Ch.G3 : Distances et tangentes

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1 4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 1 sur 14 1 DISTC D U PIT À U DRIT Ch.G3 : Distances et tangentes 1.1 Définition ex 1 DÉFIITI 1 : Soit une droite et un point n'appartenant pas à. La distance du point à la droite est égale à H où H désigne le pied de la perpendiculaire à passant par. Remarque 1 : La longueur H est alors la plus courte distance entre le point et tous les points de la droite. xemple 1 : Soit une droite et un point n'appartenant pas à. esure la distance du point à la droite. n trace la droite perpendiculaire à qui passe par le point. n mesure la longueur H où H est le pied de la perpendiculaire à. xercice n 1 page 178 Construis un triangle, rectangle en, tel que = 6,5 cm et = 2,5 cm. a) Calcule la distance du point à la droite (). 2 = ,5 2 = 2 + 2,5 2 2 = 6,5 2 2,5 2 2 = 36 = 36 = 6 () () 6 cm b) Peux-tu trouver un point P sur la droite () tel que P = 5,8 cm? Pourquoi? () P () P = 5,8 cm xercice n 1 page 179 bserve, recopie et complète : a) La distance du point S à la droite (LT) est. b) La distance du point T à la droite est 6 cm. c) Le point est situé à 10,5 cm de la droite. d) Le point est situé à de la droite (RF). e) La distance du point à la droite (R) est comprise entre... et. S (LT) 8 cm T (LS) 6 cm R 10,5 (F) 6 cm (RF) H. Rorthais (Collège.D. de l bbaye à antes)

2 4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 2 sur 14 (R) 10,5 cm 13,5 cm xercice n 2 page 179 ïe, aïe, aïe a) Sur ton cahier, trace deux droites (m) et ainsi qu'un point P, comme sur le dessin. b) Jean, debout sur la digue, veut aller se baigner mais il doit d'abord passer par le parasol (au point P) pour prévenir ses parents. Représente sur ton schéma le trajet que Jean doit emprunter afin de marcher le moins longtemps sur le sable rendu brûlant par les rayons du Soleil. (m) P xercice n 4 page 179 Un point étant donné, construis trois droites (d 1 ), (d 2 ) et (d 3 ) telles que soit situé à 4 cm de chacune d'entre elles. (d2) (d1) (d3) xercice n 6 page 179 Construis le triangle FG tel que G = 5 cm, FG = 6 cm et GF = 68. a) Construis le point S équidistant de F et G, le plus proche possible du point. b) Démontre que les droites (S) et (FG) sont parallèles. S G F H. Rorthais (Collège.D. de l bbaye à antes)

3 4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 3 sur 14 S F G S [FG] S (S) (S) (FG) (S) (FG) xercice n 7 page 179 Soient une droite et un point situé à 2 cm de. Fais une figure puis place tous les points situés à la fois à 4 cm de et à 3 cm du point. xercice n 8 page 179 Soient une droite et un point T appartenant à la droite. Fais une figure puis colorie en bleu la région du plan contenant les points situés à la fois à plus de 2 cm de et à moins de 3 cm de T. T H. Rorthais (Collège.D. de l bbaye à antes)

4 4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 4 sur 14 xercice n 30 page 182 n considère le triangle rectangle représenté ci-contre. Calcule l'arrondi au millimètre de la distance du point à la droite (). 3 cm [] 8 cm 2 = = = = = 55 cm 2 = 55 7,4 cm () xercice n 34 page 182 UL est un triangle tel que L = 28, UL = 45 et U = 53. Quelle est la distance du point U à la droite (L)? Justifie. UL [U] L U 2 = 53 2 = LU 2 + L 2 = = = U 2 = LU 2 + L 2 UL U L U (L) UL = 45 2 TGT À U CRCL U PIT X 4 À 6 DÉFIITI 2 : La tangente à un cercle ( ) de centre en un point de ( ) est la droite passant par et perpendiculaire au rayon []. Remarque 2 : La distance entre le centre d'un cercle et toute tangente à ce cercle est égale au rayon. xemples 3 : Soit ( ) un cercle de centre et un point de ce cercle. Trace la droite ( ) tangente au cercle ( ) en. ( ) ( ) ( ) n trace le rayon []. n trace la droite ( ) perpendiculaire en à la droite (). La droite ( ) est la tangente en au cercle ( ). xercice n 4 page 178 Trace un cercle ( ) de centre et de rayon 2 cm. Place trois points, et P sur le cercle puis construis les tangentes à ( ) en, et P. H. Rorthais (Collège.D. de l bbaye à antes)

5 4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 5 sur 14 P ( ) [] () ( ) xercice n 5 page 178 Soit ( ) un cercle de diamètre []. Trace ( ) et les tangentes au cercle ( ) respectivement en et. Démontre que les droites ( ) et sont parallèles. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [] ( ) () ( ) () ( ) () xercice n 9 page 179 bserve la figure ci-contre et en te référant au codage, indique pour chacune des droites (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ) et (d 4 ) à quel cercle et en quel point elles sont tangentes. ( ) (d 1 ) ( 1) ( 2) (d 2 ) R P Q U S T (d 4 ) (d 3 ) V W ( 3) (d 1 ) ( 1 ) R (d 2 ) ( 2 ) P ( 3 ) T H. Rorthais (Collège.D. de l bbaye à antes)

6 4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 6 sur 14 (d 3 ) ( 3 ) W (d 4 ) ( 1 ) S ( 2 ) xercice n 10 page 180 Un cercle et trois tangentes a) Trace un cercle ( ) de rayon 3,5 cm, trace un diamètre [] de ce cercle puis place un point sur ( ) à 4 cm de. b) Construis trois tangentes (d ), (d ) et (d ) en, et au cercle ( ). xercice n 11 page 180 Distances et tangentes a) Trace une droite et place un point à 5 cm de puis trace le cercle ( ) de diamètre 5 cm, passant par et 1 dont la droite est une tangente. b) Peux-tu tracer un cercle ( ) de diamètre 4,6 cm passant par et dont la droite est une tangente? Justifie. 2 ( ) 4,6 cm 2 xercice n 12 page 180 Trace deux droites parallèles et (d' ). Construis un cercle ( ) tel que et (d' ) soient toutes les deux tangentes à ( ). Quelle est la position de son centre? H. Rorthais (Collège.D. de l bbaye à antes)

7 4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 7 sur 14 (d' ) (d') xercice n 14 page 180 Un quadrilatère bien connu a) Trace un cercle ( ) de centre et deux rayons [] et [] perpendiculaires. Trace les tangentes à ( ) passant par et et place, leur point d'intersection. b) Quelle est la nature du quadrilatère? Justifie. () ( ) () () () () = xercice n 15 page 180 Sur la figure ci-contre, est la tangente en au cercle ( appartenant à tel que L = 38. Calcule, en justifiant, la mesure de l'angle L. ) de centre et L est un point L ( ) () L L = 38 L = 90 L = 180 ( ) = = 52 ctivité n 3 page 175 De qui est-ce la trace? Dans cette activité, tu vas manipuler la figure TracenPoche disponible à l'adresse : dans les compléments du niveau 4 e. H. Rorthais (Collège.D. de l bbaye à antes) 180

8 4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 8 sur 14 1) ature d'une trace a) Quel point peux-tu déplacer sur cette figure? Quels points bougent alors automatiquement? Comment, selon toi, a-t-on obtenu les points F et G? Vérifie avec Tracenpoche. b) Lorsqu'on déplace le point, il laisse parfois une trace rouge. Pour quelles positions du point cela se produit-il? Vérifie avec TracenPoche. Déplace le point afin d'avoir la plus grande trace rouge possible. F G F G [x) [y) 2) Une conjecture F = G a) À l'aide du bouton, trace la bissectrice de xy. Que remarques-tu? b) Place un point sur la bissectrice de xy en utilisant le bouton. c) Une fois les constructions nécessaires effectuées, fais afficher les distances de à chacun des deux côtés de l'angle. Que remarques-tu lorsque tu déplaces? d) Complète les deux propriétés suivantes (qu'on utilise dans la éthode 3 et qu'on démontre dans l'exercice 38.) : «Si un point est situé des côtés d'un angle alors il appartient à.», et réciproquement : «Si un point appartient à alors il est situé de cet angle.». xy ctivité n 4 page 175 Un cercle bien calé 1) Construction et observation a) vec TracenPoche, à l'aide du bouton, construis un cercle de centre et de rayon trois unités de longueur. Place trois points, et C sur ce cercle, trace les trois rayons [], [] et [C] puis les trois tangentes au cercle en ces points. b) Déplace si besoin, et C afin que ces trois tangentes forment un triangle contenant le cercle. omme D, et F les trois sommets de ce triangle. c) Utilise TracenPoche pour dire si le triangle DF peut posséder un angle obtus. Peut-il être rectangle? Peut-il être équilatéral? Précise alors la position du centre du cercle. H. Rorthais (Collège.D. de l bbaye à antes)

9 4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 9 sur 14 C DF DF DF d) est-il plus proche de (D) ou de (DF)? Justifie. Que peut-on en déduire concernant le point et l'angle DF? t que dire du point et des angles DF et FD? Vérifie ta réponse à l'aide de TracenPoche en effectuant les tracés nécessaires. [] [] = (D) (DF) DF DF FD 2) ise en situation et démonstration a) Sur ton cahier, trace un grand triangle DF puis les bissectrices des angles DF et DF qui se coupent en. b) Démontre que est équidistant des trois côtés du triangle DF. c) Comment tracer la bissectrice de FD en n'utilisant que ta règle non graduée? Justifie. d) n t'inspirant de la première partie, trace un cercle particulièrement intéressant! F D DF DF [D] [F] [DF] DF DF DF FD DF () DF 3 ISSCTRIC D'U GL T CRCL ISCRIT X 7 À 9 THÉRÈ 2 : Si un point est situé à la même distance des côtés d'un angle alors il appartient à la bissectrice de cet angle. Réciproquement, si un point appartient à la bissectrice d'un angle alors il est situé à la même distance des côtés de cet angle. xemple 4 : Soit un triangle C. Place à l'intérieur du triangle un point afin qu'il soit à égale distance des H. Rorthais (Collège.D. de l bbaye à antes)

10 4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 10 sur 14 côtés [] et [C]. Le point se situe à égale distance des côtés [] et [C]. Propriété : si un point est situé à la même distance des côtés d'un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle. Donc le point se situe sur la bissectrice de l'angle C formé par les segments [] et [C]. C THÉRÈ 2 : Les trois bissectrices des angles d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle. Remarque 3 : Les trois côtés d'un triangle sont tangents au cercle inscrit dans ce triangle. K R xercice n 7 page 178 Construis un triangle. n note (d 1 ) la droite (), (d 2 ) la droite () et (d 3 ) la droite (). Place le point U afin qu'il soit équidistant des droites (d 1 ) et (d 3 ) et équidistant des droites (d 1 ) et (d 2 ). U xercice n 8 page 178 Construis un triangle RS tel que R = 7 cm ; S = 8 cm et RS = 9 cm puis son cercle inscrit. S R xercice n 9 page 178 Soit un cercle ( ). Trace un triangle IL tel que ( ) soit inscrit dans le triangle IL. H. Rorthais (Collège.D. de l bbaye à antes)

11 4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 11 sur 14 I ( ) L xercice n 17 page 180 Sur la figure ci-contre, la droite (R) est la bissectrice de l'angle F. Démontre que le triangle FR est isocèle en R. F R F R R = RF FR R xercice n 19 page 180 Trace un cercle ( ) de centre puis place deux points et non diamétralement opposés sur ce cercle. Trace les tangentes en et en au cercle ( ) et place, leur point d'intersection. Démontre que le point appartient à la bissectrice de l'angle. = () () () () () () xercice n 20 page 181 bserve le dessin à main levée ci-contre. Démontre que le point U est équidistant des droites (RS) et (RT). S U R T RSU = SUT STU = RTU (SU) RST (TU) RTS H. Rorthais (Collège.D. de l bbaye à antes)

12 (ST) (RT) 4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 12 sur 14 U (RS) (ST) U U (RS) (RT) xercice n 21 page 181 Une histoire d'angles a) Détermine, en justifiant, la mesure de l'angle IR. b) Que représente le point I pour le triangle UR? Justifie. c) Déduis-en les mesures des angles UI et IU. U 70 I UR UR = 70 RU = R 180 UR = 180 ( ) = = 50 UI = 25 IR = = 25 UI = IR URI = IR (I) UR (RI) RU I UR UR I UR (UI) UR UI = IU = UR = = 35 xercice n 22 page 181 Cercle inscrit Dans chaque cas, construis le triangle C puis son cercle inscrit. a) C = 8 cm, C = 60 et C = 50. b) C = 10 cm, = 8 cm et C = 45. C H. Rorthais (Collège.D. de l bbaye à antes)

13 4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 13 sur 14 c) C est isocèle en tel que = 9 cm et C = 6 cm. C C d) C est un triangle équilatéral de côté 7,5 cm. C xercice n 23 page 181 Trace un triangle dont le cercle inscrit a un rayon de 2,7 cm. H. Rorthais (Collège.D. de l bbaye à antes)

14 4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 14 sur 14 2,7 cm xercice n 24 page 181 Une histoire d'angles, bis a) Trace un triangle C rectangle en tel que = 8 cm et C = 30. Trace les bissectrices des angles Cet C. C I b) n appelle I le centre du cercle inscrit dans le triangle C. Calcule, dans cet ordre, les angles C, IC, CI et IC. C C = 90 C = 30 C = 180 ( ) = = 60 (IC) C IC = C = 60 2 = 30 I C (I) C CI = C 2 = 90 2 = 45 IC CI = 45 IC = 30 IC = 180 ( ) = = H. Rorthais (Collège.D. de l bbaye à antes)

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