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2 Ali BOUAFIA Département de Génie Civil Faculté des sciences de l ingénieur Université Saâd Dahlab de Blida APPLICATIONS DE LA DYNAMIQUE DES SOLS (PROBLEMES RÉSOLUS) OFFICE DES PUBLICATIONS UNIVERSITAIRES, Place centrale Ben-Aknoun (Alger)

3 Ouvrages du même auteur: Mécanique des sols appliquée-problèmes résolus, éditions OPU ISBN , 3 e édition année 0, 65 p. Essais in-situ dans les projets de fondations, éditions OPU ISBN , 3 e édition année 0, 300 p. Calcul pratique des fondations et des soutènements, éditions OPU ISBN , e édition année 009, 46 p. Introduction à la dynamique des sols, éditions OPU Tome : Principes de base ISBN , e édition année 00, 336 p. Tome : Calcul dynamique des ouvrages géotechniques ISBN , e édition année 00, 406 p. Introduction à la géotechnique (ouvrage collectif), éditions OPU Tome : ISBN , e édition année 0, 60 p Tome : ISBN , e édition année 0, 3 p. Aide-Mémoire de mécanique des sols, éditions OPU ISBN , e édition année 03, 46 p. Office des Publications Univeritaires : Edition : I.S.B.N : Dépôt légal :

4 SOMMAIRE Avant-Propos 5 ÉNONCÉ DES EXERCICES Propagation des ondes dans le sol 7 Modélisation du comportement dynamique du sol 9 Calcul pseudo-statique des contraintes dans le sol 9 Analyse de la réponse sismique du sol 33 Analyse de la liquéfaction sismique 43 Comportement sismique des fondations 53 Vibration des fondations 63 Battage et vibrofonçage 75 Stabilité sismique des murs rigides de soutènement 8 Stabilité sismique des terrains en pente 89 SOLUTION DES EXERCICES Propagation des ondes dans le sol 95 Modélisation du comportement dynamique du sol Calcul pseudo-statique des contraintes dans le sol 7 Analyse de la réponse sismique du sol 37 Analyse de la liquéfaction sismique 6 3

5 Comportement sismique des fondations 89 Vibration des fondations superficielles et profondes 5 Battage et vibrofonçage 45 Stabilité sismique des murs rigides de soutènement 57 Stabilité sismique des terrains en pente 77 Liste des références bibliographiques 8 Annexe-: Liste des logiciels de calcul 83 Annexe-: Ressources éducatives (vidéos et animations) 84 4

6 AVANT-PROPOS Il va sans dire que l'étude du comportement dynamique du sol doit faire partie intégrante des connaissances requises par les étudiants du génie géotechnique. Tout en reconnaissant le caractère complexe de la réponse dynamique du sol, rien n'est plus décourageant pour un néophyte que de lui transmettre un bagage théorique abstrait à la base des équations compliquées. Il va de soi que l'enseignement de la dynamique des sols doit impérativement être orienté vers les applications en ingénierie, tout en sa basant sur les multimédia (vidéos, animations, photothèque) et les applications avec des logiciels didactiques. Ce livre comportant des problèmes résolus dont certains sont issus des projets réels, répond à un besoin manifeste ressenti aussi bien auprès des étudiants, des enseignants que des ingénieurs. Ce livre fait suite au livre: Introduction à la dynamique des sols (tome : Principes de base; Tome : Calcul dynamique des ouvrages géotechniques), publié par l'opu en 00. Les notions auxquelles se basent les problèmes proposés n'y sont ainsi rappelées que brièvement. En outre, les équations, les tableaux et les figures numérotées en chiffres arabes dans ce livre, sont ceux du livre Introduction à la dynamique des sols. Ces deux livres forment en fait un outil pédagogique cohérent et il est par conséquent nécessaire de les acquérir ensemble. Certains problèmes ont été conçus pour utiliser des logiciels de calcul dynamique, en vue de familiariser le lecteur avec le dimensionnement des ouvrages. La liste des logiciels utilisés a été placée en annexe et les logiciels sélectionnés sont du type freeware, c'est-à-dire disponibles au large public et aucune restriction d accès ou d utilisation n a été exprimée par leurs auteurs. Ils sont ainsi à la disposition de tout lecteur désirant acquérir une copie en adressant un message électronique à l adresse de l'auteur : (examgeo@gmail.com). Enfin, l annexe regroupe une liste des animations et vidéos didactiques, disponibles par téléchargement sur simple demande adressée à l'auteur. Boumerdès, le 09 juillet 03 Ali BOUAFIA 5

7 Figure I.. L'essai CSWS (Continuous Surface Wave System) d'analyse continue des ondes de surface dans un sol permet d'obtenir in-situ le profil du module de cisaillement pour des profondeurs allant de 0 m (argiles) jusqu'à 30 m (sols granulaires et roches tendres). L'essai CSWS utilise un vibreur à fréquence contrôlée afin de régulariser la fréquence des ondes de surface induites, ce qui permet d'obtenir directement une courbe de dispersion (célérité d'onde en fonction de la fréquence de vibration, ou en fonction de la longueur d'onde, voir à titre d'exemple la figure 4.37). A partir de la théorie d'élasticité, la célérité d'onde de cisaillement ainsi que le module de cisaillement dynamique sont déterminés. Un tel essai paraît séduisant du fait qu'il sert aussi bien à l'analyse des déformations statiques du sol (calcul du tassement, déformation des pieux et des écrans de soutènement, etc) qu'à l'étude du comportement dynamique du sol (Analyse de la réponse sismique, fréquences propres, vibration des fondations, analyse emirique de la liquéfaction, etc). (Source: GDS Instruments) 6

8 .. QUESTIONS. Dans quel cas l onde réfléchie ne se manifeste-t-elle pas?. Quelle est la différence entre la célérité d onde et la vitesse d une particule? 3. En comparant la loi élasto-statique de Hooke d un matériau élastique et la loi élasto-dynamique, quelle est la signification physique de l impédance? 4. Dans quelle conditions se manifeste une onde de Love dans un sol supposé élastique linéaire? 5. Donner un exemple pratique montrant l utilité de détermination de la zone utile des ondes de Rayleigh. 6. Quelle est l épaisseur de la zone utile des ondes Love dans un sol bicouche formé d une couche d argile molle épaisse de H et surmontant un massif de marne saine? Pourquoi? 7. Ordonner d une manière décroissante les célérités des ondes suivantes : P, S, R, et onde unidirectionnelle (onde D). 8. En un instant donné, comment varie en fonction de la profondeur l amplitude des déplacements d un point soumis à une onde R? 9. Ecrire la relation entre la vitesse particulaire d un point donné, la déformation linéaire en ce point et la célérité d onde D passant en ce point. 7

9 .. PROBLÈMES Problème.. Polaires de choc d une barre Considérons une barre élastique très longue caractérisée par une impédance Z et recevant à son extrémité un choc sous forme d une contrainte normale de compression de valeur i constante pendant un laps de temps très bref. Sous l effet du choc, les sections de la barre vibrent avec une vitesse incidente v i. ) A partir des polaires de choc, étudier le phénomène de transmissionréflexion à l autre extrémité de la barre dans les cas suivants : a) extrémité libre, b) extrémité encastrée, c) extrémité reliée à une barre identique caractérisée par une impédance égale à Z/3. ) Application numérique: barre en béton E=3000 MPa, ρ=000 kg/m 3, σ i =50 kpa et v i = mm/s. 3) Interpréter les résultats. Problème.. Analyse des vibrations d un radier par la méthode de l aire exponentielle Un ouvrage industriel est fondé sur un radier circulaire de rayon égal à 5 m. On suppose que le sol d assise est un matériau élastique homogène caractérisé par un module d élasticité dynamique de 60 MPa, un coefficient de Poisson de 0.45 et une masse volumique de 850 kg/m 3. 8

10 Les machines transmettent en régime permanent à la fondation une charge harmonique verticale ayant une pulsation de 0 Rad/s et une amplitude de 0 kn. On suppose que la propagation des ondes sous le radier se fait essentiellement selon la direction verticale. On demande d utiliser la méthode de l aire exponentielle et calculer: ) la célérité de l onde D et la hauteur caractéristique, ) la fréquence adimensionnelle, et la célérité apparente, 3) les parties réelle et imaginaire de l impédance K s du radier sous chargement vertical, 4) l amplitude du déplacement vertical du radier. Problème.3. Essai de choc oedométrique sur du sable Un échantillon de sable sec ayant une masse volumique de 800 kg/m 3, est placé dans un moule oedométrique rigide de dimensions spéciales (voir figure I.). Sous l effet d un choc en surface de l échantillon, celle-ci subit une vitesse incidente de 50 mm/s. L interprétation de l accélérogramme a permis de mesurer un temps aller-retour de l onde égal à 0-3 s. On demande de calculer : ) la célérité C de l onde incidente dans le sable, ) le module E s d élasticité du sol, 3) l impédance du sol au choc, 4) la contrainte verticale incidente dans le sable, 5) les contraintes transmise et réfléchie à la base du moule, 6) les vitesses transmises et réfléchie à la base du moule. 9

11 Figure I.. Schéma de l essai au choc oedométrique Problème.4. Interprétation de l essai aux barres de Hopkinson La figure I.3 illustre un schéma de principe de l essai. Les barres (0), () et () sont en acier et sont très longues par rapport à l échantillon du sol. I, II et III sont des jauges de contraintes permettant la mesure des contraintes σ 0, σ et σ respectivement. Le piston a pour rôle d absorber les ondes incidentes dans la barre (). Un échantillon de limon argileux saturé ayant une masse volumique de 450 kg/m 3 et épais de 0 mm a été soumis à l essai aux barres de Hopkinson. Les jauges de contraintes aux extrémités de l échantillon ont donné les premières mesures de contraintes, à savoir : =5.05 MPa et =0 MPa. ) Tracer la polaire de choc de l échantillon du sol, ) Calculer l impédance de l échantillon et en déduire son module Dynamique. (Prendre pour les barres E B =.x0 5 MPa et ρ B =7850 kg/m 3 ). Figure I.3. Schéma de principe de l essai aux barres de Hopkinson 0

12 Problème.5. Analyse des ondes de Rayleigh Un hangar comportant des machines est fondé sur des semelles circulaires de rayon de m transmettant au sol des vibrations harmoniques verticales de pulsation égale à 6.8 Rad/s. Le sol est formé d une couche de sable argileux homogène de grande épaisseur, caractérisée par un module d élasticité dynamique de 0 MPa, un coefficient de Poisson de 0.33 et un poids volumique humide de 7 kn/m 3. On demande de caractériser les différentes ondes transmises au sol et d estimer la profondeur correspondant à des déplacements du sol, causés par les ondes R, égaux à 5% de ceux en surface. Problème.6. Onde de choc dans un radier Un radier de grandes dimensions, caractérisé par un module d Young de MPa et une masse volumique de 500 kg/m 3, est réalisé sur un sol bicouches schématisé à la figure I.4. La couche du sable dense est caractérisée par un module de déformation élastique dynamique de 65 MPa et une masse volumique de 700 kg/m 3 et celle de l argile plastique par un module de 33 MPa et une masse volumique de 350 kg/m 3 ; le tout repose sur un horizon rocheux considéré comme un substratum. L épaisseur de chaque couche est négligeable devant les dimensions du radier. Au cours du chantier de réalisation, une masse tombe en chute libre transmettant au radier une impulsion sous forme d une pression verticale incidente de 85 kpa et une vitesse verticale incidente de 9. mm/s.. Quelle est la direction du déplacement de chaque couche? Pourquoi?. Comment appelle-t-on ce type de déplacement? 3. Calculer les impédances du radier et de chaque couche?

13 4. Etudier le phénomène de la première transmission/réflexion des ondes à l interface de la couche du sable et du radier. 5. Déterminer les caractéristiques de l onde transmise à la couche d argile. 6. Calculer la contrainte verticale transmise au rocher. Figure I.4. Schéma de chute d une masse sur un radier Problème.7. Analyse des ondes de choc dans un tunnel Dans une étude de creusement d une galerie profonde par des explosifs, on s intéresse aux vibrations créées par les ondes de choc. La galerie ayant un diamètre moyen de 4 m et une très grande longueur, est supposée suffisamment profonde pour que le choc ne produise que des ondes de volume (ondes P et S), comme le schématise la figure I.5. Le sol est supposé un massif infini élastique linéaire homogène, caractérisé par un module de déformation de 35 MPa, une masse volumique de 950 kg/m 3 et un coefficient de Poisson de On suppose que l explosion se traduit par une pression radiale équivalente p égale de 0 kpa, appliquée sur la galerie pendant un laps de temps de 0-3 s, induisant des ondes cylindriques rayonnant de la galerie vers le sol. On demande de calculer:. les célérités des ondes se propageant dans le sol,. le déplacement radial à la fin du choc aux points se trouvant à une

14 distance r du centre de la galerie égale à R 0, R 0 et 3R 0, R 0 étant le rayon de la galerie, 3. le déplacement statique aux mêmes points. Conclusions. Figure I.5. Schéma d explosion dans une galerie de tunnel Problème.8. Analyse des ondes de Love Un sol bicouche est formé d une couche superficielle d argile molle saturée épaisse en moyenne de 4 m et caractérisée par un module de déformation dynamique de 50 MPa, un coefficient de Poisson de 0.5 et un poids volumique saturé de 8 kn/m 3, surmontant un horizon de sable grésifié de grande épaisseur et caractérisé par un module de déformation dynamique de 50 MPa, un coefficient de Poisson de 0.33 et un poids volumique saturé de kn/m 3. Une source de vibration harmonique avec une pulsation de 57 Rad/s agit à la surface du site. Dans le cadre du comportement élastodynamique des matériaux de ce sol, calculer la célérité d onde de Love se propageant en couche superficielle. 3

15 Problème.9. Vibrations du sol sous une semelle circulaire Considérons une semelle circulaire de m de diamètre, sous une machine en vibration stationnaire avec une pulsation de 00 Rad/s -, et transmettant des ondes de Rayleigh à un massif argileux homogène de grande profondeur caractérisé par : = 0 kn/m 3 =0.50 et E= 50 MPa. On suppose que la fiche de la fondation est négligeable.. Calculer le coefficient, la célérité V s et en déduire la célérité des ondes de Rayleigh.. Déterminer la profondeur correspondant à un déplacement horizontal égal à 0% de celui à la surface. 3. Même question pour le déplacement vertical. Conclusions? Problème.0. Interprétation d un essai géophysique de surface Un sol bicouche est formé d un horizon d argile plastique saturée épaisse de H et ayant un module de ciasillement G, surmontant une couche de marne saine de grande épaisseur, caractérisée par un module de cisaillement G > G. ) Montrer qu en supposant G >> G l équation de la célérité V L se simplifie en : V L V s H ) Avec les données suivantes : H= 5 m, G = 30 MPa, ρ = 800 kg/m 3, G = 50 MPa, ρ =00 kg/m 3 et ϖ= 6.8 Rad/s, calculer la célérité V L, la longueur d onde L L, le nombre d onde k et l épaisseur de la zone utile de l onde L. 4

16 3) Un essai géophysique en surface consiste, comme le schématise la figure I.6, à créer sur ce site des vibrations à pulsation d excitation ϖ variable. On demande de tracer, à partir des données du tableau I., la courbe donnant /V L en fonction / ϖ. En déduite de cette courbe l épaisseur H et la célérité des ondes S de de la couche superficielle. Tableau I.. Valeurs expérimentales d essai à ϖ variable ϖ (Rad/s) V L (m/s) ) Que concluez vous au sujet de cet essai? Figure I.6. Schéma d un essai géophysique en surface Problème.. Propagation des ondes D dans un milieu poro-élastique Un radier, fondé sur une couche argileuse très plastique saturée, a des dimensions tellement grandes par rapport à l épaisseur de cette couche que son déplacement est uniquement vertical. La couche d argile est caractérisée par un indice des vides initial de 0.9, un module oedométrique initial de 30 MPa, une masse volumique des grains égale à 5

17 500 kg/m 3 et un coefficient de Poisson égal à Le module de compressibilité K w est pris égal à 000 MPa et la compressibilité χ w de l'eau est estimée à 0.5x0-9 Pa -. Suite aux vibrations entretenues par des machines, des ondes unidirectionnelles sont transmises au sol argileux. ) A la base du modèle d un milieu poro-élastique, calculer la porosité, le module d élasticité apparente, la masse volumique apparente et la célérité apparente. ) Calculer la répartition des contraintes sur les grains et l eau au début de chargement. 3) Interpréter les résultats obtenus. Problème.. Essai d auscultation d un pieu L essai d auscultation d un pieu ayant un diamètre de. m et une longueur de.0 m a donné le signal accélérométrique interprété à la figure I.7. En considérant une célérité de l onde D dans le béton égale à 4000 m/s, calculer le temps d arrivée de l onde réfléchie jusqu à la tête du pieu. 6

18 Figure I.7. Graphique illustrant le signal d auscultation d'un pieu 7

19 ON DES ONDES DANS.. RÉPONSES AUX QUESTIONS. L onde réfléchie n existe que s'il y a une différence d impédances entre deux matériaux.. La célérité caractérise la rapidité de propagation d une onde, alors que la vitesse caractérise la rapidité de vibration d une particule soumise à cette onde. 3. En comparant les équations (4.3) et (4.9), on conclut que, puisque E caractérise la rigidité du matériau vis-à-vis de la déformation, c est-à-dire sa propriété de limiter les déformations, l impédance Z s est la propriété du matériau à limiter sa vitesse de vibration. 4. L onde de Love se manifeste dans une couche superficielle surmontant un massif semi-infini, telle que la célérité des ondes cisaillement de cette couche est plus petite que celle du massif en dessous d elle. 5. Selon Lysmer (966), la zone utile des ondes de Rayleigh est épaisse de.5l R, L R étant la longueur d onde R. Autrement dit, au delà de cette profondeur, l onde R s amortit complètement. Citons à titre d exemple, un projet de tunnel, ou des équipements enterrés sensibles aux vibrations. 6. C est l épaisseur H de la couche superficielle, care l onde de Love est enfermée dans cette couche. 7. L ordre décroissant des célérités est comme suit : V p > C >V s > V R. C est la célérité d onde D. 95

20 8. En un instant donné, l amplitude du déplacement diminue exponentiellement avec la profondeur (équations 4.03 et 4.04). 9. v C.. SOLUTIONS. a) Extrémité libre de la barre : Problème. Le milieu air a une impédance nulle (Z s =0), donc la droite représentant les ondes transmises est l axe des abscisses. Selon l équation (4.4), la contrainte transmise est nulle. Le tracé des polaires de chocs sur la figure I.8 donne directement : v t = v i, r = - i et v r = v i. b) Extrémité encastrée de la barre : Le milieu encastrant a une impédance infinie, donc la droite représentant les ondes transmises est l axe des ordonnées. Selon l équation (4.4), la vitesse transmise est nulle. De la figure I.9 on obtient : v r = - v i, r = i et t = i. c) Extrémité liée à une autre barre : En remplaçant Z s par Z/3 on obtient selon l équation (4.0) : v t vi i t vi r 3 i vr. Application numérique: 6 a) Z E.449*0 kg / m / s v t =4 mm/s, r =-50 kpa, v r = mm/s. b) v r = - mm/s, r = 50 kpa et t = 00 kpa. 96

21 Contrainte (MPa) Contrainte (MPa) c) vt 3 m/ s t 5 kpa vr mm/ s r 5 kpa 3. En cas de barre d extrémité libre, les ondes réfléchies induisent des contraintes de traction, ce qui peut présenter un risque de rupture en cas d un matériau résistant mal à la traction, tel que le béton non armé. En cas de barre d extrémité encastrée, le milieu subit une contrainte double de la contrainte incidente, et il importe de vérifier sa résistance à la compression vis-à-vis de cette valeur de contrainte. i A B t 0 -Z s r Z s û i C -Z s B ût vitesse û (m/s) C -Z s û r i 0 Z s û i A vitesse û (m/s) Figure I.8. Polaires de choc Figure I.9. Polaires de choc (extrémité libre) (extrémité encastrée) Problème.. La célérité d ondes unidirectionnelles est : C =(E/) / = 80. m/s.. La hauteur caractéristique est donnée pour une fondation circulaire dans un massif infiniment épais par : 0 ( ) h R =8.80 m. La fréquence adimensionnelle est : a 0 = h/c =.043 > La célérité apparente est : 97

22 C ' a 4a 0 0 C =06 m/s. 3. La raideur statique K s au niveau du radier est obtenue en imposant z=0 A E à l équation (4.36), ce qui donne K s = 0 =56 MN/m. h La partie réelle de la fonction impédance est K s.k =56x0.5=8.0 MN/m, et la partie imaginaire est : K s.a 0.c =56x.043x 4x.043 =065.0 MN/m. 4. L amplitude de déplacement est U=Q/K s =0x0 3 /56x0 6 =4.4 µm. Problème.3. C =H 0 /t=x60x0-3 /0-3 =0 m/s.. E s =C ρ=0 x800=5.9 MPa, soit de 6.0 MPa. 3. Z=ρC=6000 kg/m /s. 4. σ i =Zv i =0.8 kpa. 5. σ t =σ i =.6 kpa (Car Z = ) et v t =0. 6. σ r =σ t σ i =0.8 kpa et v r = -v i = -50 mm/s. Problème.4 La barre (0) se déplaçant avec une vitesse û 0 entre en collision avec la barre, ce qui produit dans chacune des barres (0) et () la même 98

23 contrainte σ 0, car les deux barres ont la même impédance. La jauge I mesure la déformation de la barre, ce qui permet de déduire la contrainte 0 de l onde incidente et fixer le point A sur la polaire de choc de la figure I.0. Arrivée à l interface II, une onde est transmise à l échantillon, et une autre est réfléchie dans la barre. La contrainte de l onde transmise à l échantillon est mesurée par la jauge II, ce qui permet de fixer le point B sur la polaire de choc. Suite à l arrivée de cette onde à l interface III, une onde est transmise à la barre et la jauge III mesure la contrainte correspondante. Le phénomène de transmission/réflexion des ondes aux deux extrémités de l échantillon continue jusqu à un équilibre dynamique correspondant à une onde de contrainte égale à 0. Sur la polaire de choc de la figure I.0, l ensemble des points B, B, B 3, B 4., représentant le phénomène aux extrémités de l échantillon, converge vers le point initial A caractérisé par une contrainte 0. A partir des équations des polaires de choc de la figure I.0 ou des équations (4.0), on montre que : Z Z s s Z B 0 Z B Z Z s B 4Z sz ( Z Z s B B ) 0 Le rapport / permet de déduire l impédance de l échantillon comme suit : Z B Z Z s B donc : Z ( s Z B ) L impédance d une barre est Z B = (E B.ρ B ) / = 40.60x0 6 kg/m /s, et l impédance de l échantillon est : Z s = Z B (. / -)= 40.6x0 6 (x5.05/0-)= 0.406x0 6 kg/m /s. E s = Z s /ρ s = 3.7 MPa4 MPa. 99

24 Contrainte (MPa) B 4 A B B 3 -Zs B Z B Z s -ZB 0 û û 0 û vitesse û (m/s) Figure I.0. Polaires de choc de l essai aux barres de Hopkinson Problème.5. Caractérisation des ondes : V p E ( ) ( )( ) = 3.0 m/s. V s E ( ) G = 66.5 m/s. 00