UNE MI~THODE POUR CALCULER UNE RISTOURNE ADI~QUATE POUR ANN~ES SANS SINISTRES. DR. F. BICHSEL Suisse

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1 UNE MI~THODE POUR CALCULER UNE RISTOURNE ADI~QUATE POUR ANN~ES SANS SINISTRES DR. F. BICHSEL Suisse En Suisse, les soci6t6s d'assurances bonifient ~ leurs assur6s en responsabilit6 civile autos une ristourne qui d6pend du nombre des ann6es sans sinistres, suivant le bar6me 1 ci-apr6s: Nombre des ann6es subs6quentes sans sinistres Ristourne en % de la prime I et plus lo% ~5% 20% 25% 30% Cette ristourne a pour but de tenir compte des facteurs d'ordre subjectif qui influencent le risque et qui ne peuvent 4tre pris en consid6ration dans les tarifs. Les deux questions suivantes se posent: A) Y a-t-il en r6alit6 des diff6rences darts le risque subjectif justifiant la bonification d'une ristourne pour anndes sans sinistres? B) Si oui, le bar6me indiqu6 ci-haut tient-il compte de ces differences d'une fa~on ad6quate? Le present travail a pour but de r6pondre k ces deux questions en appliquant les m6thodes modernes des tirages au sort. Question A Voici les r6sultats de quelques tirages au sort du portefeuille de,,la G6n6rale de Berne" x Depuis la r6daction de cet article, un nouveau syst~me a 6t6 introduit en Suisse. La ristourne est remplae6e par un bonus d6duit d'avance, et les pourcentages ont 6t6 angment6s.

2 UNE RISTOURNE ADI~QUATE POUR ANNI~ES SANS SINISTRES 107 No du tirage... la Ib 2a 2b PoHces conclues en I rt Force en C~... Nombre total des polices de chaque tirage k 4, I O -- 7,09 16o 7,10 4, ,O , dont avec k sinistres pendant 7, IO -- 15,o 9 3o7 les 3 ann6es O et plus... Nombremoyen des sinistres k... Variance s2(~)... lo ,52 0, ,49 I,OO ,67 1,O I o,7t 1,15 S'il n'y avait pas de diff6rences dans le risque subjectif, la variable al6atoire k devrait suivre la distribution de Poisson. Toutefois, on salt que dans ce cas, ~ devrait ~tre 6gal ~ s~(k), ce dont il n'est 6videmment pas question pour les chiffres ci-dessus. En cons6- quence, k n'est pas distribu6 d'apr~s Poisson, et l'existence de diff6rences dans le risque subjectif est prouv6e. On pourrait se demander si les diff6rences entre k et s2(k) sont de nature al6atoire. Une investigation sp6ciale a toutefois montr6 que si k suivait la distribution de Poisson, la probabilit6 pour des diff6rences aussi ~lev~es que celles des tirages indiqu~s ci-haut serait pratiquement nulle. Question B Le bar, me indiqu6 au d6but tient-il compte d'une fa~on adequate des diff6rences existant dans le risque subjectif? Pour la solution de ce probl~me, je pouvais me baser sur un travail du Dr. Martin Hofmann paru dans le volume 55 du Bulletin de l'association des Actuaires suisses et intitul~,,l~ber zusammengesetzte Poisson-Prozesse und ihre Anwendungen in der Unfallversicherung" (Processus de Poisson compos6s et leurs applications l'assurance-accidents).

3 IO8 UNE RISTOURNE ADI~QUATE POUR ANNEES SANS SINISTRES Pour simplifier, je fais l'hypoth~se que le risque subjectif n'influence que le nombre des sinistres et non pas leurs montants. I1 s'agit d'abord de trouver, pour le nombre des sinistres d'une police pendant un certain laps de temps, une distribution qui corresponde mieux & la r6alit6 que la distribution de Poisson. On arrive & une telle distribution si, dans la distribution de Poisson w(k; t) - k! on suppose que le param&tre X n'est pas une constante, mais une variable al6atoire. La distribution obtenue par cette op6ration est appeme,,distribution de Poisson compos6e" et la distribution de X sa,,fonction structurelle". Darts la formule (I), X nous donne le hombre moyen des sinistres par ann6e, (l'ann6e 6tant l'unitd de temps). Supposer que ce X n'est pas une constante pour le portefeuille, c'est admettre que le portefeuille se compose de sous-portefeuilles avec des ~ diff6rents. En d'autres termes, c'est supposer que le risque n'est pas le m~me pour toutes les polices du porteleuille par suite de differences dans le risque subjectif. En choisissant comme fonction structurelle la distribution r avec le moyen ~, ~-q et la variance 4, = qb on arrive ~t la distribution suivante: qlb xqlb -t - - e -x/b (2) r(qlb) W(k" t) ' = ~ + btj.~-~-~. I"(qlb) k! (3) avec le moyen ~2 = qt et la variance a~qt(bt+ i) Cette distribution est connue sous le nora de distribution binomiale n6gative ou distribution de Polya et Eggenberger. Pourquoi choisir la distribution F comme fonction structurelle?

4 UNE RISTOURNE ADi~QUA'fE POUR ANNI~ES SANS SINIS'i'RES IO 9 En voici les raisons: a) la distribution F donne pour des valeurs n6gatives de X la probabilit6 nulle, ce qui correspond au probl~me; b) la distribution F aboutit dans ce qui suit ~ des expressions simples; c) la distribution (3) obtenue avec la distribution F comme fonction structurelle n'est pas en contradiction avec les tirages an sort mentionn6s au d6but de ce travail, ce qui a 6t6 v~rifi~ par le test de Z ~. Or, nous cherchons la probabilitd W(k;t/o;t') qu'une police qui n'a pas ~td frapp6e de sinistres pendant t' ann6es aura k sinistres pendant lest ann6es suivantes. temps nombre des sinistres t 0 Soit : W(k; t'+t/o; t') = la probabilit6 qu'il y a k sinistres pendant le laps de temps (t'+t), sous condition qu'il n'y ait point de sinistres pendant t'; W(o; t') = la probabilit~ qu'il n'y a point de sinistres pendant t' ; W(o; t'/k; t'+t)= la probabilit~ qu'il n'y a point de sinistres pendant t', sous condition qu'il y ait k sinistres pendant le laps de temps entier (t'+t); W(k; t'+t) = la probabilit6 qu'il y a k sinistres pendant (t'+t). D'apr~s un th6or~me du calcul des probabilit6s, nous avons: W(k; t'+t/o; t'). W(o; t') = W(o; t'/k; t'+t). W(k; t'+t) (= W[(o; t') & (k; t'+t)]) d'ofi nous d~rivons l'expression suivante pour la probabilit~ cherch~e W(k; t/o; t') = W(k; t' +t/o ; t') W(o; t'/k; t'+t). W(k; t'+t) (4) W(o; t')

5 1IO UNE RISTOURNE ADI~QUATE POUR ANNEES SANS SINISTRES La probabilit6 W(o;t'/k; t'+t), c'est-a-dire la probabilit6 que k sinistres survenant pendant (t'+t) se concentrent exclusivement l'intervalle t, est 6videmment ~gale t~ (Nous supposons que la probabilit~ de survenance d'un sinistre est constante pendant tout le laps de temps t'+t). En introduisant dans la formule (4) pour W(k; t'+t) et W(o; t') les expressions donn~es par (3), nous obtenons: t') =[ i+bt (b ( bt t~ r(q/b+k) (5) W(k;t/o, r(q/b) k!- Nous constatons que cette expression a la m~me structure que (3) et que nous l'obtenons en introduisant dans (I), au lieu de X, dont la distribution est donn~e par (2), la nouvelle variable al~atoire I X' = 2, - - I +bt' (6) X nous donnait la frdquence des sinistres dans le portefeuille entier -- X' nous donne la fr6quence des sinistres dans le sous-portefeuille des polices rest~es sans sinistres pendant t' ann6es. I1 s'en suit que la fr~quence moyenne des sinistres dans le dit sousportefeuille est r6duite dans la proportion I : I+bt' par rapport la fr~quence moyenne dans le portefeuille entier. Au premier abord, on pourrait conclure de ce fait qu'il faudrait accorder aux polices rest6es sans sinistres pendant t' ann6es une ristourne de I de la prime (7), i+~ Toutefois, il faut tenir compte du fait que X' n'est pas une constante, mais une variable al6atoire, ce qui signifie que, dans le sous-portefeuille des polices rest6es sans sinistres pendant t' ann6es, il y a des polices dont la,,probabilit~ individuelle de sinistres" est bien sup6rieure A la probabilit6 moyenne. En d'autres termes, clans le dit sous-portefeuille, il y a des polices qui sont restdes sans sinistres par hasard et non pas pour cause d'un risque subjectif meilleur,

6 UNE RISTOURNE ADI~QUATE POUR ANN/~ES SANS SINISTRES III Ces r4flexions m'ont amen4 ~ 4tablir pour le calcul d'une ristourne ad4quate les r~gles suivantes: a) Une ristourne est accord4e seulement si t' est si 41ev4 que la probabilit4 d'une X' sup4rieure au moyen de X est inf4rieure ~ io%. En d'autres termes: la limite sup4rieure de IOn/o de la distribution de X' doit ~tre inf4rieure au moyen de X. b) La ristourne est 4gale ~ la diff4rence entre la fr4quence moyenne de sinistres du portefeuille entier et la limite sup4rieure de io~/o de la distribution de X'. En appliquant ces r~gles, on limite ~ Io% les cas oh une ristourne accord4e est trop 41ev4e par rapport au risque individuel de la police en question. L'4valuation num4rique des tirages 2a et 2b, bas4e sur les r~gles et formules pr4cit4es, conduit au m~me r4sultat pour les deux tirages, ~ savoir, au bar,me suivant pour une ristourne ad4quate: Nombre des ann6es subs6quentes sans sinistres I IO Ristourne en % de la prime 3,5% iz% x9% 25% 3o% En conclusion, je dois mentionner un fait dont je n'ai pas tenu compte dans mes calculs, mais qui influence s4rieusement les r4sultats obtenus. C'est le fait que les automobilistes n'ayant pas eu de sinistres pendant un certain nombre d'ann4es r~glent eux-m~mes les sinistres d'un montant mod4r4, afin de ne pas perdre la ristourne. Par ce fait, le bar, me ci-dessus ne donne pas la ristourne ad4quate elle-m~me, mais seulement une limite sup4rieure pour une ristourne ad4quate. Pour la mime raison, les tirages Ia et Ib conduisent ~ des ristournes bien sup4rieures ~t celles du barsme ci-dessus d4rivdes des

7 II2 UNE RISTOURNE ADI~QUATE POUR ANN1~ES SANS SIN1SI'RES tirages 2a et 2b, parce qu'il s'agit 1A de polices conclues en 1947 et 6tant donc en vigueur depuis de nombreuses ann6es. Pour rem6dier A l'inconv6nient caus6 par le fait pr6cit6, il y aurait deux moyens: a) consid6rer non seulement le hombre des sinistres, mais aussi leurs montants. b) 6carter des calculs, les sinistres d'un montant mod6r6. En proc6dant ainsi, il faudrait toutefois se baser sur des tirages d'une 6tendue beaucoup plus 61ev6e que celle des tirages mentionn6s au d6but de ce travail.

8 THEORIE DU BONUS CONSEQUENCES DE L'ETUDE DE MR. LE PROFESSEUR FRECHET ED. FRANCKX Belgique La th~orie du bonus n'en est qu'a ses d6buts et, afin d'en 6tudier une premiere approximation, Monsieur le Professeur Fr6chet a utilis6 la th6orie des chaines de Markoff-Poincar6; la premiere synth~se de cette th6orie a 6t6 donn6e dans son livre,,recherches th6oriques modernes sur le calcul des probabilit~s -- 2~me livre- Gauthier Villars". Nous trouvons qae l'id6e de Monsieur Frdchet, pr~cis~e dans un cadre bien d6fini d'hypoth~ses, est particuli~rement int6ressante et nous voudrions, quant ~ nous, essayer de d6gager pour les actuaires les consequences qu'une telle hypoth~se introduit. On pourra en d6duire une marche ~ suivre pour v6rifier dans quelle mesure cette hypoth~se cadre avec la r6alit~. L'hypoth~se fondamentale de Monsieur Fr~chet consiste admettre: i ) l'existence d'une probabilit6 pour qu'un v6hicule ayant eu i sinistres au cours de l'ann~e calendrier, subisse j sinistres au cours de l'exercice suivant; 2 ) que cette probabilit6 est ind~pendante de la voiture et de l'ann~e consid~r6e. Si nous consid6rons les possibilit6s r~duites k r = 3 cas (de fa~on simplifier l'expos6, ce qui ne limite enrien le raisonnement), les possibilit~s seront compl~tement d6finies par le tableau ou matrice de la chaine de Markoff-Poincar6 (voir page suivante). L'existence d'une chalne de Markoff-Poincar~ entraine un certain nombre de cons6quences, d6velopp~es et d6montr6es dans l'ouvrage cite de Monsieur FrSchet.