Feuille de travaux pratiques # 3

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1 Uiversité de Rees 1 Préparatio à l agrégatio Modélisatio - Proba/stat aée Feuille de travaux pratiques # 3 1 La méthode de Mote-Carlo La méthode de Mote-Carlo est ue méthode de calcul approché d itégrales basée sur la loi des grads ombres. Elle permet aisi de calculer des valeurs approchées d itégrales d espéraces de probabilités e utilisat des réalisatios i.i.d. d ue loi que l o sait simuler. Par exemple si f : 0 1] d R est ue foctio itégrable par rapport à la mesure de Lebesgue sur 0 1] d et que l o souhaite évaluer l itégrale I(f) := f(x)dx 01] d la méthode de Mote-Carlo cosiste à se doer (X ) 1 ue suite de variables aléatoires i.i.d. de loi uiforme sur 0 1] d et à cosidérer l approximatio I (f) := 1 (f(x 1) f(x )). E effet d après la loi des grads ombres o sait que I (f) covergece presque sûremet et das L 1 vers la limite Ef(X 1 )] = I(f). Pour grad la somme I (f) fourit aisi ue boe approximatio de I(f). Comme ous le verros plus loi si l o sait majorer la variace de f(x 1 ) o est de plus e mesure de fourir des itervalles de cofiace pour cotrôler l erreur commise das l approximatio. La vitesse de covergece de cette méthode (de l ordre de ) est lete par rapport à des méthodes détermiistes. Cepedat cette vitesse e déped pas de la régularité de l itégrade f et déped plus faiblemet de la dimesio d que les méthodes détermiistes. Le premier exemple cou d applicatio de cette méthode remote au dix-huitième siècle et au fameux problème de l aiguille de Buffo qui permet u calcul approché de π. Le om méthode de Mote-Carlo est u om de code qu a utilisé Ulam alors qu il développait ces méthodes avec vo Neuma Fermi et Metropolis das le laboratoire de Los Alamos où se préparait la première bombe à hydrogèe. Exercice 1 Premiers exemples À l aide de la méthode Mote-Carlo calculer des approximatios des itégrales suivates : x dx 1 {x +y +3z 1}dxdydz. 0 11] 3 Exercice Volume de la boule uité O cosidére la boule uité B d das R d i.e. B d = {(x 1... x d ) R d x 1 + x x d 1}. 1. Écrire ue foctio qui e etrée pred deux etiers et d et e sortie doe ue approximatio du volume de la boule euclidiee basée sur u échatillo de variables uiformes das le cube 1 1] d.. Comparer l écart à la valeur théorique e foctio de d et.

2 Performace algorithmique D u poit de vue pratique si l o veut utiliser la méthode Mote-Carlo pour estimer ue itégrale/espérace du type Ef(X)] où X est u vecteur aléatoire das R d et f : R d R est ue foctio mesurable raisoable il est écessaire de pouvoir simuler iformatiquemet u échatillo (X 1... X ) de même loi que X ce qui écessite u ombre d opératio de l ordre de O(d). Le calcul de la moyee empirique des f(x i ) 1 i est du même ordre. Au fial la mise e oeuvre de la méthode de Mote-Carlo implique u ombre de l ordre de O(d) opératios. Si l o ote σ la variace σ := var(x) que l o supposera fiie l erreur d approximatio commise das la méthode de Mote-Carlo est ε := Ef(X)] 1 f(x i ). E vertu du théorème limite cetral si (x 1... x ) est ue réalisatio de (X 1... X ) l itervalle ci-dessous est u itervalle de cofiace (asymptotique) de iveau 95% pour Ef(X)] ] 1 f(x i ) 1.96 σ 1 f(x i ) σ. La vitesse de covergece de l algorithme est doc de l ordre de /σ pour u coût de O(d) opératios. Cela sigifie que pour u algorithme comptat opératios élémetaires la précisio est de l ordre de σ d/ ce qui implique que 1. la méthode de Mote-Carlo est sas itérêt (si ce est pédagogique) pour le calcul d itégrales e petite dimesio ou pour le calcul d itégrales de foctios régulières.. il est crucial de miimiser la variace σ. Si l itégrale Ef(X)] admet plusieurs représetatios de type Eg(Y )] o aura tout itérêt à choisir celle qui est associée à la variace miimale. La variace σ est aturellemet doée par σ = Ef (X)] Ef(X)]. L objectif état de détermier ue estimatio de Ef(X)] quatité supposée icoue il paraît vraisemblable que le calcul explicite de la variace soit das les cas pertiets impossible. La stratégie est alors de remplacer la variace théorique par so estimateur empirique (sas biais) ( σ := 1 f(x k ) 1 f(x i )). k=1 D après le lemme de Slutsky si (x 1... x ) est ue réalisatio de (X 1... X ) alors ] 1 f(x i ) 1.96 σ 1 f(x i ) σ. est ecore u itervalle asymptotique au iveau 95% de Ef(X)]. Exercice 3 À l aide de la méthode de Mote-Carlo écrire u programme qui 1. calcule ue approximatio de l itégrale I = cosh(x)e x dx R. calcule l estimateur empirique de la variace associé 3. trace sur le même graphique l estimateur et l itervalle de cofiace associé e foctio du ombre de doées.

3 3 Réductio de la variace Comme o l a vu plus haut plus la variace σ est faible meilleure est l approximatio obteue par la méthode de Mote-Carlo. Diverses méthodes ot été proposées pour réduire cette variace. E voici quelques ues que ous allos mettre e pratique das les exercices sur l exemple suivat qui sera otre fil coducteur et dot les motivatios sot doées à la sectio 4. O se doe ue variable X de loi N (0 1) et l o souhaite doer ue approximatio de l itégrale/espérace C := E(e X 1) + ]. 3.1 Échatilloage préféretiel O souhaite calculer ue itégrale du type I = f(x)g(x)dx où g est ue desité de probabilité. La méthode de Mote-Carlo aïve cosiste à approcher I par I := 1 f(x i ) où les variables X i sot i.i.d. de desité g. Soit h ue autre desité de probabilité supposée strictemet positive. O peut alors écrire f(x)g(x) I = h(x)dx h(x) ce qui suggère l approximatio J = 1 f(y i )g(y i ) h(y i ) où cette fois les variables Y i sot de desité h. Il y a gai de variace si ( ) f(y1 )g(y 1 ) var var (f(x 1 )) h(y 1 ) ou ecore ( ) f(x)g(x) h(x)dx h(x) f(x) g(x)dx. O doit doc choisir h de sorte que d ue part les variables Y i soiet faciles à simuler et d autre part que l iégalité ci-dessus soit satisfaite. U méthode possible pour cela cosiste à choisir h proche de la foctio fg de sorte que la variace (sous h) soit faible puis de ormaliser h pour e faire ue desité. Exercice 4 O souhaite doer ue approximatio de C := E(e X 1) + ] = 1 (e x 1) + e x / dx. π O ote que pour x proche de zéro o a e x 1 x ce qui motive le calcul suivat C = 1 π + 0 e x 1 xe x / dx = 1 + e y 1 e y dy = 1 E x π 0 y π e ] Y 1 Y

4 où Y suit ue loi expoetielle E(1). Estimer C par la méthode de Mote-Carlo aïve puis par la méthode de Mote-Carlo basée sur la représetatio e terme de variable expoetielle. Comparer les variaces empiriques. 3. Variable de cotrôle O souhaite toujours approcher ue itégrale du type I = Ef(X)]. Supposos que l o sache calculer explicitemet ue itégrale du même type disos Eh(X)] pour ue certaie foctio h. O peut alors écrire I = Ef(X) h(x)] + Eh(X)] et o aura u gai de variace dès que var(f(x) h(x)) var(f(x)). Exercice 5 O reviet sur le calcul approché de C = E(e X 1) + ] où X N (0 1). O itroduit la quatité P := E(1 e X ) + ] et o remarque que C P = Ee X 1] = e 1/ 1 de sorte que C = P + 1. Estimer C via P par la méthode de Mote-Carlo. Comparer les variaces par rapport aux approximatios précédetes. 3.3 Symétrisatio O souhaite ecore et toujours doer ue valeur approchée d ue itégrale/espérace du type I = Ef(X)]. Suppposos que pour ue certaie trasformatio T les variables X et T (X) aiet même loi. O peut alors écrire I = Ef(X)] + Ef(T (X))] et l approcher via la méthode de Mote-Carlo par f(x i ) + f(t (X i )) I =. Le calcul de la variace doe alors ( ) f(x1 ) + f(t (X 1 )) var (f(x1 ) ] ) + f(t (X 1 )) = E I Il y doc toujours u gai de variace. = 1 ( Ef(X1 ) ] + Ef(X 1 )f(t (X 1 ))] ) I CS 1 ( Ef(X1 ) ] + Ef(X 1 ) ] ) I = var (f(x 1 )). Exercice 6 Si X N (0 1) alors X N (0 1) et l o peut doc écrire C = E(e X 1) + ] = E(eX 1) + ] + E(e X 1) + ] Estimer C par la méthode de Mote-Carlo basée sur cette derière écriture et comparer avec les approximatios précédetes.

5 4 Optio d achat et de vete Das cette derière sectio ous reveos sur l exemple qui ous a servi de fil coducteur das la sectio précédete à savoir le calcul de l itégrale C = E(e X 1) + ]. Nous tâchos d expliquer pourquoi le calcul d ue telle quatité est aturel et importat das la pratique. Supposos que vous êtes u fabriquat de biscuits à l épeautre. Vous achetez vos matières premières e particulier la farie d épeautre tous les mois. Les prix de ces matières premières variet quotidieemet du fait de l offre et de la demade et des spéculateurs. Das six mois vous savez que vous aurez besoi de dix toes de farie. Le cours actuel est de 500 euros la toe. Das six mois selo la demade la météo etc. ce cours pourra être ecore de 500 euros la toe il pourra avoir baisser à 000 euros ou au cotraire il pourra avoir flambé jusqu à 3000 euros. Ces variatios aurot aturellemet u impact fort sur votre trésorerie au momet de l achat. Pour se prémuir d ue évetuelle flambée des prix vous pouvez émettre ue optio d achat aussi appelé u call auprès d u vedeur de céréales. Cela cosiste à payer u motat C (coveu à l avace etre vedeur et acheteur) pour qu à ue date fixée T (ici das six mois) vous puissiez exercer votre droit d acheter ou o la marchadise au vedeur avec qui vous souscrivez le cotrat à u prix K lui aussi fixé à l avace et ce quelque soit le cours de la toe de farie à l istat T. Commet fixer la valeur d ue telle optio d achat? Observos votre gai/perte selo le cours de la farie au temps fial T. Soit (X t ) le cours (aléatoire) de la farie d épeautre à l istat 0 t T. Si X T K vous exercez votre droit i.e. vous achetez l actio au vedeur au prix K et vous gagez aisi X T K C = (X T K) + C. E revache si X T < K vous exercez pas votre droit et achetez pas l actio à ce vedeur et votre gai/perte est C = (X T K) + C. E moyee (selo les aléas) votre gai au cours de la trasactio avec ce vedeur sera doc de E(X T K) + ] C. Pour que le jeu soit équitable etre acheteur et vedeur il faut doc que le prix C de l optio d achat soit tel que C = E(X T K) + ]. O peut aturellemet jouer au même jeu avec le poit de vue du vedeur qui veut se prémuir d ue baisse importate du cours d ue actio auquel cas l optio de vete aussi appelée put est doée par P = E(K X T ) + ]. Das la réalité o e coaît bie sûr pas la loi de la variable X T i.e. das otre exemple le cours de l actio de farie d épeautre das six mois. L u des objets pricipaux des mathématiques fiacières cosiste précisémet à modéliser l évolutio (X t ) 0 t T du cours d ue actio au cours du temps. Pour des modèles simplistes o peut calculer explicitemet le prix C de l optio d achat. E revache das des modèles u tat soit peu réalistes d évolutio des cours la loi de X T reste icoue et l o recourt alors à la méthode de Mote-Carlo pour estimer le coût de cette optio.