Racines n-ièmes d un nombre complexe. Racines de l unité. Applications.

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1 DOCUMENT 14 Racies -ièmes d u ombre complexe. Racies de l uité. Applicatios. Das u documet précédet, o a itroduit le corps des ombres complexes afi que tout ombre réel ait ue racie carrée. O va voir ici que l o a obteu beaucoup plus et que, pour tout etier, tout ombre complexe o ul possède racies -ièmes. O suppose ici que l o a motré que tout réel positif a possède ue racie -ième positive, otée a 1/. La preuve habituelle de ce résultat utilise les foctios réciproques. 1. Racies -ièmes d u ombre complexe Pour tout a C et tout etier 1, posos V (a) = {z C z = a}. U élémet de V (a) est appelé ue racie -ième de a. Comme C est u corps, V () = {}. Das la suite o supposera toujours a ce qui etraie V (a). Posos a = a e iφ et soit z = z e iθ C. O a : Si pour k Z, o pose z k = a 1/ e i φ+kπ Soit k, k Z. O a : z = z e iθ V (a) z e iθ = a e iφ { z = a θ = φ + kπ, k Z { z = a 1/ θ = φ + kπ, k Z alors V (a) = {z k k Z}. z k = z k φ + kπ = φ + k π + λπ, λ Z k = k + λ, λ Z Autremet dit, z k = z k équivaut à k k (mod ). O a doc, pour tout p Z, V (a) = {z k k [p, p + 1]} car Z/Z = {p, p + 1,..., p + 1}. E gééral, o choisit p = et si est impair, = m + 1, o peut predre p = m. Théorème Pour tout etier 1, tout ombre complexe o ul a = a e iφ possède racies -ièmes doées par 1 + kπ iφ z k = a e, k =, 1,..., 1. Remarque. Le théorème précédet a rie de surpreat car, comme tout polyôme de degré 1, P (x) = x a C[X] possède zéros complexes. De plus, état le seul zéro de P (x) = x 1, tous les zéros de P sot simples. 159

2 RACINES N-IèMES D UN NOMBRE COMPLEXE Racies cojuguées, racies réelles. Soit z V (a). Si z V (a) alors a = z = z = z = a d où a R. Les ombres réels sot doc les seuls à posséder évetuellemet des racies -ièmes cojuguées. Soit k, k [, 1] et a = a e iφ avec φ = ou φ = π. z k = z k φ + kπ = φ + k π + λπ, λ Z φ + kπ + k π = λπ λ Z (1) φ = ( a > ) La relatio (1) équivaut à k + k = λ et l o a k + k. Si k + k = alors k = k et z = z = a 1/. Si k + k = alors k = k et z k = z k, k = 1,,..., 1. L égalité k = k équivaut à k = et doc a possède ue deuxième racie -ième réelle si et seulemet si est pair et o a alors z / = z / = a 1/. φ = π ( a < ) La relatio (1) équivaut à k+k +1 = ce qui équivaut ecore à k = k 1 d où z k = z k 1, k =, 1,..., 1. L égalité k = k 1 est équivalete à = k + 1. Le ombre complexe a possède doc ue racie -ième réelle si et seulemet si est impair. Das ce cas, cette racie est z 1 = a 1/. Coclusios a > z = a 1/ R et si est pair, z = a]1/ R. O a z k = z k avec k = 1,..., 1. a < Acue racie -ième réelle si est pair. Si est impair, z 1 R et z k = z k 1 avec k =, 1,..., 1.. Racies -ièmes de l uité Posos U = V (1) et ω k = e ikπ. Le théorème 14.1 etraie que U = {ω k k [, 1]} et o remarque que U U = {z C z = 1}. De faço plus précise : Propositio Les racies -ièmes de l uité formet u sous-groupe de (U,.) isomorphe au groupe cyclique (Z/Z, +). Réciproquemet, si G est u sous groupe fii d ordre de (C,.) alors il existe N tel que G = U et G est u sous groupe cyclique de (U,.), isomorphe à (Z/Z, +). Preuve. O cosidère Z/Z sous la forme {, 1,..., 1} et o défiit ue applicatio f de Z/Z das U par f(k) = ω k, k 1. L applicatio f est bie défiie car ω k e déped que de la classe de k modulo. Elle est surjective car U = {ω, ω 1,..., ω 1 }. Elle est doc bijective car Z/Z et U sot des esembles fiis ayat tous deux élémets (o sait aussi que ω k = ω k k = k ). O a k + k = k + k = k + k ε avec ε = si k + k 1 et ε = 1 si k + k. Das les deux cas, k + k ε 1. f(k + k ) = f(k + k ε) = e i(k + k ε)π = e ikπ.e ik π.e iεπ = ω k.ω k = f(k)f(k ).

3 . RACINES N-IèMES DE L UNITÉ 161 L applicatio f est doc u isomorphisme du groupe (Z/Z, +) sur le groupe (U,.). Soit G u sous-groupe d ordre de (C,.). Le théorème de Lagrage etraie que pour tout z G il existe u diviseur d > de tel que z d = 1 (d est l ordre de z). O a = dd d où z = (z d ) d = 1 et doc z est ue racie -ième de 1. Comme G et U ot le même ombre d élémets, G = U. Coséqueces. Les groupes isomorphes (Z/Z, +) et (U,.) ot les mêmes propriétés. E particulier, (U,.) est u groupe cyclique egedré par ω 1 et, plus gééralemet, par tout ω k tel que k et sot premiers etre eux. Si c est le cas alors U = {ω k, ωk,..., ω k = 1}. Les géérateurs de U sot appelés les racies primitives -ièmes de l uité. Il y a φ() (foctio idicatrice d Euler) racies primitives -ièmes et le polyôme uitaire de degré φ() dot les zéros sot les racies primitives -ièmes est appelé polyôme cyclotomique d ordre. Ces polyômes jouet u rôle importat das la preuve classique du théorème de Wedderbur: tout corps fii est commutatif. Remarque. La propositio précédete est qu u cas particulier du résultat suivat : tout sous-groupe multiplicatif fii d u corps commutatif est cyclique (voir la partie Complémets du documet 5). Il découle de ce résultat que U est le seul sous-groupe multiplicatif de (C,.) d ordre. La propositio suivate motre que V (a) est détermié par l u de ses élémets et U. Propositio 14.. Soit z k ue racie -ième de a. bijectio de U sur V (a). Autremet dit : L applicatio ω m ω m z k est ue V = {z k, ω 1 z k, ω z k,..., ω 1 z k } Preuve. Cette applicatio est à valeurs das V (a) car (ω m z k ) = ωmz k = a. Elle est ijective car ω m z k = ω p z k implique ω m = ω p. Les esembles fiis U et V (a) ayat tous deux élémets, elle est bijective. Exemples et remarques. 1) D u poit de vue géométrique, la propositio précédete sigifie que V (a) se déduit de U par la similitude directe de cetre, de rapport z k = a 1/ et dot la mesure de l agle est arg z k. Si θ est u argumet de a, alors cet agle a pour mesure θ + kπ + πz. ) Les racies cubiques de 1 sot 1, e iπ 3 = cos π 3 + i si π 3 = 1 + i 3, e i4π 3 = cos 4π 3 + si 4π 3 = 1 i 3. La secode est otée j et o voit que la troisième vaut j = j. 1 3) Soit S = ω k. Comme ω k = ω1 k, o a 1 S = ω k = 1 ω 1 =. 1 ω 1

4 RACINES N-IèMES D UN NOMBRE COMPLEXE Plus gééralemet, la somme des racie -ièmes d u ombre complexe est ulle ( > 1). Géométriquemet, ce résultat sigifie que est l isobarycetre de V (a). O motre aussi facilemet que, pour tout etier p >, p Z, S p = (ω k ) p = et le résultat aalogue pour 1 les racies -ièmes d u ombre complexe quelcoque. 1 4) O a aussi ω k = ( 1) 1 et plus gééralemet 1 z k = ( 1) 1 a si V (a) = {z,..., z 1 }. Evidemmet, ces résultat e sot que des cas particuliers des relatios classiques etre coefficiets et zéros d u polyôme. 3. Iterprétatio géométrique Soit P u pla affie euclidie orieté et u etier. Défiitio Soit M 1,..., M ue suite de poits disticts du pla affie euclidie orieté P. La lige brisée fermée [M 1 M ] [M 1 M ] [M M 1 ] est u polygoe régulier covexe à cotés si : (1) Les poits M 1,..., M sot tous sur u même cercle de cetre O ; () ( OM 1, OM ) = ( OM, OM 3 ) = = ( OM 1, OM ) = ( OM, OM 1 ) et la mesure de ( OM 1, OM ) est π/ + πz ou π/ + πz Les poits M k sot appelés les sommets du polygoe régulier et les segmets [M k M k+1 ], 1 k 1, et [M M 1 ] les cotés du polygoe. Le poit O est le cetre du polygoe. Remarquos que O est équidistat de tous les sommets du polygoe et que c est l isobarycetre de l esemble des sommets. E utilisat les propriétés élémetaires des rotatios o obtiet la caractérisatio suivate des polygoes réguliers covexes. Propositio Soit M 1,..., M ue suite de poits disticts du pla affie euclidie P. La lige brisée fermée [M 1 M ] [M 1 M ] [M M 1 ] est u polygoe régulier covexe à cotés de cetre O si et seulemet si r(m k ) = M k+1 si 1 k 1 et r(m ) = M 1, où r est ue rotatio de cetre O dot la mesure de l agle est π + πz ou π + πz. Remarques. 1) Avec les otatios de la propositio, il est clair que r({m 1,..., M }) = {M 1,..., M } mais u esemble de poits de P, stable par ue rotatio ρ, e forme pas écessairemet les sommets d u polygoe régulier covexe à cotés. Par exemple, cosidéros deux triagles équilatéraux ABC et DEF de même cetre Ω. La rotatio ρ de cetre Ω et dot ue mesure de l agle est π/3 coserve {A, B, C, D, E, F } et il est facile d imagier des cas où {A, B, C, D, E, F } e forme pas les sommets d u polygoe régulier covexe à 6 cotés (par exemple, si ΩA et ΩD sot orthogoaux). Si X est u polygoe régulier covexe à cotés de sommets M 1,..., M alors il existe plusieurs rotatios r laissat stable {M 1,..., M }. Pour qu il e soit aisi, il faut et il suffit que

5 4. APPLICATIONS 163 le cetre de r soit l isobarycetre de X et que la mesure de so agle soit l argumet ou l opposé de l argumet d ue racie primitive -ième de l uité. ) Si l o chage l orietatio de P alors tout polygoe régulier covexe à cotés reste u polygoe régulier covexe à cotés. 3) L image par ue similitude directe d u polygoe régulier covexe à cotés est u polygoe régulier covexe à cotés (chaque similitude directe coserve les agles et multiplie les distaces par ue costate). De plus, deux polygoes réguliers covexes à cotés se déduiset l u de l autre par ue similitude directe. Les similitudes idirectes coservet aussi les polygoes réguliers covexes. Propositio Soit P u pla affie euclidie orieté mui d u repère orthoormé direct (O, u, v). Pour tout et tout a C, la suite M k, k 1 des images des racie -ièmes z k de a forme les sommets d u polygoe régulier covexe à cotés de cetre O. Réciproquemet, soit M,..., M 1 ue suite de poits de P format les sommets d u polygoe régulier covexe X de cetre Ω. Pour tout repère orthoormé direct d origie Ω, il existe u ombre complexe a tel que les sommets de X soiet les images des racies -ièmes de a. Preuve. O a OM k = z k = a 1/ et, si k < 1, mes( OM k, OM k+1 ) = arg z k+1 = z k π + πz. De même, mes( OM 1, OM ) = π + πz. La suite M,..., M 1 forme doc les sommets d u polygoe régulier covexe à cotés. Réciproquemet, soit M,..., M 1 ue suite de poits de P format les sommets d u polygoe régulier covexe X de cetre Ω du pla affie euclidie orieté P. Cosidéros (Ω, e 1, e ) u repère orthoormé direct d origie Ω. O a ( ΩM, ΩM 1 ) = ( ΩM 1, ΩM ) = = ( ΩM, ΩM 1 ) = ( ΩM 1, ΩM ) et mes( ΩM, ΩM 1 ) = π + πz. Posos ρ = ΩM, mes( e1, ΩM ) = θ + πz, a = ρ e iθ kπ i(θ+ et V (a) = {z, z 1,..., z 1 } avec z k = ρe ). Il est clair que l image de z est M. Pour k [1, 1], o a ΩM k = ΩM = ρ et ( e1, ΩM k ) = ( e1, ΩM ) + ( ΩM, ΩM 1 ) + + ( ΩM k 1, ΩM k ) d où mes( e1, ΩM k ) = θ + kπ + πz et doc l image de z k est M k. La suite des sommets de X est l image de la suite (z k ) k 1 des racies -ièmes de a. Remarque. Le ombre complexe a tel que les sommets de X soiet les images des racies - ièmes de a déped du choix du repère (Ω, e 1, e ). Par exemple, soit ABC u triagle équilatéral de cetre Ω. Si e 1 est choisi de faço que A (Ω, e 1 ) alors a est u ombre réel. Si aucu des poits A, B, C est sur (Ω, e 1 ) alors a est pas réel. 4. Applicatios Applicatios aux équatios. Exemple 1. Résoudre das C l équatio z 8 +z 4 +1 =. Solutio. O associe à cette équatio le système

6 RACINES N-IèMES D UN NOMBRE COMPLEXE { z 4 = u u + u + 1 = L idetité u 3 1 = (u 1)(u + u + 1) motre que les solutios de u + u + 1 = sot les racies cubiques de 1, différetes de 1, c est-à-dire j et j. O doit maiteat résoudre z 4 = j et z 4 = j. O remarque que j est ue racie quatrième de j car j 4 = j 3 j = j. Les autres racies quatrièmes de j s obtieet par multiplicatio par les racies quatrièmes de 1 qui sot 1, -1, i et i. Fialemet, les solutios de z 4 = j sot z 1 = j, z = ij = 3 i, z 3 = j et 3 + i z 4 = ij =. De z 4 = z 4, o déduit que les solutios de z 4 = j sot z k, k = 1,, 3, 4. O peut aussi remarquer que z 1 1 = (z 4 1)(z 8 +z 4 +1) et que si z 4 = 1 alors z 8 +z 4 +1 = 3. Les solutios de l équatio z 8 + z = sot les racies douzièmes de l uité qui e sot pas des racies quatrièmes de l uité. Exemple. Résoudre das C l équatio z + z z + 1 =. L égalité z +1 1 = (z 1)(z + z z + 1) motre que les solutios de cette équatio sot les racies ( + 1)-ièmes de l uité différetes de 1. Par exemple, les solutios de z + z + 1 = sot j et j. Exemple 3. Résolutio de l équatio du secod degré à coefficiets complexes. Pour trouver sous forme algébrique les solutios d ue telle équatio o est ameé à rechercher les racies carrées complexes de so discrimiat. Voir le documet 8. Exemple 4. Résolutio de l équatio du troisième degré. La résolutio de l équatio du troisième degré par la méthode exposé das le documet 8 utilise les racies cubiques d u ombre complexe. Voir ce documet Applicatios à la trigoométrie et à la géométrie. Exemple 5. Calculer (m ). k=m 1 si kπ m Solutio. Soit P (z) = 1 + z + z + + z m 1. O a z m 1 = (z 1)P (z) ce qui motre que les solutios de l équatio P (z) = sot les racies -ièmes de 1, différetes de 1. O a doc : P (z) = m 1 (z e i kπ m ) et m = P (1) = (1 e i kπ m ). m 1 Or 1 e i kπ m = e i kπ m (e i kπ m e i kπ m ) = e i kπ m ( i si kπ m ) d où m = m 1 si kπ m ( i)m 1 e iπ m m(m 1)

7 m 1 m 1 iπ or e = i m 1 d où m = m 1 si kπ et fialemet m 4. APPLICATIONS 165 k=m 1 si kπ m = m m 1. Exemple 6. Calcul de cos π/5 : voir le documet 8. Ce calcul permet de costruire à la règle et au compas u petagoe régulier covexe iscrit das le cercle trigoométrique.

8 RACINES N-IèMES D UN NOMBRE COMPLEXE