CLASSEMENTS, SCORES ET PROBABILITÉS DE VICTOIRE : CONSTRUCTION D UNE RÈGLE DE HANDICAP DE JEU

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1 CLASSEMENTS, SCORES ET PROBABILITÉS DE VICTOIRE : CONSTRUCTION D UNE RÈGLE DE HANDICAP DE JEU Loïc Champagne, Alain Coupet & Léo Gerville-Réache Université bordeaux Segalen - UFR STAPS, Avenue Camille Jullian Pessac Cedex

2 Introduction : autour de l écart de niveau entre deux joueurs

3 Méthode de construction d une règle de handicap Méthode de Ecart de Jeu à somme nulle Modèle Bradley-Terry Comptage du score victoire partie victoire point p 1/2 p = 1/2 Score avec Handicap=1,2, Règle de Handicap

4 Règle de Méthode de Ecart de Jeu à somme nulle Modèle Bradley-Terry Comptage du score victoire partie victoire point p 1/2 p = 1/2 Score avec Handicap=1,2, Règle de Handicap

5 Tableau d attribution des points en fonction de l écart de entre les joueurs A et B (FFTT-2012) COMPTAGE DES POINTS ECART DE VICTOIRES DÉFAITES VICTOIRES DÉFAITES POINTS NORMALES NORMALES ANORMALES ANORMALES ,5-4, , , Un joueur classé à , qui rencontre un joueur (mieux classé) à 1520

6 de victoire de la partie Méthode de Ecart de Jeu à somme nulle Modèle Bradley-Terry Comptage du score victoire partie victoire point p 1/2 p = 1/2 Score avec Handicap=1,2, Règle de Handicap

7 Principe du jeu à somme nulle } Soit K A, le nombre de points gagnés par A s il sort vainqueur contre B (A étant le mieux classé). } Soit K B, le nombre de points perdus par A s il sort perdant contre B. } On veut : PK + (1 P) K = 0 A A A B et donc P A = K A KB K B } On est donc en mesure de calculer, pour les K A et K B du tableau précédent, la probabilité que le mieux classé sorte vainqueur (P A ).

8 Lissage des probabilités de victoire par le modèle de Bradley-Terry 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 Victoire normale Defaite normale moyenne 0,50 0, } Un lissage permet d associer, à tout écart de entre deux joueurs, une probabilité de victoire pour le joueur le mieux classé.

9 de victoire d un point Méthode de Ecart de Jeu à somme nulle Modèle Bradley-Terry Comptage du score victoire partie victoire point p 1/2 p = 1/2 Score avec Handicap=1,2, Règle de Handicap

10 De la probabilité de gagner la partie à la probabilité de gagner chaque point et vis et versa } Au tennis de table, une partie «classique» se joue au meilleur des 5 manches de 11 points. } La règle de handicap que l on cherche consiste à donner : } Un même nombre de points d avance (H), } au joueur le moins bien classé, } à chaque manche. } Il est ici possible de mettre en relation la probabilité de victoire d une partie à handicap P(p,H) en fonction de la probabilité, p, de victoire du point.

11 De la probabilité de gagner la partie à la probabilité de gagner chaque point et vis et versa } Soit P GM (p,h) la probabilité de gagner une manche avec le handicap H } Soit P(p,H) la probabilité de gagner la partie avec le handicap H P(p, H) = P GM (p, H) 3 + 3P GM (p, H) 3,1 P GM (p, H)/ +6P GM (p, H) 3,1 P GM (p, H)/ 2 (1) avec P GM (p, H) = 9 i=0 C(11 + i H 1; i)p 11 H (1 p) i +C(20 H; 10)p 11 H (1 p) 9 p(1 p) 1 2p(1 p)

12 Règle de handicap de jeu Méthode de Ecart de Jeu à somme nulle Modèle Bradley-Terry Comptage du score victoire partie victoire point p 1/2 p = 1/2 Score avec Handicap=1,2, Règle de Handicap

13 Construction de la règle de handicap } Par résolution de l équation pour H=0, 1, 2,, on obtient la probabilité de gagner le point, p H, pour un handicap H qui conduit à une probabilité de gagner la partie P(p H,H)= ½. } } Par calcul direct de l équation pour tout H on obtient alors la probabilité de gagner la partie sans handicap P(p H,0). Par mise en correspondance P(p,0) et P(p H,0), on obtient les écarts de points de équivalents à chaque handicap H. 200 points d écart Handicap y = 0,010x Ecart de

14 La règle de handicap de jeu } Les étapes précédentes conduisent à proposer une règle de handicap de jeu remarquablement simple. } En effet, la relation entre les écarts de et les handicaps est raisonnablement linéaire. } La règle que nous proposons est la suivante. Ecart de Avantage du moins bien classé et plus

15 Discussion } } Il reste à expérimenter la règle sur divers tournois pour en mesurer les éventuels effets «imprévus». C est programmé Mais également la question de la vitesse de convergence du vers le niveau la question de l équivalence de entre différents sports

16 Bibliographie [1] Bradley, R.A. and Terry, M.A. (1952). Rank analysis of incomplete block designs. Biometrika, 39, [2] Binmore K. (1999). Jeux et théorie des jeux. Edition DeBoeck Université. [3] Gerville-Réache L. & Paris N. (2009). Evolution de la méthode de au tennis : Approche par simulation probabiliste. Actes de l'acaps (pp ). Lyon : octobre. [4] Coupet A. Gerville-Réache L. (2007). Comparison between table tennis scoring systems (11 & 21 points) by probabilistic simulation, The proceedings of the ninth International Table Tennis Federation sports science congress, Beijing,