tir. Nous vos : ()!! U résultt très similir églmt été démotré ds l du chpitr sur l distriutio orml (cf. clcul d I ). A.4. Cours L llur d l foctio Gmm st présté sur l figur suivt. L prmièr cour été trcé tr. t 6. L scod, trcé tr. t 4.5, motr u pu miu l vllé. Fig. 4- : Foctio Gmm sur [., 6] (à guch) t sur [., 4.5] (à droit) Etudios l vritio d l itégrd srvt à l défiitio d l foctio Gmm : Ell pour dérivé : f (t) dt f (t) t t d t t ( t) Cll-ci s ul pour t = -. Doc sur l domi d itégrtio ous vos : - Pour > : f() =, foctio croisst puis décroisst vc mimum t = - ; - Pour = : f() =, foctio toujours décroisst ; - Pour < : f() +, foctio toujours décroisst. S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4 -

3 Il st fcil d clculr umériqumt l foctio Gmm pour. Pour < o put utilisr l rltio d récurrc vc : ( ) () B. Loi Gmm B.. Dsité d proilité L loi Gmm d prmètrs > t >, oté (, ), pour dsité d proilité : f () () pour L prmètr corrspod à u fctur d échll. L figur suivt illustr l dsité d proilité d u loi Gmm pour qulqus vlurs ds prmètrs. Fig. 4- : Dsité d proilité d (,) vrt : =.5 t =, roug : = t =, lu : =.5 t =. B. Momts Clculos l momt d ordr : E ( ) () d Effctuos u chgmt d vril : S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4-3

4 u E( ) () u u du ( ) () Nous vos doc : ( ) E( ) () ( )( )...( ) E prticulir pour ls du prmirs momts t l vric ous vos : E() ( ) E( ) vr() B.3 Foctio crctéristiqu Détrmios l foctio crctéristiqu d u loi Gmm. Nous vos : X ( u) E( ju ) () ju d X ( u) () ( ju) d Effctuos u chgmt d vril : v ( ju) X (u) () v v ( ju) dv ju X (u) ( ju) () v v dv ( ju) Nous vos doc pour l foctio crctéristiqu d u loi Gmm d prmètrs t : X ( u) ju S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4-4

5 C. Loi du C.. Dsité d proilité t foctio d réprtitio L loi du à dgrés d lirté st u cs prticulir importt d l loi Gmm : Ell doc pour dsité d proilité : (), f () / / L figur suivt illustr ctt dsité pour qutr vlurs d. Pour, l dsité st miml pour = - qui costitu lors l vlur l plus prol. L figur 4-4 prést ls foctios d réprtitio corrspodts. Fig. 4-3 : Dsité d proilité d () pour = (ju), = (vrt), = 5 (roug) t = (lu). Nous déduisos ds résultts otus pour l loi Gmm ls du prmirs momts t l vric d u loi d : E() E( ) ( ) vr() D mêm l foctio crctéristiqu s écrit : S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4-5

6 / X (u) ( ju) Fig. 4-4 : Foctio d réprtitio d u loi d () pour = (ju), = (vrt), = 5 (roug) t = (lu). Pour =, ous vos pour l dsité d proilité t l foctio d réprtitio : f () / t F() rf Pour =, ous vos pour l dsité d proilité t l foctio d réprtitio : f () / t F() / Pour grd ( > ) l loi () put êtr pproimé pr l loi orml d moy t d vric : N (, ). C.. Itrvlls d cofic L distriutio d st souvt utilisé pour défiir ds itrvlls d cofic. Du typs d itrvlls puvt êtr défiis. L prmir itrvll, à u sul pivot, [, ] corrspodt à u ivu cofic, ou fctur d risqu, st tl qu : P ( ) Ctt défiitio st illustré pr l figur 4-5, costruit pour = t = 9 %. Pour u itrvll, sé sur du pivots, [, ] l défiitio : P ( ) S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4-6

7 st ps suffist. Nous pouvos, pr mpl, choisir ls du ors d l itrvll prt u défiitio symétriqu : P( ) P( ) Ctt défiitio st illustré pr l figur 4-6, églmt costruit pour = t = 9 %. Fig. 4-5 : L surfc lu rprést l ivu d cofic, lors qu l ir vrt corrspod à. Fig. 4-6 : L surfc lu rprést l ivu d cofic, lors qu chqu ir vrt corrspod à. Ds tous ls cs l détrmitio d u or corrspod à l résolutio d u équtio du typ : S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4-7

8 P( c) F(c) c F ( ) L solutio c st pplé qutil d ordr, prfois oté : c L tl 4-, fi d chpitr, rssml qulqus qutils pour divrss vlurs d t. () C.3. Simultio U mièr (ps l plus fficc) d simulr u vril psudo-létoir suivt u loi du chi à dgrés d lirté cosist à prdr l somm ds crrés d vrils psudolétoirs ormls ctrés idépdts : i i vc i N (,) t id. L figur suivt prést l distriutio otu d ctt fço pour =, compré vc l dsité d proilité théoriqu ormlisé u omr d évémts gdrés. Fig. 4-7 : Simultio d u loi d () pour =. D. Loi d Studt Cosidéros du vrils létoirs idépdts vril orml ctré réduit t z suivt u loi d à dgrés d lirté ( ). L vril létoir t défii pr : t z S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4-8

9 suit u loi d Studt à dgrés d lirté, yt pour dsité d proilité : f (t;) ( ) ( ) () / t L figur 4-8 prést l llur d ctt dsité d proilité pour trois vlurs d. Lorsqu td vrs l ifii ll td vrs l distriutio orml ctré réduit ( oir sur l figur). Compré à cll-ci u distriutio d Studt prést ds quus plus importts pour ptit. L figur 4-9 prést l llur d l foctio d réprtitio pour ls mêms vlurs d. Fig. 4-8 : Dsité d proilité d u loi d Studt pour = (vrt), = (roug) t = 5 (lu), compré à u loi orml ctré réduit (oir). Fig. 4-9 : Foctio d réprtitio d u loi d Studt pour = (vrt), = (roug) t = 5 (lu). S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4-9

10 Pour = il s git d u distriutio d Cuchy ou Brit-Wigr. L spérc mthémtiqu st défii qu pour > t l vric pour > : E(t) vr(t) pour pour L distriutio d Studt st souvt utilisé pour défiir ds itrvlls d cofic. Pr défiitio u itrvll symétriqu [-, ] corrspodt à u ivu cofic, ou fctur d risqu, st tl qu : P ( t ) Fig. 4- : L surfc lu rprést l ivu d cofic, lors qu chqu ir vrt corrspod à. Ctt défiitio corrspod à l surfc lu d l figur 4-. L distriutio d Studt étt symétriqu, ls du zos vrts sur ctt figur ot l mêm ir : P (t ) P(t ) D mièr évidt ous vos : t L or s otit pr mpl ivrst l foctio d réprtitio : F (;) S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4 -

11 L qutité st pplé qutil d ordr - d l loi d Studt à dgrés d lirté. Nous l otos : t Rmrquos qu : Nous vos doc : P(t ) F( ;) t t t L résultt st tulé ds l tl 4- pour divrss vlurs d t du ivu d cofic. S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4 -

12 \ Tl 4- : Qutils pour u loi du à dgrés d lirté. Chqu cs, idtifié pr t, do c tl qu P( < c) =. S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4 -

13 Tl 4- : Qutils pour u loi d Studt à dgrés d lirté. Chqu cs, idtifié pr t ou t -, do c tl qu P( < c) = ou P( > c) =. S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4-3

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