Version du 14 septembre 2015 (12h13)

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1 CHAPITRE 1. BASES, VECTEURS ET OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS Bases orientées Axe orienté Plan orienté Espace orienté Scalaires et vecteurs Scalaires Vecteurs A) Vecteur libre B) Vecteur glissant C) Vecteur lié D) Vecteurs colinéaires E) Vecteurs équipollents ou (géométriquement) égaux F) Vecteurs opposés G) Vecteurs réciproques H) Vecteurs nuls I) Vecteur unitaire Algèbre vectorielle Lois de l algèbre vectorielle Expressions analytiques d un vecteur Mesure d un vecteur sur un axe Projection d un vecteur A) Dans un plan B) Dans l espace Composantes d un vecteur Expression analytique de la résultante Opérations fondamentales sur les vecteurs Produit scalaire Produit vectoriel Produit mixte Double produit vectoriel Division vectorielle Fonctions vectorielles - Dérivées Fonction vectorielle Règles de dérivation Remarque : Les références indiquées sont en correspondances avec : Calculus [texte imprimé] / James STEWART, Auteur. - Pacific Grove (CA) : Brooks/Cole, ISBN : Langues : Anglais Version du 14 septembre 2015 (12h13)

2 CHAPITRE 1. BASES, VECTEURS ET OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS 1.1. Bases orientées Axe orienté Un axe est une droite sur laquelle on a choisi un sens de parcours positif à partir d un point O, considéré comme origine. Ce sens s indique par une flèche à l extrémité du segment x x dessiné. Soit l axe Ox et les points M et M. fig Axe orienté. Si a est le nombre qui mesure la longueur OM, et b, la longueur OM : xm = abscissede M = + a x = abscissede M = b M Remarque : Ligne courbe orienté : on fera les mêmes conventions que celles faites pour un axe orienté. On y distingue aussi deux sens. On y indique le sens positif par une flèche. Utilisation en mécanique pour les liens flexibles notamment Plan orienté Soit un plan défini par deux axes Ox et Oy, non parallèle, qui se coupent en leur origine. On imagine de faire tourner l axe Ox autour de O, d un angle inférieur à π pour l amener en coïncidence avec Oy. fig Plan orienté. Si pour ce faire, le sens de rotation de Ox est antihorlogique (ou trigonométrique ), on dira que le plan Oxy est orienté positivement. L ordre d énoncé des lettres O, x, y, est capital. Le plan Oyx est orienté négativement. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

3 Espace orienté Soit un espace défini par 3 axes non coplanaires Ox, Oy, Oz, se coupant en leur origine. Ces trois axes forment un trièdre (trirectangle ou non). On imagine de faire tourner le demi-plan Oxz autour de l axe Oz, d un angle inférieur à π, pour l amener en coïncidence avec Oyz. Si pour un observateur situé sur la partie positive de l axe Oz, la rotation s effectue de la droite vers la gauche, le trièdre Oxyz est dit positif ou trièdre direct. L ordre d énoncé des lettres est capital. Les trièdres Oxyz, Ozxy, Oyzx sont positifs. Les trièdres Oxzy, Ozyx et Oyxz sont négatifs ou trièdres inverses. Pour reconnaître ou pour orienter un trièdre direct, on peut se servir de la règle des 3 doigts de la main droite (pouce : Ox; index : Oy; et majeur : Oz Y trièdre direct Oxyz) ou de l image du tirebouchon (faire tourner le tire-bouchon de Ox vers Oy pour le visser dans le sens Oz Y trièdre direct Oxyz) Dans ces notes, nous appellerons base orthogonale directe tout système d axes (plan ou espace) d orientation positive composé d axes perpendiculaires entre eux. fig Base orthogonale directe Scalaires et vecteurs Scalaires {Right-hand rule et section 12.2} Des grandeurs variées en physiques, telles que la longueur, la masse et le temps, ne nécessitent pour leur caractérisation qu un nombre réel (outre leurs unités qui sont décidées par avance). De telles quantités sont appelées scalaires (Scalae = échelle) et le nombre réel est appelé la grandeur de cette quantité. Ils n ont donc pas de direction. Un scalaire est représenté symboliquement par une lettre, ou un groupe de lettres, ou un nombre : exemples : V, F, a,, AB Vecteurs D autres grandeurs (par exemple les déplacements), requièrent pour leur caractérisation à la fois une direction, un sens et un module et parfois un point d application. De telles grandeurs sont des vecteurs. Pour distinguer un scalaire d un vecteur, nous écrirons : V, F, a, AB, Il existe plusieurs types de vecteurs (fig. 1.4.) : J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

4 fig Vecteurs : définitions. A) Vecteur libre Son origine n est pas déterminée et sa ligne d action est parallèle à une direction donnée. Exemple : le vecteur g de l accélération de la pesanteur. B) Vecteur glissant C) Vecteur lié Vecteur dont l origine n est pas précisée sur la ligne d action (vecteur libre sur une ligne d action). Vecteur glissant avec un point d application. Quatre caractéristiques : < sa ligne d action, c est-à-dire la droite x x qui le supporte; < son sens (de A vers B); < son origine, le point A; < et le nombre positif qui mesure la longueur AB. Ce nombre est le module (ou intensité) du vecteur, noté AB (scalaire) Si la ligne d action est un axe, le sens du vecteur est indiqué par le signe + ou! suivant que le vecteur et l axe ont ou non le même sens. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

5 D) Vecteurs colinéaires Deux vecteurs V 1 et V2 sont colinéaires lorsqu il existe un réel k tel que V1 = kv2. Ils ont donc mêmes directions mais des modules différents. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. E) Vecteurs équipollents ou (géométriquement) égaux Les lignes d action sont parallèles et les vecteurs ont même sens (donc même direction) et même module. F) Vecteurs opposés Les lignes d action sont parallèles, les modules sont les mêmes, mais les sens sont contraires. G) Vecteurs réciproques Vecteurs opposés sur la même ligne d action. H) Vecteurs nuls Vecteurs n ayant ni direction, ni sens, ni module (noté : 0 ). I) Vecteur unitaire {Unit Vectors p Standard basis vectors p.820} Vecteur dont le module est égal à l unité. Dans le cas d axes de références Ox, Oy et Oz, nous désignerons ces vecteurs unitaires par 1 x, 1y et 1z. Une base orthonormée directe est une base orthogonale directe pour laquelle chaque axe est muni de son vecteur unitaire propre Algèbre vectorielle Les opérations d addition, de soustraction et de multiplication habituelles dans l algèbre des nombres réels sont généralisables à l algèbre des vecteurs, à condition d avoir des définitions convenables. Les définitions suivantes sont fondamentales. {Combining vectors p.816} A) La somme (ou résultante) de V 1 et de V2, est un vecteur R formé en plaçant l origine de V2, à l extrémité de V 1 et en joignant l origine de V1 à l extrémité de V2. On écrit : R = V1 + V2 (par ex. : 3+ 4= 5). Cette définition est équivalente pour l addition vectorielle à la construction du parallélogramme comme cela est indiqué également à la figure ci-dessous. fig Résultante de deux vecteurs. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

6 Les extensions aux sommes de plus de deux vecteurs sont immédiates. Par exemple, la fig montre comment obtenir la somme ou résultante R des vecteurs V 1, V2, V3 et V4 (l ordre dans lequel on exécute la somme n a pas d importance : commutativité). fig Résultante de vecteurs {p.817} B) La différence de V 1 et de V2 notée : R = V1 + ( V2), est obtenue en faisant la somme de V 1 et de ( V 2 ) vecteur opposé à. La différence de deux vecteurs est non commutative V V = V V V ( 2 1) fig Différence de 2 vecteurs. {Scalar multiplication p.817} C) Le produit d un vecteur V par un scalaire n est le vecteur nv de même direction que V dont le module est n fois le module de V et dont le sens est identique ou opposé à celui de V, selon que n est positif ou négatif. Si n = 0, alors nv = 0 vecteur nul. fig Produit d un vecteur par un scalaire. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

7 Lois de l algèbre vectorielle {Properties of vectors p.819} Si V 1, V2, V3 sont des vecteurs et si m et n sont des scalaires, on a alors : < V1 + V2 = V2 + V1 (commutativité pour l addition vectorielle) < ( V ) 1 + V 2 + V 3 = V 1 + V 2 + V 3 (associativité pour l addition vectorielle) < mnv ( 1) = ( mnv ) 1 = nmv ( 1) (associativité pour la multiplication par les scalaires) < ( m+ n) V1 = mv1 + nv1 (distributivité) < mv + V = mv + mv (distributivité) Expressions analytiques d un vecteur Mesure d un vecteur sur un axe Soit à mesurer le vecteur V sur l axe Ox. On choisit un vecteur unitaire 1 x (par exemple : 1x = 1cm ). Mesurer le vecteur V, c est le comparer à. On a, par exemple : V = 41 x, V et x = 4 cm vecteur projection sens module Notations : V V x V V = V x 1 x V = 4 cm norme : indique le vecteur. : c est la projection du vecteur V sur l axe x (nombre avec son signe) ou composante de V sur Ox. : c est le module du vecteur V (nombre positif). : valeur absolue. Relation de Chasles (1) Pour trouver la projection d un vecteur : {p.818 formule 1} V = OB OA = coordonnée d' extrémité coordonnée d' origine = x x x B A Exemple : si A est à 8 cm et B à 4 cm de l origine O, Vx = 4cm 8cm= 4cm fig Mesure d un vecteur. (1) Chasles Michel (1793 [Épernon] [Paris]) : mathématicien français. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

8 Projection d un vecteur A) Dans un plan Pour déterminer la projection de AB sur la droite a, parallèlement à la droite b, on reporte par A et B, deux parallèles à la droite b jusque A et B. Projection = A B sur la droite a. A = B AB = 0 B) Dans l espace < La projection de AB sur le plan π, parallèlement à la droite b, est A B déterminée en menant par A et B deux parallèles à la droite b jusqu à A et B. fig Projection d un vecteur dans un plan non orthonormé. A B = projection dans π, parallèlement à la droite b. < La projection de AB sur la droite a, parallèlement au plan π, est obtenue en menant, par A et B, deux plans parallèles à π et en déterminant A et B points de percée de la droite a dans ces 2 plans. A B = projection sur la droite a, parallèlement à π. fig Projection dans l espace. fig J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

9 Composantes d un vecteur A) Vecteur dans un plan orthonormé direct Oxy {Components p.817} Soit le vecteur V = AB. En projetant AB sur Ox, on obtient V x ; de même en projetant sur Oy, on obtient V y. De par les lois de l algèbre vectorielle : Vx = Vx 1x V = Vx + Vy Y V = Vx 1x + Vy 1y {p.820} Vy = Vy 1y fig Projection d un vecteur dans un plan orthonormé. V x et V y sont appelés les composantes du vecteur V. Le module de V vaut : 2 2 V = Vx + Vy et tanα = V y Vx = V cosα avec, dans ce cas-ci : Vx Vy = V sinα {Magnitude or length p.818} Si l origine du vecteur V = OB est confondue avec l origine O de la base utilisée (fig ), les composantes du vecteur V sont égales aux coordonnées du point B (théorème de Chasles) : Vx = xb x0 = xb Vy = yb y0 = yb Un tel vecteur OB est appelé vecteur-position ou rayon-vecteur. {Position vector p.818} fig Vecteur position. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

10 Application 1.1. Détermination de vecteurs dans le plan. Solution : a) Vecteur lié : V = AB < soit A (x A ; y A ) et B (x B ; y B ) (voir fig a); < soit A (x A ; y A ), module AB, et angle α du vecteur avec la direction positive Ox (voir fig b); < soit A (x A ; y A ), V x et V y (voir fig c); fig Application 1.1. b) Vecteur glissant : V = AB < soit ligne d action : y = a x + b et V x (ou V y ) (voir fig d); < soit ligne d action : mx+ ny+ p=0 ; module AB, et sens de AB (par exemple : x décroissants ) (voir fig e) fig J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

11 c) Vecteur libre : V = AB < soit module AB et angle α du vecteur avec la direction positive Ox (voir fig f); < soit direction y = a x, module AB et sens de AB (par exemple : y croissants ) (voir fig g); fig B) Vecteur dans un espace orthonormé direct Oxyz {Components p } La même technique de projections et de détermination des composantes est d application (fig ) : soit le vecteur V = AB ; sa projection sur Ox, parallèlement à Oyz, est le vecteur V x sa projection sur Oy, parallèlement à Ozx, est le vecteur V y ; sa projection sur Oz, parallèlement à Oxy, est le vecteur V z. V V V = V 1 = V 1 = V 1 x x x y y y z z z V = V + V + V x y z Y V = V 1 + V 1 + V 1 x x y y z z V x, V y et V z sont appelés les composantes du vecteur V. Le module de V vaut : {p.820} V = V + V + V x y z (dans un repaire orthonormé) J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

12 fig Projection dans une base orthonormée directe. Pour les vecteurs-positions A). OB, on peut appliquer la même remarque que celle formulée en Application 1.2. Détermination de vecteurs dans l espace. Solution : fig Application 1.2. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

13 a) Vecteur lié : V = AB < soit A (x A ; y A ; z A ) et B (x B ; y B ; z B ) (voir fig a); Exemple chiffré : Soit A (2; 1; 5) et B (1; 4; 2) Par la relation de Chasles : V = AB = ( 1 2) 1x + ( 4 1) 1y + ( 2 5) 1z = x y z < soit A (x A ; y A ; z A ), module AB, et angle α du vecteur avec la direction positive Ox, β angle du vecteur avec la direction positive Oy, et sens de AB (par exemple : z croissants ); relation aux cosinus directeurs : cos α + cos β + cos γ = 1 (voir fig b); (γ étant l angle entre la direction positive Oz et l vecteur) {Direction angles - Direction cosines p.827} Exemple chiffré : soit A (1; 1; 3), AB = 3, z croissants, α = 105, β = 20 Par la relation aux cosinus directeurs : 2 2 γ = arccos 1 cos α cos β 2 2 = arccos 1 cos 105 cos 20 = V = AB = AB cosα 1 + AB cos β 1 + AB cosγ 1 = 3 cos105 1x + 3 cos 20 1y + 3 cos z = x y z x y z < soit A (x A ; y A ; z A ), V x, V y, V z. (voir fig c); Vx = V cosα Sachant que : Vy = V cosβ Vz = V cosγ Et que la direction du vecteur est donné par : 1 = AB = cosα 1 + cos β 1 + cosγ 1 AB d x y z {Formule 11 p.828} J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

14 Exemple chiffré : soit A (-1; 1; 2), V x = 1; V y = 3 ; V z = 2 V = AB= AB 1 = V 1 + V 1 + V 1 = d x x y y z z x y z b) Vecteur glissant : V = AB (voir fig ) Ligne d action donnée par l intersection de 2 plans (π 1 et π 2 ) π 1 m1 x + n1 y + p1 z + q1 = 0 π 2 m2 x + n2 y + p2 z + q2 = 0 Module AB et sens de AB (par exemple : x croissants ); fig J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

15 Expression analytique de la résultante {p.819} Soit R la résultante d un système de n vecteurs V i dans une base orthonormée Oxyz, on peut écrire : n n R = V = V 1 + V 1 + V 1 i i = 1 i = 1 = n ( ix x iy y iz z) n n V ix x + V i y y V i z 1 i i i = 1 = 1 = 1 avec : R = V ; R = V ; R = V x n n i x y i y z i = 1 i = 1 i = 1 on obtient l expression analytique du vecteur résultante : ainsi que son module : R= R 1 + R 1 + R 1 x x y y z z n i z z 2 n n n R = V ix + V iy + V i = 1 i = 1 i = 1 Soit n = 2 dans Oxy : 2 iz 2 fig Expression analytique de la résultante. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

16 1.4. Opérations fondamentales sur les vecteurs Produit scalaire {Section 12.3 p.824} Soit et V2 deux vecteurs libres, tracés à partir d une origine commune (fig ). V 1 fig Produit scalaire. On définit le produit scalaire entre V 1 et V2 par la relation : {Dans le Stewart, ceci est un théorème} V1 V2 = V1 V2 cosθ (θ : angle entre les directions positives des vecteurs) Par conséquent, le produit scalaire n est autre chose que le produit algébrique de la longueur de l un des vecteurs par la projection de l autre sur la direction du premier. Autrement dit : V V = AC. AD = AB. AE 1 2 Il faut remarquer que V représenter. V est un scalaire et non un vecteur! Il est donc impossible de le 1 2 Un exemple de représentation physique du produit scalaire est le travail : W = f OA= f OA cosθ (θ étant l angle entre les deux vecteurs). Les lois suivantes sont valables : a) b) π π si : < θ < V1 V2 > π si : θ =± V1 V2 = 0 2 π 3π si : < < V V < θ V V = soit : V1 et ou V2 = 0 soit : V1 V2 c) V V = V V (commutativité) {Formule 7 p.827} J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

17 d) V V + V = V V + V V (distributivité par rapport à l addition vecto rielle) e) nv V = nv V = V nv (n étant un scalaire) f) g) ( 1 2) 2 1 ( 2) 1x 1x = 1y 1y = 1z 1z = 1 1x 1y = 1y 1z = 1z 1x = V1 V1 = V1 cos 0 = V1 + V1 + V = 1 V1 V2 h) θ = arccos V V x y 1 z i) expression analytique du produit scalaire entre V 1 et : V1 = V1x 1x + V1 y 1y + V1z 1z V2 = V2 x 1x + V2 y 1y + V2 z 1z V1 V2 = V1x V2 x ( 1x 1x) + V1x V2 y ( 1x 1y) + V1x V2 z ( 1x 1z) +... = 1 = 0 = 0 d où : V V = V V + V V + V V 1 2 1x 2 x 1y 2 y 1z 2 z V2 {Dans le Stewart, ceci est une définition} Application 1.3. Dans un espace orienté Oxyz, deux vecteurs sont donnés par : V1 = AB avec A (1; 3; 8) et B (6; 7; 8) V2 = 81x + 101y + 71z Déterminer l angle que forment ces deux vecteurs entre eux. Solution : Recherche de l expression analytique de V 1 : V1 = ( 6 1) 1x + ( 7 3) 1y + ( 8 8) 1z = 51x + 41y Recherche de l angle : ( ) θ = V V = arccos arccos = arccos V1 V π θ = 2 J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

18 Produit vectoriel {Section 12.4 p.832} Soit et V2 deux vecteurs libres, tracés à partir d une origine commune (fig ). V 1 fig Produit vectoriel. Définition : Le produit vectoriel V1 V2 est un vecteur dont le module est défini comme le produit des modules de V 1 et V2 par le sinus de l angle des deux vecteurs; la direction de V1 V2 est perpendiculaire au plan formé par V 1 et V2 et son sens est tel que V 1, V2 et V V forment un trièdre direct. 1 2 (2) D où : V1 V2 = V1 V2 sinθ avec 0 < θ < π V V V et V V V 1, 2 ( 1 2) V V et V V orientation directe {Dans le Stewart, ceci est un théorème} (θ : angle entre les directions positives des vecteurs) (2) Plusieurs notations sont en concurrence pour le produit vectoriel : < En France, le produit vectoriel de V 1 et de V2 est noté V1 V2, où le V inversé se lit wedge ou vectoriel. Cette notation a été initiée par Cesare Burali-Forti et Roberto Marcolongo en Son inconvénient est de rentrer en conflit avec la notation du produit extérieur. < Dans la littérature anglophone (et au Canada francophone, ainsi qu'en Suisse), le produit vectoriel est noté V1 V2. Cette notation est due à Josiah Willard Gibbs. Son inconvénient est d'induire une confusion éventuelle avec le produit des réels et le produit cartésien. Mais ces produits ne portent pas sur des objets de même nature. < Une troisième notation est l'utilisation des crochets de Lie : V 1, V 2. [ ] J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

19 Un exemple de représentation physique du produit vectoriel est la force magnétique ou force de Lorentz, force qui s exerce sur une particule électrique en mouvement dans un champ magnétique. Si une particule de charge électrique q en mouvement à une vitesse v dans une région de l espace ou agit un champ magnétique B, alors elle est soumise à une force magnétique f égale à : f = qv B ( B exprimé en T; v en m/s et q en C) De par la définition du produit vectoriel, il en découle une notion de vrai vecteur et de pseudovecteur. En effet, pour écrire les vecteurs, il est nécessaire de les exprimer dans la base orthonormé d un repère. Conventionnellement, on choisit une base directe où les vecteurs de la base sont donnés par les trois doigts de la main droite: le troisième vecteur est le produit vectoriel des deux premiers et son sens définit le caractère direct de la base. Il s en suit que : < Un vecteur est un vrai vecteur (ou vecteur polaire) si son sens ne dépend pas de l orientation de l espace. < Un pseudo-vecteur (ou vecteur axial) si son sens dépend de l orientation de l espace. < Les vecteurs position, vitesse, accélération, force,... sont de vrais vecteurs (le repère utilisé pour décrire le mouvement d un solide n a pas d influence sur sa vitesse réelle). < les vecteurs champs magnétique, rotation instantanée, moment d une force, moment cinétique, sont des pseudo-vecteurs. De manière générale, tout produit vectoriel de deux vrais vecteurs est un pseudo-vecteur, alors que le produit vectoriel d un vrai vecteur par un pseudo-vecteur est un vrai vecteur. Les lois suivantes sont valables : a) V V = V V (anti-symétrique) b) V1 ( V2 + V3) = V1 V2 + V1 V3 (distributivité par rapport à l addition vectorielle) c) nv V = nv V = V nv (n étant un scalaire) d) ( 1 2) ( 1) 2 1 ( 2) 1x 1x = 1y 1y = 1z 1z = 0 1x 1y = 1z; 1y 1z = 1x; 1z 1x = 1y 1 1 = 1 ; 1 1 = 1 ; 1 1 = 1 y x z z y x x z y e) V V = V V et V V = surface d un parallélogramme de côtés et V 1 V2 J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

20 f) Si V1 V2 = 0 et si V 1 et V2 ne sont pas des vecteurs nuls, alors V1 et V2 sont parallèles (car sinθ = sin 0= 0) g) expression analytique du produit vectoriel entre V 1 et : V1 = V1x 1x + V1 y 1y + V1z 1z V2 = V2 x 1x + V2 y 1y + V2 z 1z V1 V2 = V1x V2 x 1x 1x + V1x V2 y 1x 1y + V1x V2 z 1x 1z = 0 = 1 = 1 d où : V V = V V V V 1 V V V V 1 + V V V V 1 z V2 y y 2 z 1z 2 y x 1x 2 z 1z 2 x y 1x 2 y 1 y 2 x z ou : V V = V V V x y z 1 2 1x 1 y 1z h) V V V 2 x 2 y 2 z V1 V2 + λv1 = V1 V2 + V 1 λ V1 = V1 V2 λ R = 02 ( vecteurs //) Application 1.4. Dans le plan Oxy, on donne le vecteur V1 = AB avec A (3; 1) et B (6; 4). Calculer, par l algèbre vectorielle, la distance d séparant C (4; 5) de la ligne d action du vecteur V1 1x = 1y = 1cm. Solution : Recherche de l expression de la distance : On peut écrire : d = AC sinθ = BC sinθ Or : AB AC = AB AC sinθ = d et dès lors : d = AB AC AB fig Application 1.4. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

21 Les expressions analytiques des vecteurs sont : AB = 31x + 31y AC = 11x + 41y Le produit vectoriel vaut : 1x 1y 1z AB AC = = z La distance vaut : d = AB AC AB = = 212. cm J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

22 Produit mixte Soit V 1, V2, V3 trois vecteurs libres. On définit le produit mixte par : {Triple poduct p.836} V V V (c est un scalaire!). Remarque : V V V n a pas de sens! En écrivant l expression analytique de V2 V3 puis celle du produit scalaire entre V 1 et le résultat obtenu, on a : V V V V1 ( V2 V3) = V V V V V V 1x 1y 1z 2 x 2 y 2 z 3x 3 y 3z Le produit mixte représente le volume d un parallélépipède de côtés V 1, V2, V3 ou l opposé de ce volume selon que V 1, V2, V3 forment ou ne forment pas un trièdre direct. V V 2 3 V 1 V 3 V 2 fig Produit mixte. En effet : V1 ( V2 V3) = V1 V2 V3 cosα or : V1 cosα = h et V V = V V sinθ = A V = Ah cqfd J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

23 Application 1.5. Quelle est le volume du parallélipipède construit sur les points suivant (exprimé en cm) : O (0; 0; 0); A 1 (2; 0; 0); A 2 (0; 4; 0); A 3 (0; 0; 7). Solution : Volume = produit mixte Volume = OA1 OA2 OA3 = = 56 cm Ce qui revient bien à : Volume = surface de base hauteur = 2 4 7= 56 cm 3 3 Les lois suivantes sont valables : a) V1 ( V2 V3) = ( V1 V2) V3 (permutation de signes scalaire et vectoriel) b) V + V V V = V V V + V V V (distributivité par rapport à l addition vectorielle) c) kv mv nv kmn V V V = k, m, n R (multiplication par un réel) d) V1 ( V2 V3) = V2 ( V1 V3) (permutation de 2 vecteurs, le produit mixte change de signe) e) V V V = V V V = V V V (permutation circulaire des vecteurs) f) V V V = < un des vecteurs est nul; < ou 2 vecteurs ont la même direction; < ou les 3 vecteurs déterminent un même plan. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

24 Double produit vectoriel {Pas dans le Stewart} Soit V 1, V2, V3 trois vecteurs libres. On définit le double produit vectoriel par : V V V (c est un vecteur!) Le vecteur résultat est : z à V 3 et z à V V 1 2 Remarque : V V V n a pas de sens! On peut démontrer facilement l égalité suivante, en développant séparément chacun des termes de l égalité : V1 V2 V3 V1 V3 V2 V2 V3 V1 V V V V V V V V V ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) Autrement dit : V V V = mv nv (où m et n sont des scalaires). Le double produit vectoriel revient donc à une différence de 2 vecteurs. Il est clair que : ( V1 V2) V3 V1 ( V2 V3) Application 1.6. Que vaut V V V si est perpendiculaire à V2? V 1 Solution : Développement du double produit vectoriel V ( V V ) = ( V V ) V ( V V ) V = 0 2 = V V J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

25 Division vectorielle Soit à déterminer un vecteur X tel que X V = V. 1 2 V2 {Pas dans le Stewart} L opération n est possible que si et seulement si V 1 et sont perpendiculaires (définition du produit vectoriel). Or X doit aussi être perpendiculaire à V 2 ; X doit donc appartenir au plan contenant V1 et V V. 1 2 En effet : V1 V2 ( X V1 = V2) et ( V1 V2) V2 ( par définition ) ce qui implique que X est dans le plan formé par V 1 et V V puisque X doit être perpendiculaire à. 1 2 On peut ainsi écrire X comme combinaison de ces 2 vecteurs : X = mv + n V V (avec m et n deux scalaires) Il reste à déterminer m et n; pour ce faire, remplaçons X par l expression ci-dessus : X V = V mv + n V V V = V ( ) ( ) ( mv ) ( V + n V V V V V V = V2 = 02vecteurs //) = 02 ( vecteurs ) 2 nv V = V n= La solution générale du problème est donc : V 1 2 V 2 X V = V V + mv (m étant un scalaire réel quelconque) Remarque : Il existe donc une infinité de solutions. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

26 1.5. Fonctions vectorielles - Dérivées Fonction vectorielle Si à chaque valeur d une variable scalaire t correspond un vecteur, ce vecteur est appelé fonction vectorielle de t. Vt est donc un vecteur dont le module, la direction et le sens dépendent de la variable t (qui sera en général le temps) Règles de dérivation Dans une base Oxyz fixe, le vecteur Vt est donné par : Vt V t1 V t1 V t1 = + + x x y y z z La dérivée de Vt est définie par (fig ). dv t = lim dt Δt 0 Δt Vt ( + Δt) Vt Vt à condition que cette limite existe. fig Dérivation d un vecteur. On utilisera comme notation, dans le cas où t représente le temps, sachant que la dérivée des vecteurs unitaires sont nuls (constant en grandeur et en direction) ( 1 0;... ) : V dv t dv dv x y dvz = = 1x + 1y + 1z dt dt dt dt V = V t = V 1 + V 1 + V 1 x x y y z z x = J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page

27 Vt De même, on peut définir des dérivées d ordre supérieur. Par exemple, la dérivée seconde de est donnée par : 2 dvt 2 2 dv 2 dv dv x y z V = = 1x + 1y z dt dt dt dt V = V t = V 1 + V 1 + V 1 x x y y z z Les lois suivantes sont valables : a) si Vt est constant, n est pas nécessairement nul; en effet, la direction de Vt peut changer dans le temps; V b) si la direction de Vt est constante dans le temps, la dérivée V se ramène à V dv = c estdt à-dire à la dérivée du module V de Vt, la direction de V coïncidant avec celle, constante, de Vt; c) pour que V = 0, il faut que : < le module Vt soit constant; < et que la direction de Vt soit constante; dv ( 1 + V2) d) = V1 + V2; dt dmv e) = mv + mv (si m est un scalaire constant, m est nul) dt dv ( 1 V2) f) = V1 V2 + V1 V2; (c est un scalaire!) dt dv ( 1 V2) g) = V1 V2 + V1 V2 (c est un vecteur!) dt J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Vecteurs Page