Plan. Définition, Historique, Régression Linéaire Multiple. Interprétation géométrique de la solution, Lien avec l analyse de Corrélation Canonique,
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- Adeline Dumouchel
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1 Plan Défnon, Régresson Lnéare Mulple Massh-Réza Amn Technques d Analyse de Données e Théore de l Informaon Maser M IAD Parcours Recherche amn@polea.lp6.fr Hsorque, Inerpréaon géomérque de la soluon, Len avec l analyse de Corrélaon Canonque, Récapulaf soluons de VPG hp://www-connex.lp6.fr/~amn Laboraore d Informaque de Pars 6 Régresson Lnéare Mulple Hsorque Les modèles de régresson enen de rouver une relaon enre deux varables aléaores x R p e y R On cherche à rouver une dépendance fonconnelle enre les sores réelles comme foncon des enrées De prévor la valeur de y connassan celle de x En régresson lnéare la forme de la dépendance fonconnelle es une droe: y=x w+w 0 ( ) w 1,...,w p Il s ag c d esmer une varable réelle par une combnason lnéare des caracérsques d enrée Cas parculer de la corrélaon canonque avec q =1. Le premer raval sur la régresson lnéare à éé publé par Legendre en La méhode des mondres carrés. Gauss préenda la connassance de cee méhode depus Legendre e Gauss on applqué cee méhode pour prédre l orbes des planèes à parr des observaons asronomques Gauss a publé en 181 une héore sur la méhode des mondres carrés Incluan une verson du héorème Gauss-Markov D aures éudes on éé menées ou le 19 ème e le débu de 0 ème sècle pour décrre des phénomènes bologques e éendues à un conexe sasque général par Pearson, Yule (1877,1885) e Fsher (19). Laboraore d Informaque de Pars 6 3 Laboraore d Informaque de Pars 6 4
2 Régresson au sens des mondres carrées Régresson au sens des mondres carrées () On cherche une foncon f :R p R qu préd la valeur de y connassan x On suppose qu l exse une relaon enre x e y à ravers une dsrbuon de probablé jone p(x,y) Pour rouver les paramères de la foncon f on défn une foncon de rsque L(y,f(x)) qu pénalse les erreurs de prédcons. Au sens des mondres carrées la foncon de rsque es ECM ( f ) = E( Y f ( )) = ( y f ( x) ) p( x, y) dxdy Y = E [ E[ ( Y f ( )) ] Pour rouver la foncon qu mnmse cee expresson l suff de mnmser ECM pour ou x f ( x) = arg mn E ( Y c) = x La soluon es c Y ( x) E( Y ) f = [ ] Laboraore d Informaque de Pars 6 5 Laboraore d Informaque de Pars 6 6 Inerpréaon géomérque Inerpréaon géomérque () L espace de oues les varables aléaores sur le même expérmenal forme un espace de Hlber s on le mun du produ scalare,y = E( Y ) Dans ce cas pour des varables cenrées La norme des varables cenrées es leur écar-ype, La covarance enre e Y es le produ scalare des varables. Pour des varables cenrées, l espérance de es la projecon orhogonale de sur la droe des consanes. So L le sous-espace de Hlber consué des varables aléaores foncons seulemen de. On peu monrer que L es fermé e conen la droe des consane D C L opéraeur qu assoce à chaque varable aléaore son espérance condonnelle à es un opéraeur lnéare dempoen E(Y ) es donc le projeceur orhogonal de Y sur L Laboraore d Informaque de Pars 6 7 Laboraore d Informaque de Pars 6 8
3 Inerpréaon géomérque (3) Pods de la combnason lnéare - Résoluon analyque E(Y ) es une projecon orhogonale sur L, le mnmum de es aen pour f()=e(y ). E [( Y f ( )) ] = Y f ( ) Pour chaque enrée x R p on cherche à prédre une sore réelle suvan un modèle lnéare. f(x)=x w En supposan qu on cherche à déermner les paramères w sur un ensemble d apprenssage (x 1, y 1 ) (x n, y n ). L Y - f() Y f()=e(y ) 0 D C Le crère d opmsaon es l erreur carrée moyenne (ECM) ECM( w ) = n = =1 ( y x w) ( Y w) ( Y w) Laboraore d Informaque de Pars 6 9 Laboraore d Informaque de Pars 6 10 Pods de la combnason lnéare - Résoluon analyque () Pods de la combnason lnéare - Résoluon analyque (3) Les dérvées parelles d ordre 1 e de ECM en foncon de Β son : ECM =. w ECM = w w.( Y w) S. es non sngulère (.e. de(. ) 0), l exse alors une soluon unque qu mnmse ECM : Pour une enrée le modèle préd la sore : ŵ = 1 ( ) Y = ŵ = 1 ( ) Y La soluon de la régresson ŵ vérfe Y x ( Y ŵ) = ( Y ) = 0 La réponse du modèle, es la projecon orhogonale de Y sur l espace des données. = ŵ = x 1 1 ( ) Y Marce de projecon Laboraore d Informaque de Pars 6 11 Laboraore d Informaque de Pars 6 1
4 Pods de la combnason lnéare - Résoluon VPG Pods de la combnason lnéare - Résoluon VPG () Pour des varables e Y cenrées la soluon de la régresson es D après la relaon de Pyhagore Mnmser Y Maxmser 1 ŵ = C C xy Y = Y + Maxmser ( Y, ) cos = Y Pour des varables cenrées, cos(y,f())=cor(y,f()) Len avec l ACC L Y Laboraore d Informaque de Pars 6 13 Y Y Le bu de la régresson es donc de rouver w qu maxmse La dérvée parelle de c par rappor à w E c = cos ( Y, w) c = 1 w Y w C w Y w Cxy = = Y w w Y w C w w ŵ 1 ( C λ C w) xy C C xy w λ w Cxy w = w C w Laboraore d Informaque de Pars 6 14 Le cas où Y réel régresson Le cas où Y {-1,1} classfcaon y x ŷ x.β +γ O = 0 yˆ y y x 1 x Laboraore d Informaque de Pars 6 15 Laboraore d Informaque de Pars 6 16
5 Récapulaf Résoluon de B -1 Aw=λw AFD ACP ACC B = S w A = S B Trouver la drecon w qu dscrmne au meux les classes en projecon B = I A = C Trouver les drecons w x e w y qu maxmsen le carré de corrélaon enre e Y C B = 0 0 A = C yx 0 C yy Cxy 0 Cluserng conrane avec des varéés géomérques Trouver les drecons w qu déformen le mons possble les dsances en projecon Trouver la combnason lnéare w la plus proche de Y au sens ERM RLM Laboraore d Informaque de Pars 6 17 Laboraore d Informaque de Pars 6 18 Algorhmes de Cluserng Algorhme de Kmeans Bu : Regrouper (ou segmener) une collecon de données en dfférens ensembles, el que les ndvdus d un groupe donné soen plus lés les uns des aures (au sens d une smlaré) qu avec ceux d aures groupes. Un obje peu-êre décr par un ensemble de mesures ou par sa relaon à d aures objes. Deux éapes éraves : Défnon de la relaon enre ndvdus avec une mesure de smlaré (dsance eucldenne, score, ) Décson pour le paronnemen (enrope, ) Laboraore d Informaque de Pars 6 19 Laboraore d Informaque de Pars 6 0
6 Cluserng - Kmeans Algorhme CEM Inalsaon cenroïdes ème éraon 1 u x u k log p( x, y = k) k Laboraore d Informaque de Pars ème éraon Laboraore d Informaque de Pars 6 Nouveaux ypes d algorhmes de cluserng Cluserng par conranes On ulse l a pror sur les classes des exemples Cluserng dans l espace mplce On ulse l a pror sur l espace avec les noyaux Cluserng srucuré On ulse l a pror sur l hérarche Cluserng ulsan l a pror de classes e la srucure des données Idée nouvelle (004) On cherche un graphe sans boucle connecan les exemples, On fa propager les équees des exemples équeés sur ce graphe jusqu à convergence. Soluon parelle S on a pluseurs classes, l fau applquer l algorhme pluseurs fos à la sue sur chacune des classes. Laboraore d Informaque de Pars 6 3 Laboraore d Informaque de Pars 6 4
7 Problème joue en D: clowns Méhode de cluserng avec les varéés géomérques (Zhou e al. ICML 004) Laboraore d Informaque de Pars 6 5 Laboraore d Informaque de Pars 6 6 Méhode de cluserng avec les varéés géomérques (Zhou e al. ICML 004) α=0.3 Laboraore d Informaque de Pars 6 7 Laboraore d Informaque de Pars 6 8
8 α=0.6 α=0.6, classe Laboraore d Informaque de Pars 6 9 Laboraore d Informaque de Pars 6 30
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