Chapitre 1 : Les complexes.

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1 PCSI Préparatio des Khôlles 0-05 Chapitre : Les complexes. Exercice type Détermier le lieu des poits M d affixe z tel que z R. Solutio : O a La derière coditio est équivalete à z z z R z () z () z () z () et z e effet, o viet de supprimer la coditio de o divisio par zéro! O obtiet doc O pose alors zx+iy avec(x,y) R, d où z R z z z z+z z z z z+z et z z z z z z z et z (z z)(z+z)zz(z z) et z (z z)(zz (z+z))0 et z z R iy x +y x 0 et z y0 x +y x0 et z y0 x +y et z La première coditio se traduit par M (Ox), la secode par M est sur le cercle cetré e A d affixe et de rayo privé du poit B d affixe. Exercice type Soit(z,z ) C, motrer la secode iégalité triagulaire z z z z et z z z+z Solutio : O pese belge e posat z(z z )+z d où (iégalité triagulaire) z z z + z z z z z. Par permutatio des rôles de z et de z (o remplace z par z et z par z), o a égalemet z z z z z z (car u u ). Le réel A z z vérifie doc A z z et A z z, sa valeur absolue est doc iférieur égale à z z. Coclusio z z z z O obtiet l autre iégalité e remplaçat z par z. Exercice type 3 Motrer que z tel que z, o a z z z z /9 G H

2 PCSI Préparatio des Khôlles 0-05 Solutio : Si z, o a z, aisi z z +z+z +z 3 + +z e passat au module, avec l iégalité triagulaire gééralisée, il viet z z z z z z z car z Rappel : L iégalité triagulaire gééralisée s éoce aisi. Soiet(z,,z ) C alors z z + +z z + + z z Preuve : Par récurrece sur, soit P() cette propriété, elle est varie si (Iitialisatio). O la suppose vraie au rag. Soiet alors + complexes z,,z +, o a alors (z + +z )+z + z + +z + z + z + + z + z + Iég triag Hyp récu rag Exercice type Motrer que( z et z) i R. i Solutio : Siz est de modulealors z zz docz z. O a aisii i d où le résultat. Remarque : O peut aussi écrire que ze iθ, alors i cota θ i z + z Exercice O défiit f surc{} par f(z)i etu{z C, z } l esemble des complexes de module. Déter- mier Af(U{}) (utiliser l exercice type ). Solutio : O raisoe par dble iclusio. O a motré que si z U{} alors f(z) R. Aisi A R (les images des élèmets deu{} sot des réels). Iclusio réciproque : soit λ R, o cherche s il existe z U{} tel que f(z)λ. O rést docf(z)λ i()λ() z λ+i (o peut diviser carλi). Il reste à vérifier quez λ i et que z. Or λ+i λ+i i i et λ i λ i λ+i λ i λ+i car u u siu C. O a docr A (tt λ+i λ R peut s écrire λf(z) où z U{}). Coclusio AR. /9 G H

3 PCSI Préparatio des Khôlles 0-05 Exercice Soiet(a,b) C, Motrer que a b 0 (a+b) ab R +. Etudier la réciproque. Solutio : Méthode : (a+b) a ab b +b a +. E posatu a b, alors u, aisi u Pr fiir, u Re(u) +Re(u)0. Méthode : O pose are iα et bre iβ où r a >0 alors cos (a+b) e iα +e iβ ab e i(α+β) α β e i(α+β) e iα+β cos α β 0 uet (a+b) ab (+Re(u)). Réciproquemet : O suppose que (a+b) R +, a-t-o a b 0? Sûremet o, u cotre exemple simple suffit, ab avec a et b Exercice type 5 Calculer pr, Solutio : Rappel :(+a) 3 e foctio de. a. La somme proposée e est pas loi. O a doc 3 Le résultat est ecore valable si o coviet que Exercice type 6 Soit N et N tel que. Motrer que. Soit X ue variable aléatoire qui suit ue loi biomiale de paramétreetp [0,]. Calculer l espérace dex (i.e. calculer Solutio : Puisque, o a! ( )!( )! P(X) p ( p) ).!!( )!. Or! si (c est faux si ). Doc ( )! ( )! ( )!( ( ))! O e déduit que E(X) p ( p) p ( p) (L idice doe0) p ( p) p ( p) ( e déped pas de l idice) p p ( p) p p j ( p) j O pose j das la somme j p(p+ p) p j0 3/9 G H

4 PCSI Préparatio des Khôlles 0-05 Exercice type 7 Liéarisercos 3 (x) etsi 3 (x). Solutio : Soit z e ix, alors z e ix. O e déduit que cos(x) biôme, o obtiet cos 3 (x) 3 z 3 +3z z +3z z + z 3 3 z 3 + z 3 +3 z+ z z+ z cos 3 (x) 3 z+ z 3. Avec le z 3 + z 3 +3 cos(3x)+3cos(x) z+ z z De mêmesix z d où i si 3 (x) z 3 3 i 3 3z z +3z z z 3 z 3 z i 3 3 z+ i z si(3x) 3si(x) Exercice type 8 Trver deux polyômes P et Q tels quecos(x)p(cosx) etsi(x)si(x)q(cosx). Solutio : O sait quecos(x)+isi(x)e ix e ix (cos(x)+isi(x)), aisi cos(x)+isi(x) cos (x)+cos 3 (x)isi(x)+6cos (x)i si (x)+cos(x)i 3 si 3 (x)+si (x) cos (x) 6cos (x)si (x)+si (x) +i cos 3 (x)si(x) cos(x)si 3 (x) Par uicité des parties réelles et imagiaires, o a Pr fiir, o a cos(x) cos (x) 6cos (x)si (x)+si (x) si(x) cos 3 (x)si(x) cos(x)si 3 (x) cos(x) cos (x) 6cos (x) cos (x) + cos (x) 8cos (x) 8cos (x)+ si(x) cos 3 (x)si(x) cos(x)si(x) cos (x) si(x) cos 3 (x) cos(x) E posat P(X)8X 8X + et Q(X)8X 3 X, o a le résultat demadé. Exercice type 9 Calculer pr a R et R les sommes C cos(a) et S si(a). /9 G H

5 PCSI Préparatio des Khôlles 0-05 Solutio : O poseσc+is, aisi Σ cos(a)+isi(a) e i(a) Rappel importat : si q C et N alors q +q+q + +q e ia q + e ia si q q + si q O distigue deux cas : Si e ia, ce qui équivaut à a0(π), alorsσ+, par uicité des parties réelles et imagiaires C+ et S0 (f! car das si a0(π) alorscos(a) etsi(a)0). Si e ia, alors e ia e ia + e ia ei(+)a e ia + isi isi a a e ia e i+ a + si a si a e ia Aisi + si a Σ a si cos a +isi a Par uicité des parties réelles et imagiaires, o a + si a a C a cos si + si a et S a si si a Exercice 3 Calculer les racies deuxièmes de+i ss forme polaire, e déduirecos π 8 etsiπ 8 ettaπ 8 Solutio : Ss forme algèbrique, o cherche za+ib avec(a,b) R tel que z +i. O obtiet a b a +b (équatio aux modules) ab>0 d oùa + etb. Puisque a et b sot de même sige, o obtiet les deux racies deuxièmes + + +i et i Ss forme polaire, +i e iπ aisi les racies deuxièmes sot e i π 8 cos π 8 +isi π 8 et e i π 8. Puisquecos π 8 >0 etsi π 8 >0, o a + +i cos π 8 +isiπ 8 5/9 G H

6 PCSI Préparatio des Khôlles 0-05 d où cos π 8 + +, si π 8, ta π 8 + Exercice Calculer les racies ièmes dei ièmes de8 6i 3 ièmes de i 3 ièmes de i ièmes de ièmes de+i 3 Solutio : O aie iπ, ue racie deuxième est doc z e iπ +i, l autre est z z. a b 8 O chercheza+ib tel quez 8 6i, o obtiet a +b z 8+6i 0, d oùa 9 etb. Ue racie ab 6<0 est z 3 i, l autre est z z. O a i e3iπ 3 e 3iπ, les racies3 ièmes sot doc les 3 3 3π e i( 3 +π 3 ) avec,,. Ce qui doe z 0 e iπ +i, z e i(π +π 3) z0 j et z e i(π +π 3) z0 j O a ie 3iπ, les racies3 ièmes 3π de i sot doc les e i( 3 +π 3 ) avec,,. Ce qui doe z 0 e iπ i, z ij et z ij O a e iπ, ses racies ièmes sot doc e i(π +π ) avec,,,3. Ce qui doe z 0 e iπ +i, z e i(π +π ) iz0 +i, z z 0 et z 3 z Efi,+i 3e iπ 3 j, ue racie deuxième est doc ij, l autre est ij (c est aussi± e iπ 6 ). Exercice type 0 Pr, soiet(ω ) 0 les racies éièmes de l uité (ω e iπ ), calculer ω et ω Solutio : O a ω (ω) où ωe iπ, aisi ω (ω) Pr, o a ω et la somme se réduit à 0. Sio ω et (ω) ω ω 0 car ω (ω est ue racie éième de!, bie car ω e iπ ). Pr le produit, si, o a 0 ω 0, sio e iπ iπ e iπ iπ iπ ( ) iπ( ) 6/9 G H

7 PCSI Préparatio des Khôlles 0-05 Aisi O peut aussi écrire que P(X)X e iπ e iπ( ) e iπ (De moivre)( ) (X ω ) P(0) ( ω )( ) ω ω ( ) Exercice type Résdre, dasc,() () où. Solutio : O a () () car z est pas solutio {0,.., }, {0,.., }, z eiπ e iπ {0,.., }, e iπ () +e iπ Avat de diviser (puisqu o e divise jamais par zéro et que e iπ 0lorsque ), o élimie le cas. E effet il e peut se préseter, puisqu il coduit à l égalité0. O a doc () (),.., +eiπ, z e iπ +eiπ {,.., }, z e iπ cos π eiπ isi π eiπ icota π car π i i. Les solutios sot les icota pr {,.., }. Remarque : Les solutios sot bie imagiaires pures,ce que l o peut prévoir, e effet si z est solutio de() (), e passat au module, o obtiet, les réels positifs et ot doc même puissaces éièmes, doc sot égaux. O a doc. Ceci sigifie que le poit d affixez est sur la médiatrice des poits d affixe et. Mais cette médiatrice est l axe des imagiaires purs. O a solutios et o passolutios. E effet, o cherche les racies du polyômep(z)() (), e développat par le biôme de Newto ce polyôme, o a P(z) z z + z +z + z + O costate doc que P est de degré, il admet doc racies surc. Exercice 5 Résdre(E):+z+z + +z +z 0 dasc. Solutio : O a, pr z +z+z + +z +z +z z +z +z +z +z z z+(z +)() (z )() 7/9 G H

8 PCSI Préparatio des Khôlles 0-05 Puisque z est pas solutio, o e déduit que z (E) z z e iπ avec {,, } Exercice type Résdre z (+i)z+5+5i0. Solutio : Le discrimiat vaut (+i) 5 (+i) 5 i. O cherche δa+ib tel que δ. O obtiet alors (avec (a+ib) et δ ) O choisit alors δ 3i et les racies sot z (+i)+( 3i) a b 5 ab <0 a +b i et z (+i) ( 3i) a 8 b 8 a et b de sige opposé (+i) (3 i)+i Exercice 6 Résdre z 8 i 3 z 8 +i 3 0. Solutio : O pose Zz, o se sviet que j 3 +i, jj 3 i, o doit aisi résdre Z jz+6j 0 Le discrimiat vaut j 6j 3j i 3j. Les racies e Z sot doc Soit Z j±i 3j j ±i 3 Z j +i 3 j j et Z j i 3 j j j O rést esuite z e iπ et z j e iπ 3 ce qui doe z e i(π +π ),,,,3 et z e i( π +π ),,,,3 la première famille de solutios s écrit + i, + i, i, i. La secode peut s exprimer ss forme cartesiee, mais cela passe par le calcul decos π etsi π. Exercice type 3 Détermier le lieu des poits M d affixe z tels que les poits M(z), N(z ) et P soiet aligés. z 8/9 G H

9 PCSI Préparatio des Khôlles 0-05 Solutio : Puisque P a pr affixe, o suppose z0. O sait que z M,N,P aligés z z z z R z z z z z (car o sait que z0) zz(z z)(z z)(z+z) z z R z0 z ()z ()z z (z z)(zz+z+z)0 z z z Remarque : O a simplifié, z z z z () z et o a uilisé le fait que z R z R O obtiet doc comme coditio,. z R (qui iclus z) M,N,P aligés z +(z+z)0 Si o pose zx+iy avec(x,y) R, o a z +(z+z)x +y +x(x+) +y. O e déduit que le lieu cherché est la réuio de l axe des réels privé de O et du cercle de cetre(,0), de rayo(privé de O aussi!). Exercice 7 Soiet ABC et DEF deux triagles équilatéraux directs, o costruit G et H tels que EDBG et CDFH soiet des parallélogrammes. Motrer que AGH est équilatéral. Solutio : O sait que ABC est équilatéral direct aisi c ae iπ 3 (b a) j (b a) car e iπ 3 j De même, o a soit f d j (e d) c +j a j b ja j b et f jd j e Das u parallèlogramme les diagoales se cpet au milieu doc e+b hc+f d. Il s agit efi de prver que h a j (g a) Or d+g g e+b d et de même h a c+f d a( j )a j b+( j )d j e j ( a+b d+e) j (g a). 9/9 G H