LA DROITE. Chapitre Coefficient angulaire d une droite Concept

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1 Chapitre 17 LA DROITE Dans ce chapitre, nous supposons le plan muni un repère orthonormé (O, i, ) Coefficient angulaire une roite Concept Consiérons une roite 0, comprenant O. 0 y = mx (avec m IR fixé) T(a,b ) P(0,p) 0 O i S(a,b) Propriété 17.1 Toutes les roites parallèles à 0 ont une équation e la forme : y = mx + p (p IR) Démonstration. En effet, soit P (0, p) le point une roite parallèle à 0, situé sur l axe es oronnées. La roite est l image e 0 par la translation e vecteur p. Si S(a, b) est un point quelconque e 0, son image par cette translation est le point T (a, b ) avec a = a et b = b + p. Du fait que S appartient à 0, nous avons b = ma. D où, b + p = ma + p 130

2 CHAPITRE 17. LA DROITE 131 ou Par conséquent, T est un point e la roite b = ma + p y = mx + p. Vocabulaire 17.2 Le coefficient m u terme en x ans les équations es roites parallèles à 0 est invariable. Il caractérise la irection e la roite et onc l inclinaison e la roite par rapport à l axe es abscisses. Il est appelé coefficient e irection ou coefficient angulaire 1. Par contre, le terme inépenant p varie une roite à l autre; c est l oronnée u point intersection e et e l axe, appelée oronnée à l origine Coefficient angulaire ans l équation e la roite Si l équation e la roite est écrite sous la forme explicite par rapport à y : y = mx + p, le coefficient angulaire e est le coefficient e x et est généralement ésigné par la lettre m. Si l équation e la roite est sous la forme implicite: ax + by + c = 0 (avec a et b non simultanément nuls), il suffit e ramener l équation à sa forme explicite par rapport à y pour faire apparaître le coefficient angulaire. Si b 0, le coefficient angulaire m e est alors puisque l équation e peut alors s écrire m = a b y = a b x c b. Cepenant, si b = 0, il ne sera pas possible isoler y. Dans ce cas, la roite est parallèle à l axe et n a pas e coefficient angulaire. Son équation est u type x = k Coefficient angulaire à partir e eux points Consiérons une roite non parallèle à l axe y = mx + p et eux points istincts P (x 1, y 1 ) et Q(x 2, y 2 ) e celle-ci. Nous avons ès lors { y1 = m x 1 + p y 2 = m x 2 + p 1 Lorsque le repère est orthonormé et seulement ans ce cas, le coefficient e irection porte également le nom e coefficient angulaire. Le physicien appelle ce coefficient pente e la roite.

3 CHAPITRE 17. LA DROITE 132 En soustrayant membre à membre ces eux égalités nous obtenons y 2 y 1 = m(x 2 x 1 ). Comme x 1 x 2, Q(x 2,y 2 ) m = y 2 y 1 x 2 x 1 y 2 -y 1 = y Etant onné eux points une roite, le coefficient angulaire e celle-ci est le rapport entre l accroissement y e leurs oronnées et l accroissement x e leurs abscisses. m = y x O i P(x 1,y 1 ) x 2 -x 1 = x Remarque 17.3 Lorsque l accroissement es abscisses ( x) e eux points une roite vaut l unité, le coefficient angulaire est égal à l accroissement es oronnées ( y ) e ces eux points. m> m=0 +1 m< O 1 O 1 O Coefficient angulaire et vecteur irecteur une roite Définition 17.4 Un vecteur irecteur une roite est un vecteur qui a la même irection que la roite. Consiérons un vecteur irecteur u e composantes (x u, y u ) une roite non parallèle à l axe. Soit P (a, b) un point e. Le point Q tel que P Q = u, appartient à. Ses cooronnées sont (a + x u, b + y u ), puisque OQ = OP + u. Dès lors, le coefficient angulaire e est ou m = y x = b + y u b a + x u a m = y u x u u(x u,y u ) i P(a,b) Q(a+x u,b+y u )

4 CHAPITRE 17. LA DROITE 133 Le coefficient angulaire une roite est onc le rapport entre la euxième composante et la première composante un vecteur irecteur e cette roite. Remarque Une roite non parallèle à l axe y = mx + p amet le vecteur u (1, m) pour vecteur irecteur. 2. Une roite quelconque ax + by + c = 0 amet le vecteur u (b, a) pour vecteur irecteur. Si n est pas parallèle à l axe, son coefficient angulaire vaut a b et u (b, a) est un vecteur irecteur e. Si est parallèle à l axe, alors b = 0 et u (0, a) est un vecteur irecteur e (avec a 0) Coefficient angulaire en fonction e l angle formé par la roite et l axe Consiérons la roite e coefficient angulaire m. 0 Traçons la roite 0 parallèle à passant par O, le cercle trigonométrique et la tangente à ce cercle en I e cooronnées (1, 0) ϕ i ϕ U(1,tg ϕ) I(1,0) Soit φ l angle orienté amplitue inférieure à 90, éterminé par le vecteur i (1, 0) et un vecteur irecteur e. Nous irons que φ est l angle inclinaison e sur l axe ou plus simplement l angle formé par et l axe. La roite 0 forme onc aussi un angle φ avec l axe. La tangente en I au cercle trigonométrique rencontre 0 en U e cooronnée (1, tg φ). Le vecteur u = OU est un vecteur irecteur e et onc m = tg φ 1 ou m = tg φ Le coefficient angulaire une roite est la tangente trigonométrique e l angle orienté qu elle forme avec l axe. Remarque 17.6 La roite e coefficient angulaire 1 forme un angle e 45 avec l axe ; celle e coefficient angulaire 1 forme un angle e 45 avec l axe.

5 CHAPITRE 17. LA DROITE Conition e perpenicularité e eux roites Propriété 17.7 Les roites non parallèles à l axe y = mx + p et y = m x + p sont perpeniculaires si et seulement si mm = 1 ϕ ϕ i ϕ ϕ i Démonstration. Soient φ et φ les angles que forment respectivement les roites et avec l axe. Puisque et sont perpeniculaires, nous avons φ = φ + 90 ou φ = φ 90. Les roites et étant non parallèles à l axe, les angles φ et φ sont ifférents e 0 et e ±90. Dès lors, m = tg φ = tg (φ ± 90 ) = tg (90 φ) (Les tangentes angles opposés sont opposées) = 1 tg φ (Les tangentes angles complémentaires sont inverses l une e l autre.) = 1 m Donc, mm = 1 Corollaire 17.8 Les roites ax + by + c = 0 et a x + b y + c = 0 sont perpeniculaires si et seulement si Démonstration. aa + bb = 0 Si et sont non parallèles à l axe, le coefficient angulaire m (non nul) e la roite vaut a b, m celui e (non nul lui aussi!) vaut a b. Par la propriété précéente, nous avons a b. a b = 1 ou aa + bb = 0.

6 CHAPITRE 17. LA DROITE 135 Si est parallèle à l axe, b = 0. La roite est alors parallèle à l axe et a = 0. Dès lors, aa + bb = a0 + 0b = 0 Le même raisonnement peut être fait si est parallèle à l axe et à Corollaire 17.9 Toute roite perpeniculaire à amet n (a, b) comme vecteur irecteur. ax + by + c = 0 Démonstration. Soit une roite perpeniculaire à. Si a et b sont es réels non nuls, la roite a un coefficient angulaire qui vaut a b. Le coefficient angulaire m e vérifie onc la relation a b m = 1 ou m = b a et le vecteur n (a, b) est un vecteur irecteur e. Si b est nul, a est non nul. La roite ax + c = 0 est parallèle à l axe et la roite à l axe. Le vecteur n (a, 0) est également parallèle à l axe et est onc un vecteur irecteur e. Si a est nul, b non nul. La roite by + c = 0 est parallèle à l axe et la roite à l axe. Le vecteur n (0, b) est également parallèle à l axe et est onc un vecteur irecteur e Equations e la roite Droite 0 passant par O Soit U 0 (U O). OU est un vecteur-irecteur e O. A tout point P e 0, on peut associer un réel r tel que OP = r. OU et inversement. L équation est appelée équation vectorielle e 0. OP = r. OU (r IR) Si, ans le repère (O, i, ), on a U = (x U, y U ) et P = (x, y), alors ans la base i, on a OU = (x U, y U ) et OP = (x, y). L équation vectorielle e 0 evient alors { x = r xu qui sont les équations paramétriques e 0. y = r y U (r IR) Les composantes (x U, y U ) un vecteur-irecteur e 0 sont appelées paramètres irecteurs e 0 ( et e toute roite parallèle à 0!). Ils sont éfinis à un multiple près. Pour obtenir l équation cartésienne e 0, c-à-. l équation que oivent vérifier les cooronnées (x, y) un point quelconque e cette roite, il suffit éliminer le paramètre r entre les équations paramétriques e 0. On obtient onc

7 CHAPITRE 17. LA DROITE x = 0 (si x U = 0) : équation cartésienne e l axe, 0 y = 0 (si y U = 0) : équation cartésienne e l axe, 0 y = y U xu.x (si x U 0) ou encore y = mx si m est le coefficient angulaire Droite passant par un point A et parallèle à 0 Consiérons la roite 0 e vecteur-irecteur OU. Puisque 0, OU est encore appelé vecteur-irecteur e. A tout point P e, on peut associer un réel r tel que AP = r. OU et inversement. Cette équation peut encore s écrire sous la forme OP = OA + r. OU (r IR) et est appelée équation vectorielle e. Si, ans le repère (O, i, ), on a U = (x U, y U ), P = (x, y) et A = (x A, y A ) alors, ans la base i, on a OU = (xu, y U ), OP = (x, y) et OA = (xa, y A ). L équation vectorielle e evient alors { x = xa + r. x 0 y = y A + r. y 0 (r IR) qui sont les équations paramétriques e. En éliminant le paramètre r entre les équations paramétriques e, on obtient : x = x A (si x 0 = 0) : équation cartésienne une parallèle à l axe ; y = y A (si y 0 = 0) : équation cartésienne une parallèle à l axe ; y y A = y 0 x 0 (x x A ) (si x 0 0) ou y y A = m(x x A ) si m est le coefficient angulaire Droite passant par 2 points A et B Voir cas précéent avec OU = OB OA L équation est appelée équation vectorielle e AB. OP = OA + r.( OB OA) (r IR) Les équations { x = xa + r.(x B x A ) y = y A + r.(y B y A ) sont les équations paramétriques e AB. (r IR) En éliminant le paramètre r entre les équations paramétriques e AB, on obtient : AB x = x A (si x B = x A ) : équation cartésienne une parallèle à l axe ; AB y = y A (si y B = y A ) : équation cartésienne une parallèle à l axe ; AB y y A = y B y A x B x A (x x A ) (si x B x A ) roite ont la pente est y B y A x B x A.

8 CHAPITRE 17. LA DROITE Exercices 1. Détermine sur la roite 2x 3y + 5 = 0 (a) les cooronnées es points A, B et C abscisses respectives 1, 5, 3; (b) les cooronnées es points D, E et F oronnées respectives 1, 5, 3; (c) l abscisse et l oronnée à l origine. 2. Détermine le coefficient angulaire e la roite (a) l 3x + 5y 2 = 0, (b) m passant par les points e cooronnées ( 5, 1) et (3, 2), (c) n perpeniculaire à la roite équation 3x 4y + 5 = 0, () p amettant u ( 2, 3) comme vecteur irecteur, (e) q faisant un angle orienté e 60 avec l axe. 3. Ecris l équation e la roite (a) g e coefficient angulaire 2 ont l oronnée à l origine est 3; (b) h parallèle à la roite 3x + 6y 1 = 0 et qui passe par A( 3, 5); (c) i passant par les points B(5, 0) et C(0, 3); () passant par les points D( 3, 2) et E( 3, 7); (e) k perpeniculaire à la roite x 2y + 6 = 0 et passant par l origine. 4. Parmi les roites qui passent par le point M(2, 1), quelle est l équation e celle qui (a) passe par A(1, 2); (b) passe par B(2, 3); (c) est parallèle à la roite k 3x + y 5 = 0; () est perpeniculaire à la roite l 2x 3 = 0; (e) passe par le point intersection es roites m 2x + 5y 4 = 0 et n y 2x + 4 = Détermine l équation cartésienne e la perpeniculaire à 3x 2y + 3 = 0 passant par A = (1, 2). 6. Si A = ( 2, 4) et B = (4, 3) étermine l équation cartésienne e la méiatrice e [AB]. 7. Détermine la mesure e l angle aigu formé par les roites 1 3x+y+3 = 0 et 2 x+3y 6 = Détermine les équations cartésienne es roites passant par (0, 2) et faisant avec la roite 2x + 3y 6 = 0 un angle ω tel que tg ω = Démontre que les méianes un triangle sont concourantes (centre e gravité). 10. Démontre que les méiatrices un triangle sont concourantes (centre u cercle circonscrit). 11. Démontre que les hauteurs un triangle sont concourantes (orthocentre). 12. Démontre que ans un triangle équilatéral, le centre e gravité, le centre u cercle circonscrit et l orthocentre sont istincts et alignés (roite Euler) 13. Dans un repère orthonormé, on onne la roite équation x = 2y et le point P = (2, 2). Ecrire l équation e la roite qui passe par P et fait avec un angle e Le triangle ABC amet pour sommets les points intersection es roites équations 4x + 3y 12 = 0, x 3y 8 = 0 et x + y = 0. Trouve les cooronnées es sommets. 15. Les côtés un triangle se trouvent sur les roites équations 3x 2y + 1 = 0, 7x + y + 25 = 0 et x + 5y 11 = 0. Calcule l aire e ce triangle.

9 CHAPITRE 17. LA DROITE Donner les équations paramétriques et l équation cartésienne e la roite passant par A(1, 2) et e vecteur irecteur u (1, 2). 17. Donner les équations paramétriques et l équation cartésienne e la roite passant par A(1, 1) et e vecteur normal n (3, 2). 18. Soit la roite équations paramétriques. { x = 1 + 3λ y = 3 + λ, onner une équation cartésienne e 19. Soit la roite équation cartésienne 2x + 3y + 1 = 0. Donner les équation paramétriques e cette roite. { x = 2 + 5λ 20. Soit la roite équations paramétriques, onner un vecteur irecteur e y = λ et son coefficient e irection. ( ) ( ) ( ) x Soit la roite équations paramétriques = + k, onner y 3 2 (a) un vecteur irecteur e ; (b) son coefficient e irection; (c) son équation cartésienne.

10 CHAPITRE 17. LA DROITE Distance un point à une roite Définition La istance entre un point P et une roite est la plus petite istance qui sépare ce point P aux points e la roite. Remarque P P' Sur la figure ci-essus, (P, ) = P P où P perpeniculaire à menée par P. Propriété est le point e qui se trouve également sur la Consiérons le point P(x p, y P ) et la roite ax + by + c = 0. La istance entre le point P et la roite, notée (P, ), se étermine par Remarques (P, ) = a x P + b y P + c a2 + b 2 Dans le numérateur, on utilise l équation implicite e la roite et on y remplace le couple (x, y) par le couple (x P, y P ), cooronnées u point P. Une istance étant touours positive, la présence e la valeur absolue au numérateur n est pas surprenante. Exemples Recherchons la istance entre le point P (4, 5) et la roite 8x + 6y 3 = 0. (P, ) = = = 5 10 = Recherchons la istance entre le point P (2, 1) et la roite y = 4 3 x Il nous faut l équation implicite e : Ainsi, Exercice (P, ) = 4x + 3y 1 = = = 10 5 = 2 Rechercher l équation cartésienne u cercle C e centre C(3; 1) et tangent à la roite 4x + 3y 34 = 0. Nous savons que C (x 3) 2 + (y + 1) 2 = R 2

11 CHAPITRE 17. LA DROITE 140 Il reste à éterminer le rayon R. C est la istance entre le centre C et la roite comme le montre la figure suivante. x Ainsi, On a onc R = CP = (C, ) = ( 1) = = 25 5 = 5 C (x 3) 2 + (y + 1) 2 = 25

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