Août 2016 (2 heures et 30 minutes)

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Frédéric Michel
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1 1 a) Soit IN 0 \ {1} Déiir : boul ouvrt d IR sous-smbl compact d Août 016 ( hurs t 0 miuts) IR (1 pt) b) Démotrr qu l produit cartési d smbls rmés d IR st u smbl rmé d IR (15 pt) c) Détrmir t rpréstr avc précisio, l domai d déiitio D d la octio (,y) = 4 () y C domai st-il ouvrt? Est-il rmé? Est-il boré? Est-il cov? Justiir soigusmt du réposs au choi (5 pts) Soit :D IR IR: (,y) (,y) t a = (a 1,a ), poit itériur d D a) Complétr la déiitio suivat : st diértiabl a ssi Qu sigii géométriqumt la otio d diértiabilité u poit d u octio d IR IR? (1 pt) ( y ) 1 si,y 0,0 b) Soit (,y) = y si,y 0,0 Etudir la diértiabilité d (,y) (0,0) ( pts) a) Déiir: octio d A IR IR homogè d dgré ( IR ) (05 pt) b) Eocr t démotrr ( détaillat la démostratio) l théorèm d Eulr rlati au octios homogès (15 pt) 4 a) Déiir: octio cov d IR IR (05 pt) b) Eocr u coditio écssair t suisat d covité d'u octio d class C (1 pt) c) Etudir la covité d (,y) = y (15 pts) 5 a) Eocr la coditio écssair du prmir ordr rlativ au trma librs ds octios d plusiurs variabls ( pas démotrr) (05 pt) b) Eocr la coditio suisat du scod ordr rlativ au trma librs ds octios d plusiurs variabls ( pas démotrr) (05 pt) c) Détrmir ls "cadidats" trmum d (,y) = y 4l( y) Classr cu-ci (maimum, miimum ou i l'u, i l'autr) Justiir soigusmt éoçat l(s) théorèm(s) utilisé(s) (5 pts) d) Détrmir ls cadidats trmum d la octio (,y) doé c) sous la cotrait y 0 N pas classr ls cadidats, pas éocr l(ls) théorèm(s) utilisé(s) (1 pt)

2 6 Détrmir (répos ial uiqumt) a) l équatio du pla tagt à la surac d équatio z = y ( 1) l poit (1,0) z=+y+1 b) la solutio gééral d l équatio diértill 1 y' + y 1 5 (05 pt) y =( )- C IR 1 l(1+5 )+C 10 (1 pt) c) l'prssio complèt ds dérivés sot diértiabls das IR F (p,w) p t F (p,w) w d F(p,w) = p w, wg(p, w) si t g F p g (p,w ) (p - w,w g(p,w )) + (p - w,w g(p,w ))[w (p,w )] X Y p F w g (p,w) - (p - w,wg(p,w))+ (p - w,wg(p,w))[g(p,w)+ w (p,w)] X Y w (1 pt)

3 Répos qustio 1 a) O appll boul ouvrt d IR d ctr c t d rayo r > 0, l smbl B(c,r) IR tl qu B(c,r) = { IR : d(c,) < r} U sous smbl E d IR st compact ssi il st boré t rmé Répos qustio 1 b) Pruv : L produit cartési d smbls rmés d IR st u smbl rmé d Soit A 1,A,,A smbls rmés d IR Soit A = A1AA = {(a 1,a,,a ) : ai Ai i} Motros qu A st u smbl rmé d IR Pros u suit (p 1,p,,p m,) covrgt (vrs p) d élémts d A O a p 1 ( 1,y 1,,z 1) p (,y,,z ) p (,y,,z ) m m m m p (, y,, z ) la suit d A 1 ( 1,,, m,) covrg vrs Or, A 1 st rmé, doc A1 la suit d A (y 1,y,,y m,) covrg vrs y Or, A st rmé, doc y A IR la suit d A 1 m (z,z,,z,) covrg vrs z Or, A st rmé, doc z A Coclusio : p (, y,, z ) A t A st bi u smbl rmé d IR Répos qustio 1 c) O a (,y) = 4 () y Ls coditios d istc sot 4 () y 0 t 0 ( ) y 4 t O a D = {(,y) IR : ( ) y 4 t } Graphiqumt,

4 Ct smbl D st i ouvrt, i rmé Il st boré, mais st pas cov Justiicatios : 1) D st boré car, la boul ouvrt ctré (0,0) t d rayo 6, par mpl, cotit tièrmt D ) D st pas rmé puisqu l poit (,0), par mpl, appartit pas à D, mais lui st adhért puisqu tout boul ouvrt o vid ctré (,0) cotit ds poits (+p,0) avc p positi t suisammt ptit qui appartit à D Répos qustio a) Soit : D IR IR :,y,y t a= a 1,a poit itériur d D st u octio diértiabl a ssi h,k 0,0 a h,a k a,a h a,a k a,a y h k = 0 La otio d diértiabilité d u octio d IR IR u poit sigii géométriqumt qu il ist u pla tagt à la surac corrspodat c poit Répôs qustio b) O a (,y) = ( y ) 1 si,y 0,0 y si,y0,0 O a (1) Etud d la dérivabilité d la octio (,y) par rapport à (0,0) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) (,0) (0,0)

5 ( ) 0 0 O a (1 ) ( ) = 0 ( ct C = 0) O st doc présc d u idétrmiatio 0/0 Comm ls octios (d ) au umératur t au déomiatur sot dérivabls au voisiag d 0, o put ttr d appliqur la règl d d l Hospital : ( ) ( ) ( ) (1 )' ( 4 4) ( 4 4) ( )' O a ( ) 0 0 ( 4 4) () = 0 ( ct C = 0) O st doc présc d u idétrmiatio 0/0 Comm ls octios (d ) au umératur t au déomiatur sot dérivabls au voisiag d 0, o put ttr d appliqur la règl d d l Hospital : ( ) ( ) ( 4 4)' 16 ()' 0 0 = ( ct C = 0) 0 Î IR, d où 0 ( ) ( 4 4) 0, d où 0 ( ) 1, doc (,0) (0,0) 0 0 = 0 t (,y) st drivabl par rapport à (0,0) t (0,0) 0 Comm (,y) st symétriqu t y (si o échag t y, la octio chag pas), o put déduir du résultat précédt qu (,y) st drivabl par rapport à y (0,0) t (0,0) 0 y () Etud d la diértiabilité d (,y) (0,0) (h k ) 1 (0 h,0 k) (0,0) h (0,0) k (0,0) y (h,k) (0,0) h k h k h k h k (h,k) (0,0) (h,k) (0,0) (h,k) (0,0) (h,k) (0,0) (h k ) 1 (h k ) / (h k ) E posat h cos, o a k si (h k ) 1 (h k ) 1 1 (h,k) (0,0) / 0 / 0 (h k ) ( ) qcq ( ) 1 Or, c drir calcul d it st idtiqu à clui d ( rmplaçat par 0 (0 h,0 k) (0,0) h (0,0) k (0,0) y ) t o put doc coclur qu 0 t doc (h,k) (0,0) h k qu st diértiabl (0,0)

6 Répos qustio a) Soit A, u sous-smbl d IR tl qu t A pour tout t > 0 t tout A U octio :IR IR st homogè d dgré IR sur u tl sous-smbl A d IR ssi (t) = t () pour tout A t tout t > Répos qustio b) Propositio: si : A IR IR st homogè d dgré sur A t diértiabl A, alors () () (Théorèm d'eulr) i i=1 i Pruv: O cosidèr (t) comm octio d la sul variabl t: la octio IR IR : t t st diértiabl partout t l théorèm d dérivatio ds octios composés st applicabl; o a (t) = t () doc d (t) = d t () d dt dt (t 1,,t ) t 1 () dt (t ) (t ) (t ) = 1 (t) (t) (t) 1 t t t (t) 1 (t) (t)= 1 (t) i = t 1 () qu l'o calcul t = 1 i1i t 1 () t 1 ()

7 Répos qustio 4 a) Soit : D IR IR : () où D st u sous-smbl ouvrt t cov d IR st cov sur D ssi, yd, [0,1]: ( +(1- )y) () + (1- )(y) Répos qustio 4 b) Si st C sur D, u sous-smbl ouvrt t cov d IR, alors st cov (rsp cocav) sur D ssi H() st sdp (rsp sd) D Répos qustio 4 c) O a (,y) = y Ctt octio st la somm d y, composé d du octios qui sot C sur lurs domais d déiitio rspctis, doc st C sur so domai d déiitio, IR, t d, octio polyôm, C sur IR Par coséqut, (,y) st C (t doc C ) sur IR O a, (,y) IR : (,y) + t (,y) y y y d où y y y (,y) IR : (,y) + ; (,y) 4 ; (,y) (,y) y y y O a doc, y + (,y) IR : H(,y) y 4 y y Ls du prmirs miurs pricipau sot: 1 y M + t y +y y y M ( + )(4 ) 4( ) 8 Cs du miurs pricipau sot strictmt positis (,y) IR, doc, (,y) IR : H(,y) st déii positiv t, par la coditio éocé 4 b), (,y) st (strictmt) cov das IR (ouvrt cov) Répos qustio 5 a) Coditio écssair du prmir ordr: Si st dérivabl a, poit itériur d dom, t si admt u trmum local a, alors, i {1,,}: (a) = 0 (autrmt dit, (a) = 0) i Répos qustio 5 b) Coditio suisat du scod ordr : Si :D IR IR st C² au voisiag d, poit itriur d D t poit critiqu d, si la hssi H () st déii égativ (rsp positiv), alors possèd u maimum (rsp miimum) local Si H () 'st i smi-déii positiv, i smi-déii égativ, alors possèd pas d'trmum ( st u "poit d sll")

8 Répos qustio 5 c) O a (,y) = y 4l( y) Domai d déiitio : coditio d istc : +y > 0 d où dom {(,y) IR : y 0} Class d : st d class C sur dom puisqu ctt octio st la somm d u octio polyôm y 4, C sur IR t d la composé d la octio polyôm +y t d la octio l u, touts du C sur lurs domais d diitio rspctis, doc C sur so domai d déiitio {(,y) IR : y 0} Coditio écssair du prmir ordr : voir qustio 5 a) D là, Typs d cadidats : 1) Ls évtuls poits où st pas dérivabl : éat car st C sur dom ; ) Ls évtuls poits o itériurs à dom : éat car dom st ouvrt ; ) Ls évtuls poits critiqus d, c'st-à-dir ls évtulls solutios du systèm : 1,y (1) y y 1 1,y 0 y 0 y () y y y Par (1) t (), o a = -y, d où y = -1 E rmplaçat das (1) (ou ()), o obtit L sul poit critiqu d (qui appartit bi à dom!!), t doc, l sul cadidat trmum d st doc P(, 1) 4 Classmt par la coditio suisat du scod ordr : voir qustio 5 b) 4,y ( y) 4 1 ( y) ( y),y H,y y (y) 1 ( y) ( y) (,y),y y y ( y) E P, o a doc H P E utilisat la tchiqu ds miurs pricipau, o rmarqu qu l scod miur pricipal st égati (il vaut -), c qui impliqu qu la matric hssi st idéii t doc qu prést i u maimum, i u miimum, mais u poit d sll au poit P

9 Répos qustio 5 d) La rchrch ds cadidats trmum d (,y) = 4yl( y) si la variabl y st soumis à la cotrait y 0, corrspod à la rchrch ds évtulls solutios du systèm,y [1] y 1 y,y 0 y( y ) 0 [] y y D [], si y 0, o rtrouv écssairmt l sul cadidat trouvé 5 c), (, 1), qui doit êtr 4 rjté puisqu y < 0 1 D là, par [], o a y = 0 t, par [1], 4 0 d où = 1 L sul cadidat trmum sous 4 cotrait st doc ( 1 4,0)

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