Nombres complexes. 1 Introduction 1

Transcription

1 Uiversité de Provece Licece MI 1ère aée-s1 Mathématiques géérales I Nombres complexes Table des matières 1 Itroductio 1 2 Gééralités Opératio sur les complexes Cojugué et module d u ombre complexe Ecriture géométrique d u ombre complexe Formules d Euler et de Moivre Racies complexes Racie ème d u ombre complexe Racie ème de l uité Résolutio des équatios du secod degré Géométrie Rappels Similitudes cetrées e l origie Similitudes et traslatios Itroductio C est au XVIème siècle qu apparaisset pour la première fois les ombres complexes au momet de la résolutio d ue équatio algébrique du secod ordre : pour résoudre u problème d aire, Carda (1545) se retrouve à résoudre l équatio x 2 10x + 40 = 0 qui a pas de solutios réelles. Pourtat les valeurs imagiaires (c est aisi qu ils les appela) 5 15 et sot bie des solutios de cette équatio. Ces valeurs impossible (Descartes) ou imagiaires furet logtemps l objet de discussio. Et c est Euler (XVIIIème ) qui e maîtrisa leur emploi et itroduit la otatio i 2 = 1. Les valeurs ci-dessus s écrivet alors 5 ± i 15 et les ombres complexes s écrirot e gééral : c = a + ib. 2 Gééralités L esemble des ombres complexes est oté C. O pose : C = {a + ib avec a, b R et i 2 = 1} Soit z = a + ib C, où a et b sot réels. O appelle a la partie réelle et b la partie imagiaire de z. O ote a = Re(z) et b = Im(z). Lorsque b = 0 alors z = a R. Aisi R C. Les ombres complexes qui ot leur partie réelle ulle s appellet les imagiaires purs. Par commodités, les ombres complexes sot parfois appelés complexes. 2.1 Opératio sur les complexes O muit C de deux lois : Soiet z = a + ib et z = a + ib. ue additio + : z + z = a + a + i(b + b )

2 2 GÉNÉRALITÉS NOMBRES COMPLEXES 2 ue multiplicatio. : z.z = aa bb + i(ab + a b) Propriétés 2.1 Pour tous les ombres complexes z, z,z o a : 1. z + z = z + z (commutativité de +) 2. z +(z + z ) = (z + z )+z (associativité de +) 3. 0+z = z + 0 = z (0 est le eutre pour +) 4. si z = a + ib, o défiit l opposé z = a ib, il vérifie z +( z) =0. 5. zz = z z (commutativité de.) 6. z(z z ) = (zz )z (associtivité de.) 7. 1.z = z.1 =z (1 est le eutre pour.) 8. Si z = a + ib 0alors z admet u iverse : z 1 = a ib a 2 +b 2 et z.z 1 = z=0 10. z(z +z )=zz +zz (distributivité de. par rapport à +) Ces lois fot de C u corps commutatif. O peut idetifier chaque ombre complexe z = a+ib avec u poit du pla (a, b) et doc C avec R 2 = R R (cette iterprétatio est apparue das les travaux de Gauss (1799) et d Argad (1806). Si M est u poit du pla de coordoées (a, b), o dit que le complexe z = a + ib est l affixe de M. EXERCICE 1 Motrer que cette correspodace est bie bijective, i.e. à chaque poit du pla correspod u uique complexe, et réciproquemet. EXERCICE 2 Placer les poits d affixe z 1,z 2,z 3 das u repère orthoormé du pla : z 1 = 1+i, z 2 = 2 + i, z 3 = 1 2 i Cojugué et module d u ombre complexe Soit z = a + ib u ombre complexe, où a et b sot réels. O appelle cojugué de z le complexe z = a ib. O appelle module de z le ombre réel positif z = a 2 + b 2. Remarque : si z est u réel so module correspod à sa valeur absolue. Propriétés 2.2 Pour tous les complexes z, z, o a toutes les propriétés suivates. 1. z = z 2. z + z = z + z 3. z.z = z.z 4. z 2 = z.z 5. z =0si et seulemet si z =0 6. Re(z) = 1 2 (z + z) et Im(z) = 1 2 (z z) 7. zz = z z 8. z + z z + z 9. z, z C, zz =0ssi z =0ou z = Si z 0alors so iverse s écrit z 1 = z z 2 ; e particulier si z =1alors z 1 = z. 11. z = z Les preuves de ces propriétés sot sas aucue difficulté.

3 2 GÉNÉRALITÉS NOMBRES COMPLEXES Ecriture géométrique d u ombre complexe Comme o l a vu précédemmet (cf. Exercice 1), à chaque ombre complexe z = a + ib, o peut associer u poit du pla Z =(a, b). Notos O l origie de ce pla. Alors o obtiet que le module de z, qui vaut a2 + b 2 est égal à la distace du poit Z à l origie, otée OZ ou d(o, Z) ou ecore OZ. O appelle argumet d u complexe z, oté arg(z), l agle formé par l axe des abscisses avec le vecteur OZ. Aisi : z = OZ = OZ et arg(z) = (Ox, OZ) = ( i, OZ). Théorème 2.3 Soit z = a + ib u ombre complexe o ul, où a et b sot réels. Il existe u uique réel strictemet positif r et u uique agle θ [0, 2π[ tels que θ = arg(z), r = z et z = r(cos(θ)+isi(θ)). Preuve. O place le poit das le pla grâce à l agle et au module. Les coordoées cartésiees de ce poit sot doées par l itersectio d ue droite parallèle à l axe des ordoées (resp. des abscisses) passat par le poit avec l axe de abscisses (resp. des ordoées). Par la défiitio du cosius et du sius o obtiet : z =(a, b) avec a = rcos(θ) et b = rsi(θ). Faire ue figure. Ue coséquece directe de ce résultat (via l exercice 1) est la suivate. Théorème 2.4 Deux ombres complexes sot égaux si et seulemet si ils ot même modules et même argumet modulo 2π. O ote z = re ix l écriture géométrique d u ombre complexe, où x R, e fixat la covetio suivate : e ix = cos(x)+isi(x) Cette défiitio de l expoetielle complexe coviet pour la raiso suivate : preos deux ombres complexes z = e ix et z = e ix de module 1 (où x, x R). E les mutipliat o obtiet : zz = e ix e ix = e i(x+x ) E effet, o a zz =(cos(x)+isi(x))(cos(x )+isi(x )). O obtiet le résultat e développat, puis utilisat les formules trigoométriques classiques. Cela rappelle les formules de l expoetielle réelle. Remarque : L écriture d u ombre complexe z sous la forme géométrique z = re ix (où r est le module de z et x so argumet) s appelle aussi forme polaire ou forme expoetielle de z. Tadis que la forme z = a + ib, avec a et b réels, s appelle forme algébrique ou cartésiee de z. Théorème 2.5 Soiet z, z C. Alors : zz = z. z et arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) (mod. 2π).

4 2 GÉNÉRALITÉS NOMBRES COMPLEXES 4 Preuve. La première égalité a déjà été vue. La secode se déduit immédiatemet de l écriture expoetielle (la première aussi). Soit z = re ix et z = se iy où r, s, x, y sot réels. Alors zz = rse i(x+y) a pour argumet x + y mod. 2π. O défiit aisi l expoetielle pour tout ombre complexe : Soit z = a + ib C, où a, b R. O défiit l expoetielle de z par : e z = e a e ib = e a (cos(b)+isi(b)) (voir l exercice 8). EXERCICE 3 Placer les poits d affixe z 1,z 2,z 3 das u repère orthoormé du pla : z 1 = e iπ 3, z2 = 1 + i, z 3 = 2 e iπ 4. EXERCICE 4 Mettre sous la forme a + ib (a, b R) les ombres : ( ) 2 3+6i 1+i 3 4i, + 3+6i 2 i 3 4i, 2+5i 1 i + 2 5i 1+i. EXERCICE 5 Ecrire sous la forme a + ib les ombres complexes suivats. 1. Nombre de module 2 et d argumet π/3. 2. Nombre de module 3 et d argumet π/8. EXERCICE 6 Effectuer les calculs suivats. 1. (3 + 2i)(1 3i). 2. Produit du ombre complexe de module 2 et d argumet π/3 par le ombre complexe de module 3 et d argumet 5π/6. 3+2i i. 4. Quotiet du ombre complexe de module 2 et d argumet π/3 par le ombre complexe de module 3 et d argumet 5π/6. EXERCICE 7 Calculer le module et l argumet de u = 6 i 2 2 et v =1 i. E déduire le module et l argumet de w = u v. EXERCICE 8 Détermier le module et l argumet des ombres complexes : e eiα, et e iθ + e 2iθ. 2.4 Formules d Euler et de Moivre O a les formules suivates : Théorème 2.6 (Formule de Moivre (1707)) θ R, cos(θ)+i si(θ) = (cos(θ)+i si(θ)). Théorème 2.7 (Formule d Euler (1740)) θ R, cos(θ) = eiθ + e iθ 2 et si(θ) = eiθ e iθ. 2i

5 3 RACINES COMPLEXES NOMBRES COMPLEXES 5 Ce sot des coséqueces immédiates de la otatio géométrique des ombres complexes et de la défiitio de l expoetielle complexe. Ces formules permettet de liéariser cos (x) et si (x) e foctio de cos et si. Avat de voir cette liéarisatio, rappelos l écriture du biôme. Rappel (Formule du biôme) :(a + b) = Ca k k b k, où a, b C et C k! = est appelé coefficiet ( k)!k! k=0 biomial. Exemple de liéarisatio : cos 3 (x) =( eix + e ix ) 3 = ei3x +3e ix +3e ix + e 3ix = cos(3x)+3cos(x). 4 Liéarisatio de cos (x) et si (x). Ecrire cos(x) ou si(x) comme somme de puissaces de cos(x) et si(x) : cos(x)+i si(x) = (cos(x)+i si(x)) = C k cos k (x)(i si(x)) k. O développe puis o idetifie la partie réelle à cos(x) et la partie imagiaire à si(x) (voir l exercice suivat). k=0 EXERCICE 9 E utilisat les ombres complexes, calculer cos 5θ et si 5θ e foctio de cos θ et si θ. EXERCICE 10 Résoudre das R les équatios suivates : 1. cos 2 (x) si 2 (x) = si(3x). 2. cos 4 (x) si 4 (x) = 1. 3 Racies complexes Si P (z) est u polyôme complexe (i.e. à coefficiets complexes), les ombres complexes z 0 vérifiat P (z 0 )=0 sot appelés racies du polyôme P ou solutios de l équatio algébrique P (z) = Racie ème d u ombre complexe Ici le polyôme P (z) est de la forme P (z) =z a 0, où a 0 est u complexe fixé. Alors les racies z de P vérifiet z = a 0, o dit qu elles sot les racies ème de a 0. Remarque : Plaços ous das le cadre des réels, cad cherchos les réels x qui vérifiet x = a 0, où a 0 R. Le ombre de solutios déped de et a 0. Si = 2 et a<0:x 2 = a 0 < 0, o a pas de solutios. Si = 2 et a>0:x 2 = a 0 > 0 o a deux solutios x = ± a 0. Par cotre si = 3 : x 3 = a 0 o aura ue seule solutio, la racie cubique de a 0 (qui aura le même sige que a 0 ). Reveos à l équatio complexe : z = a 0. O va passer par l écriture expoetielle. O pose a 0 = ρ 0 e iθ0 où ρ 0 est le module de a 0 et θ 0 so argumet (o peut choisir θ 0 [0, 2π[). O cherche s il existe u (ou des) ombres complexes z tels que : (1) z = ρ 0 e iθ 0 Notos ρ le module de z et θ so argumet : z = ρe iθ. Par commodités, posos Z = a 0, et résolvos l équatio (1). Si Z = 0 alors il y a u uique solutio z = 0. O suppose doc Z 0. O a : z = ρ e iθ = ρ 0 e iθ0.

6 3 RACINES COMPLEXES NOMBRES COMPLEXES 6 Comme z = ρ> 0, o a : Cela implique : (2) ρ = ρ 0 et (3) θ = θ 0 +2kπ, k Z ρ = ρ 0 De plus (3) θ = θ 0 +2kπ, où k Z. Il y a doc ue ifiité de possibilités pour θ. Doc les solutios z à l équatio (1) s écrivet : z = ρ 0 e i θ 0 +2kπ, avec k Z. Regardos maiteat à quelle coditio deux solutios z = ρ 0 e i θ 0 +2kπ z = z θ 0 +2kπ = θ 0 +2k π z = z k = k + p, où p Z, cad et z = ρ 0 e i θ 0 +2k π sot égales : +2pπ, où p Z (les argumets sot égaux mod. 2π). O obtiet : z = z si et seulemet si divise k k. Aisi pour avoir toutes les racies de Z, il suffit de faire varier k etre 0 et 1. L équatio z = ρ 0 e iθ 0 a solutios qui s écrivet : ρ0 e i θ 0 +2kπ, 0 k 1 cad ρ0 e iθ 0, ρ 0 e i θ 0 +2π, ρ 0 e i θ 0 +4π,, ρ 0 e i θ 0 +2( 1)π Notos que pour résoudre (1) de cette maière, o DOIT passer par l écriture expoetielle. 3.2 Racie ème de l uité O veut résoudre l équatio z = 1 das C (le polyôme P est le polyômet : P (z) =z 1). Les solutios sot appelées racies de l uité. O applique le résultat précédet à a 0 = 1 = 1. e 0.i, d où les racies (solutios) : 1, e i 2π,e i 4π,,e i 2( 1)π cad z k 0, 0 k 1, où z 0 = e i 2π Ces racies sot les sommets d u polygoe régulier à côtés iscrit das le cercle uité. EXERCICE 11

7 3 RACINES COMPLEXES NOMBRES COMPLEXES 7 Calculer les racies carrées de 1, i, 8 6i, et i sous forme cartésiee. EXERCICE 12 Calculer les racies carrées de 1+i 2. E déduire les valeurs de cos(π/8) et si(π/8). EXERCICE 13 Trouver les racies cubiques de 2 2i et de i. EXERCICE Résoudre z 3 = 1 et motrer que les racies s écrivet 1, j, j 2. Calculer 1 + j + j 2 et e déduire les solutios de 1 + z + z 2 = Résoudre z = 1 et motrer que les racies s écrivet 1, ɛ,..., ɛ 1. E déduire les racies de 1 + z + z z 1 = 0. Calculer, pour p N, 1 + ɛ p + ɛ 2p + + ɛ ( 1)p. 3.3 Résolutio des équatios du secod degré Rappelos d abord la résolutio das R des équatios du secod degré à coefficiets réels. O veut résoudre l équatio : ax 2 + bx + c = 0 avec a, b, c des réels. Posos = b 2 4ac le discrimiat. Alors trois cas se présetet : 1. > 0 alors l équatio a deux solutios réelles différetes : x = b ± 2a 2. = 0 alors l équatio a ue solutio réelle double : x = b 2a 3. < 0 alors l équatio a pas de solutios réelles. Rappelos que cela viet des idetités remarquables : a 2 b 2 =(a b)(a + b). L équatio est équivalete à (x + b 2a )2 (b2 4ac) 4a 2 = 0. O trouve les solutios e utilisat l idetité remarquable. C est possible das le cas où b 2 4ac 0. C est pour résoudre le troisième cas (cf. Itroductio) que Carda a itroduit les ombres imagiaires. Pour résoudre das C ue équatio à coefficiet réels, o calcule les racies ±δ du discrimiat = b 2 4ac : δ 2 =. Alors, les solutios de l équatio sot : z = b ± δ 2a (c est ue solutio double quad le discrimiat est ul). Remarque : Si 0, o retrouve le résultat quad o restreit les solutios aux ombres réels (car les solutios sot réelles). Par cotre, si < 0 le ombre δ est pas réel mais complexe de partie réelle ulle ; e particulier δ = ±i. E coclusio, si < 0: les solutios s écrivet : z = b ± i 2a

8 4 GÉOMÉTRIE NOMBRES COMPLEXES 8 Pour résoudre ue équatio du secod degré à coefficiets complexes, o effectue exactemet la même méthode. EXERCICE 15 Motrer que les solutios de az 2 + bz + c = 0 avec a, b, c réels, sot réelles ou cojuguées. EXERCICE 16 Résoudre das C les équatios suivates : 1. z 2 3z i = z 2 + z + 1 = ix 2 +2x + (1 i) = 0. 4 Géométrie Nous avos vu (cf. exercice 1) que l esemble des ombres complexes peut-être idetifié avec le pla P. Nous allos maiteat écrire les trasformatios du pla, celles appelées similitudes, avec les ombres complexes. Ces trasformatios sot celles qui coservet les agles. L esemble des similitudes directes est costitué des traslatios, de rotatios, d homothéties, et de leurs compositios. 4.1 Rappels Soit f ue trasformatio du pla. Soiet M et M les poits du pla d affixe z et z respectivemet. O ote z = f(z) l image de z ; o a f(m) =M (par l exercice 1, M = f(m) z = f(z)). Si u est u vecteur du pla, l affixe de u est l affixe du poit M tel que u = OM. O rappelle brièvemet les défiitios des trasformatios élémetaires du pla : traslatios, rotatios, homothéties et similitudes. Traslatios : f est ue traslatio de vecteur u si : M = f(m) si et seulemet si MM = u. Soit z u l affixe de u. Alors M = f(m) z = f(z) z z = z u, cad : f(z) =z + z u. Rotatios : f est ue rotatio de cetre A et d agle θ [0, 2π[ si : M = f(m) si et seulemet si ( AM, AM )=θ et AM = AM. arg(z z A ) = arg(z z A )+θ Soit z A l affixe de A. Alors M = f(m) z = f(z) et z z A = z z A Doc z = f(z) z z A =(z z A )e iθ (par les théorèmes 2.5 et 2.4) cad. f(z) =z A +(z z A )e iθ. Homothéties : f est ue homothétie de rapport r (où r R + {0}) et de cetre A si : M = f(m) si et seulemet si ( AM, AM ) = 0 et AM = r AM.

9 4 GÉOMÉTRIE NOMBRES COMPLEXES 9 Soit z A l affixe du poit A. Alors M = f(m) z = f(z) z z A et z z A ot même argumet et z z A = r z z A z = r(z z A )+z A (par les théorèmes 2.5 et 2.4) ; cad f(z) =r(z z A )+z A. Similitudes : f est ue similitude si f est composée d ue rotatio g et d ue homothétie h de même cetre (peu importe le ses de la compositio : g h = h g). Soit θ l agle de g, r le rapport de h et A le cetre de g et h. Alors, o dit que f est ue similitude de cetre A, de rapport r et d agle θ. E composat les applicatios, o obtiet f(z) =r ( g(z) z A ) + za, cad f(z) =r ( z A +(z z A )e iθ z A ) + za : f(z) =r(z z A )e iθ + z A. ou ecore f(z) =re iθ z + (1 re iθ )z A. Soit α = re iθ. Alors : f(z) =αz + (1 α)z A. O voit que si z A = 0 alors f est la similitude de cetre l origie, de rapport r = α et d agle θ =Arg(α). Si z A 0 alors f(z) =αz + β, où β = (1 α)z A. O suppose alors que α ± ot = 1 sio f(z) =z, cad f est l idetité. Das ce cas, f est la similitude de cetre d affixe z A = β, de rapport r = α et 1 α d agle θ =Arg(α). Nous termios e détaillat ces deux deriers cas. 4.2 Similitudes cetrées e l origie Soit f : C C où α C {0} z f(z) =αz O ote z = f(z) l image de z, M et M les poits du pla d affixe z et z respectivemet. O distigue les cas α = 1 et α 1. Premier cas : α = 1. Cela implique : et z = z arg(z ) = arg(z) + arg(α) OM = OM Das le pla, ces relatios correspodet à : et (Ox, OM) = (Ox, OM ) + arg(α) i.e. ( OM, OM ) = arg(α) La trasformatio f est doc ue rotatio d agle arg(α), de cetre O. Secod cas : α = r R +. O veut se rameer au cas précédet. O remarque que α r a pour module 1 O a bie sur : z = αz z = r( α r z). O peut doc décomposer f de la faço suivate : f(z) =g ( h(z) ), où h(z) = α r z et g(z) =rz, z C. Alors h est ue rotatio d agle arg( α r )=arg(α) et de cetre O. Comme r R +, g est ue homothétie de rapport r. Par coséquet, f est ue similitude de cetre O, d agle arg(α) et de rapport r

10 4 GÉOMÉTRIE NOMBRES COMPLEXES Similitudes et traslatios Soit f : C C où α, β C {0} z f(z) =αz + β O décompose f de la maière suivate : f(z) =g ( h(z) ), où h(z) =αz et g(z) =z + β, z C. Alors h est ue similitude de cetre O, d agle arg(α) et de rapport α. Tadis que g est ue simple traslatio de vecteur u d affixe β. Si α = 1, alors f = g est ue simple traslatio de vecteur u d affixe β. Sio, la trasformatio f admet u poit ivariat z 0 tel que z 0 = αz 0 + β, i.e. z 0 = β 1 α. Notos que ce poit fixe existe si et seulemet si α 1. Das ce cas, z z 0 = αz + β z 0 = αz + β (αz 0 + β) (car z 0 = αz 0 + β), doc z z 0 = α(z z 0 ). La trasformatio f est ue similitude de cetre z 0 = E coclusio, ous obteos : Théorème 4.1 β 1 α Soit f : C C où α C {0} et β C z f(z) =αz + β, d agle arg(α) et de rapport α. (i) Si α =1, alors f est ue simple traslatio de vecteur u d affixe β. (ii) Si α 1, alors f est ue similitude de cetre z 0 = β, d agle arg(α) et de rapport α. 1 α (iii) Si β =0, alors f est ue similitude de cetre O, d agle arg(α) et de rapport α. Rappelos qu ue similitude de rapport 1 est ue rotatio.