Calcul différentiel sur R n Première partie

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1 Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité en un point ) : Soit f une application d un ouvert Ω de R n à valeur dans R m. On considère deux normes sur R n et R m que l on notera de fa on identique.. On dit que f admet au point a Ω une dérivée L 1. Si L est une application linéaire de R n dans R m 2. Et si pour tout élément h R n tel que a + h Ω on ait f(a + h) = f(a) + L.h + ε(h) h où ε(h) est une fonction de R n dans R m qui tend vers 0 l origine de R m quand h tend vers 0 l origine de R n. Notation 1.1 (notation o(h)) : On dit qu une fonction ϕ(h) de R n dans R m est négligeable devant h si On note o(h) une telle fonction. Avec cette notation on a ϕ(h) lim h 0 h = 0 f(a + h) = f(a) + L.h + o(h) (1) Cette relation est la propriété fondamentale d une fonction dérivable en a. Lemme 1.1 (arithmétique des fonctions o(h)) : 1. o(h) + o(h) = o(h) 2. o(h) = o(h) 3. Pour tout réels (λ, µ) on a λo(h) + µo(h) = o(h) 1

2 Cela résulte des propriétés des fonctions qui ont pour limite 0 Remarque 1.1 : La propriété fondamentale (1) peut s écrire de façon équivalente f(x) = f(a) + L.(x a) + o(x a) (2) Remarque 1.2 : Il faut faire attention que o(h) est un vecteur de R m. On a évidemment avec la définition de limite ϕ(h) lim = 0 h 0 h On ne peut pas «diviser» par h qui est un vecteur de R n. Remarque 1.3 : On ne peut définir la notion de dérivée que en un point d un ouvert. Cela signifie que ce point doit être contenu dans un ouvert lui-même contenu dans le domaine de définition de f Remarque 1.4 : L existence de la dérivée ne dépend pas des normes choisies, puisque toutes les normes sont équivalentes sur R n et R m. Remarque 1.5 : Puisque f(a + h) f(a) L.h = o(h) On dit que f(a) + L.h est une bonne approximation de f(a + h). Remarque 1.6 : La définition est équivalente à l existence de L L(R n, R m ) telle que où de façon équivalente f(a + h) f(a) L.h lim = 0 h 0 h f(x) f(a) L.(x a) lim = 0 x a h Notation 1.2 (de la dérivée en un point) : La dérivée sera notée de f en a sera notée Df(a) Attention c est une application linéaire. Proposition 1.1 : Si f est dérivable en a, sa dérivée est unique et f est continue en a 2

3 preuve Supposons que M (R n, R m ) est aussi telle que f(a + h) f(a) M.h = o(h) Attention o(h) de cette formule n est pas forcément la même que la fonction o(h) apparaissant dans la formule avec L. Par commodité notons (h) = f(a+ h) f(a). On a L.h = (h) + o(h) L.h M.h = o(h) o(h) = o(h) Soit x 0 un élément quelconque de R n. Par hypothèse ( ) h (L M) h a pour limite 0 quand h tend vers 0. Posons h = λx avec λ > 0. Alors ( ) ( ) ( ) h λx x (L M) = (L M) = (L M) = 1 (L M)(x) h λx x x C est une constante qui ne dépend que de x et pas de λ. Par conséquent ( ) h lim(l M) = 0 = 1 (L M)(x) λ 0 h x ce qui entraîne (L M)(x) = 0 pour tout x. On a montré L = M On a (fa + h) f(a) L.h + o(h) Comme les applications linéaires de L(R n, R m ) sont toutes continues, cette inéagalité prouve que f(a + h) f(a) tend vers 0 quand h tend vers 0. Ce qui est la définition de continuité. 1.1 Cas ou f est une application de R dans R m La dérivabilité de f en a implique l existence d une application de R dans R m. Mais on sait alors que En effet soit L(R, R m ) R m Φ : L(R, R m ) L L(1) L application Φ est clairement une application linéaire et son inverse est définie par R m 3

4 Φ 1 : R m L(R, R m ) v (t t.v) On identifie traditionnellement L(R, R m ) avec R m. Si on pense en terme de matrices alors L(R, R m ) est isomorphe aux matrices m lignes et 1 colonne, autrement dit aux vecteurs colonnes. L existence de la dérivée est donc équivalente à l existence d un vecteur v tel que f(a + h) f(a) h.v = o(h) Mais ici, dans ce cas particulier h est un réel, on peut diviser par h. La dérivabilité est donc équivalente à l existence d un vecteur v tel que lim h 0 h 0 f(a + h) f(a) h Dans ce cas et dans ce cas seulement il y a ambiguïté sur la définition de la dérivée qui peut désigner un vecteur de R m ou l application linéaire associée. Cependant cette ambiguïté n est guère gênante dans la pratique. Dans le calcul matriciel on représente un vecteur x de R n par une matrice colonne, x 1 x 2. x m c est à dire la matrice de l application linéaire L : t t.x. On a écrit les coordonnées de l image par L de la base canonique de R par L dans la base canonique de R m. On autrement dit on écrit les composantes de L.1 : x dans R m. 1.2 Matrice Jacobienne Définition 1.2 : Si on choisit une base {e i },,n de R n et une base {f j },,m de R m la matrice de Df(a) dans ces bases s appelle la matrice Jacobienne de f en a relativement aux bases {e i } et {f j }. On la note Jacf(a) Définition 1.3 : On dit que f est différentiable dans l ouvert Ω si elle différentiable en tout point de Ω. L application s appelle l application dérivée de f. = v Df : Ω L(R n, R m ) x Df(x) 4

5 2 Règles de dérivation Théorème 2.1 : 1. Si f est une application constante, f est dérivable et Df(x) = 0 pour tout x R n 2. Si f = L est une application linéaire alors DL(x) = L pour tout x R n. 3. La dérivée d une fonction affine f(x) = Lx + v est Df(x) = L 4. La dérivation est opération linéaire { D(f + g)(a) = Df(a) + Dg(a) D(λf)(a) = λdf(a) 5. Si f de R n dans R m est définie ses applications composantes par f = (f 1, f 2,, f m ) pour que f soit différentiable en a, il faut et il suffit que chaque f i soit différentiable en a et l on a Df(a) = (Df 1 (a), Df 2 (a),, Df m (a)) 2.1 Dérivée d une application bilinéaire Lemme 2.1 : Soit B une application bilinéaire de R n R m dans R p. Alors B est continue en tout point (x, y) de R n R m et il existe M > 0 tel que B(x, y) M x y preuve On va le démontrer pour la norme puisque sur les espaces vectoriels de dimension finie toutes les normes sont équivalentes. Soit {e i },,n et {f j },,m les bases canoniques de E = R n et F = R m muni de la norme. En utilisant les propriétés de bilinéarité l on a B(x, y) = i=n j=m j=1 x i y j B(e i, f j ) En notant M = max B(e i, f j ) et en utilisant l inégalité triangulaire on a i,j B(x, y) M x y On peut quitte à augmenter M obtenir M > 0 5

6 Théorème 2.2 : Soit B une application bilinéaire de R n R m dans R p. Alors B est dérivable en tout point de R n R m dans R p et DB(a 1, a 2 ).(h 1, h 2 ) = B(a 1, h 2 ) + B(h 1, a 2 ) preuve On pose a = (a 1, a 2 ) E F et h = (h 1, h 2 ). On va calculer B(a 1 +h 1, a 2 +h 2 ). On a B(a 1 + h 1, a 2 + h 2 ) = B(a 1, a 2 ) + B(a 1, h 2 ) + B(a 2, h 2 ) + B(h 1, h 2 ) Il est facile de voir (exercice ) que l application L a1,a 2 de E F dans G = R p est linéaire. On a donc (h 1, h 2 ) L a1,a 2 (h 1, h 2 ) = B(a 1, h 2 ) + B(a 2, h 2 ) B(a + h) = B(a) + L a (h) + B(h) Il reste à montrer que B(h) = o(h). Cela provient du lemme. On choisit par exemple sur E F la norme (x, y) = x + y. C est une norme sur E F (voir exercices). Alors h 1 B(h 1, h 2 ) h 1 + h 2 M h 1 h 2 h 1 + h 2 M h 2 On a utilisé h 1. Maintenant quand h 0 on a bien h 1 + h Ce qui montre B(h) = o(h). 2.2 Dérivée du carré scalaire 2 2 On a la relation x + h 2 2 = x + h x + h = x x h + h 2 2 On a évidemment h 2 2 = o(h), la dérivée est donc l application linéaire 2 x soit D ( 2 2) (x) : h 2 x h 6

7 3 Théorème de dérivation des fonctions composées Théorème 3.1 : Si f est différentiable en a de E = R n dans F = R m et si g est différentiable en f(a) de F dans G = R p alors g f est différentiable en a de E dans G et l on a D(g f)(a) = Dg(f(a)) Df(a) Ce théorème est connu dans la littérature anglo-saxonne comme le «chain rule theorem». preuve Posons b = f(a). Puisque f et g sont différentiable en a respectivement en b on a les relations et f(x) = f(a) + Df(a).(x a) + o(x a) g(y) = g(b) + Dg(b).(y b) + o(y b) Calculons g f(x) g f(a). On utilise la dernière relation en posant y = f(x) et b = f(a) g (f(x)) g (f(a)) = Dg(f(a)). (f(x) f(a)) + o (f(x) f(a)) On remplace (f(x) f(a)) par sa valeur donnée par la première relation, et on tient compte du fait que Dg(f(a)) est linéaire : g (f(x)) g (f(a)) = Dg(f(a)).Df(a).(x a) + Dg(a). (o(x a)) + o (f(x) f(a)) Comme les applications Df(a) et Dg(f(a)) sont linéaires il existe des constantes M 1 et M 2 telles que On a donc l inégalité Df(x).x M 1 x Dg(f(a)).y M 2 y Dg(a). (o(x a)) M 2 o(x a) Ce qui prouve Dg(a). (o(x a)) = o(x a). D après la première relation on a f(x) f(a) = Df(a).(x a) + o(x a) et donc par majoration f(x) f(a) x a M 1 x a x a + o(x a) x a Ceci prouve que f(x) f(a) x a est bornée quand x a. Mais comme on peut écrire 7

8 o ( f(x) f(a) ) o ( f(x) f(a) ) f(x) f(a) = x a f(x) f(a) x a Comme f est continue, si x a alors f(x) f(a), la dernière inégalité est donc quand x a est majorée par le produit d une quantité bornée par une quantité qui tend vers 0. On a donc montré Par conséquent o ( f(x) f(a) ) = o(x a) Dg(a). (o(x a)) + o (f(x) f(a)) = o(x a) + o(x a) = o(x a) Ce qui termine la démonstration et l on a D(g f)(a) = L h (a) 3.1 Une première application : permutabilité de la dérivation et d une application linéaire Corollaire 3.1 : Si f est une application de E = R n dans F = R m ayant une dérivée en a et si L est une application linéaire de F dans G = R p alors l application composée L f a une dérivée en a, donnée par C est évident. 3.2 Deuxième application D(L f)(a) = L Df(a) Proposition 3.1 : Si f est une bijection d un ouvert Ω de R n sur un ouvert Ω de R m, qui est dérivable en tout point de Ω ainsi que sa fonction réciproque f 1 en tout point de Ω. Alors la dérivée Df(a) est une bijection de R n sur R m. En particulier n = m. De plus la bijection réciproque Df 1 (a) de Df(a) n est autre que la dérivée, au point b = f(a) de f 1. Autrement dit on a (Df(a)) 1 = D(f 1 )(b) 8

9 3.3 Troisième application Exercice 3.1 : Trouver la dérivée de x x 2 Que se passe-t-il en 0? La dérivée en x 0 est l application linéaire x h h x 2 La norme n est pas dérivable en l origine. 3.4 Quatrième application :dérivée directionnelle Définition 3.1 (dérivée directionnelle) : On dit que f admet une dérivée directionnelle en a suivant le vecteur v si et seulement si l application ϕ v (t) = f(a + t.v) de R dans R m est dérivable en t = 0. Comme au paragraphe (1.1) on identifie cette dérivée avec un vecteur de R m. La dérivée est Df(a).v Cela revient à dire que la limite suivante existe lim t 0 t 0 f(a + t.v) f(a) t Proposition 3.2 : Si f est différentiable en a alors pour tout v 0 alors f admet une dérivée directionnelle en a que l on note D v (a) preuve On applique le théorème de composition. R θ v R n f R m t a + t.v f(a + tv) On remarque que θ v est une application affine, sa dérivée est l application linéaire h h.v que l on identifie avec le vecteur v. Le théorème de composition donne pour la dérivée Df(a) v = Df(a).v. 4 Dérivées partielles, Jacobien, gradient 4.1 Dérivées partielles On considère une application f définie sur un ensemble ouvert D de R n à valeurs dans R m On rappelle la notion d application partielle 9

10 Définition 4.1 : Soit f une application définie sur un ensemble D de R n à valeurs dans R m. Soit a D. On appelle i-ème application partielle associée à f relativement au point a l application de R dans R m l application ϕ i : x f(a 1, a 2,, a i 1, x, a i+1,, a n ) L application partielle est définie sur l ensemble des x tels que (a 1, a 2,, a i 1, x, a i+1,, a n ) D. Proposition 4.1 : Si f est différentiable en a, alors pour chaque indice i l application partielle relativement à a est différentiable en a i. On note D i f(a) sa dérivée en a i. C est une application linéaire de R dans R m. On l appelle i-ème dérivée partielle de f par rapport à la i-ème variable x i. On a Df(a).(h 1, h 2,, h n ) = n Df i (a).h i (3) Remarque 4.1 : La i-ème dérivée partielle est la dérivée directionnelle en a suivant le i-ème vecteur e i de la base canonique de R n. Remarque 4.2 : On a D i f(a) L(R n, R m ) Remarque 4.3 : La dérivée partielle par rapport à la i-ème variable Df i (a) se note aussi très souvent La formule (3) devient f x i (a) Df(a).(h 1, h 2,, h n ) = n f x i.h i Ces notations sont très utilisées mais elles conduisent souvent à des confusions inextricables quand par exemple on fait des changement de variables. Quel sens doit-on attribuer à y f(y, x) où à x f(x, x)? Remarque 4.4 : Le calcul pratique de la dérivée partielle est très facile. En fait l application partielle est une application d une variable (par exemple x i ). On a donc à calculer la dérivée d une fonction d une variable. On a vu que l on peut écrire 10

11 f(x D i f(x) = lim 1,,x i 1,x i+h,x i+1,,x n) f(x 1,,x i 1,x i,x i+1,,x n) h 0 h x i 0 Cela signifie que si f(x 1,, x n ) est donnée par une formule qui comporte des variables notées x 1,..., x n, la i-ème dérivée partielle, c est à dire dans ce cas, la dérivée par rapport à x i s obtient en dérivant la formule par rapport à x i, quand tous les x j, pour j i sont considérées comme des constantes. Par exemple si f(x, y) = sin(xy 2 ) alors D 1 f(x, y) = y 2 cos(xy 2 ) et D 2 f(x, y) = 2xy cos(xy 2 ). De même si f(x, y) = x y alors D 1 f(x, y) = yx y 1 et D 2 f(x, y) = x y log x Si l on doit calculer la i-ème dérivée partielle en a, on peut mettre les valeurs des variables x j autres que x i à la valeur a j. Par exemple Calculer D 2 f(1, y) pour la fonction f(x, y) = x xxxy + log(x) arctg(arctg(arctg(sin(cos(xy) log(x + y))))) preuve de la proposition Il n y a rien à démontrer. Puisque D i f(a) = D ei f(a) on applique la proposition sur les dérivées directionnelles. Autrement dit D i f(a) = Df(a).e i. Maintenant si on écrit h = n h i e i on a, en utilisant le fait que Df(a) est une application linéaire On a donc, puisque Df(a) est linéaire Df(a).h = ( n ) Df(a) h i e i = n h i Df(a).e i = = n h i D i f(a) n D i f(a)h i Ce qui donne exactement la formule (3) puisque les h i sont des scalaires. Commentaire 4.1 : Attention! : Si f est différentiable alors les dérivées partielles existent mais la réciproque n est pas forcément vraie. 11

12 Exercice 4.1 : Soit f : R 2 R définie par = xy x 2 +y sin 1 si (x, y) (0, 0) 2 x 2 +y 2 f(x, y) = = 0 si (x, y) = (0, 0) n est pas différentiable en (0, 0) et pourtant D 1 f(0, 0) et D 2 f(0, 0) existent. Exercice 4.2 : Soit f : R 2 R définie par x = 5 (y x) 2 +x si (x, y) (0, 0) 8 f(x, y) = = 0 si (x, y) = (0, 0) En considérant l ensemble des points {(x, y) y x 2 } (parabole) montrer que f n est pas continue en (0, 0). Montrer que D 1 f et D 2 f existent en Gradient On considère des applications f différentiables de plusieurs variables à valeurs réelles. Autrement dit f : R n R Si f est dérivable en a, sa dérivée Df(a) est une application linéaire de R n dans R, autrement dit une forme linéaire. La matrice Jacobienne de f en a est un vecteur ligne et l on a, en identitifiant par abus de langage la dérivée et sa matrice dans la base canonique Df(a) = (D 1 f(a), D 2 f(a),, D n f(a)) C est tout simplement la formule (3), en utilisant le produit matriciel Df(a).(h 1, h 2,, h n ) = n Df i (a).h i = (D 1 f(a),, D n f(a)) h 1. h n = (D 1 f(a),, D n f(a)) (h 1,, h n ) T La dernière équation fait penser à un produit scalaire. C est le produit scalaire, si on identifie Df(a) avec le vecteur ligne Df(a) T h. Cela donne la 12

13 Définition 4.2 : On appelle gradient en a d une fonction différentiable f à valeur réelle, que l on note f(a) le vecteur colonne des dérivées partielles calculées en a : D 1 f(a) D 2 f(a) f = 4.3 Matrice Jacobienne. Df n (a) Df(a)T Proposition 4.2 : Soit f = (f 1, f 2, f m ) une application différentiable de R n dans R m. La matrice Jacobienne de Df(a) dans la base canonique de R n et R m vaut D 1 f 1 (a) D n f 1 (a) J f (a) = (D j f i (a)),,m = j=1,,n On trouve aussi la notation J f (a) = ( ) fi (a) =,,m x j j=1,,n. D 1 f m (a) f 1 x 1 (a). f m x 1 (a). D n f m (a) f 1 x n (a). f m x n (a) C est évident avec les définitions. Les lignes de la matrice sont les dérivées des applications composantes f i. Comme les f i sont à valeur réelles on identifie la dérivée avec un vecteur ligne Df i (a). Ce vecteur ligne est, voir le paragraphe (4.2) Df i (a) = (D 1 f i (a), D 2 f i,, D n f i (a)) La i-ème ligne est le transposé du gradient f i (a). La j-ème colonne est la j-ème dérivée partielle de f, D j f(a). C est bien l identification avec un vecteur des applications linéaires à une seule variable réelle comme dans le paragraphe (1.1). Remarque 4.5 : Le théorème de composition se traduit par une produit de matrices Jacobienne : J g f (a) = J g (f(a) J f (a) 13

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