Calcul littéral. 1 Introduction. 1.1 Exemples. Année académique Collège Théophile Gautier Classe de 3e

Transcription

1 Année académique Collège Théophile Gautier Classe de e Calcul littéral 1 Introduction Le calcul littéral est très important dans les mathématiques. Par exemple, il permet : La généralisation de certains résultats numériques. Lorsque l on utilise une formule littérale, le but est de résoudre un problème avec des données numériques différentes. La résolution d équation par l introduction d une inconnue "x". Et bien d autres choses Exemples En guise d illustration, voici deux exemples : Calculer la diagonale du carré d un coté de longueur c. Ici, ce résultat nous premettra de toujours connaître la valeur de la diagonale du carré quelque soit la donnée. On fait un dessin pour illustrer. C? C On pose x la longueur de la diagonale à calculer. Selon Pythagore, on a x = c + c. Donc x = c x = c On ne prend pas les solutions négatives car nous calculons des distances. La diagonale d un carré de coté c vaut c. x = c = c Résolution d une équation à partir d un problème concret. Deux villes villes A et B souhaitent construire une gare pour améliorer leurs infrastructures. La voie ferrée passe respectivement à km de A et,5 km de B à vol d oiseau. Entre ces deux points, la portion de voie ferrée est longue de 6 km. Les deux maires se sont mis d accord sur le fait que les deux gares doivent être situées à égale distance des deux villes à vol d oiseau. Où va-t-on construire cette gare? 1

2 B A 4 km km A x M B 6 km On pose x la distance A M. On veut absolument que AM = BM pour résoudre ce problème. On devra utiliser deux fois Pythagore pour connaître ces deux distances qui sont également les hypoténuses respectives des triangles rectangles A AM et B BM. Enfin, si x est la distance A M alors B M = x 6. Ce qui donne : Grâce au théorème de Pythagore dans les triangles rectangles A AM et B BM en A et B. On a : AM = A M + AA BM = B M + BB Or, sachant que AM = BM, on a AM = BM et donc, A M + AA = B M + BB. On doit donc résoudre l équation suivante. D où x + = (x 6) + 4 x + 4 = (x 6)(x 6) + 16 x + 4 = x 6x 6x 6 ( 6) + 16 x + 4 = x 1x x + 4 = x 1x = 5 1x 1x = 5 4 = 48 x = 48 1 = 4 La gare devra donc se situer à 4km de A sur la voie ferrée. Développement et Factorisation.1 Développement A = (x 1)(x + 5) B = 5x(x + ) C = (x + )(x + x ) A = x x + x 5 1 x 1 5 B = 5x x + 5x C = x x + x x + x ( ) + x A = x + 5x x 5 B = 15x + 5x + x + ( ) A = x + x 5 C = x + x x + x + 9x 6 C = x + 6x + 7x 6

3 D = (a + b)(a b) E = D = a + a ( b) + b a + b ( b) ( x + 1 ) ( ) 4 5 x D = a ab + ab b E = x 5 + x ( x) ( x) E = 4 15 x x x D = a b F = ( )(5 + 4) G = F = 5( ) F = G = F = E = x 1 4 x x E = x x x E = x x ( + 1 ) ( 1 ) ( ) ( + 1 ) + 1 F = 7 6 G = Factorisation G = = = ( ) 1 A = x(x + 1) 5x(x + 7) B = (x 1)(5x + ) (x + 4)(x 1) C = 4x + 7x A = x[(x + 1) 5(x + 7)] B = (x 1)[(5x + ) (x + 4)] C = x (4x + 7) A = x[x + 10x 5] B = (x 1)(5x + x 4) C = x(4x + 7) A x( 8x ) B = (x 1)(x ) B = (x 1) (x 1) B = (x 1) D = 9x(x ) + 9x(10 + x) E = (x 7)(x + 1) (5x )(6x + ) D = 9x[(x ) + (10 + x)] E = (x 7)(x + 1) (5x )( x + 1) D = 9x(x x) E = (x 7)(x + 1) (5x ) (x + 1) D = 9x(4x + 7) E = (x + 1)[(x 7) (5x + ) ] E = (x + 1)[x 7 (15x + 6)] E = (x + 1)(x 7 15x 6) E = (x + 1)( 15x 1) Identités remarquables (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a b)(a + b) = a b Remarque.1. Dans les trois égalités précédentes, il faut savoir reconnaître la forme factorisée de l expression à gauche du signe égal et la forme développée située à droite du signe égal. Remarque.. Grâce à ce paragraphe, on doit maintenant savoir reconnaître ces identités remarquables écrites sous la forme factorisée et sous la forme développée.

4 Remarque.. Les expressions D et G calculées dans le paragraphe précédent correspondent à la troisième identité remarquable également appelée, la différence de deux carrés. Exemple.4. Illustrons ces propriétés par quelques exemples. 1. Développer les expressions suivantes : (x + 1) (x 7) (x + 1) = x + x + 1 (5y )(5y + ) (x 7) = 9x x = 9x 4x Factoriser les expressions suivantes : x + 6x + 9 (5y )(5y + ) = (5y) ( ) = 5y On pose a = x et b =, si le produit ab correspond au terme central, alors la factorisation est possible. x = 6x. On a donc : 4x 4x + 6 x + 6x + 9 = (x + ) On pose a = x et b = 6. On a bien ab = x 6 = 4x, donc : x 64 x 4x + 6 = (x 6) On reconnaît ici la différence de deux carrés. On pose a = x et b = 8. Ce qui donne : 4 Equations produits x 64 = (x 8)(x + 8) Voyons dans ce paragraphe, une méthode nouvelle et très efficace pour résoudre des équations. Tout d abord remarquons ensemble que lorsque l on récite les tables de multiplications, seuls les calculs où l un des facteurs est nul donnent un résultat nul. Autrement dit, on ne peut obtenir une multiplication égale à zéro que lorsque tous les termes sont différents de zéro. Ce résultat est en fait applicable à tous les calculs, en particulier valable dans ce chapitre sur les calculs littéraux. Théorème 4.1. Si un produit est nul alors l un au moins de ces facteurs est nul. Remarque 4.. On peut également énoncer ce théorème de manière algébrique : A B = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0 Remarque 4.. "Si et seulement si" signifie que le résultat est valable dans les deux sens. Si A B = 0 alors A = 0 ou B = 0. 4

5 Si A = 0 ou B = 0 alors A B = 0 On écrit plus simplement cette expression ssi. Remarque 4.4. Lorsque l on résout ce type d équation, il est donc nécessaire de rendre notre équation égale à zéro afin que les conditions du théorème soient validées. Application Déterminer une valeur de x telle que la surface d un parallélogramme de base (4x 5) et de hauteur 7 soit égale à l aire d un rectangle de longueur (x + 1) et de largeur (4x 5). 1. Mise en place du problème. A parallélogramme = A rectangle base hauteur = L l 7 (4x 5) = (x + 1) (4x 5). Résolution de l équation. 7 (4x 5) = (x + 1) (4x 5) 7 (4x 5) (x + 1) (4x 5) = 0 (4x 5) (7 (x + 1)) = 0 (4x 5)(7 x 1) = 0 (4x 5)(6 x) = 0 Nous avons maintenant une équation produit, nous pouvons ainsi la résoudre grâce au théorème. (4x 5)(6 x) = 0 A B = 0 ssi A = 0 ou B = 0 4x 5 = 0 ou 6 x = 0 4x = 5 ou 6 = x x = 5 4 S = ou x = 6 = { } 5 4 ; 5