PRÉPARATION DU BACCALAURÉAT MATHÉMATIQUES. SÉRIE ES Obligatoire et Spécialité

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1 PRÉPARATIN DU BACCALAURÉAT MATHÉMATIQUES SÉRIE ES bligatoire et Spécialité Décembre 0 Durée de l épreuve : heures Coefficient : ou L usage d une calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, sans imprimantes et sans documents d accompagnement, est autorisé. Tout échange ou prêt de calculatrice est rigoureusement interdit. Le sujet est composé de quatre exercices indépendants. Le candidat doit traiter les exercices à. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. L exercice est différent pour les candidats suivant la spécialité. Pour les candidats concernés, l exercice de spécialité doit être présenté sur une copie à part avec en titre Spécialité Avant de composer, le candidat s assurera que le sujet comporte bien pages numérotées de à.

2 EXERCICE Commun à tous les candidats points Partie A Lors d un salon de l Automobile, un sondage a été effectué auprès de 00 visiteurs intéressés par l achat d une voiture. Ce sondage portait sur quatre types de véhicules berlines ( citadine, familiale, haut de gamme et véhicule x) et deux motorisations ( diesel, essence ). Les résultats sont les suivants : - sur les 00 visiteurs préférant un véhicule à moteur essence, 0 recherchent une berline familiale, sur une citadine et % un véhicule x ; - quant aux visiteurs préférant un véhicule à moteur diesel, 0% sont intéressés par une berline familiale, % par une berline haut de gamme, et le quart par un véhicule x.. Justifier les affirmations suivantes : 0 visiteurs sont intéressés par un véhicule x à moteur à essence. 0 visiteurs sont intéressés par une berline haut de gamme à moteur diesel.. Recopier sur votre copie et compléter le tableau suivant : Nombre de visiteurs intéressés par : Un moteur diésel Un moteur à essence Total Une citadine Une berline familiale 0 Une berline haut de gamme 0 Un véhicule x 0 Total Quel est, parmi les visiteurs préférant les citadines, le pourcentage de ceux préférant la motorisation diesel? Partie B La grande marque de voiture Peunault accordait aux acheteurs une prime de 000 euros en 00 pour la reprise de leur véhicule. Pour 00, la prime a été augmentée de % et pour 009, la prime a été augmentée de 9%.. Calculer le montant de la prime en 00 et en Calculer, sous forme décimale, puis sous forme de pourcentage, le taux global correspondant aux deux évolutions successives de 00 et De 00 à 00 la prime avait été augmentée de %. Donnez la valeur approchée à un euro de la prime en 00.

3 EXERCICE points Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte. Une réponse juste rapporte un point. L absence de réponse ou une réponse fausse ne rapporte ni n enlève de point. Relevez sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. n note f la fonction définie sur l intervalle [0 ; ] dont la courbe représentative (C) est donnée ci-dessous. Le point A( ; 0) appartient à la courbe (C) et la droite (d) est la tangente à la courbe (C) au point A. n note f la dérivée de f. (C) (d). Le minimum de la fonction f est : a. 0 b., c.,. f ()= a. 0 b. c.. Pour tout réel x de l intervalle [ ; ], a. f (x) 0 b. f (x)=0 c. f (x) 0 A. L équation f (x)= - - a. n a pas de solution b. a trois solutions c. a deux solutions - -. n donne ci-dessous trois courbes. Celle qui représente f est - a. C b. C c. C (C ) (C ) (C )

4 EXERCICE Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité points Une association organise un rallye sportif en VTT : six zones de regroupement sont déterminées et sont reliées par des chemins. Ce parcours est modélisé par le graphe ci-dessous, où les sommets de A à F représentent les zones de regroupement, et les arêtes les chemins. Les arêtes sont pondérées par les distances, exprimées en kilomètres, nécessaires pour parcourir ces chemins. Les candidats sont positionnés initialement sur la zone A et doivent, après avoir parcouru tous les chemins, revenir à la zone initiale. Chaque fois qu un candidat emprunte pour la première fois un chemin il doit déposer, à un endroit précis, un jeton personnalisé, attestant son passage. E B A 0 C F D. Quel nombre minimal de jetons est-il nécessaire de donner à chaque candidat?. Un candidat souhaite faire le parcours, en empruntant tous les chemins une fois et une seule. Est-ce possible? Justifier la réponse.. Soit M la matrice associée au graphe G ( on ordonne les sommets dans l ordre alphabétique). a. Écrire la matrice M. 9 9 b. n donne les matrices M = et M 9 9 = 9 9 Un candidat est actuellement au point de rendez-vous D et on lui signale qu il a oublié son dossard au point B. Devant le récupérer, il souhaite emprunter au maximum trois chemins. Combien a-t-il de possibilités? c. Donner, le trajet correspondant à la distance la plus courte lui permettant d aller récupérer son dossard.

5 EXERCICE Commun à tous les candidats points La population de l Allemagne (nombre de personnes résidant sur le territoire allemand) s élevait à 0 habitants au premier janvier 0. De plus, on sait qu en 0, le nombre de naissances en Allemagne ne compense pas le nombre de décès, et sans tenir compte des flux migratoires on estime le taux d évolution de la population allemande à 0, %. n admet que cette évolution reste constante les années suivantes. Les résultats seront arrondis à l unité Partie A n propose l algorithme suivant : Entrée : Saisir le nombre entier naturel non nul S. Traitement : Affecter à U la valeur 0 {initialisation} Affecter à N la valeur 0 {initialisation} Tant que U>S Affecter à U la valeur 0,99 U Affecter à N la valeur N+ Fin tant que Sortie : Afficher N n saisit en entrée le nombre S = Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats à l unité. Quel nombre obtient-on en sortie? Partie B U 0... N 0... Test U>S Vrai... n note u n l effectif de la population de l Allemagne au premier janvier 0+n.. Déterminer u 0 et u.. a. Justifier que la suite (u n ) est une suite géométrique, de er terme 0 et de raison 0,99. b. Exprimer u n en fonction de n.. Si cette évolution de 0,% se confirme : a. Quel serait l effectif de la population de l Allemagne au premier janvier 0? b. En quelle année la population passera-telle au-dessous du seuil de habitants? Partie C Dans cette partie, on tient compte des flux migratoires : on estime qu en 0, le solde migratoire (différence entre les entrées et les sorties du territoire) est positif en Allemagne et s élève à 9 00 personnes. n admet de plus que le taux d évolution de 0,% ainsi que le solde migratoire restent constants les années suivant 0.. Modéliser cette situation à l aide d une suite (v n ) dont on précisera le premier terme v 0 ainsi qu une relation entre v n+ et v n.. Calculer v et v. Que peut-on conjecturer sur l évolution de la population de l Allemagne? (Données recueillies par l Institut national d études démographiques)

6 EXERCICE points Commun à tous les candidats Sur le graphique ci-dessous, sont tracées dans un repère orthogonal les courbes représentatives C f et C g de deux fonctions f et g définies sur l intervalle [0; 0]. La fonction f est la fonction de demande d un produit, elle met en correspondance le prix f (x) du produit et la quantité x achetée par les consommateurs. La fonction g est la fonction d offre, elle met en correspondance le prix g (x) du produit et la quantité x vendue par les producteurs. La quantité est exprimée en milliers d unités et le prix en centaine d euros. Prix (centaine d euros) 0 9 (C g ) 0 9 (C f ) 0 Quantité (milliers d unités) Partie A. Résoudre graphiquement les équations f (x) = et f (x) =. En déduire quelle quantité est achetée par les consommateurs si le prix est de 00 euros, puis si le prix est de 00 euros.. Lire graphiquement au-dessous de quel prix les producteurs ne sont plus prêts à vendre.. Dans un marché à concurrence pure et parfaite, le prix d équilibre p 0 qui se forme sur le marché selon la «loi de l offre et de la demande» correspond à l égalité de l offre et de la demande. Déterminer graphiquement une valeur approchée de p 0 ainsi que la quantité demandée ou offerte permettant d atteindre ce prix d équilibre. Partie B La fonction f représentée sur le graphique est définie sur l intervalle [0;0] par f (x)= 0 x+. La fonction g, elle, est définie sur l intervalle [0;0] par g (x)= x +.. Justifier que résoudre l équation g (x)= f (x) revient à résoudre sur l intervalle [0;0] l équation x + x + x = 0.. Soit h la fonction définie sur [0;0] par h(x)= x + x + x a. Démontrer que h est strictement croissante sur [0;0]. Vous dresserez son tableau de variations complet sur [0;0]. b. Justifier que l équation h(x) = 0 admet une unique solution α sur [0; 0]. c. En utilisant votre calculatrice, déterminer un encadrement d amplitude 0 deα. En déduire la valeur arrondie à 0 deα.. En déduire une valeur approchée du prix d équilibre. Le résultat est il cohérent avec celui obtenu dans la partie A?

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