Exercice 1 (4 points) QCM sur suites, tangente et fonction exp

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1 Exercice 1 (4 points) QCM sur suites, tangente et fonction exp Exercice 2 (5 points) Probabilités Exercice 3 (5 points) Pour les spécifiques, sur les suites, 1 ère version Exercice 3 (5 points) Pour les spécialités Exercice 4 (6 points) Études de fonctions

2 Exercice 1 (4 points) Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Question 1 Pour tout n entier naturel, on définit la somme S n = 1 + 0,75 + 0, ,75 n. Lorsque n tend vers + : Réponse A : S n tend vers +. Réponse B : S n n'a pas de limite. Réponse C : S n tend vers 0. Réponse D : S n tend vers 4. 0 pt si faux ou 1 pt (avec ou sans justification) Question 2 On veut calculer sur tableur les différentes valeurs de la somme S n = 1 + 0,75 + 0, ,75 n plusieurs valeurs de n entier naturel. pour Sur la feuille de calcul, dans la cellule B4, on doit entrer la formule : Réponse A : =B3*0.75 Réponse B : =B3+0.75^A4 0 pt si faux ou 1 pt (avec ou sans justification) Question 3 Réponse C : =0.75^A4 Réponse D : =B3+0.75*A4 On définit la fonction F sur ] 1 ; + [ par F(x) = x + 2 x 1. Au point d'abscisse 2, la tangente à la courbe représentative de F a pour équation : Réponse A : y = 3x + 6. Réponse B : y = 3x Réponse C : y = 3x 2. Réponse D : y = 3x 6. 0 pt si faux ou 1 pt (avec ou sans justification)

3 Question 4 On note exp la fonction exponentielle. Soit u une fonction définie sur telle que u(0) = 1, u(1) = 0 et u(e) = 2. On définit alors la fonction G par G(x) = exp( u(x) ). G(0) est égal à : Réponse A : 0 Réponse B : 1. Réponse C : 2. Réponse D : e. 0 pt si faux ou 1 pt (avec ou sans justification) Exercice 2 (5 points) Une grande entreprise de restauration rapide spécialisée dans le poulet a effectué une enquête de satisfaction auprès d'un échantillon de clients. Parmi ceux-ci, 40 % avaient mangé un Burger au poulet, 35 % avaient mangé un Crunchy au poulet et 25 % avaient mangé un Spicy au poulet. Malheureusement, de nombreux clients ont été malades peu après leur repas. Les pourcentages de malades suivant le plat mangé sont les suivants : Burger au poulet Crunchy au poulet Spicy au poulet 15 % 40 % 60 % Parmi tous les clients sondés, on en choisit un au hasard. Dans la suite de l exercice, on appelle : B l évènement «Le client choisi a mangé un Burger au poulet», C l évènement «Le client choisi a mangé un Crunchy au poulet», S l évènement «Le client choisi a mangé un Spicy au poulet», M l évènement «Le client choisi a été malade». 1. a. Donner sans justification la probabilité P( S ) puis la probabilité que le client choisi ait été malade sachant qu'il avait mangé un Spicy au poulet. P( S ) = 0,25 P S ( M ) = 0,6 b. En déduire que la probabilité P( S M ) vaut 0,15. P( S M ) = P( S ) P S ( M ) = 0,25 0,6 = 0,15 2. Construire un arbre pondéré qui illustre la situation. 0,4 0,25 0,35 B C S 0,15 0,4 0,6 M M M M M M 1 pt = pour les branches + pour les coefficients de branches 0 pt si inversion des actions «manger» et «malade»

4 3. a. Calculer P( B M ) et P( C M ). P( B M ) = P( B ) P B ( M ) = 0,4 0,15 = 0,06 P( C M ) = P( C ) P S ( M ) = 0,35 0,4 = 0,14 b. En déduire la probabilité que le client choisi ait été malade. B, C et S forment une partition, donc d'après la formule des probabilités totales, donc : P( M ) = P( S M ) + P( B M ) + P( C M ) = 0,15 + 0,06 + 0,14 = 0,35 4. Déterminer la probabilité que le client choisi ait mangé un Crunchy au poulet sachant qu'il a été malade. P( C M ) = P( M ) P M ( C ) donc P M ( C ) = P( C M ) = 0,14 P( M ) 0,35 = 0,4 0,75 pt = 0,75 pt 5. On appelle H l évènement «Le client choisi a été hospitalisé». Ne pas enlever de points si justification manquante 0,25 pt pour la présence de P( C M ) + 0,25 pt pour la formule correcte + 0,25 pt pour le résultat (même si non justifié) Parmi les clients malades ayant mangé un Burger au poulet, 12 % ont été hospitalisés. Parmi les clients malades ayant mangé un Crunchy au poulet, 20 % ont été hospitalisés. Parmi les clients malades ayant mangé un Spicy au poulet, 30 % ont été hospitalisés. Peut-on estimer qu'il y a plus d'une chance sur 10 que le client choisi ait été hospitalisé? Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. P( B M H ) = P( B M ) P B M ( H ) = 0,06 0,12 = 0,0072 P( C M H ) = P( C M ) P C M ( H ) = 0,14 0,2 = 0,028 P( S M H ) = P( S M ) P S M ( H ) = 0,15 0,3 = 0,045 0, , ,045 = 0,0802 < 1 10 Donc, on ne peut pas dire qu'il y a plus d'une chance sur 10 que le client choisi ait été hospitalisé. 1 pt = 0,25 pt pour la présence littérale ou numérique d'une triple intersection + 0,25 pt pour la présence d'au moins une 2 ème + 0,25 pt pour un calcul finalisé + 0,25 pt pour une réponse cohérente avec le calcul Pas de points pour une réponse non justifiée ou justifiée par un calcul qui n'a pas de sens.

5 Exercice 3 Enseignement spécifique (5 points) Une réserve décide d'implanter sur son vaste territoire de savane une nouvelle population d'antilopes, des impalas. Au 1 er janvier 2013, impalas sont lâchés. Les scientifiques zoologistes estiment que le nombre d'impalas augmentera chaque année de 4 % par le simple jeu des naissances et des décès naturels. Pour limiter les phénomènes de consanguinité, 50 impalas supplémentaires seront ajoutés chaque année. Pour tout entier naturel n, on note u n le nombre d'impalas dans cette réserve au 1 er janvier de l'année n. On a donc u 0 = Justifier que, pour tout entier naturel n, u n+1 = 1,04 u n Au 1 er janvier n, le nombre d'impalas est u n. Au 1 er janvier n + 1, il s'est écoulé un an, donc le nombre d'impalas a été augmenté de 4 %, ce qui correspond à une multiplication par % = 1,04. Donc u n+1 vaut u n 1,04 auquel on ajoute Déterminer u 1 et u 2. u 1 = , = u 2 = , = Pour tout entier naturel n, on pose v n = u n a. Montrer que (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. v n+1 = u n = 1,04 u n = 1,04 u n = 1,04 ( u n ,04 ) = 1,04 ( u n ) = 1,04 v n Donc (v n ) est une suite géométrique de raison 1,04. Son premier terme est v 0 = u = = b. Exprimer v n en fonction de n. (v n ) géométrique de raison 1,04 et de premier terme donc v n = ,04 n. c. En déduire que u n = ,04 n v n = u n donc u n = v n = ,04 n d. Calculer la limite de la suite (u n ). 1,04 > 1 donc lim n + 1,04n = + donc lim n ,04n = + et donc lim n + ( ,04n ) = + 0,25 pt pour les deux calculs 0,75 pt = = 0,25 pt pour lier l'augmentation de 4 % à une multiplication par 1,04 + 0,25 pt pour expliquer le pt = 0,25 pt pour lim n + 1,04n = + + 0,25 pt pour justifier par 1,04 > 1 + 0,25 pt pour lim n + u n = + pour tout calcul correct liant v n+1 et v n + 0,25 pt pour préciser la raison + 0,25 pt pour le premier terme

6 4. Après une étude approfondie des zoologues, ce modèle d'évolution ne sera plus valable lorsque la population aura doublé par rapport au 1 er janvier a. L'algorithme suivant a pour but de calculer le rang n à partir duquel le modèle d'évolution n'est plus valable. Variables : n, u n prend la valeur 0 u prend la valeur 2500 Tant que u <... faire n prend la valeur... u prend la valeur... Fin du Tant que Afficher... Recopier et compléter cet algorithme pour qu'il affiche le rang demandé. Variables n prend la valeur 0 u prend la valeur 2500 Tant que u < 5000 faire u prend la valeur 1,04 u + 50 (ou ,04 n ) n prend la valeur n + 1 Fin du Tant que Afficher n 1 pt = 0,25 pt par ligne correcte b. À l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de quelle année le modèle d'évolution ne sera plus valable. Méthode avec l'algorithme ou méthode par tableau de valeurs. La méthode ne sera plus valable à partir du rang 14, c'est-à-dire à partir de l'année pour le rang ou l'année

7 Exercice 3 - Enseignement de spécialité (5 points) Partie A Sur le site d'angkor, au Cambodge, un guide est habilité à faire visiter les quatre temples suivants : - le Bayon, représenté par la lettre B, - le Preah Khan, représenté par la lettre P, - le Prae Rup, représenté par la lettre R, - Angkor Vat, représenté par la lettre A. Voici un plan simplifié du site présentant les quatre temples et les routes disponibles : Preah Khan Bayon Prae Rup Angkor Vat Dans tout l'exercice, on appellera «chemin» un tronçon de route reliant directement deux temples sans passer par un autre temple. Par exemple, il existe un chemin entre Angkor Vat et le Bayon, on peut le noter A-B. 1. a. Représenter cette carte par un graphe tel que : - les quatre sommets sont B, P, R et A, - une arête relie deux sommets s'il existe un chemin entre les deux temples représentés. 0,25 pt b. Écrire la matrice d'adjacence M de ce graphe, en ordonnant les sommets dans l'ordre alphabétique. M = c. Calculer la matrice M 2. M 2 = ,25 pt

8 2. On donne la matrice M 3 = Partie B Le guide est chargé d'un groupe qui a payé pour un type de circuit qui permet de parcourir trois arêtes. Le circuit devra commencer et se terminer au Bayon. Combien de tels circuits sont possibles? Écrire tous les circuits possibles. Pour trouver le nombre de circuits possibles parcourant trois arêtes pour aller de B à B, on utilise la matrice M 3. On cherche son élément m 2,2 qui est sur la 2 ème ligne, pour commencer à B, et sur la 2 ème colonne, pour terminer à B : c'est 4. Il y a donc quatre circuits possibles. Ces circuits sont : B-P-R-B ; B-R-P-B ; B-R-A-B et B-A-R-B. Aux quatre temples de la Partie A, on ajoute : - la Porte de la Victoire, représenté par la lettre V, - le Ta Prohm, représenté par la lettre T, - le Ta Keo, représenté par la lettre K. Voici un plan simplifié du site présentant les temples et les routes disponibles : 1 pt = pour 4 quelque soit la méthode + 0,25 pt pour expliquer sa position dans M 3 + 0,25 pt pour les quatre circuits tous corrects Le panneau signifie que le chemin reliant la Porte de la Victoire et le temple de Prae Rup est momentanément fermé pour cause de travaux. 1. Les travaux étant en cours, est-il possible d'envisager un circuit empruntant toutes les arêtes une fois et une seule? Si oui, préciser à quel temple un tel circuit peut commencer et à quel temple il peut se terminer, puis proposer un exemple d'un tel circuit. Ce graphe est connexe et ses sommets sont tous de degrés pairs (B de degré 4 ; A, P, K et T de degré 2) sauf deux de degrés impairs (V et R de degré 3). Il admet donc une chaîne eulérienne. On peut donc envisager un tel circuit. De plus, il peut commencer à V et se terminer à R ou commencer à R et se terminer à V. 1,25 pt = 0,25 pt pour associer la question à l'existence d'une chaîne eulérienne + pour la justification de l'existence d'une chaîne eulérienne + pour les départs et arrivées possibles

9 2. a. Les travaux sont terminés et le chemin reliant la Porte de la Victoire et le temple de Prae Rup est de nouveau ouvert. Justifier qu'il est toujours possible d'envisager un circuit empruntant toutes les arêtes une fois et une seule. Préciser à quel temple un tel circuit peut commencer et à quel temple il peut se terminer, puis proposer un exemple d'un tel circuit. Ce graphe est connexe et ses sommets sont tous de degrés pairs (B, V et R de degré 4 ; A, P, K et T de degré 2). Il admet donc un cycle eulérien. On peut donc envisager un tel circuit. De plus, il peut commencer à n'importe quel temple et se terminera à ce même temple. 1,25 pt = 0,25 pt pour associer la question à l'existence d'un cycle eulérien + pour la justification de l'existence d'un cycle eulérien + pour les départs et arrivées possibles b. Sur le plan donné en annexe, proposer un exemple d'un tel circuit en repassant en couleur les chemins empruntés. Preah Khan Bayon Porte de la Victoire Ta Keo Ta Prohm Prae Rup Angkor Vat

10 Taux de gaz dans l'air Exercice 4 (6 points) Partie A Un dépôt de gaz à usage domestique (butane, propane,...) a été étudié de telle sorte que, en cas d'accident du réservoir, l'évolution du taux de gaz dans l'air du dépôt soit modélisée par la fonction f définie sur l intervalle [ 0 ; 10 ] par f(x) = x 0,6 x, où x désigne le nombre de minutes écoulées après l'accident. On donne ci-dessous la représentation graphique de f sur [ 0 ; 10 ]. Temps écoulé (en minutes) 1. a. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction dérivée f ' de f. Laquelle? Courbe A Courbe B Courbe C La fonction dérivée f ' est représentée par la courbe B.

11 b. La fonction dérivée f ' de f est définie sur [ 0 ; 10 ] par f '(x) = ( 1 + x ) 0,6 x, où 0,51. Expliquer pourquoi on peut estimer que le taux de gaz dans l'air est maximal au bout d'environ 1,96 minute. Le taux maximal est atteint lorsque : f '(x) = 0 ( 1 + x ) 0,6 x = x = 0 car la fonction x 0,6 x ne s'annule pas x = 1 Or, 1 1,96, donc, le taux de gaz est bien maximal au bout de environ 1,96 minutes. En déduire ce taux maximal, arrondi à 0,01 près. f(1,96) = 1,96 0,6 1,96 0,72 0,25 pt 0,75 pt = 0,25 pt pour allusion à f '(x) = 0 + 0,25 pt pour trouver 1 avec l'équation + 0,25 pt pour 1,96 ou pour avoir remplacé 1,96 dans ( 1 + x ) 0,6 x et trouvé 0 2. Suivant le taux de gaz dans l'air, le mélange peut présenter un danger d'explosion. La limite inférieure d'explosivité (LIE) est de 20 %. En dessous de cette valeur, le mélange air-gaz est trop pauvre pour exploser. La limite supérieure d'explosivité (LSE) est de 40 %. Au-dessus de cette valeur, le mélange air-gaz est trop riche pour exploser. Estimer par simple lecture graphique pendant combien de temps, après que le taux maximal a été atteint, le mélange air-gaz a été explosif. Par lecture graphique, on lit que le taux a été de 0,4 lorsque x 4,9 puis a été de 0,2 lorsque x 6,9. On peut donc estimer la durée d'explosivité à environ 2 minutes. Partie B Le propriétaire du dépôt de gaz se voit proposer un autre type d'installation. En cas d'accident du réservoir, l'évolution du taux de gaz dans l'air du dépôt serait alors modélisée par la fonction g définie sur l intervalle [ 0 ; 10 ] par g(x) = 2,5 x e x, où x désigne le nombre de minutes écoulées après l'accident. 1. Calculer g(10), arrondi à 0,001 près. g(10) = 2,5 10 e 10 0, Établir que, pour tout nombre réel x de l intervalle [ 0 ; 10 ], g'(x) = 2,5 e x ( 1 x ). u(x) = 2,5x g de la forme uv avec u'(x) = 2,5 et v(x) = e x v'(x) = e x. Donc : g'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = 2,5 e x + 2,5x ( e x ) = 2,5 e x ( 1 x ) 3. a. Résoudre dans l intervalle [ 0 ; 10 ] l'inéquation 2,5 e x ( 1 x ) 0. 2,5 e x ( 1 x ) 0 1 x 0 car 2,5 e x toujours positif x 1 Donc S = [ 0 ; 1 ]. 0,25 pt = 0,75 pt = 0,25 pt pour une allusion à (uv)' = u'v + uv' + 0,25 pt pour avoir fait apparaître la dérivée de x e x + 0,25 pt pour la factorisation 0,25 pt pour une allusion à la positivité de e x + 0,25 pt pour x 1 ou S = [ 0 ; 1 ]

12 b. En déduire le tableau de variation complet de la fonction g sur l intervalle [ 0 ; 10 ]. x Signes de g'(x) + 0 Variations de g g(0) = 2,5 0 e 0 = 0 g(1) = 2,5 1 e 1 0,92 0,92 0 0,001 1 pt = 0,25 pt pour la ligne des signes de f ' + 0,25 pt pour les variations + 0,25 pt pour avoir placé 0 et 0, ,25 pt pour g(1) 0,92 dans cette question ou la suivante 4. a. Montrer que les équations g(x) = 0,2 et g(x) = 0,4 admettent chacune une solution unique sur l intervalle [ 1 ; 10 ]. D'après le tableau de variations, la fonction g est continue et strictement décroissante sur [ 1 ; 10 ]. De plus, 0,2 et 0,4 se trouve entre g(1) 0,92 et g(10) 0,001. Donc, ces équations admettent chacune une solution unique sur l intervalle [ 1 ; 10 ]. = 0,25 pt pour la stricte monotonie + 0,25 pt pour l'encadrement de 0,2 et 0,4 par g(1) et g(10) b. À l'aide de la calculatrice, donner un arrondi à 0,01 près de chacune de ces deux solutions. La solution de g(x) = 0,2 vaut environ 3,88. La solution de g(x) = 0,4 vaut environ 2,90. Donner une estimation de la durée d'explosivité, après que le taux maximal a été atteint. 3,88 2,90 = 0,98 1. Donc, on peut estimer la durée d'explosivité à environ une minute.

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