Débrouillage pré-diagnostique. Mathématique. Secondaire II. Mat-2006 Mat Mat-2008

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1 Débrouillage pré-diagnostique Mathématique Secondaire II Mat-2006 Mat-2007 Mat-2008 Conception originale : Mario Dumais Adaptation : Éric Malenfant Adaptation subséquente : Micheline Denis, Dominic Ducharme et Nathalie Poulin

2 Rappel théorique Ensemble-solution L ensemble-solution : Est la ou les valeurs numériques que peut prendre une variable pour rendre l équation ou l inéquation vraie. Exemple : Soit l équation a + 2 = 5 Pour que cette équation devienne une égalité vraie, a doit prendre la valeur 3. On dit que 3 est l ensemble-solution de l équation. Pour trouver l ensemble-solution d une équation ou d une inéquation à une inconnue, il s agit d isoler la variable. Isolation de la variable dans une équation à une variable: Le principe de base est de rendre la variable seule d un côté du signe =. Pour ce faire, il faut suivre les étapes suivantes: 1) Pour chaque membre de l équation, on calcule les termes semblables par addition et soustraction. 2) On transporte les termes constants à droite du signe = et les termes ayant une variable à gauche du signe = en effectuant l opération inverse. 3) On transporte finalement le coefficient numérique accompagnant la variable du côté droit du signe = en effectuant l opération inverse, multiplication ou division. Si l équation comporte au départ des parenthèses, il faut enlever celle-ci en les multipliant par distributivité. Distributivité : On peut appliquer la distributivité de la multiplication sur l addition et la soustraction. Par exemple:

3 Exemple 1 : Exemple 2 : Isolation de la variable dans une inéquation à une variable: L inéquation est sensiblement la même chose qu une équation sauf qu elle comporte les signes. Pour isoler la variable, on effectue les mêmes étapes que dans le cas d une équation. Règle particulière: Lorsqu on transporte un terme multiplicateur ou diviseur négatif de l autre côté du signe d inéquation, celui-ci s inverse. 3

4 Exemple 1: Exemple 2 : 4

5 Formules : Dans les formules mathématiques, plusieurs lettres apparaissent. Pour résoudre une formule: 1) On remplace toutes les lettres par leur valeur numérique respective sauf une qui constitue l inconnue. 2) On isole l inconnue en suivant les étapes ci-dessus. Exemple 1: Soit la formule suivante, qui donne l aire d un trapèze. Calculer la valeur de b, étant donné que A=36, B=13 et h=3. 5

6 Exemple 2 : Calculer la valeur de h dans la formule V = 47,1 ; r = 5 et π = 3,14., étant donné que 8 Trouver la valeur de la variable dans les équations et inéquations suivantes: 1 3x x 4x 5 7 2x 8 3x x x x x 2 x x Que vaut h dans A bh si 2 x A cm et b cm Que vaut L dans P L k , x ? 8 2, si P 72 cm et k 13 cm? 6

7 Représentation graphique d un ensemble-solution dans, et Voici Voici :..., 3, 2, 1,0,1,2,3,... : 0,1,2, 4,5,6,7,... Voici : Tous les nombres. Exemple : x 2 Représenter graphiquement l ensemble-solution 9 x 5 dans 10 x 3 dans 11 x 2 dans La proportion Une proportion est l égalité de deux rapports ou fractions. La loi des proportions: Les produits des extrêmes égal le produit des moyens. (Produit en croisé) En algèbre, pour trouver la valeur d une inconnue d une proportion, on applique la loi. Ce qui nous donne une équation ordinaire et on isole la variable. 7

8 Exemple 1: Exemple 2 : 8

9 Trouver la valeur des inconnues en utilisant la loi des proportions x 1 x x x 5 3x x 6 2x 5 Résolution de problèmes écrits Si le problème écrit présente une situation proportionnelle, c est-à-dire deux paramètres qui varient d un même multiple (par exemple, la paie et le nombre d heures de travail: si on double le nombre d heures, la paie double aussi), voici les étapes à suivre: 1) Cerner les deux paramètres proportionnels. 2) Identifier le paramètre inconnu. 3) Bâtir la proportion à l aide de deux rapports mettant en comparaison les deux paramètres. 4) Résoudre la proportion en appliquant la loi. 5) Donner la réponse. Si le problème n est pas une situation proportionnelle, voici les étapes à suivre: 1) Établir le nombre d inconnues que présente la situation 2) Nommer les inconnues et les identifier à l aide d expression algébrique contenant toujours la même variable. Utiliser les informations fournies. 3) Bâtir une équation à partir des informations du texte. 4) Résoudre l équation en isolant la variable. 5) Donner la réponse. 9

10 xemple 1 de problème écrit avec situation proportionnelle : Un artisan tisse 60 mètres de toile en 25 jours. Combien lui faut-il de temps pour tisser 4,3 mètres de toile? MÈTRES DE TOILE NOMBRE DE JOURS ,3??? Exemple 2 de problème sans proportion : Lors d une vente de garage, Maxime et Gabriel ont vendu pour 360$. Si la part de Maxime est égale à trois fois la part de Gabriel, quelle somme ont-ils chacun? 1. On cherche la part de Maxime et celle de Gabriel 2. Part de Maxime = x Part de Gabriel = 360 x 3. Part de Maxime égale 3 fois la part de Gabriel X = 3 (360 x) 4. 5.Réponse : La part de Maxime est 270$ La part de Gabriel est = 90$ 10

11 Résoudre les problèmes suivants: 16 Douze pommes coûtent 2, 99$. Combien de pommes peut on acheter avec 6,50$? 1 17 Pour faire une salade de fruits, 3 oranges, 5 clémentines, melon, 2 3pommes et une mangue sont nécessaires pour servir 12 portions. Combien de fruits aura t on besoin pour faire une salade pouvant servir 50 personnes? 18 Une mère a 20 ans de plus que sa fille. Dans 7 ans, elle n ' en aura que le triple. Quel est l ' âge de chacune? 19 La somme de trois nombres impairs consécutifs est de 69. Quels sont ces t rois nombres? 11

12 Rappel théorique Les éléments géométriques 12

13 13

14 14

15 Rappel théorique Le triangle rectangle 15

16 16

17 Identifier les éléments de géométrie suivants: Déterminer la longueur du côté manquant

18 Rappel théorique Tableaux de distribution Tableau de données Un tableau de données présente, dans un ordre déterminé, les données correspondant à chacun des objets quantifiés d une étude, d une expérience ou d une enquête. Il comprend les éléments suivants : Le titre, les objets quantifiés et les données. Étendue d une série statistique Différence entre la plus grande et la plus petite valeur de cette série. Tableau de distribution de fréquences Dans ce type de tableau les données, ayant la même valeur ou la même modalité, sont regroupées. Tableau de distribution de fréquences relatives Tableau de distribution de fréquences auquel on ajoute une colonne pour les fréquences relatives. Titre de tableau Âge de 14 chiens Boxer Entête de colonne Âge (en années) Fréquence Fréquence relative (%) Donneés , ,4 Fréquence de chacune des donneés Fréquence relatives de chacune des donneés 18

19 Différents types de diagrammes Voici six types de diagrammes Diagramme à bandes verticales et diagramme à bandes horizontales Les diagrammes à bandes sont utilisés pour représenter des données non numériques ou des données numériques qui ne sont pas regroupées en classes. Diagramme à bandes verticales Diagramme à bandes horizontales Construction d un diagramme à Bandes verticales 1 On trace 2 axes perpendiculaires orientés et on identifie chacun de ces 2 axes. L axe horizontal correspond à la première colonne du tableau. L axe vertical correspond à la deuxième colonne du tableau. 2 On gradue l axe vertical de façon appropriée. 3 On construit les rectangles de largeur égale et on identifie chaque bande. 4 On écrit le titre du diagramme au-dessus du graphique. Bandes horizontales Se construit de la même façon que le diagramme à bandes verticales, seuls les axes sont inversés. 19

20 Diagramme circulaire Sert à illustrer la fréquence relative de chaque donnée d une série statistique. Il s agit d un cercle divisé en autant de secteurs qu il y a de données. Construction d un diagramme circulaire 1 On ajoute deux colonnes au tableau de distribution de fréquences l une dans laquelle on inscrit les fréquences relatives. l autre dans laquelle on inscrit les mesures d angles. 2 On calcule la fréquence relative de chaque donnée. 3 On calcule la mesure de l angle au centre qui correspond à la fréquence relative de chaque donnée. On s assure que la somme des mesures des angles est égale à 360 o. 4 Tracer un cercle avec le compas après avoir marqué le centre du cercle par un point. Tracer ensuite un rayon avec la règle. 5 Tracer chaque angle. On transforme les pourcentages en mesures d angles. Pictogramme On s assure que la somme des mesures des angles est égal 360 o. On présente l information à l aide de petits dessins représentatifs du sujet. Ces petits dessins servent d unités de mesure. Construction d un pictogramme 1 On trace un rectangle et on écrit chacune des catégories à l endroit approprié. 2 On choisit un symbole et l unité qu il représente, puis on indique le tout dans une légende. 3 On dessine les symboles. 4 On écrit le titre du diagramme au-dessus du graphique. 20

21 Diagramme à lignes brisées Sert principalement à représenter des données qui évoluent dans le temps. Construction d un diagramme à lignes brisées 1 On trace deux axes perpendiculaires orientés et on identifie chacun de ces deux axes. 2 On gradue chacune des axes de façon appropriée. 3 On repère la position des points. 4 On trace la ligne brisée. 5 On écrit le titre du diagramme au-dessus du graphique. Histogramme Diagramme qui sert principalement à représenter des données regroupées en classes d un tableau de distribution de fréquences ou de fréquences relatives. Il ressemble beaucoup au diagramme à bandes verticales mais présente toutefois des caractéristiques qui lui sont propres. Construction d un histogramme 1 On trace deux axes perpendiculaires orientés et on identifie chacun de ces deux axes. 2 On gradue chacune des axes de façon appropriée. 3 Pour chaque classe, on construit un rectangle dont la hauteur correspond à la fréquence ou à la fréquence relative de la classe, selon le cas. 4 On indique le milieu de chaque classe sur l axe horizontal. 5 On écrit le titre du diagramme au-dessus du graphique. 21

22 Présenter l information des tableaux suivants comme demandé 32 Construire un diagramme à bandes horizontales Composition des déchets municipaux, Québec, 1985 Catégorie Pourcentage Papiers et cartons 28,5 Verre 10,9 Métaux ferreux 5,6 Métaux non ferreux 1,1 Plastiques 10,3 Matières putrescibles 29,1 Bois 2,4 Autres matières 12,1 Source des données : Bureau de la statistique du Québec. Le Québec statistique 1989, 59 e éd., Québec, Les publications du Québec, 1989, p Construire un pictogramme Principales sources d écoute de la musique, Québec, 1986 Source d écoute Pourcentage Radio 73 Disques 10 Cassettes 15 Plus d une source 2 Source des données : Bureau de la statistique du Québec. Le Québec statistique 1989, 59 e Québec, Les publications du Québec, 1989, p éd., 22

23 34 Construire un diagramme circulaire Réparation de la population du collégial selon la discipline, Québec, Programme Nombre d élèves Sciences pures et de la santé Sciences humaines Arts et lettre Techniques biologiques et physique Techniques humaines Techniques administratives Arts appliqués Hors programme Source des données : Bureau de la statistique du Québec. Le Québec statistique 1989, 59 e Québec, Les publications du Québec, 1989, p éd., 35 Construire un histogramme Répartition de la population canadienne selon le groupe d âge, 1986 Âge (en années) Fréquence relative (%) et plus 15 S ource des données : Bureau de la statistique du Québec. Le Québec statistique 1989, 59 e éd., Québec, Les publications du Québec, 1989, p

24 36 Construire un diagramme à ligne brisée Évolution de la valeur du dollar américain par rapport au dollar canadien, Années Valeur du dollar américain (en dollars canadiens) , , , , ,19 Source des données : L état du monde , Montréal, Éditions La Découverte/Éditions du Boréal,

25 Probabilités Univers des possibles Ensemble qui se compose de tous les résultats possibles d une expérience aléatoire. On désigne l univers des possibles par la lettre U. Diagramme en arbre Pour établir l univers des possibles d une expérience aléatoire plus complexe, on se sert du diagramme en arbre. Il est formé de branches, chaque branche correspond à un résultat d une expérience aléatoire. Construction d un diagramme en arbre 1 On trace des droites verticales en traits discontinus pour délimiter les sections et on titre chacune des sections. 2 On trace la 1 re section de l arbre. 3 On trace la 2 e section de l arbre. 4 On trace les sections 3, 4 et suivantes si nécessaire. 5 On forme un couple à l extrémité de chaque branche. 6 On écrit l univers des possibles de l expérience aléatoire. La lecture d un diagramme en arbre se fait toujours de gauche à droite. Le nombre de branches de la section la plus à droite de l arbre est égal au nombre d éléments de l univers des possibles U. 25

26 37 Annabelle écrit le nom de ses six invités sur des cartons. Dans un premier chapeau, elle dépose les cartons qui portent les prénoms masculins : Benito (B), Charles (C) et Michel (M). Dans le second chapeau, elle dépose ceux qui portent les prénoms féminins : Éléna (E), France (F) et Guylaine (G). Elle forme ensuite des couples au hasard en tirant un carton du premier chapeau puis un carton du second chapeau. Dressez l arbre de tous les couples qu il est possible de former de cette manière en représentant chaque invité par l initiale de son prénom. Donnez ensuite l ensemble de tous les résultats possibles de cette expérience, c est-à-dire l univers des possibles, U. 26

27 Événement Un événement est un sous-ensemble de l univers des possibles u. Déterminer un événement E, c est déterminer l ensemble de tous les couples ou triplets qui représentent les résultats par lesquels l événement est réalisé. Dans certains cas, cet ensemble peut être vide ou encore être identique à l univers des possibles. Exemple : Obtenir pile au moins 2 fois lorsqu on lance une pièce de monnaie 3 fois. Probabilité d un résultat ou d un événement Correspond aux chances que ce résultat ou cet événement survienne. Calcul de la probabilité d un événement. Lorsqu on effectue une expérience aléatoire, la probabilité qu un événement E se réalise est égale à P E nombre d ' éléments de E nombre d ' éléments de U La probabilité d un événement E est un nombre compris entre 0 et 1 ou un pourcentage compris entre 0% et 100%. 27

28 38 Josée passe un test qui comporte trois questions numérotées 1, 2, 3. Pour chacune des questions, il y a trois réponses possibles : A, B et C. a) Construire l arbre qui illustre toutes les réponses possibles aux trois questions du test. b) Décrire sous la forme d un ensemble l événement E 1 : les trois réponses au test sont identiques. c) Décrire sous la forme d un ensemble l événement E 2 :au plus, deux des trois réponses au test sont identiques. 39 Un vase contient une bille noire (N), une bille blanche (B) et deux billes rouges (R 1 et R 2 ). On retire successivement trois billes du vase, sans y remettre les billes déjà tirées. Avant de calculer quelque probabilité que ce soit, compléter l arbre des résultats. a) Calculer la probabilité du résultat (B, N, R 1 ). b) Calculer la probabilité de l événement E 1 : ne pas obtenir de bille noire en trois tirages successifs. c) Calculer la probabilité de l événement E 2 : obtenir au moins une bille rouge en trois tirages successifs. 28

29 Corrigé 32) Composition des déchets municipaux, Québec, 1985 Catégorie Autres matières Bois Matières putrescible Plastiques Métaux non ferreux Métaux ferreux Verre Papiers et carton Pourcentage 29