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1 Université Claude ernard Lyon-I INSTITUT TECHNIQUES DE ÉDPTTION adresse postale: 8 av ockefeller LYON cedex 08-1re NNÉE DIPLÔME D ÉTT D UDIOPOTHÉSISTE -Exercices d électricité - 1

2 1 Electrocinétique COUNT électrique - ÉSISTNCE Exercice 1 1. On considère un milieu conducteur contenant n porteurs de charge individuelle q par unité de volume. Établir l expression de la densité de courant j, la vitesse moyenne des porteurs étant v. 2. Définir la mobilité µ des porteurs. 3. pplication: On considère une solution aqueuse d acide chlorhydrique, dans laquelle les mobilités des ions positifs et négatifs sont respectivement, en valeur absolue: µ = 3,410 7 m 2 /Vs et µ = 7,010 8 m 2 /Vs Cette solution est soumise à une ddp V = 50V, établissant un champ électrique E uniforme sur une distance de d = 5cm. Exercice 2 (a) Quelles sont les vitesse moyennes de déplacement des deux espèces de porteurs de charge? (b) La solution étant décimolaire (1/10 mole par litre), et la dissolution totale, calculer le nombre d ions de chaque espèces par cm 3. On donne N = mol 1. (c) La surface utile des électrodes entre lesquelles est applique la ddp est S = 2cm 2. Calculer le nombre d ions de chaque espèce arrivant par seconde sur les électrodes. En déduire l intensité du courant entre les électrodes. Un ruban d argent de conductivité σ = 6,710 7 (Ωm) 1, de section rectangulaire, de largeur e = 12, 5 mm et d épaisseur a = 0, 2 mm est traversé suivant sa longueur par un courant d intensité I = 10. Chaque atome d argent donne un électron de conduction. Calculer : 1. La densité volumique de charges mobiles de ce ruban. 2. La densité de courant et le module du champ l intérieur du ruban. 3. La vitesse moyenne des électrons libres et leur mobilité. 4. La puissance volumique dissipée dans ce conducteur. On donne : q = 1, C; N = mol 1 ; g = 108 et la masse volumique de l argent est 10,5g/cm 3. 2

3 CICUITS DE SE Exercice 1 1. On considère le montage ci-dessous. Déterminer les intensités des courants I, I 1 et I 2. I p I 1 I 2 (E,r) Si pour une raison quelconque, la résistance entre et est en court-circuit, quel est le courant débité par la source? Quel est le rôle de la résistance p?.n. : E = 4V, r = 1Ω, p = 15Ω, 1 = 40Ω, 2 = 60Ω. Exercice 2 En utilisant les propriétés du diviseur de tension, déterminer la tension entre et dans les cas suivants : 15 V 20 Ω 10 Ω 10 Ω 20 V 20 Ω 50 Ω 10 Ω 30 Ω 10 Ω 10 V 10 Ω 50 Ω 30 Ω 20 Ω 40 Ω Exercice 3 On applique 15 V à deux résistances identiques et on doit obtenir 7, 5 V aux bornes de chacune d elles. On mesure les tensions l aide de deux voltmètres : l un analogique V de résistance interne 20000Ω/V utilisé sur le calibre 10V et l autre V N numérique de 2000 points, de résistance interne 10MΩ, utilisé sur le calibre 20V. Indiquer la tension lue dans chacun des cas figurés ci- après. V (a) (b) (c) 15 V V 15 V VN 15 V VN V 15 V (d) VN 15 V (e) V VN = 56 kω 3

4 Exercice 4 On considère le circuit ci-dessous. Déterminer l intensité du courant dans la résistance de 30 Ω en appliquant les théorèmes de Millmann puis de Thévenin. 40 Ω 20 Ω (9V,0) 60 Ω 30 Ω 20 Ω Exercice 5 Voici le montage diviseur de tension que l on se propose d utiliser comme source de tension entre et. (e,0) r 1. Donner le générateur de Thévenin équivalent de ce montage entre et. r 2..N. On veut obtenir une source de tension de 2V avec un potentiomètre = 10kΩ protégé par p = 2kΩ. On utilise une source (e,0) de 15V. Calculer la résistance interne i de la source de 2V entre et. Exercice 6 : pplications du cours déterminer les générateurs de Thévenin équivalents des montages suivants utilisés entre et. 10 k Ω 10 k Ω 5 k Ω p (9V,0) (a) 10 k Ω (9V,0) 10 k Ω 10 k Ω (b) 3 k Ω 3 k Ω (3V,0) (4V,0) (3V,0) (4V,0) 1 k Ω 2 k Ω 1 k Ω 2 k Ω 1 k Ω (c) (d) 4

5 Exercice 7: loi de superposition des courants Soit le réseau linéaire ci-dessous. 1 2 E 1 3 E 2 U I 3 I 1 I 2 On donne : E 1 = 10V, 1 = 5Ω,E 2 = 40V, 2 = 3 = 10Ω 1. déterminer les intensités des courants I 1, I 2 et I 3 en appliquant le théorème de Millmann. 2. déterminer les intensités des courants I 1, I 2 et I 3 par application de la superposition des régimes permanents. Exercice 8: facultatif On réalise un circuit en disposant 3 branches en parallèles. Chaque branche comporte un générateur de tension idéal E i en série avec une résistance i, i = 1 3. Les pôles de E 1 et E 2 sont reliés au pôle de E 3. On donne : E 1 = 12V, E 2 = 6V, E 3 = 9V 1 = 2 = 20Ω et 3 = 30Ω. 1. Faire un schéma du circuit. 2. Calculer les intensités des courants circulant dans les trois branches du circuit : Exercice 9 (a) en utilisant le théorème de Millmann (b) en appliquant le théorème de Thévenin On réalise un pont dit de Mance. Dans une branche de ce pont, on place un générateur (E,r). Dans les trois autres branches on place trois résistances 1, 2 et. Dans une diagonale du pont on met un interrupteur K. On mesure à vide la ddp V V aux bornes de l autre diagonale du pont. Trouver la relation qui lie r,, 1 et 2 pour que cette ddp soit la même que l interrupteur K soit ouvert ou fermé. 1 2 (E,r) K 5

6 Exercice 10 N M (E, ) Ce circuit qui est un pont, comprend un générateur idéal de tension en parallèle sur deux résistances égales. Les points N et M sont tels que : N = M = k, avec 0 k 1. Un dipôle récepteur de fcem E et de résistance interne est placé entre N et M. Calculer l intensité i qui circule dans la branche MN en fonction de k. On donne : E = 5V, E = 1V, = 6Ω et = 2Ω. 6

7 2 égime Transitoire Exercice 1 Un condensateur de capacité C, de charge nulle à l instant t=0, se charge à travers une résistance par une tension U(t) = at, où a est une constante positive et t le temps. 1. Établir l équation différentielle vérifiée par la tension v(t) aux bornes du condensateur. 2. Exprimer v(t) en fonction de a, C = τ, constante de temps du circuit, et t. 3. Calculer le courant de charge i(t). 4. Graphes de v(t) et i(t). 5. Décrire ce qui se passe si on applique cette rampe de tension de façon récurrente. Exercice 2 On associe en série un générateur (E,0), une résistance, un condensateur de capacité C et un interrupteur K. 1. (a) On ferme l interrupteur K l instant t = 0, C étant déchargée. Calculer la différence de potentiel v(t) aux bornes de C. Définir la constante de temps τ du circuit. (b).n.: On donne E = 12V, = 100kΩ et C = 10µF. Calculer τ puis le temps t 0 pour lequel v = 9V. (ln4 = 1,4) 2. Un récepteur non polarisé, de force électromotrice e = 9V et de résistance interne négligeable, devant les autres résistances, est mis en parallèle sur le condensateur. On ferme l interrupteur K au nouvel instant t = 0, C étant déchargée. Exercice 3 (a) Montrer que l intensité i du courant dans le récepteur est nulle de t = 0 jusqu au temps t 1 que l on déterminera. (b) Calculer l intensité i(t) du courant dans le condensateur de t = 0 t = t 1. (c) Quelles sont les valeurs de i et i pour t > t 1? (d) Donner l allure des graphes i(t) et i (t). On associe en série un générateur de tension idéal (E,0), deux résistances 1 et 2, un interrupteur K et une bobine d auto-induction L qui a une résistance négligeable. La résistance 2 est court-circuitée par un interrupteur K 2 fermé. 1. On ferme l interrupteur K 1 l instant t = 0. (a) Établir l équation différentielle dont la solution est l intensité i(t) du courant dans le circuit. (b) Calculer i(t), compte tenue de la condition initiale. 2. L interrupteurk 1 étantfermé, unefoislerégimepermanentétabli, onouvrel interrupteur K 2 au nouvel instant t = 0. (a) Trouver la loi de variation de i(t). (b) En déduire l expression de la force électromotrice d auto-induction e en fonction de E, 1, 2, L et t. (c) Tracer les courbes représentatives en fonction du temps de i(t) et e(t). 7

8 3 égime sinusoïdal Exercice 1 : étude d un circuit en régime sinusoïdal On considère le circuit suivant où est une résistance de 100Ω, L une bobine de self-induction de 0,12H de résistance négligeable, C un condensateur de capacité 33,33µF. P N M i 1 i C i 2 L v On applique entre les points P et M une différence de potentiel sinusoïdale v de pulsation ω = 400rd.s 1 et de valeur efficace 180V. 1. déterminer les impédances complexes Z, Z C, Z L ; l impédance équivalente Z e aux bornes de P et N; l impédance totale Z t. Calculer les impédances réelles correspondantes. 2. Calculer les intensités efficaces et les déphasages des courants i 1, i 2 et i par rapport à la tension v. Donner une représentation des intensités et des différences de potentiel complexes relatives aux différentes branches du circuit. 3. Calculer la puissance totale dissipée dans chaque branche. Exercice 2 : Calculs d impédances On applique entre les bornes et du circuit ci-dessous, une tension sinusoïdale de pulsation ω. Quelle relation existe entre l impédance Z, L, C et ω pour que l impédance équivalente de l ensemble soit égale à Z? L/2 L/2 C Z vec : L = 0,318H et C = 32µF. quelle fréquence l impédance Z est elle nulle? Exercice 3 : Pont d impédances On considère un pont d impédances alimenté par une tension sinusoïdale de pulsation ω. V est un voltmètre qui permet de savoir lorsque la différence de potentiel V p V Q est nulle. Z 1, Z 2, Z 3, Z 4 sont des impédances que l on représentera par leurs valeurs symboliques complexes. Montrer qu avec cette convention la condition d équilibre du pont s écrit comme en courant continu. 8

9 P Z 1 Z 2 M V N Z 4 Z 3 Q 1. pplication au pont de Wien Dans ce cas Z 1 est une résistance 1 ; Z 2 est une résistance 2 ; Z 3 est un condensateur de capacité C en série avec une résistance ; Z 4 est un condensateur de capacité C en parallèle avec une résistance. Le générateur a une pulsation ω. Quelles sont les conditions d équilibre du pont? Montrer qu il peut servir de fréquencemètre. 2. pplication au pont de Maxwell Dans ce cas Z 1 est une self L de résistance r; Z 2 est une résistance 1 ; Z 3 est un condensateur de capacité C ajustable en parallèle avec une résistance ajustable; Z 4 est une résistance 2. Le générateur a une pulsation ω. Quelles sont les conditions d équilibre du pont? Montrer qu il peut servir à mesurer L et r. Exercice 4 : Puissance Une source de tension sinusoïdale de valeur efficace V e = 220V et de fréquence 50Hz alimente un circuit comprenant en parallèle : 5 lampes led considérées comme des résistances pures ; 4 lampes (L 1 L 4 de puissance active 6W chacune et L 5 de 3W. Un moteur électrique partiellement inductif de puissance active 1320 W et de facteur de puissance 0, 6. V L 1 L 2 L 3 L 4 L 5 Moteur 1. Calculer les valeurs efficaces des courants circulant dans les lampes et le moteur, ainsi que la valeur efficace du courant total. Donner une représentation des grandeurs complexes associées. Calculer le facteur de puissance cos Φ du circuit. 2. Déterminer la capacité du condensateur branché aux bornes du moteur afin que le cos Φ de l installation soit égal à 1. Calculer la nouvelle valeur efficace du courant total. 9

10 3. Montrer que la puissance totale dissipée dans le circuit sera la même dans les deux cas, mais que la puissance dissipée pas effet Joule dans le circuit d alimentation sera réduite dans le deuxième cas. Exercice 5 : Double T en pont On considère le montage suivant: 1. Calculer la fonction de transfert ( Vs V e ). Z 1 Z 1 I Z 2 /2 V e Z 1 /2 V s Z 2 Z 2 2. pplication : éalisation d un filtre réjecteur. Déterminer la fonction de transfert et son module. En déduire la nature du filtre. Calculer les pulsations de coupure ω 1 et ω 2 (ω 2 > ω 1 ) en fonction de τ = C. Calculer la largeur ω = ω 2 ω 1 de la bande rejetée. C C V e /2 2C V s Exercice 6 : Circuit,L,C Soit le montage de la figure ci-après alimenté par une tension sinusoïdale de pulsation ω. 1. Calculer la fonction de transfert ( Vs V e ) quand V s est mesurée à vide. 10

11 2. L impédance Z 1 est réalisée par la mise en parallèle d un condensateur de capacité C et d une self idéale L; Z 2 est une résistance. On posera K(ω) = Lω 1LCω 2. Calculer ( Vs V e ) en fonction de et K(ω), ainsi que son module. 3. (a) Déterminer les limites de ce module quand ω 0 et ω respectivement. (b) Pour quelle valeur ω 0 de ω le module est il nul? (c) Quelle est la fonction réalisée par ce montage? Z 1 Z 3 V e Z 2 V S 11

12 4 Examen typique Exercice 1 : éseau linéaire en régime permanent 1 2 I déterminer la valeur de pour laquelle la tension U = 2 V. E U Données numériques: E = 10V; i = 1; 1 = 4Ω; 2 = 2Ω Exercice 2 : égime Transitoire Le circuit C ci-dessous est alimenté par un générateur fournissant une tension e dont le graphe est représenté à côté du réseau. l instant initial, le condensateur est déchargé. On ferme l interrupteur, déterminer la loi U C = f(t) puis trouver l instant t pourlequel latension U C = 0. K 10 e (en V) Donnéesnumériques: = 1MΩetC = 1µF E C 1 t (s) Tracer également le graphe de la fonction U C = f(t). 10 Exercice 3 : égime sinusoïdal forcé 1. Un générateur de tension alternative de f.é.m e(t) = E 2cosωt et d impédance interne complexe Z = jx alimente une impédance de charge complexe Z = jx. Montrerquelapuissance électrique reçueparlachargeest maximalesiz = Z (complexe conjugué). 2. On suppose dans cette question que Z est réelle et vaut g et que la charge est aussi réelle et vaut c. Pour réaliser l adaptation en puissance, on intercale entre le générateur et la charge, un module LC (voir figure). Montrer que ce montage n est possible que si c > g, exprimer alors L et C en fonction des données. e(t) C L g C 12

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