Calculs dans l espace

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1 10 - L espace T econde alculs dans l espace X 1 Une pièce métallique (en traits pleins) est découpée dans un cube. onstruire, en perspective cavalière : la pièce restante du cube la face restant devant ; la pièce restante du cube la face étant à droite. X 2 On considère un tétraèdre, dont les faces, et sont des triangles rectangles en. On donne = = 5 cm et = 12 cm. 1. essiner ce tétraèdre en perspective cavalière, la face étant frontale. 2. Quelle est la nature de? le représenter en vraie grandeur.. Quel est le volume de? X est un cube d arête a. 1. Quelle est la nature du triangle? ustifier. Le représenter en vraie grandeur à la règle et au compas en prenant a= 6 cm. 2. alculer la longueur d une diagonale principale du cube. X 4 On considère un cube de côté a. On nomme P le centre de la face et Q le centre de la face. M désigne le milieu de [PQ]. On admettra que () est perpendiculaire à ( ) et que () est perpendiculaire à (). 1. Montrer que PQ = a 2 2 puis que P = Q = a alculer une valeur approchée au degré près de l angle PQ.. onner, en fonction de a, la valeur exacte de l aire du triangle PQ. N. N page 1 Lycée ean iono Turin

2 10 - L espace T econde X 5 est un parallélépipède rectangle (un pavé) tel que = 10, = 6 et = alculer les longueurs des segments [ ], [ ], [] et []. 2. alculer le volume des pyramides et.. éaliser un patron de ces deux pyramides. X 6 est un cube. = 5 cm. oit le pied de la hauteur issue de dans le triangle. 1. alculer, et. 2. eprésenter en vraie grandeur le triangle.. émontrer que la mesure en degrés de est 120. X 7 est un tétraèdre régulier d arête a. alculer en fonction de a : 1. la hauteur (on admettra que est l intersection des hauteurs de ; 2. l aire du triangle et l aire totale du tétraèdre ;. le volume du tétraèdre. X 8 La figure ci-contre est un patron d un solide. Le triangle est rectangle en et a pour dimensions : =,5 cm ; = 4 cm ; = cm. 1. e quel type de solide s agit-il? 2. Le dessiner en perspective cavalière, en mettant la face en vraie grandeur. X 9 oit une pyramide régulière dont la base est le carré de côté 2a et dont les faces latérales sont des triangles isocèles d angles au sommet de mesure 0. On désigne respectivement par, et les milieux de [], [] et le centre du carré. 1. éterminer, en fonction de a, la hauteur de cette pyramide. 2. éaliser un patron de cette pyramide en prenant a= 5 cm. X 10 La grande pyramide de heops est à sa base un carré presque parfait de 5, hectares correctement orienté par rapport au Nord et dont les côtés Nord et ud sont parallèles à 2,5 cm près. a hauteur, à l origine, était de 146 mètres. n utilisant la hauteur et les renseignements fournis par le texte ci-dessus, desiner un patron de cette pyramide à l échelle 1/2600 e. alculer l aire d une des faces de la pyramide. omparer le résultat obtenu avec l aire d un carré de côté la hauteur de la pyramide. N. N page 2 Lycée ean iono Turin

3 10 - L espace T econde X 11 et L sont les milieux des arêtes [ ] et [ ] du parallélépipède rectangle. Les droites ( ) et () se coupent en M. Les droites (L) et ( ) se coupent en N. 1. émontrer que est le milieu de [M]. 2. émontrer que les droites ( L) et (M N ) sont parallèles. M L N X 12 est un parallélépipède rectangle (un pavé) tel que = 5, = 2 et =. Une fourmi se situe en et se rend en en cheminant sur les faces. éterminer le trajet le plus court. ndication : on pourra s aider du patron. X 1 (omparaison de volumes) alculer en fonction de les volumes V 1, V 2 et V des solides ci dessous et classer les dans l ordre croissant : olide 1 olide 2 : olide X 14 (Un cornet de glace) Pour la préparation d un dessert ozen souhaite fabriquer des cornets de glace comestibles et s interroge sur la forme à donner à la pâte pour réaliser un cornet conique de hauteur 8 cm et de rayon cm. 6π 1. a première idée est d utiliser le patron ci contre où les dimensions précisées sont indicatives. 10 cm α (a) ommenter et corriger son patron. (b) alculer la mesure de l angle α arrondi à 1 près. 2. Le cornet est rempli de glace et surmonté d une demi boule ajustée au cornet. alculer le volume de glace utilisé arrondi à 1 cm près puis donner le résultat en ml.. ozen dispose d un pot de glace de forme cylindrique avec un rayon de 5 cm et une hauteur de 12,7 cm, peut elle préparer un dessert pour huit personnes? N. N page Lycée ean iono Turin

4 10 - L espace T econde ncidence X 15 (Points coplanaires) est un cube. Les points et sont les centres respectifs des faces et. éterminer si les points sont coplanaires ou non dans chacun des cas suivants et justifier la réponse : 1.,, et. 2.,, et..,, et. 4.,, et. 5.,, et. X 16 (écoupage) est un cube d arête 4 cm. 1. alculer la valeur exacte de. 2. On admettra que le triangle est rectangle en. alculer la valeur exacte de.. Peut on affirmer que =45? ustifier. 4. Les points,, et sont ils coplanaires? 5. On considère le polyèdre de sommets,, et. (a) Quel est le nom du solide? (b) alculer le volume de. (c) onstruire un patron de en vraies grandeurs. X 17 (Position relative dans l espace) est un cube et O est le centre de la face. 1. éterminer la position relative des droites suivantes : (a) () et () (b) () et () (c) (O) et () (d) () et () (e) () et () (f) () et () O 2. éterminer la position relative de la droite et du plan dans chacun des cas suivants : (a) () et () (b) () et () (c) (O) et () (d) () et () (e) () et (O) (f) () et (). éterminer la position relative des plans suivants : (a) () et () (b) () et () (c) (O) et () X 18 est une pyramide à base carrée. est un point du segment [], distinct de et. 1. Montrer que les plans ( ) et ( ) sont sécants. 2. onstruire leur intersection. N. N page 4 Lycée ean iono Turin

5 10 - L espace T econde X 19 est un parallélépipède rectangle. est un point de [] distinct de et de. 1. émontrer que,, et sont coplanaires. 2. émontrer que la droite ( ) n est pas contenue dans le plan ().. onstruire, intersection de la droite ( ) et du plan ( ). X 20 est un tétraèdre. est un point de [] distinct de et de. est un point de [] distinct de et de. ans les cas suivants, démontrer que les plans sont sécants et déterminer leur intersection. 1. ( ) et (). 2. ( ) et ().. ( ) et (). X 21 est un tétraèdre. est un point de [ ] distinct de et de. est un point de la face tel que la droite ( ) n est pas parallèle au plan (). onstruire l intersection de la droite ( ) et du plan (). ndication : on pourra commencer par construire l intersection des plans ( ) et (). X 22 est un tétraèdre., et sont des points de, respectivement, [ ], [] et []. 1. onstruire, intersection de () et ( ),, intersection de () et ( ),, intersection de () et ( ). 2. émontrer que est un point commun aux plans () et ( ).. Prouver que les points, et sont alignés Parallélisme X 2 est une pyramide à base carrée. est le milieu de [] et L est le milieu de []. émontrer que les droites ( L) et () sont parallèles. N. N page 5 Lycée ean iono Turin

6 10 - L espace T econde X 24 est un cube. M est un point de l arête []. Le plan ( M) coupe la droite () en N. émontrer que les droites (M N ) et () sont parallèles. M N X 25 est une pyramide de sommet à base trapézoïdale avec () (). M est un point de l arête []. Le plan ( M) coupe la droite () en N. émontrer que les droites (M N ) et () sont parallèles. N M X 26 est une pyramide de sommet dont la base est un parallélogramme. émontrer que les plans ( ) et () se coupent selon la parallèle à () passant par. X 27 est un parallélépipède rectangle. 1. Le quadrilatère est un rectangle. Que peut-on en déduire pour les droites () et ()? 2. e façon analogue, que peut-on dire des droites () et ()?. n déduire alors la position relative des plans ( ) et ()? X 28 est un prisme droit à base triangulaire., L et sont les points des arêtes [], [] et [] tels que : = 2 ; = 2 et L= 1. émontrer que le plan ( L) est parallèle au plan ( ). L X 29 est un parallélépipède rectangle. émontrer que la droite () est parallèle au plan ( ) ilan des méthodes quant aux positions relatives dans l espace. Positions de deux droites 1. eux droites non coplanaires N. N page 6 Lycée ean iono Turin

7 10 - L espace T econde xemple : l est plus facile de montrer que quatre points ne sont pas coplanaires que de montrer que deux droites ne sont pas coplanaires. On peut alors considérer le plan formé par trois des quatre points et montrer que le quatrième point n appartient pas à ce plan. oit un tétraèdre. Les droites () et () sont-elles sécantes? olution omme est un tétraèdre (solide de l espace), le point n appartient pas au plan (). onc, les points,, et ne sont pas coplanaires et les droites () et () ne sont pas non plus coplanaires. eux droites non coplanaires ne peuvent pas être sécantes, donc les droites () et () ne sont pas sécantes. 2. eux droites sécantes xemple : Pour montrer que deux droites de l espace sont sécantes, on montre tout d abord qu elles sont coplanaires, puis on se place dans le plan qui les contient. On utilise alors des propriétés de la géométrie plane pour montrer qu elles sont sécantes. est une pyramide. est le milieu de [] et est un point de [] tel que = 1. Les droites () et () sont-elle sécantes? i oui, tracer leur point d intersection. olution Le point appartient à la droite () et la droite () est incluse dans le plan (). onc, le point appartient au plan (). Le point appartient à la droite () et la droite () est incluse dans le plan (). onc, le point appartient au plan (). onc, les points,, et sont coplanaires. Par conséquent, les droites () et () sont coplanaires. ans le triangle, les points, et et les points, et sont alignés dans le même ordre. e plus, = 1 ( est le milieu de []) et 2 = 1. omme, d après la contraposée du théorème de Thalès, les droites () et () ne sont pas parallèles. inalement, les droites () et () sont sécantes en un point L. Pour placer le point L, il suffit de tracer les droites () et (). omme nous savons que les deux droites sont sécantes, leur point d intersection est le point L.. eux droites confondues Pour montrer que deux droites de l espace sont confondues, on montre que 2 points distincts d une droite appartiennent à l autre droite.. Positions d une droite et d un plan Le cas du parallélisme (droite confondue avec le plan ou droite parallèle avec le plan) sera étudié dans le chapitre space le retour! as où la droite et le plan sont sécants en un point Pour montrer le point d intersection de la droite () et du plan P, on se place dans un plan contenant la droite () et une droite du plan P. nsuite, on montre que les droites () et sont sécantes. (f méthode 2). ncore une fois, on se place dans un plan afin d utiliser la géoémtrie plane xemple : est une pyramide, dont la base est un quadrilatère tel que les droites () et () ne sont pas parallèles. est le milieu de [] et celui de [], est un point du segment [] tel que = 4. éterminer l intersection de la droite () et du plan (). N. N page 7 Lycée ean iono Turin

8 10 - L espace T econde olution On se place dans le plan (). Les deux droites () et () sont coplanaires et non parallèles (à justifier comme l exemple méthode 2). On nomme L le point d intersection de ces deux droites. onc, le plan () et la droite () sont sécantes en L. Positions de deux plans Le cas du parallélisme (plans confondus ou plans parallèles) sera étudié dans le chapitre space le retour! as où les deux plans sont sécants selon une droite L intersection de deux plans sécants est une droite. l suffit donc de trouver deux points communs à ces deux plans pour obtenir la droite d intersection. xemple : vec le même énoncé que l exemple précédent, déterminer l intersection des plans () et (). olution omme le point est commun aux deux plans, les deux plans ne sont pas parallèles. e plus, le point n appartient au plan (). ( est une pyramide!) ans le plan (), les droites () et () sont coplanaires et non parallèles. lles sont donc sécantes en un point nommé. Pour le trouver, il suffit de prolonger les deux droites! u fait de la construction du point, le point appartient au plan () et (). inalement, les deux plans sont sécants selon la droite () ections X 0 (ections planes d un tétraèdre) ans chacun des cas présentés sur la figure 10.1 de la présente page, placer les points et, puis, à l aide des propriétés de géométrie dans l espace vues en econde, construire sur le dessin en perspective la trace du plan ( ) sur le tétraèdre. On donne = 1 U 10.1: ections de l exercice 0 = 1 et = 1 = 1 et = 1 = 1 et centre de gravité de = 1 et = 1 N. N page 8 Lycée ean iono Turin

9 10 - L espace T econde X 1 (ections planes d un cube) ans chacun des cas présentés sur la figure 10.2 de la présente page, à l aide des propriétés de géométrie dans l espace, construire sur le dessin en perspective la trace du plan ( ) sur le cube. On donne : = 6 cm ; = 2 cm ; milieu de []. U 10.2: ections de l exercice 1 = 2 cm = 1 cm = milieu de [] N. N page 9 Lycée ean iono Turin