3. Propriétés fondamentales des nombres réels

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1 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Educatio s.a., 04. Propriétés fodametales des ombres réels Epliciter les savoirs et les procédures. Eiste-t-il? Supposos u il eiste a R 0 : R 0 : 0 < a <. + + a a a Etre les réels a et 0, o peut isérer le réel > 0 ; etre et 0, o peut isérer > 0 et 4 a a poursuivre le processus idéfiimet. O a 0 <... < < < a <. 4 Il y a doc pas de réel strictemet positif plus petit ue tous les autres réels strictemet positifs.. Les voisis a. Le plus petit ombre etier strictemet supérieur à est ; e effet, < <. Il y a pas de plus petit ombre ratioel strictemet supérieur à, 4 < <,5, 4 < <, 4, 44 < <, 45 ; e effet La suite des ratioels (,5;,4;,45;... ), aisi costruite à partir des approimatios par ecès successives de obteues e se basat sur l écriture décimale illimitée de ce ombre, est strictemet décroissate, mais a pas de limite ratioelle. Sa limite, das R, est le réel Il y a pas de plus petit réel strictemet supérieur à, puisu etre deu réels o peut toujours e isérer ue ifiité. b. Le plus grad ombre etier strictemet iférieur à est ; e effet, < <. Il y a pas de plus grad ombre ratioel strictemet iférieur à, 4 < <,5, 4 < <, 4, 44 < <, 45 ; e effet La suite des ratioels (,4;,4;,44;... ),aisi costruite à partir des approimatios successives par défaut de obteues e se basat sur l écriture décimale illimitée de ce Chapitre Propriétés fodametales des ombres réels

2 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Educatio s.a., 04 ombre, est strictemet croissate, mais a pas de limite ratioelle. Sa limite, das R, est le réel. Il y a pas de plus grad réel strictemet iférieur à toujours e isérer ue ifiité. ; etre deu réels doées, o peut. Somme, différece, produit ou uotiet de ombres ratioels et d irratioels a. La somme (ou la différece) de deu ombres ratioels est u ombre ratioel : das Q, l additio est ue opératio itere et partout défiie. La différece de deu ratioels est défiie comme état la somme d u ratioel et de l opposé du secod, et est doc aussi u ratioel. Le produit de deu ratioels est u ratioel : la multiplicatio des deu ratioels est ue opératio itere et partout défiie. Le uotiet d u ratioel par u ratioel o ul est u ratioel. Il est e effet défii ue si le diviseur est o ul. b. La somme de deu ombres irratioels o opposés est u ombre irratioel. La différece de deu irratioels disticts est u irratioel. Le produit de deu irratioels peut être u ratioel. Eemple : 5 8 = 5 6 = 0. Le uotiet de deu irratioels peut être u ratioel. Eemple : 8 =. c. La somme (ou la différece) d u ombre irratioel et d u ombre ratioel est u irratioel. Le produit d u ombre irratioel et d u ombre ratioel est u irratioel. Le uotiet d u ombre irratioel par u ombre ratioel o ul est u ombre irratioel. Appliuer ue procédure 4. Écritures décimales de fractios à termes etiers a. Peuvet s écrire sous forme d u décimal limité :,,, Remarue : Les ombres ci-dessus peuvet s écrire sous forme d u décimal illimité périodiue présetat ue période costituée du chiffre 0. Peuvet s écrire sous forme d u décimal illimité périodiue dot la période compred au mois u chiffre différet de 0 : 0,, (voir sythèse 4) b. Le décimal est limité lorsue le déomiateur de la fractio irréductible est ue puissace de, de 5 ou u produit de puissaces de ces deu ombres. Chapitre Propriétés fodametales des ombres réels

3 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Educatio s.a., 04 c. =, de période 6 0, = de période = = 0,... de période Écriture fractioaire de décimau illimités périodiues b = 4, b = 47, b = 4, b = b = = c =,... 00c =,... c =,... 99c = c = d =, d = 9, d =, d = d = = Approimatios ratioelles d ue racie carrée a. La machie à calculer utilisée doe =, et 55, =. Le ratioel est ue approimatio par défaut de à 4 0 près. L erreur est iférieure à 4 0. Chapitre Propriétés fodametales des ombres réels

4 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Educatio s.a., 04 b. Lorsue ce procédé de mise au carré est répété u ombre suffisat de fois, c est-à-dire e calculat avec u eposat égal à ue puissace de suffisammet grade, il peut fourir ue approimatio de la valeur cherchée avec ue erreur iférieure à u ε > 0 doé. Cela peut être démotré comme suit. La suite ( ) N d ue suite (cas réel) : 0 ted vers 0, puisue 0 < <. D après la défiitio de la limite + ( R )( m N )( N ) m ( ) ε : > < ε Cosidéros ue valeur doée d ε, strictemet positive. Soit m coveat das la défiitio ci-dessus pour cette valeur d ε, et soit ue puissace de strictemet supérieure à m. La puissace ( ) peut alors s écrire sous la forme p avec p, N 0. Pour la valeur de doée ci-dessus. O a doc Puisue N 0, o a: ( ) < ε p p p ε < p ε < < ε ε < + () ε ε ε ε, ε + + ε () De plus, d après le développemet fouri das l éocé, o sait ue 0 < ( ) O pourrait démotrer u ue telle valeur eiste, mais o e le fera pas ici. O a pu costater das l eemple développé das l éocé de l eercice ue cela était vrai pour =, = et = mais o peut facilemet démotrer par récurrece ue cela est ecore vrai pour = k uel ue soit 0 k N. Chapitre Propriétés fodametales des ombres réels 4

5 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Educatio s.a., 04 d où 0 < p < p () De (), () et (), o tire ue p < < + ε D où p est ue approimatio (par ecès) de à mois de ε près. Ce procédé peut être gééralisé au calcul de valeurs approchées des autres racies carrées o etières. c. O a < 5 <, doc 0 < 5 <. La suite des puissaces etières de 5 ted vers 0 puisue 5 <. ( 5 ) = ( 9 4 5) = ( 6 7 5) = Héro d Aleadrie et les racies carrées a. er rectagle < 8 < 9 e rectagle les côtés de ce rectagle sot = 5,5 et = =, , ,5 < < e rectagle les côtés de ce rectagle sot 4, et 4,0669 4, < 8 < 4, e rectagle les côtés de ce rectagle sot 4,44995 et 4,4087 4, < 8 < 4, Dès le 4 e ecadremet, o a ue approimatio de 8 à 0 près : 8 4, 4 Chapitre Propriétés fodametales des ombres réels 5

6 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Educatio s.a., 04 5 e rectagle les côtés sot 4,46995 et 4,4644 4, < 8 < 4, Au 5 e ecadremet, o a ue approimatio à 4 0 près : 8 4, 46. b. Les ecadremets successifs formet ue suite d itervalles emboités ; ces itervalles vérifiet les hypothèses du théorème. (propriété des itervalles emboîtés, page 80). Le réel 8 est le seul réel commu à tous ces itervalles emboîtés. c. (calculatrice programmable ou tableur) d. ) Soit a : a > A R. O va motrer par récurrece ue la suite ( ) c est-à-dire ue tous les termes de la suite sot supérieurs à A. i i N 0 est miorée par A, A A Amorçage. Pour vérifier ue = a + > A, il faut motrer ue a + > A ou ue a a A a + A > 0. Cette derière iégalité est toujours vraie car a Remarue : o pouvait aussi partir de l iégalité ( a a ) 0 obtiet a a A + A 0 ou iégalité par a > 0, o obtiet A a + A. a Hérédité. O suppose ue A + = + > A. Si > A, alors A > 0 et > 0. O a doc ( ) A a + A = a a A a > ; e développat le carré, o a + A a A. E divisat les deu membres de cette derière > A (hypothèse de récurrece) et o vérifie ue A = A + A > 0, ou + A > A. O divise les deu membres de cette iégalité par > 0. O obtiet A + > A Coclusio. La suite ( ) A ; o a doc + = + > A. i i N ) Il faut motrer ue la suite ( ) 0 est doc miorée par A. i i N 0 + A > A ou est ue suite décroissate, ce ui reviet à démotrer ue. Si le terme mioré est pas cou des élèves, la précisio doée ici peut leur être eplicitée oralemet avat la résolutio de cet eercice. Chapitre Propriétés fodametales des ombres réels 6

7 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Educatio s.a., 04 N <. 0 : + O sait ue N 0 : > A ; o a doc N 0 : > A. Puisue > 0, o a 0 : A N >. A Doc = + < ( + ) La suite ( ) + i i N 0 ou + <. est doc ue suite décroissate. ) Das l éocé, il est affirmé ue la suite ( ) i i N 0 possède ue limite otée L. Si cela est ici préseté comme u fait d acuis, u o e demade pas de démotrer, c est parce ue pour ce faire o devrait utiliser ue propriété 4 ui est pas cesée coue à ce stade : si ue suite est décroissate et miorée, elle admet ue limite das R. O peut se covaicre du fait ue Pour suffisammet grad, L L ; alors = A comme suit. A L = L + L A L = L + L A L = L L = A Remarues - De L = A, o peut déduire ue L = A, si o suppose admis ue, la suite état positive (puisue miorée par - Le raisoemet établissat ue E effet, assimiler A ), sa limite est positive. L = A e costitue pas ue véritable démostratio. à L e se basat sur ue affirmatio imprécise, telle ue L, est pas u procédé de démostratio ui serait admis das le cadre d ue théorie formalisée de l aalyse. Il est éamois utile de pouvoir raisoer de la sorte pour motrer 5 u résultat à partir des outils dot o dispose. Ue démostratio rigoureuse ferait appel à des propriétés des limites o ecore formalisées à ce stade. 4 O peut éamois faire utilemet remaruer au élèves ue, si l eercice est aisi rédigé, c est parce u ue telle propriété eiste : avoir vérifié ci-dessus ue la suite est miorée et décroissate permet de cosidérer ue la suite a écessairemet ue limite réelle. Si cette propriété a pas été vue, et ecore mois démotrée à ce stade, elle peut aisémet être admise ituitivemet. 5 L éocé demadait de motrer, et o de démotrer, le résultat. Cela permet d admettre des démarches ui e sot pas de véritables démostratios. Il peut éamois être utile de faire setir au élèves u ue démarche comme celle eplicitée ci-dessus e répod pas à toutes les eigeces d ue démostratio formelle. Il e est pas mois vrai ue de telles démarches sot e pratiue très utiles à maîtriser. Cela y compris das le cadre de l élaboratio d ue théorie formalisée : das ce cadre, elles permettet d établir des cojectures ue l o peut esuite démotrer e toute rigueur. Chapitre Propriétés fodametales des ombres réels 7

8 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Educatio s.a., Approimatios décimales Erratum (tirage 0) : il faut lire,66 et,67 pour les approimatios de. a. Ecadremet d ue somme : o additioe les bores des ecadremets des deu membres., 645 +, 66 < 7 + <, 647 +,67 5,966 < 7 + < 5, 967 b. Ecadremet d ue différece : pour ecadrer ue différece de deu réels, o se ramèe au cas de l additio après avoir ecadré l opposé du e terme (o chage le ses des iégalités),67 < <, 66, 645,67 < 7 <, 647,66 0, 677 < 7 < 0, 6696 c. Ecadremet de l opposé : o multiplie les iégalités par ( ), doc les iégalités chaget de ses., 647 < 7 <, 645 d. Ecadremet d u produit : o e peut multiplier les bores des ecadremets ue si les ombres sot positifs, ce ui est pas le cas ici ( 0 a < ). O effectue d abord le produit de deu ombres positifs, à savoir a et 7., 40 < a <, 45,40,645 < a 7 <, 45,647, 785 < a 7 <, O multiplie les membres de la double iégalité par ( ) ; il y a doc chagemet de ses., < a 7 <, 785 e. Ecadremet d u uotiet : lorsue tous les ombres sot positifs, o cosidère l ecadremet de l iverse du diviseur, puis o multiplie le dividede par l iverse du diviseur. Ici, a < 0 ; o e peut appliuer directemet la règle ci-dessus. O effectue le produit des ombres positifs, 40 < a <, 45 < <,45 a,40 7 et, 645 7, 647 < <, 45 a, 40, ce ui doe a Chapitre Propriétés fodametales des ombres réels 8

9 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Educatio s.a., 04 E multipliat par ( ), o obtiet, 647 7, 645 < <,40 a,45 f. Ecadremet du carré d u ombre : puisue a < 0, o cosidère l ecadremet de a ; o sait ue a = a. O a,40 < a <,45. Doc, 40 < a <, 45 ou, 0449 < a <, Valeurs absolues a. Soit A = O e coclut ue si A = + 4 si + si b. ) = 5 = 5 ou = 5 = 7 ou = S = { ;7} y 0 Chapitre Propriétés fodametales des ombres réels 9

10 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Educatio s.a., 04 ) + = pas de solutio car R : + 0 ; S = ) > 7 4) < 7 < 7 ou > 7 S = ], 7[ ] 7, [ 7 < < 7 S = ] 7;7[ 5) + 5 > + 5 < ou + 5 > < 8 ou > S = ] ; 8[ ] ; ] y 0 6) 4 > 4 < ou 4 > < ou > 6 ( ) < < ou < 6 ou > 6 S = ; 6 ; 6 ; y 0 7) + 6 y + 6 (impossible) ou 5 5 ou 5 S = ; 5 5 ; + 6 > 0 Chapitre Propriétés fodametales des ombres réels 0

11 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Educatio s.a., 04 8) + 6 > 4 O résout plus facilemet l iéuatio graphiuemet u algébriuemet. Sur le graphiue, la foctio + 6 est représetée e oir, la foctio 4 dessiée e gris. O observe ue + 6 > 4 lorsue >. Vérificatio algébriue L iéuatio doée est éuivalete à est l iéuatio > 0. O utilise u tableau tel ue celui doé e a pour trasformer l epressio y Si < 6, l iéuatio se réduit à 0 > 0, ce ui est toujours fau. Si 6 < < 4, l iéuatio s écrit + > 0, vérifiée si >. Cette valeur est das l itervalle ] 6;4[ ; das celui-ci, o retiedra doc les valeurs de telles ue >. Si 4, l iéuatio se réduit à 0 > 0, ce ui est toujours vrai. O a doc S = ] ; [. 9) 5 + = ( ) 5 + = ± 5 + = ou 5 + = + = ou = S = ; y 0 Chapitre Propriétés fodametales des ombres réels

12 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Educatio s.a., 04 0) + 4 est éuivalet à Si ou, l iéuatio est vérifiée. Sur l itervalle ] ;[, il faut résoudre l iéuatio 0. Cette iéuatio est vérifiée si. O a doc S = ; ;. ou y 0 ) S = 6; 6 y 0 ) + S = { 0} Chapitre Propriétés fodametales des ombres réels

13 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Educatio s.a., Groupes a. ) ( N,+ ) est pas u groupe car, hormis 0, aucu multiple de admet pas de symétriue pour l additio das N. Notos cepedat ue l additio das N est bie itere et partout défiie, associative et admet u élémet eutre (le ombre 0) ) A = Z mui de l additio est u groupe. E effet : - l additio est itere et partout défiie : a b ( a + b) a, b Z :( a + b) Z et + = A - l additio est associative : a b c,, : (( ) ) ( ( )) a b c a b c Z + + = a + b + c = a + b + c = + + ; 0 - l additio das A admet u élémet eutre, c est l etier 0 ; e effet 0 = et a a a a Z : + 0 = = 0+ ; - tout élémet de A possède u symétriue pour l additio : a a a Z, ( a) Z : + = 0. ) B { } = + Z mui de l additio est pas u groupe. E effet la loi d additio est pas itere : la somme de deu élémets de B est pas u élémet de B. b. - L opératio * das Nest ue loi itere partout défiie : a, b N : a b = a + b + ab N ; N ; e effet - L opératio * das Nest associative : a, b, c : ( a b) c = a ( b c) ( a b) c = ( a + b + ab) c ( ) ( ) = a + b + ab + c + a + b + ab c = a + b + c + ab + ac + bc + abc ( ) ( ) ( ) = a + b + c + bc + a b + c + bc = a b c - Il eiste u eutre das N pour la loi *. Pour ue e N soit élémet eutre, il faut ue a N : a e = e a = a. a e = a + e + ae = a e a = e + a + ea = a Ces deu égalités sot vérifiées si e = 0 ; l élémet eutre pour la loi * est 0. Chapitre Propriétés fodametales des ombres réels

14 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Educatio s.a., 04 - Tout élémet de N admet pas de symétriue pour la loi * ; e effet si b est symétriue de a, a il faut ue a b = a + b + ab = 0, c est-à-dire ue a + b( + a) = 0 ou b = ui, si a 0, est + a pas u élémet de N. Coclusio : ( N, ) est pas u groupe. Résoudre u problème. Racies irratioelles a. 5 est irratioel. Supposos ue 5 soit u ratioel ; il peut alors s écrire sous forme d ue fractio p irréductible : 5 = avec p, N 0. O a doc ue p 5 = ou p 5 = (), ce ui sigifie p est u multiple etier de 5 et ue p aussi est multiple de 5 : la décompositio e facteurs premiers du carré d u ombre e cotiet pas d autre facteur ue ceu déjà présets das celle de ce ombre (ces deriers apparaissat u ombre pair de fois das la décompositio e facteurs premiers du carré). Soit p = 5. E remplaçat 5 das (), o obtiet 5 = 5 ou 5 p par le carré de =. Par u raisoemet semblable au précédet, o déduit ue est aussi multiple de 5. Les etiers p et sot doc tous deu multiples de 5, ce ui cotredit l hypothèse ue la fractio p bie irratioel. est irréductible. Doc 5 est O peut faire ue démostratio plus coutre ui utilise l uicité de la décompositio e facteurs premiers (démotrée par Euclide). L égalité () est jamais vérifiée car le premier membre cotiet u ombre pair de facteurs 5 et le deuième membre e cotiet u ombre impair. b. 5 7 est irratioel Supposos ue 5 7 ue la fractio est irréductible). O a p = où p et sot des etiers premiers etre eu (ce ui éuivaut à dire p 5 5 = 7 (), ce ui sigifie ue ; il e est de même pour p. O peut doc écrire p = 7, et 7 = 7 ou 5 p est u multiple de = 7. L etier est doc u multiple de 7. Dès lors, p et état des multiples de 7, la fractio p est pas irréductible. Le ombre 5 7 est pas ratioel. O peut refaire la même démostratio ue la précédete au départ de (). Chapitre Propriétés fodametales des ombres réels 4

15 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Educatio s.a., 04 c est u ombre irratioel (démostratios similaires à celles des poits a et b). d est u ombre irratioel. p Supposos ue soit u ombre ratioel : o a = (avec p et etiers), d où ( 5 7 ) p p + =, + 5 =, p 5 =, d où 5 est u ombre ratioel, ce ui est impossible pour des raisos aalogues à celles ivouées e a est doc u ombre irratioel. e. 5 + ( 7 ) est u ombre ratioel si N, u ombre irratioel si est u etier impair. Si N, m ratioel. = ( ) m N, o a ( ) Si est u etier impair, m m = 5 + 7, ce ui est u etier et doc u = + ( ) m N et o a ( ) ( ) m = = m ce ui est u irratioel. E effet, supposos ue soit ratioel : o a m p = (avec p et etiers), d où m p 5 7 = ce reviet à dire ue 7 est 7 m irratioel, ce ui est impossible pour des raisos aalogues à celles ivouées e a. Dès lors, 5 + ( 7 ) est irratioel.. Du petagramme au ombre d or U petagoe régulier est iscriptible das u cercle ; o peut doc facilemet détermier les amplitudes de ses agles : ceu du petagoe ot ue amplitude de 08, ceu du petagoe étoilé de 6. Das la figure ci-cotre le segmet [ AD ] a la même A C H D B mesure ue le côté du petagoe. Das le triagle HAD, o a DHA = 7, HAD = 6, doc E G F HDA = = 7. Le triagle HAD est doc isocèle et HA = AD. Chapitre Propriétés fodametales des ombres réels 5

16 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Educatio s.a., 04 a. Soit b la logueur du côté du petagoe et a la logueur de sa diagoale. E utilisat la méthode du reste, o a a b + c c = = + soit c la logueur du segmet [ DB ] b b b a = + soit d la logueur de [ CD ] b b c a = + = + b c + d d + c c a = + = + b + + c d + e d d a = + = + = + b e d d + e +... Au epressios successives de a, o peut associer les valeurs approchées successives de b a b doées ci-après6 a b a + = b a + = b + a 5 + = b + + a 8 + = b Si o coait la théorie sur les fractios cotiues, ce ui précède peut être eprimé comme suit : «das u petagoe régulier, le rapport de la logueur de la diagoale à la logueur du côté est doé par la fractio cotiue (,,,,, )». Les réduites fourisset les approimatios évouées ci-dessus. Chapitre Propriétés fodametales des ombres réels 6

17 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Educatio s.a., 04 E poursuivat les calculs, o observe ue la suite des umérateurs successifs, aisi ue celle des déomiateurs successifs sot des suites de Fiboacci (voir eercice du chapitre ) : les approimatios successives sot les suivates : ,,,,,,,,,, Celles-ci correspodet au rapports de termes cosécutifs de la suite de Fiboacci. O a : a 89,68 b 55 b. Si b =, a est égal au rapport a b doé ci-dessus7. Ue valeur approchée e est,68. c. La suite des approimatios successives de a b, ue ous admettos tedre vers a, est égale b à la suite des rapports des termes cosécutifs de la suite de Fiboacci ( ) v N 0 (défiie das l eercice c du chapitre ). Il a été vu das les eercices d et e de ce même chapitre ue la limite de cette suite est la solutio positive de l éuatio v = +.E d autres v termes, il s agit de la solutio positive de l éuatio 8 = +, éuivalete à = Les solutios de cette éuatio sot = et =. La première de ces solutios est le ombre d or ϕ. Das u petagoe régulier, le rapport de la diagoale au côté est égal à ϕ (ombre d or). 7 E d autres termes a = (,,,,,... ) 8 Le développemet e fractio cotiue = , obteu e a. permet aussi d écrire = +. Chapitre Propriétés fodametales des ombres réels 7

18 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Educatio s.a., 04. Propriétés des valeurs absolues O vérifie les uatre iégalités l ue après l autre. ) + y + y Si + y 0, alors + y = + y + y car r R : r r. Si + y 0, alors + y = ( + y) = ( ) + ( y) + y. ) y + y Si y 0, alors y = + ( y) + y Si y 0, alors y = ( y) = ( ) + y + y. ) y y Si y alors y = y. Soit z = y ; doc = y + z. = y + z + z par) y + y y y or y = y Doc si Si Or 4) y + y y, alors y y. y, alors y = y y y et y = y. par ) doc y y Das ), o remplace y par ( y). O a alors y ( y). Mais y = y ; doc y + y. Les iégalités sot aisi démotrées. a. b., y R : y + y + y 4) ), y R : y y + y. ) ) Chapitre Propriétés fodametales des ombres réels 8