TD 12 Description et paramétrage du mouvement d un point = cinématique du point matériel

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1 Mécanique I 1TPC Exercice 1 Définitions 1. Qu est-ce qu un référentiel? Pourquoi doit-on le définir avant de parler de mouvement? Qu est-ce qui distingue un repère et un référentiel? 2. Définir une base, une base orthonormée directe. 3. Comment s'appelle un référentiel d'étude dont le centre O est un point de la surface terrestre? 4. Décrire le référentiel terrestre et le référentiel de Copernic. 5. Définir la vitesse d un point mobile (vitesse instantanée) à partir du vecteur vitesse moyen. Montrer que la vitesse est tangente à la trajectoire. 6. Comment est défini le vecteur accélération. A quoi sert t-il? 7. Exprimer à partir d un schéma le déplacement élémentaire dans les différents systèmes de coordonnées et en déduire les composantes du vecteur-vitesse dans le cas des coordonnées cartésiennes et cylindriques. Exercice 2 Relations entre coordonnées cartésiennes et cylindriques Soit un point M repéré dans l espace par : - (x,y,z) : ses coordonnées cartésiennes - (r, θ, z) : ses coordonnées cylindriques 1. Faire un schéma clair permettant de visualiser les différentes coordonnées. 2. Exprimer x en fonction r et θ. Justifier à l aide du schéma. Exprimer y en fonction r et θ. Justifier à l aide du schéma. Exprimer r en fonction de x et y. Justifier à l aide du schéma. 3. Donner l expression du vecteur position OM a) en coordonnées cartésienne b) en coordonnées cylindriques c) en coordonnées polaires 4. Soit un cylindre de révolution de rayon R et d axe (Oz), déterminer son équation en coordonnées cylindriques puis cartésiennes. Exercice 3 Base cylindrique (ou polaire) 1. Soit un référentiel galiléen R. Soit une base cylindrique ( u r, uθ, uz ) associée à R et les coordonnées (r, θ, z ) d un point M dans cette base. Montrer que TD 12 Description et paramétrage du mouvement d un point = cinématique du point matériel de r dθ R = e θ et deθ dθ R = - e r 1

2 2. En déduire de θ. d e r dt et R dt R Exercice 4 Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes 1. La vitesse d'un point en mouvement dépend du référentiel par rapport auquel on l'étudie. 2. Le vecteur accélération est toujours orthogonal au vecteur vitesse. 3. Le vecteur vitesse d'un point en mouvement est toujours tangent à la trajectoire. 4. Les vecteurs unitaires de la base cartésienne sont tous fixes au cours du mouvement d'un point M. 5. Les vecteurs unitaires de la base cylindrique sont tous fixes au cours du mouvement d'un point M. 6. Si le vecteur accélération d'un point en mouvement est constant, le mouvement est uniforme. 7. Si le vecteur accélération d'un point en mouvement est nul, le mouvement est rectiligne et uniforme. 8. Si le mouvement d'un point est uniforme, alors son vecteur vitesse est nul. 9. Si le mouvement d'un point est circulaire et uniforme, alors son vecteur accélération est constant. Exercice 5 Le dauphin à flancs blancs Le dauphin à flancs blancs du pacifique est très sociable, puissant et très joueur, il adore sauter hors de l eau. Les positions du centre de gravité G d un dauphine au cours d un saut sont représentées à intervalles de temps égaux sur le document ci-dessous. L échelle de représentation est indiquée sur le document. La durée entre deux positions successives est t = 0,10 s. 1. Quel est le référentiel adapté à l étude de ce mouvement? A partir du document déterminer les coordonnées du point Sur le document représenter les vecteurs positions aux points 3,5 et 7 (On peut éventuellement décalquer le document pour le reproduire sur sa copie). 3. Calculer la valeur de la vitesse du centre de gravité G d un dauphin aux points 4 et On note v4 et v6 les vecteurs vitesses aux points 4 et 6. Tracer ces vecteurs vitesses en utilisant l échelle 1 cm pour 2 m.s -1. 2

3 5. Construire sur le même document le vecteur v5 = v 6 - v4 au point 5 et déterminer sa valeur en m.s -1 en utilisant l échelle précédente. 6. En déduire la valeur a5 du vecteur accélération a5 au point Représenter ce vecteur sur le document en choisissant comme échelle de représentation : 1 cm pour 2 m.s -2. Exercice 6 Eléments cinématiques en cartésiennes puis en cylindriques 1. On considère un point M en mouvement dont les coordonnées cartésiennes sont à chaque instant : x(t) = a0t 2 +x0, y(t) = -vt, z(t) = z0 avec x0 = 1m, z0 = -1m, a0 = 2m.s -2 et v = 3m.s -1. a. Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et accélération dans la base cartésienne. b. Calculer la norme de la vitesse de M à la date t = 2s. c. Calculer la norme de l'accélération de M à la date t = 1s. 2. On considère un point M en mouvement dont les coordonnées cylindriques sont à chaque instant : r(t) = a0t 2 +r0, θ(t) = ωt- θ0 et z(t) = -vt avec r0 = 1m, a0 = 1m.s -2, ω = 3rad.s -1, θ0 = 2rad et v = 2m.s -1. a. Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et accélération dans la base cylindrique. b. Calculer la norme de la vitesse de M à la date t = 1s. c. Calculer la norme de l'accélération de M à l'instant initial (t = 0). Exercice 7 Oscillations rectilignes Un point M est astreint à se déplacer sur un axe (Ox). A la date t = 0, il se trouve à la position x0 = 10cm avec une vitesse = v0 (v0 = 0,15 m.s -1 ). Par la suite il sera à chaque instant soumis à une accélération définie par = -C avec C = 2,0 unités S.I. 1. Quelles sont les dimensions de la constante C? 2. Etablir l'équation horaire x(t) de mouvement de M sur cet axe. 3. Exprimer, puis calculer la période des oscillations de M. Exercice 8 Deux enregistrements 1. On enregistre le mouvement d un palet glissant sur un banc à coussin d air incliné sur l horizontale. On relève les positions successives d un même point du palet au cours du temps, à intervalles de temps réguliers t = 20 ms : Dans quel référentiel le mouvement est-il étudié? Quelle est la trajectoire? Dessiner en divers points un vecteur proportionnel au vecteur vitesse instantané, en l assimilant au vecteur moyen sur 80 ms. Que constate-t-on pour la norme et la direction du vecteur vitesse? Dessiner en deux points un vecteur proportionnel au vecteur accélération instantané, en l assimilant au vecteur moyen sur 80ms. Que constate-t-on pour la norme et la direction du vecteur accélération? Peuton faire un lien avec les caractéristiques du vecteur vitesse? 2. On enregistre le mouvement d un palet glissant sur une table à coussin d air horizontale, le palet est relié à un point fixe O du référentiel terrestre par un fil inextensible, qui reste tendu pendant tout l enregistrement. 3

4 Répondre aux mêmes questions qu en 1. Questions de réflexion et culture générale (recherches documentaires autorisées) Exercice 9 Réflexion sur les mouvements 1. Dans quel cas est-il intéressant de définir un système de coordonnées cylindrique? Définir la base locale cylindrique. Quel est le vecteur position d un point M en projction dans une base cylindrique? Le vecteur vitesse? le vecteur accélération? 2. Quelle est la définition du mouvement uniforme. Quelles sont les caracétéristiques d un mouvement rectiligne? Enoncer une condition nécessaire et suffisante de mouvement rectiligne et uniforme d un point. 3. Si le vecteur accélération est constant, comment est le mouvement? 4. Définir le mouvement circulaire. Choix du système de coordonnées? Vecteur vitesse et position dans le base locale de projection choisie? 4

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