Bases et repères. Coordonnées d'un vecteur dans une base, d'un point dans un repère

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1 I Les vecteurs du plan, de l'espace Dans le plan P Soit O un point du plan, i et j deux vecteurs non colinéaires. On dit que : i, j est une base du plan vectoriel P O, i, j est un repère de P Bases et repères Dans l'espace E Soit O un point de l'espace, i, j et k trois vecteurs non coplanaires. On dit que : i, j, k est une base de l'espace vectoriel E O, i, j, k est un repère de E Coordonnées d'un vecteur dans une base, d'un point dans un repère Soit i, j une base de P. Pour tout vecteur v, il existe deux nombres réels uniques x et y tels que v=x i y j. Ce sont les coordonnées de v dans la base i, j. On note v x y. Soit O, i, j un repère de P, soit M le point défini par OM = v. Les coordonnées (x, y) du point M dans le repère O, i, j sont les coordonnées du vecteur OM dans la base i, j. Soit i, j, k une base de E. Pour tout vecteur v, il existe trois nombres réels uniques x, y et z tels que v=x i y j z k. Ce sont les coordonnées de v dans la base i, j, k. On note v x y z. Soit O, i, j, k un repère de E, soit M le point défini par OM = v. Les coordonnées (x, y, z) du point M dans le repère sont O, i, j, k les coordonnées du vecteur OM dans la base i, j, k.

2 Exercices 1. Déterminer les coordonnées des vecteurs ci dessus dans la base i, j. 2. Déterminer les coordonnées de vecteurs FG, DE et HI dans la base NO ; JK. 3. On choisit G l'origine du repère, déterminer les coordonnées des points ci-dessus dans le repère G ; i, j. 1. Dans le repère O ; OI, OJ, OK ci contre, donner les coordonnées des points A, B, C, D et E. 2. Dans la base OI, OJ, OK, déterminer les coordonnées des vecteurs OD, OE, OB, AC, DB et AE. 3. Calculer les coordonnées du point F milieu de [BD].

3 Soient u x y et u' x ' y ' u et u' sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont respectivement proportionnelles; ce qui se traduit par : xy' x'y = 0. Condition pour que deux vecteurs soient colinéaires deux vecteurs du plan. Soient u x y et u' x ' y ' deux vecteurs de l'espace. z z ' u et u' sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont respectivement proportionnelles. Exercices Exercice 1 1. Dans le repère précédent, déterminer les coordonnées de EB et ED. Sont-ils colinéaires? 2. Déterminer les coordonnées de EF. Les vecteurs EB, ED et EF sont-ils coplanaires? Exercice 2 1. Soit ABC un triangle. Soit M tel que AM = 3 AC AB Soit N tel que AN = BC AC a. Déterminer les coordonnées de M et N dans le repère A; AB, AC b. Les vecteurs AM et AN sont-ils colinéaires? 2. Soit IJK un triangle. Soit R tel que JR=2 JK IJ Soit N tel que IS =2 IK 3 IJ a. Déterminer les coordonnées de R et S dans le repère I ; IJ, JK b. Les vecteurs IJ et RS sont-ils colinéaires? La base i, j est orthonormale si i = j =1 et si i et j sont orthogonaux. Si la base i, j est orthonormale, le repère O ; i, j est dit orthonormal. Repères orthonormaux La base i, j, k est orthonormale si l i = j = k =1 et si les trois vecteurs sont 2 à 2 orthogonaux. Si la base i, j, k est orthonormale, le repère O ; i, j, k est dit orthonormal.

4 Dans P muni de la base orthonormale i, j, la norme du vecteur u x y est u = x 2 y 2. Dans le plan P muni du repère orthonormal O ; i, j la distance entre les points A x A ; y A et B x B ; y B correspond à la norme du vecteur AB dans la base i, j soit AB= AB = x B x A 2 y B y A 2. Norme d'un vecteur dans une base orthonormale Exercices : Ex 1 1. A(3 ; 4 ; 1) et B(-5 ; 2 ; 0). Calculer les coordonnées de AB. 2. A(3 ; 0 ; 5) et B(-5 ; 1 ; 2). Calculer les coordonnées de I milieu de [AB]. 3. A(-1 ; 3 ; 5) et B(0 ; -5 ; 2). Calculer la distance AB. Dans E muni de la base orthonormale, i, j, k la norme du vecteur u x y z est u = x 2 y 2 z 2. Dans l'espace E muni du repère orthonormal O ; i, j, k la distance entre les points A x A ; y A ; z A et B x B ; y B ; z B correspond à la norme du vecteur AB dans la base i, j soit AB= AB = x B x A 2 y B y A 2 z B z A 2. Ex 2 On considère une pyramide à base carrée SABCD, de hauteur [SH]. SH = 8 cm et AB = 3 cm. 1. Dessiner cette pyramide en perspective cavalière. 2. Calculer la longueur SA. Donner un arrondi au mm. 3. Calculer à 0,1 degré près la mesure de l'angle SAH. 4. Calculer l'aire totale du solide arrondie au mm 2. Ex 3 On se place dans le repère orthonormal A; AB, AD, AE. 1. Calculer les longueurs IJ, JG et GI. 2. Déterminer l'aire du triangle IJG.

5 II Barycentres du plan et de l'espace Introduction Soit A et B deux points du plan. A B Existe-t-il un point M vérifiant MA 2 MB= 0? Existe-t-il un point M vérifiant 2 MA 2 MB= 0? Définition : Soient A et B deux points (du plan ou de l'espace) affectés respectivement de coefficients réels a et b. Si a b 0, alors le barycentre G du système {(A, a), (B, b)} est l'unique point tel que a GA b GB= 0. Remarque : Du point de vue cinématique, G est le centre d'inertie d'un ensemble de points matériels affectés de leur masse. Du point de vue dynamique, G est le centre de gravité d'un ensemble de points matériels affectés de leur poids. Propriétés : Étant donné deux points distincts A et B, pour tout réels a et b tels que a b 0, le barycentre de (A, a) et (B,b) est situé sur la droite (AB). Homogénéité Le barycentre de deux points pondérés (A, a) et (B,b) ne change pas lorsqu'on multiplie tous les coefficients par un même nombre non nul. Le barycentre de deux A et B points affectés du même coefficient non nul est le milieu du segment [ AB]. Caractérisation G est le barycentre du système {(A, a), (B, b)} si et seulement si pour tout point M (du plan ou de l'espace) a b MG=a MA b MB. Propriété : Coordonnées du barycentre Soient A et B deux points (du plan ou de l'espace) affectés respectivement de coefficients réels a et b tels que a b 0 et G le barycentre du système {(A, a), (B, b)}. Dans le plan : G a x A b x B ; a y A b y B a b a b Dans l'espace : G a x A b x B a b ; a y A b y B a b ; a z A b z B a b Remarque : On peut étendre ces définitions à n points pondérés du plan ou de l'espace.

6 Exercices : Ex 1 Ex 2 Ex 3 ABCD est un tétraèdre, G est le point défini par : AG= 1 6 AB 1 2 AC 1 3 AD 1. Exprimer G comme barycentre de B, C, D affectés de coefficients à préciser. 2. Justifier l'appartenance de G au plan (BCD). Ex 4 Dans un repère du plan, on donne les points : A (3; 2), B (4; 2) et C (5; 1) 1. Calculer les coordonnées : a. de l'isobarycentre G du triangle ABC; b. du barycentre G ' de (A,1), (B, 2) et (C, 3). 2. Déterminer les coordonnées du point D tel que G ' soit le barycentre de (A,1), (B, 2) et (D, 2).

7 III Produit scalaire Rappel sur les angles orientés et sur le radian Définition : On considère deux vecteurs u= AB et v= AC. On peut alors définir l'angle entre ces deux vecteurs comme étant l'angle orienté u, v = BAC. L'unité d'angle utilisée est le radian. La mesure peut être positive ou négative suivant le sens dans lequel on tourne. Propriété : Les angles orientés sont définis à un nombre entier de tours près, c'est à dire à 2 kπ rad près, k comptant le nombre de tours fait dans un sens ou dans l'autre. Le produit scalaire Théorème : 1 ère formule Soient u et v deux vecteurs non nuls, le produit scalaire de u par v est le nombre réel : u. v= u v cos, où θ est une mesure de l'angle u, v. Théorème : 2 ème formule Soit un repère orthonormé du plan O ; i, j et deux vecteurs u x v s'écrit alors : u. v=x x' y y' y et v x ' y ', le produit scalaire de u par Remarques : Vous avez déjà appris à multiplier un nombre avec un vecteur. Attention, le produit scalaire n'est pas la même opération! La multiplication entre un nombre et un vecteur est un vecteur. Le produit scalaire entre deux vecteurs donne pour résultat un nombre réel. u. u= Les définitions du produit scalaire s'étendent à l'espace. En particulier, l'expression du produit scalaire (2 ème formule) et de la norme dans une base orthonormale O ; i, j, k s'écrit : En mécanique, le produit scalaire permet de calculer le travail d'une force. Ainsi, le travail exercé par une force F entre les points A et B d'un segment de droite, s'exprime w= F. AB.

8 Exercice 1 : Exercice 2: Propriété : Soient u, v et w trois vecteurs et k un nombre réel. On a alors : u. v= v. u (commutativité) u v w = u. v u. w (distributivité) u. k v =k u. v Exercice :

9 Théorème : Soit u et v deux vecteurs non nuls. u et v sont orthogonaux si et seulement si u. v=0. On note alors u v. Exercice : IV Le produit vectoriel Définition : Soient u et v deux vecteurs de l espace orienté. Si u et v sont colinéaires, on pose u v= 0. On lit " u vectoriel v ". Si u et v ne sont pas colinéaires, u v= w, le vecteur w étant défini par les conditions suivantes : w est orthogonal au plan ( u, v ) ( u, v, w ) est une base directe w = u v sin u, v. Définition : Soit i, j, k est une base orthonormale directe de l'espace, pour tout vecteurs u x y u v yz ' z y ' z x' x z ' x y ' y x '. z v x' y' z ' : Remarques : Distinguer le produit vectoriel «u v= u v» dont le résultat est un vecteur du produit scalaire u. v dont le résultat est un nombre. Si u v= w alors, w est aussi l aire du parallélogramme formé par les vecteurs u et v. Propriétés de calcul : Pour tout vecteurs u, v, w et tout nombre réel a, v u= u v u v w = u v u w u a v =a u v = a u v

10 u 0= 0 Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul. En particulier u u= 0.

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