Convergence des variables aléatoires

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Convergence des variables aléatoires"

Transcription

1 Convergence des variables aléatoires I) L inégalité de Bienaymé Tchebychev 1.1) L inégalité de Markov dans le cas discret On considère une variable discrète non négative, d espérance strictement positive. Soit λ un réel strictement positif. Puisque est non négative, on a Ω Appelons et les sous-ensembles de Ω définis par Ω, Ω, Ω Comme, on a 0, et donc D autre part,, Soit en divisant par 0, Or 0 On en déduit l inégalité de Markov : Exemple 1 Si, on a 3. L inégalité de Markov donne par exemple : si dans une urne il y a trois boules, deux noires et une blanche, indiscernables au toucher, la probabilité de devoir attendre plus de 60 tirages avec remise pour obtenir pour la première fois la boule blanche est inférieure ou égale à 5%.

2 Ce résultat est en fait assez imprécis, car Et donc , ) L inégalité de Markov dans le cas continu Soit une variable de densité nulle sur, admettant une espérance strictement positive. Soit λ un nombre réel strictement positif. On peut écrire alors La fonction est positive sur. Comme 0, on a 0 Sur l intervalle,, on a et donc Les bornes étant dans le bon ordre, on a Et donc Ce qui donne en définitive : En divisant par, on obtient : Or On retrouve l inégalité de Markov : 1 1 Exemple La durée d une communication téléphonique en minutes est une variable aléatoire continue dont on supposera qu elle suit une loi exponentielle de paramètre 1.

3 donc Dans ce modèle, la probabilité qu une communication dure plus de 10 minutes est inférieure à 0,1. Ce qui revient à dire qu il y a moins de 10% des communications dont la durée dure plus de 10 minutes. Là encore le résultat est très imprécis : Il y a donc en réalité moins de 5 chances sur qu une communication dure plus de 10 minutes (ce qui en fait montre que ce modèle n est pas très réaliste) 1.3) L inégalité de Bienaymé Tchebychev dans le cas discret On considère une variable discrète admettant une espérance mathématique et une variance non nulle. Soit un nombre réel strictement positif. Soit la variable aléatoire définie par donc 0 dans le cas discret en appliquant l inégalité de Markov en prenant : On obtient Ce qui donne Or 1.4) L inégalité de Bienaymé Tchebychev dans le cas continu On considère une variable continue admettant une espérance mathématique et une variance non nulle. Soit une densité de probabilité de. Considérons pour 0, l ensemble défini par

4 Ce qui revient à dire que L ensemble peut se décrire de la façon suivante : De même donc par incompatibilité évidemment 0 Comme, alors 0 Pour, on a. Ce nombre étant négatif, on a Les bornes étant dans le bon ordre, on a : De même, on a pour, 0 Et donc Les bornes étant dans le bon ordre donc

5 Ce qui donne enfin On en déduit l inégalité dite de Bienaymé Tchebychev : Applications : Si 20;0,2, on a et 200,20,83,2 ura par exemple Or d après l inégalité de Bienaymé Tchebychev, on a , ,644 Ou encore 170,644 Deuxième exemple : Soit la variable aléatoire donnant la note en math au concours Ecricome. On sait que par construction 10 4 ura Or

6 5150,36 L inégalité de Bienaymé Tchebychev n est pas très précise, elle donne un résultat «à la louche» qui donne simplement une vague idée de la situation. Par contre, elle ne demande pas de connaître la loi de probabilité de la variable. Quand on connaît cette loi, on obtient des résultats bien meilleurs. Dans le dernier exemple, si l on sait que 10,4, on pose alors 10 4 On sait que 0, ,2510,79 Bien sûr le résultat retourné par l inégalité de Bienaymé Tchebychev est correct, mais bien peu précis. II. Convergence en probabilité Loi faible des grands nombres 2.1) Convergence en probabilité Définition On considère une suite de variables aléatoires,,, discrètes ou continues, définies sur un espace probabilisé Ω,,. Soit une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé. On dit que converge vers en probabilité pour signifier que 0, lim 0 On note 2.2) Moyenne empirique Définition Soit une suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé Ω,,. On définit pour tout entier, la moyenne empirique d ordre comme étant la variable aléatoire définie par : 2.3) Loi faible des grands nombres 1

7 Théorème Soit une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes et de même loi, avec pour tout, Et avec 0 0,1, Nous admettrons le résultat suivant : Si,, sont des variables deux à deux indépendantes, alors alors par indépendance alors avec l inégalité de Bienaymé Tchebychev, Et donc Loi faible des grands nombres 1 Soit une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes et de même loi, avec pour tout, Alors avec 0 0, lim 0 Ce qui prouve que la variable converge en probabilité vers la variable constante. pplique le résultat démontré à la question précédente.

8 Or 0 lim 0 d après le théorème des gendarmes, 0, lim 0 Exemple d application On lance une pièce bien équilibrée un grand nombre de fois. Au ième lancer, on associe la variable aléatoire qui prend la valeur 0 si le lancer donne pile et 1 s il donne face. donc 1 2 donc. En prenant ura donc , lim III. Convergence en loi 3.1) Convergence en loi Définition On considère une suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé Ω,,. Soit une variable aléatoire définie sur ce même espace probabilisé. Si est une variable à densité, converge en loi vers si :, lim Si les variables et la variable suivent des lois discrètes, la convergence en loi se définit de la façon suivante : On écrit Ω, lim 3.2) Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson Soit une suite de variables aléatoires telles que, On suppose que lim 0

9 pour tout et tout, Or pour fixé, on a pour tout 1, 1!!! 1!! donc également Or Ou encore:!! ln1 ln1 0 ln1 ln1 ln1 lim ln1 Et donc par composition des limites : lim 1 lim! On reconnaît une loi de Poisson de paramètre λ. Théorème : Soit une suite de variables aléatoires telles que, On suppose que lim 0

10 Alors la suite converge en loi vers une variable qui suit une loi de Poisson de paramètre λ. 3.3) Convergence de la loi hypergéométrique vers la loi binomiale On considère une suite de variables telles que,, Rappelons que cela correspond à la situation standard : une urne contient boules blanches et rouges. Elle contient une proportion de boules blanches et donc 1 de boules rouges. On extrait simultanément boules de l'urne et l'on appelle la variable aléatoire correspondant au nombre de boules blanches que nous avons parmi les extraites. Pour simplifier, on considère que est un entier. 1 Ω0, Ce qui donne De même En écrivant Et donc!!!!!!!!! 1!!!!!!!!! 1!!

11 !! 1 lim!!! 1 1 On reconnaît une loi binomiale de paramètres et. donc le théorème suivant Théorème On considère une suite de variables telles que,, Alors Où, 3.4) Le théorème Central Limite On sait que si Soit une suite de variables mutuellement indépendantes et de même loi, admettant une espérance et une variance, on a donc Théorème (admis) 0 1 Soit une suite de variables mutuellement indépendantes et de même loi, admettant une espérance et une variance. Soit la suite des moyennes empiriques. Alors, avec 0,1 On écrit souvent Soit en posant, avec 0,1

12 3.5) Approximation d'une loi binomiale par une loi normale Considérons une suite de variables telles que, Pour tout, on peut écrire sous la forme d'une somme de variables de Bernoulli de paramètres, indépendantes (et donc de même loi). avec donc 1 D'après le théorème central limite appliqué aux variables, on a, avec 0,1 1 donc, avec 0,1 1 Ou encore, avec 0,1 Cette propriété permet de trouver des valeurs approchées d'une probabilité. On considère une variable 1000;0,3 On cherche 320. Cette forme est compliquée à déterminer par le calcul direct On dira que ,380,916 On trouverait de la même façon 3190, ,011 en fait 3200,0105

Variables aléatoires indépendantes

Variables aléatoires indépendantes Variables aléatoires indépendantes Nous aurons besoin dans la suite de parler de la notion de variables aléatoires indépendantes (et plus généralement mutuellement indépendantes). On en donne ici la définition

Plus en détail

Vecteurs aléatoires. I) Vecteurs aléatoires

Vecteurs aléatoires. I) Vecteurs aléatoires Vecteurs aléatoires I) Vecteurs aléatoires 1.1) Définition On considère un espace probabilisé,, et variables aléatoires,, définies sur Ω à valeurs dans R. On considère l'application de Ω dans Rⁿ définie

Plus en détail

mp* : révisions pour l écrit - Probabilités

mp* : révisions pour l écrit - Probabilités mp* 14-15 : révisions pour l écrit - Probabilités I Chapitres concernés P0, P1, P2, P3, P4, P5 II Questions de cours les plus classiques On ne les connaît pas encore...mais il est prudent de savoir Démontrer

Plus en détail

TD n 6 : Probabilités discrètes

TD n 6 : Probabilités discrètes TD n 6 : Probabilités discrètes Exercice 1 On désigne par un entier naturel non nul. On lance fois une pièce de monnaie donnant "pile" avec la probabilité (avec 0 1 et "face" avec la probabilité 1. On

Plus en détail

1. Espaces probabilisés dénombrables

1. Espaces probabilisés dénombrables Probabilités sur un univers dénombrable 12-1 Sommaire 1. Espaces probabilisés dénombrables 1 1.1. Ensemble dénombrables......... 1 1.2. Suite infinie d événements........ 1 1.3. Probabilité sur un univers

Plus en détail

Exercice 1. On sait que. Donc. Ce qui donne. On a. ( ) lim. Donc. lim. Posons. La suite ( ) est évidemment croissante puisque

Exercice 1. On sait que. Donc. Ce qui donne. On a. ( ) lim. Donc. lim. Posons. La suite ( ) est évidemment croissante puisque Correction Exercices sur les variables aléatoires Exercice 1 Soit une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre (1/). a. Rappeler les valeurs de son espérance et de sa variance ; en déduire

Plus en détail

Devoir à la maison n 11

Devoir à la maison n 11 Devoir à la maison n 11 Exercice 1 Soit la fonction définie sur R par : Déterminer les trois premières fonctions dérivées :,,., 4, 8 1 On définit les fonctions réelles ₀,₁,₂,₃ par les relations : ₀1, ₁,

Plus en détail

Ecricome 2008 Correction

Ecricome 2008 Correction Ecricome 2008 Correction Exercice 1 + 2 2, = 2 4 + 3 =,, réels} 1. 0,0 =, donc. Soit,. On peut écrire 1 0 0 2 1 2, = 0 1 0 + 2 1 4 0 0 1 1 1 3 1 0 0 L ensemble apparaît comme l ensemble des combinaisons

Plus en détail

Variables aléatoires réelles

Variables aléatoires réelles 23 Variables aléatoires réelles Pour ce paragraphe, (Ω, B, P est un espace probabilisé. 23.1 Définition et propriétés des variables aléatoires réelles Définition 23.1 On dit qu une application X : Ω R

Plus en détail

DS commun Correction. Exercice 1 1. On donne les matrices suivantes: On a. On a immédiatement par identification 2 et 1. On a donc

DS commun Correction. Exercice 1 1. On donne les matrices suivantes: On a. On a immédiatement par identification 2 et 1. On a donc DS commun Correction Exercice 1 1. On donne les matrices suivantes: 0 0 1 0 0 0 0 0 A= 1 0, I= 0 1 0, J= 1 0 0 3 1 0 0 1 3 1 0 a) Montrer qu il existe deux réels et tels que : A=aI+bJ 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Plus en détail

p(x = k) = a ( n+k p(x = k) = 1 a k + k=0 p k, on peut en déduire la valeur de a. (série géométrique)

p(x = k) = a ( n+k p(x = k) = 1 a k + k=0 p k, on peut en déduire la valeur de a. (série géométrique) Colle PC Semaines 9 et 20 204-205 Programme : Variables aléatoires discrètes : Loi, Fonction de répartition, Espérance, Variance et écart-type, Théorème du transfert, Inégalités de Marov et Bienaymé Tchebichev

Plus en détail

DS n 5 Correction 31 janvier 2007

DS n 5 Correction 31 janvier 2007 DS n 5 Correction 3 janvier 2007 Exercice Le gérant d'un magasin de matériel informatique a acheté un stock de disquettes. 5% des boîtes sont abîmées. Le gérant estime que: 60% des boîtes abîmées contiennent

Plus en détail

Loi d une variable aléatoire réelle

Loi d une variable aléatoire réelle Licence Math et MASS, MATH504 : probabilités et statistiques Loi d une variable aléatoire réelle On introduit la notion de variable aléatoire dans le cas réel ainsi que la notion fondamentale de loi d

Plus en détail

Chapitre 13 Loi des Grands Nombres et Théorème Central Limite

Chapitre 13 Loi des Grands Nombres et Théorème Central Limite Chapitre 13 Loi des Grands Nombres et Théorème Central Limite La Loi des Grands Nombres Abordons maintenant le premier théorème fondamental des probabilités. On a vu précédemment que la proba d un certain

Plus en détail

Variables aléatoires réelles

Variables aléatoires réelles Variables aléatoires réelles Table des matières 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles. 3 1.1 Rappels sur les σ-algèbres ou tribus d événements................................. 3 1.2 σ-algèbre

Plus en détail

EXERCICES SANS PRÉPARATION 2013

EXERCICES SANS PRÉPARATION 2013 7-12- 2014 JFC p 1 EERCICES SANS PRÉPARATION 2013 Question 1 HEC 2013-1-S46 Soit une variable aléatoire à valeurs strictement positives, admettant une densité f et vérifiant la propriété suivante : la

Plus en détail

1 Sujets donnés en option scientifique

1 Sujets donnés en option scientifique Les sujets suivants, posés aux candidats des options scientifique, économique, technologique et littéraire BL, constituent la première version d un échantillon des sujets proposés lors des épreuves orales

Plus en détail

1. Donner la loi, l espérance et la variance de X 1.

1. Donner la loi, l espérance et la variance de X 1. Exercice 1 On considère une urne contenant n boules numérotées portant des numéros deux à deux distincts. Un premier joueur effectue dans l urne des tirages sans remise jusqu à ce qu il obtienne la boule

Plus en détail

TD-COURS

TD-COURS 19-1- 2012 J.F.C. Td-Var p. 1 TD-COURS 8 2011-2012 RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS SUR LES PROBABILITÉS ET LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES. Ensemble dénombrable. Tribu, tribu engendrée, espace probabilisable

Plus en détail

On note l évènement : «les nombres 1, 2 ou 3 sortent au moins une fois lors de ces 10 tirages». On

On note l évènement : «les nombres 1, 2 ou 3 sortent au moins une fois lors de ces 10 tirages». On DS n 2 Correction Exercice 1 Une urne contient boules numérotées de 1 à indiscernables au toucher. On tire cinq boules dans cette urne, successivement, en remettant chaque boule tirée dans l'urne avant

Plus en détail

Exercices sur les variables aléatoires

Exercices sur les variables aléatoires Exercices sur les variables aléatoires Exercice 1 Soit une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre (1/2). a) Rappeler les valeurs de son espérance et de sa variance ; en déduire la valeur

Plus en détail

Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 15/09/14

Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 15/09/14 EXERCICE 94 algèbre Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie n>0 et u 2 L(E) tel que u 3 + u 2 + u =0. On notera Id l application identité sur E. 1. Montrer que Imu ker u = E. 2. (a) Énoncer

Plus en détail

Rappels de théorie des probabilités

Rappels de théorie des probabilités Rappels de théorie des probabilités 1. modèle probabiliste. 1.1. Univers, événements. Soit un ensemble non vide. Cet ensemble sera appelé l univers des possibles ou l ensemble des états du monde. Dans

Plus en détail

Devoir Vacances Commentaires et corrections

Devoir Vacances Commentaires et corrections Devoir Vacances Commentaires et corrections Voici quelques éléments pour vous aider à faire ce devoir et les corrections de quelques erreurs d énoncé : I) Exercice 1 Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Plus en détail

Chapitre 5 ESTIMATION ET INTERVALLES DE CONFIANCE

Chapitre 5 ESTIMATION ET INTERVALLES DE CONFIANCE Thierry Foucart 1 http://foucart.thierry.free.fr Chapitre 5 ESTIMATION ET INTERVALLES DE CONFIANCE 1. DES PROBABILITÉS À LA STATISTIQUE. hypothèse intuitive élaborée à partir d expériences diverses : convergence

Plus en détail

Chapitre V : Probabilité : conditionnement et indépendance

Chapitre V : Probabilité : conditionnement et indépendance Chapitre V : Probabilité : conditionnement et indépendance A- Variables aléatoires et lois de probabilités I Loi d une variable aléatoire 1) Définition d une variable aléatoire Exemple : Un jeu de hasard

Plus en détail

Espérance, variance ; loi faible des grands nombres

Espérance, variance ; loi faible des grands nombres 49 Espérance, variance ; loi faible des grands nombres Pour ce chapitre, (Ω, B, P) est un espace probabilisé et X une variable aléatoire à valeurs réelles positives (i. e. une application de Ω dans R +

Plus en détail

Statistique décisionnelle

Statistique décisionnelle Statistique décisionnelle Eugen Ursu Université Bordeaux IV E.Ursu (Université Bordeaux IV) L2S3 3 octobre 2012 1 / 36 Chapitre 2 : Variables aléatoires réelles 1 Introduction 2 Loi d une variable aléatoire

Plus en détail

n-uplets de variables aléatoires réelles

n-uplets de variables aléatoires réelles n-uplets de variables aléatoires réelles Table des matières 1 Définition d un n-uplet de variables aléatoires réelles. 2 2 Loi d un vecteur aléatoire à valeurs dans n. 2 3 Loi marginale. 2 4 Caractérisation

Plus en détail

Chapitre 5 : Lois Discrètes Usuelles

Chapitre 5 : Lois Discrètes Usuelles Chapitre 5 : Lois Discrètes Usuelles L2 Eco-Gestion, option AEM (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 5 : Lois Discrètes Usuelles 1 / 25 Joseph Bertrand (1900) Comment oser parler des lois du hasard? Le

Plus en détail

Variables aléatoires discrètes. Soit une expérience aléatoire à laquelle est associé l ensemble des issues Ω.

Variables aléatoires discrètes. Soit une expérience aléatoire à laquelle est associé l ensemble des issues Ω. Variables aléatoires discrètes I. Définitions 1. Définition d une variable aléatoire : Soit une expérience aléatoire à laquelle est associé l ensemble des issues Ω. On appelle variable aléatoire et on

Plus en détail

Corrections de trois exercices

Corrections de trois exercices Corrections de trois exercices Énoncé 1 1) Soit X une v.a. à densité de loi (0; 1). Calculer P(X > 1) ; P(X < ) ; P( 1 < X < ) et P( X > 1). ) Soit X une v.a. à densité de loi (m; σ ). Calculer E[X] et

Plus en détail

Chapitre 6 Couples et suites de variables aléatoires discrètes

Chapitre 6 Couples et suites de variables aléatoires discrètes Chapitre 6 Couples et suites de variables aléatoires discrètes I Couples de variables aléatoires réelles discrètes Dans toute cette partie, on considère X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes

Plus en détail

Généralisation de la notion d intégrale

Généralisation de la notion d intégrale Généralisation de la notion d intégrale I) Intégration d une fonction discontinue.) Fonction définie par morceaux On considère une fonction continue sur un intervalle, sauf en un nombre fini de points

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Probabilités

Exercices supplémentaires : Probabilités Exercices supplémentaires : Probabilités Partie A : Probabilités simples et variables aléatoires On lance trois dés : un rouge, un bleu et un vert. On écrit un nombre de trois chiffres : le chiffre des

Plus en détail

Rappels de théorie de l intégration et des probabilités

Rappels de théorie de l intégration et des probabilités CHAPITRE 26 Rappels de théorie de l intégration et des probabilités 26.1 Résultats de théorie de l intégration 26.1.1 Théorème de dérivation des intégrales à paramètre On en énonce une version lisible

Plus en détail

Variables aléatoires discrètes

Variables aléatoires discrètes Université de Reims Champagne Ardenne UFR Sciences Exactes et Naturelles Année universitaire 013-014 MA 0804 - Master 1 CM Variables aléatoires discrètes 1 Dénition Soit Ω un univers et S une tribu sur

Plus en détail

Variables aléatoires discrètes

Variables aléatoires discrètes Marino Alexandre Feuille d exercices 20 Massena ECS Variables aléatoires discrètes Les exercices à regarder sont mentionnés par une *. Loi de probabilité et fonction de répartition (*)Exercice : Une urne

Plus en détail

Correction TD de probabilités

Correction TD de probabilités Correction TD de probabilités Exercice 1 On lance deux fois une pièce considérée comme bien équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un face? On décrit l univers des possibles Ω associé

Plus en détail

de la variable aléatoire X est l'événement noté ( X = x i ).

de la variable aléatoire X est l'événement noté ( X = x i ). I. Variable aléatoire : Loi de probabilité et espérance 1. Variable aléatoire discrète On considère l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire. Définir une variable aléatoire X sur cet ensemble,

Plus en détail

Variables à densité.

Variables à densité. Variables à densité. Préreuis : Théorème : intégrale fonction de la borne supérieure Soit F (x) = R f (t) dt: x Si R f (t) dt converge alors F est continue sur ] ; ; a] et F est dérivable là où f est continue

Plus en détail

Chapitre 19 : Variables aléatoires

Chapitre 19 : Variables aléatoires Chapitre 9 : Variables aléatoires PTSI B Lycée Eiffel 9 mai 0 Un mèdecin annonce à un de ses patients : «J ai une bonne et une mauvaise nouvelle, je commence par la mauvaise. Vous avez une maladie grave

Plus en détail

Variables aléatoires discrètes : loi et espérance.

Variables aléatoires discrètes : loi et espérance. Université Pierre et Marie Curie 2013-2014 Probabilités élémentaires - LM345 Feuille 4 (semaine du 7 au 11 octobre 2012) Variables aléatoires discrètes : loi et espérance. 1. Espérance et probabilité Soit

Plus en détail

Ch 07 Probabilités. Exemple Reprendre l exemple précédent et définir la loi de probabilité de X.

Ch 07 Probabilités. Exemple Reprendre l exemple précédent et définir la loi de probabilité de X. Ch 07 Probabilités I VARIABLE ALEATOIRE ET LOI DE PROBABILITE I.1 - d une variable aléatoire On appelle variable aléatoire discrète toute application X de Ω dans IR. L ensemble des valeurs prises par X,

Plus en détail

PROBABILITE SUR UN ENSEMBLE FINI

PROBABILITE SUR UN ENSEMBLE FINI PROBABILITE SUR UN ENSEMBLE FINI Ω est un ensemble fini non vide. On note P(Ω) l ensemble des parties de Ω. Vocabulaire 1. Ω est l univers ou univers des possibles. 2. Toute partie A de Ω est appelée événement.

Plus en détail

Combinatoire et dénombrement

Combinatoire et dénombrement Exercices de probabilités 1 Combinatoire et dénombrement Exercice 1 On considère un polygone convexe à n sommets. 1. Combien de diagonales ce polygone admet-t-il? 2. En combien de points intérieurs au

Plus en détail

Durée : 2h Une feuille recto-verso autorisée Calculatrice interdite. Le barême tiendra compte de la rédaction. Justifiez clairement vos réponses.

Durée : 2h Une feuille recto-verso autorisée Calculatrice interdite. Le barême tiendra compte de la rédaction. Justifiez clairement vos réponses. SY1 Médian A11 Durée : 2h Une feuille recto-verso autorisée Calculatrice interdite Le barême tiendra compte de la rédaction. Justifiez clairement vos réponses. Exercice 1. Soit (Ω, A, IP) un espace de

Plus en détail

Lycée Pierre-Gilles de Gennes Mathématiques Devoir 10. Autour des variables géométriques 23 Mars Problème

Lycée Pierre-Gilles de Gennes Mathématiques Devoir 10. Autour des variables géométriques 23 Mars Problème Lycée Pierre-Gilles de Gennes BCPST Mathématiques 4-5 Devoir Autour des variables géométriques 3 Mars 5 Problème L objet du problème est l étude et la modélisation d un procédé ultra-rapide de greffes

Plus en détail

Nombre de sinistres en assurance non vie. 1 Loi binomiale négative dont le premier paramètre

Nombre de sinistres en assurance non vie. 1 Loi binomiale négative dont le premier paramètre I. S. F. A. 28-29 DEUXIEME EPREUVE DE MATHEMATIQUES OPTION B Durée : 4 heures Nombre de sinistres en assurance non vie et hétérogénéité du portefeuille Ce sujet aborde des questions de probabilités relatives

Plus en détail

C = + B = + A i, i=5

C = + B = + A i, i=5 EXERIE 1 : On lance une pièce une infinité de fois. Pour n 1, on note i l événement le «i-ème lancer amène Pile.» 1. Décrire par une phrase les événements suivants : B = + i, i=5 = + i i=5 2. Écrire à

Plus en détail

Université de Franche-Comté - IREM. Un exemple de calcul de risques de première et de seconde espèces Séminaire IREM - Yves DUCEL - 21 juin 2013

Université de Franche-Comté - IREM. Un exemple de calcul de risques de première et de seconde espèces Séminaire IREM - Yves DUCEL - 21 juin 2013 Université de Franche-Comté - IREM Un exemple de calcul de risques de première et de seconde espèces Séminaire IREM - Yves DUCEL - 21 juin 2013 1 L expérience de la pièce de Buffon Illustrons cette démarche

Plus en détail

Cours de Terminale S /Probabilités : conditionnement et indépendance. E. Dostal

Cours de Terminale S /Probabilités : conditionnement et indépendance. E. Dostal Cours de Terminale S /Probabilités : conditionnement et indépendance E. Dostal aout 2013 Table des matières 6 Probabilités : conditionnement et indépendance 2 6.1 Généralités............................................

Plus en détail

La formule de Taylor et les développements limités

La formule de Taylor et les développements limités La formule de Taylor et les développements ités I) La formule f de Taylor 1.1 ) Formule de Taylor avec reste intégral On considère une fonction de classe (c est-à-dire 1 fois dérivables et à dérivées continues,

Plus en détail

Variables continues usuelles

Variables continues usuelles Variables continues usuelles I) Variables uniformes 1.1 Densités Nous avons déjà rencontré ce type de variables. Définition 1 On dit que la variable suit une loi uniforme continue sur 0,1 si sa fonction

Plus en détail

Paul Lescot 26 Mars 2009

Paul Lescot 26 Mars 2009 RÉSUMÉ DES FORMULES RELATIVES AUX LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES Paul Lescot 6 Mars 009 1.Préliminaires Lorsque la variable aléatoire X suit une loi discrète, les valeurs possibles de X étant a 1,...a k,...

Plus en détail

Couples de variables aléatoires réelles

Couples de variables aléatoires réelles Couples de variables aléatoires réelles Table des matières 1 Définition d un couple de variables aléatoires. 2 2 Loi d un couple de variables aléatoires réelles. 2 3 Indépendance de deux variables aléatoires.

Plus en détail

CHAPITRE 8 - PROBABILITÉS

CHAPITRE 8 - PROBABILITÉS CHAITRE - ROBABILITÉS OBJECTIS Définir une variable aléatoire discrète. Établir la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. Calculer l'espérance d'une variable aléatoire. Interpréter l'espérance

Plus en détail

Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes

Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes L2 Eco-Gestion, option AEM (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 1 / 20 Plan 1 Notion de variable aléatoire Exemples 2 Loi

Plus en détail

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ Chapitre 8 : COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2015/2016 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles 2 1.1 Généralités.............................................

Plus en détail

Exercices type bac sur les suites.

Exercices type bac sur les suites. Exercices type bac sur les suites Corrigés NB : On ne donne dans ce document que des indices, la preuve complète reste à faire Exercice D après sujet du baccalauréat Centres étrangers, juin 003 On définit,

Plus en détail

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ Chapitre 8 : COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2013/2014 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles 2 1.1 Généralités.............................................

Plus en détail

PROBABILITES 2 : Répétition d'expériences identiques et indépendantes.

PROBABILITES 2 : Répétition d'expériences identiques et indépendantes. PROBABILITES 2 : Répétition d'expériences identiques et indépendantes. 1) Représentation par un arbre d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes Dans le cas d'une répétition d'expériences

Plus en détail

MATHEMATIQUES Option économique Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h

MATHEMATIQUES Option économique Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours d'admission sur classes préparatoires MATHEMATIQUES Option économique Mardi 9 mai 6 de 8h à h La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité

Plus en détail

Correction Devoir à la maison commun Saint-Charles La Cadenelle

Correction Devoir à la maison commun Saint-Charles La Cadenelle Correction Devoir à la maison commun Saint-Charles La Cadenelle Exercice On considère les matrices 0 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 4 ; 0 2 ; 0 2 0 ; 0 0 4 0 4 0 0 2 0 0 2 0 0 0 ) Soit la matrice 4 0 4 2 a) Prouver

Plus en détail

ESPACES PROBABILISES FINIS

ESPACES PROBABILISES FINIS Lycée de l Essouriau Année 2013-2014 PCSI ESPACES PROBABILISES FINIS Exercice 1 Langage ensembliste. Trois enfants, Arthur, Béatrice et Cécile, lancent chacun un ballon en direction d un panier de basket.

Plus en détail

TRAVAIL DE MATHEMATIQUES ECE 2. Faire pour le jour de la rentrée sur copie les exercices donnés en annexe

TRAVAIL DE MATHEMATIQUES ECE 2. Faire pour le jour de la rentrée sur copie les exercices donnés en annexe TRAVAIL DE MATHEMATIQUES ECE 2 Revoir les définitions, propriétés, théorèmes. de cours Retravailler les DS, TD, fiche d exercices à l aide des corrigés Faire pour le jour de la rentrée sur copie les exercices

Plus en détail

Une condition nécessaire de convergence Considérons une série de terme général. Supposons cette série convergente. Soit sa somme.

Une condition nécessaire de convergence Considérons une série de terme général. Supposons cette série convergente. Soit sa somme. Séries numériques I) Définitions - Notions essentielles.) Séries numériques Définition Soit une suite numérique. On appelle série de terme général la suite dont les termes successifs sont : ₀ ₀ ₁ ₀ ₁ ₂

Plus en détail

Chapitre I : LES SUITES

Chapitre I : LES SUITES Chapitre I : LES SUITES I- Généralités sur les suites 1) Définition et notations Définition 1 : 1) Définir une suite par une formule explicite, c est donner une relation entre le terme et l entier, pour

Plus en détail

Partie A - Loi normale-

Partie A - Loi normale- Exercice 1 Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendantes. Une usine fabrique, en grandes quantité, des rondelles d acier pour la construction. Leur diamètre est exprimé

Plus en détail

Chapitre 6 Couples et suites de variables aléatoires discrètes

Chapitre 6 Couples et suites de variables aléatoires discrètes Mr Dunstetter - ENC-Bessières 204\205 Chapitre Couples et suites de variables aléatoires discrètes I Couples de variables aléatoires discrètes : dénitions Dans toute cette partie, on considère X et Y deux

Plus en détail

Chapitre 7 : Variables aléatoires discrètes

Chapitre 7 : Variables aléatoires discrètes STS Variables aléatoires discrètes 2009/200 Chapitre 7 : Variables aléatoires discrètes Table des matières I Variable aléatoire I. Notion de variable aléatoire discrète................................

Plus en détail

Chapitre 5 ESTIMATION

Chapitre 5 ESTIMATION Statistique appliquée à la gestion et au marketing http://foucart.thierry.free.fr/statpc Chapitre 5 ESTIMATION La statistique inférentielle regroupe un ensemble de méthodes consistant à prendre en compte

Plus en détail

Chapitre III : Probabilités discrètes

Chapitre III : Probabilités discrètes Chapitre III : Probabilités discrètes Extrait du programme : I. Rappels a. Définitions Prop 1 : Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Prop 2 Si A est l événement certain, p(a) = 1. Si A est

Plus en détail

Chapitre 4: Fonctions génératrices (notions)

Chapitre 4: Fonctions génératrices (notions) Chapitre 4: Fonctions génératrices (notions) 1 Généralités On considère ici le cas particulier des v.a. à valeurs dans l ensemble N des entiers naturels. Ces v.a. interviennent souvent dans les applications.

Plus en détail

7 2 Variables aléatoires discrètes

7 2 Variables aléatoires discrètes BCPST2 9 5 7 2 Variables aléatoires discrètes I Compléments sur les variables aléatoires discrètes A) Dénition Dénition : Variable aléatoire discrète Une variable aléatoire réelle discrète est une variable

Plus en détail

ESSEC option Eco 2003 Maths III

ESSEC option Eco 2003 Maths III ESSEC option Eco 2003 Maths III Exercice 1 Suites récurrentes et algèbre linéaire Soit a un nombre réel. On note R N l ensemble des suites réelles définies sur N, et F le sous- ensemble de R N formé des

Plus en détail

Expérience aléatoire - modélisation - langage des probabilités

Expérience aléatoire - modélisation - langage des probabilités I Expérience aléatoire - modélisation - langage des probabilités Une expérience aléatoire est une expérience liée au hasard. Les mathématiques interviennent pour apporter un modèle qui comporte un univers

Plus en détail

cours 19, le jeudi 1er avril 2010

cours 19, le jeudi 1er avril 2010 cours 19, le jeudi 1er avril 21 Exemple : calcul de l espérance d une variable aléatoire T de loi exponentielle de paramètre λ >. La loi P T de T est donnée par dp T (x) 1 x λ e λx dx ; d après la formule

Plus en détail

Chapitre 19. Echantillonnage. Estimation

Chapitre 19. Echantillonnage. Estimation Chapitre 9. Echantillonnage. Estimation Ce chapitre ne peut en aucun cas être étudié si on n a pas d abord étudié le chapitre 6 sur la loi binomiale et le chapitre 8 sur la loi normale. Les différentes

Plus en détail

Chapitre 0. Comment caractériser l activité du statisticien? 12 I Le contexte II La démarche III Le modèle... 14

Chapitre 0. Comment caractériser l activité du statisticien? 12 I Le contexte II La démarche III Le modèle... 14 Statistique inférentielle Objectif du cours C e cours comprend l essentiel des notions de statistique mathématique, principalement paramétrique, avec une introduction au cas non-paramétrique. Les notions

Plus en détail

Cours N 2 : Probabilités conditionnelles, indépendances, somme et expérience de variables aléatoires discrètes.

Cours N 2 : Probabilités conditionnelles, indépendances, somme et expérience de variables aléatoires discrètes. Cours N 2 : Probabilités conditionnelles, indépendances, somme et expérience de variables aléatoires discrètes. I. Probabilités conditionnelles A. Définition On appelle probabilité conditionnelle de A

Plus en détail

Statistique et Informatique (LI323) Cours 4

Statistique et Informatique (LI323) Cours 4 Statistique et Informatique (LI323) Cours 4 Nicolas Baskiotis nicolas.baskiotis@lip6.fr Université Pierre et Marie Curie (UPMC) Laboratoire d Informatique de Paris 6 (LIP6) auteurs: N. Baskiotis, M.R.

Plus en détail

Correction du TD n o 2 Partie commune

Correction du TD n o 2 Partie commune Université de Nice Sophia-Antipolis Année Universitaire 00/0 L MI Statistique TD de Statistique Correction du TD n o Partie commune Exercice :. N est une variable aléatoire dénombrable tel que N(Ω) N et

Plus en détail

Type bac janvier Corrigé

Type bac janvier Corrigé Exercice (Métropole 24) Commun à tous les élèves Type bac janvier 27 - Corrigé Partie A ) L image de par la fonction f est : f () +e. Le point d abscisse sur la courbe C, représentative de la fonction

Plus en détail

DS 9 Correction EXERCICE Etude d'une fonction auxiliaire.

DS 9 Correction EXERCICE Etude d'une fonction auxiliaire. DS 9 Correction EXERCICE On considère la fonction déterminée sur 0, par : ln On se propose dans cet exercice d'étudier la fonction et de la représenter relativement à un repère orthonormal,,, l'unité choisie

Plus en détail

Estimation. Intervalle de confiance d une espérance d une loi de Gauss On se place dans le cas où X suit une loi N(m, σ) avec σ connu et m inconnu.

Estimation. Intervalle de confiance d une espérance d une loi de Gauss On se place dans le cas où X suit une loi N(m, σ) avec σ connu et m inconnu. Filière E Denis Pasquignon Résumé du cours :. l échantillonnage Estimation On appelle échantillon aléatoire de taille n la donnée de n variables aléatoires X,..., X n définies sur un espace probabilisé

Plus en détail

Corrigé du Concours Blanc

Corrigé du Concours Blanc Corrigé du Concours Blanc Exercice : On considère la fonction f définie par : f(x = x + 2 2 ln(e x + et on note (C la courbe représentative de f dans un repère orthonorrnal.. Etude de la fonction f. a.

Plus en détail

VA CONTINUES - Sujets de concours

VA CONTINUES - Sujets de concours Lycée Dominique Villars ECE Exercices VA CONTINUES - Sujets de concours Exercice - Problème EDHEC On considère deux variables aléatoires X et Y, définies sur un espace probabilisé (Ω,A,P), et indépendantes.

Plus en détail

x y z = 0 que l on paramètre par y pour avoir (?, 1,?) dans le générateur

x y z = 0 que l on paramètre par y pour avoir (?, 1,?) dans le générateur Corrigé EDHEC 26 Eco par Pierre Veuillez Exercice Soit f l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique B de R 3 est : A 2 7 4 3 2 8 6 On note I la matrice unité de M 3 (R) et on pose u

Plus en détail

Exercices : Couples et suites de VAR discrètes

Exercices : Couples et suites de VAR discrètes Exercices : Couples et suites de VAR discrètes Exercice : Une urne contient 2 boules blanches et n 2 boules rouges. On effectue n tirages sans remise de cette urne. On appelle X le rang de sortie de la

Plus en détail

Chapitre 10. Probabilités conditionnelles. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. modéliser une situation (par un arbre par exemple)

Chapitre 10. Probabilités conditionnelles. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. modéliser une situation (par un arbre par exemple) Chapitre 10 Probabilités conditionnelles Objectifs du chapitre : item références auto évaluation modéliser une situation (par un arbre par exemple) utiliser la formule des probabilités totales indépendance

Plus en détail

Notion de variable aléatoire réelle discrète

Notion de variable aléatoire réelle discrète Université de Picardie Jules Verne 011-01 UFR des Sciences Licence mention Mathématiques et mention Informatique parcours MIAGE - Semestre 3 Statistique et Probabilités otion de variable aléatoire réelle

Plus en détail

TP 2 : Variables discrètes

TP 2 : Variables discrètes UFR des SCIENCES -- Département de mathématiques TP 2 : Variables discrètes A. PHILIPPE Exercice 1 Autour de la loi binomiale Soit X une variable aléatoire. On suppose que la loi de X est la loi binomiale

Plus en détail

Fiche 10 : Probabilités

Fiche 10 : Probabilités Nº : 3 MTHEMTIQUES Fiche : Probabilités Calculer une probabilité simple Exercice 5 Le nombre de cas possibles est le nombre de façons de choisir deux objets parmi 5, c est-à-dire 75. Le nombre de cas favorables

Plus en détail

p = A cos(kx ωt). (1.2)

p = A cos(kx ωt). (1.2) 1 1. Séries de Fourier 1. Introduction En physique, on rencontre souvent des problèmes faisant intervenir des vibrations ou des oscillations. La vibration d un diapason est un exemple de mouvement harmonique

Plus en détail

TD2. Probabilité sur un ensemble dénombrable.

TD2. Probabilité sur un ensemble dénombrable. Université Pierre & Marie Curie Licence de Mathématiques L3 UE LM345 Probabilités élémentaires Année 2014 15 TD2 Probabilité sur un ensemble dénombrable 1 a Soit (Ω, F, P) un espace de probabilités Soit

Plus en détail

Cours N 4 : La loi Normale

Cours N 4 : La loi Normale I. Définition Cours N 4 : La loi Normale La loi normale, ou loi de Laplace-Gauss, ou loi de Gauss, de paramètre σ et µ,est définie sur R par la densité de probabilité suivante : Avec : f x = 1 σ 2π exp[

Plus en détail

Lois de probabilité à densité

Lois de probabilité à densité Lois de probabilité à densité 1 Variable aléatoire à densité Variable aléatoire discrète et continue En Première, on a défini les variables aléatoires discrètes Ce sont des fonctions définies sur l univers

Plus en détail

TD 3 et 4 : Processus à temps discret et Martingales

TD 3 et 4 : Processus à temps discret et Martingales 2009 - Université Paris VI Master 1 : Introduction au calcul stochastique pour la finance (MM054) TD 3 et 4 : Processus à temps discret et Martingales 1. Questions basiques sur les filtrations 1. Une union

Plus en détail

Lois usuelles. Michaël Genin. Université de Lille 2. EA Santé Publique : Epidémiologie et Qualité des soins

Lois usuelles. Michaël Genin. Université de Lille 2. EA Santé Publique : Epidémiologie et Qualité des soins Lois usuelles Michaël Genin Université de Lille 2 EA 2694 - Santé Publique : Epidémiologie et Qualité des soins michaelgenin@univ-lille2fr Plan 1 Exemple introductif Michaël Genin (Université de Lille

Plus en détail