Les nombres complexes

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1 Les nombres complexes 8 novembre 009 Table des matières Définitions Forme algébrique Représentation graphique Opérations sur les nombres complexes Addition et multiplication Inverse d un nombre complexe non nul Nombre conjugué Module d un nombre complexe 5 Résolution dans C d équations du second degré à coefficients réels 5 Nombres complexes et transformations 7 Ecriture complexe d une translation 7 Ecriture complexe d une homothétie 7 5 Ecriture trigonométrique d un nombre complexe 7 5 Argument d un nombre complexe 7 5 Ecriture trigonométrique 7 6 Propriétés des modules et arguments 8 6 Inégalité triangulaire 8 6 Module et argument d un produit 9 6 Module et argument d un quotient 9 7 Forme exponentielle d un nombre complexe 0 7 Définition 0 7 Règles de calcul sur les formes exponentielles 0 8 Géométrie et nombres complexes 8 Mesure des angles orientés 8 Ecriture complexe d une rotation Définitions Forme algébrique Théorème : Il existe un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes : C contient l ensemble des nombres réels L addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes

2 Il existe un nombre complexe noté i tel que i = Tout nombre complexe z s écrit de manière unique z = x + iy avec x et y réels Exemples : z = + 5i, z = i, z = sont des nombres complexes Définition : L écriture z = x + iy avec x et y réels est appelée forme algébrique du nombre complexe z x est la partie réelle de z, notée Rez, y est la partie imaginaire de z notée Imz Remarque : z = x + iy avec x et y réels Si y = 0, le nombre complexe est réel Si x = 0, le nombre complexe est dit imaginaire pur Théorème : Soit x, y, x et y des nombres réels, x + iy = x + iy équivaut à x = x et y = y x + iy = 0 équivaut à x = 0 et y = 0 Cet énoncé résulte de l unicité de l écriture algébrique d un nombre complexe Représentation graphique Définition : O; u, v est un repère orthonormal direct du plan A tout nombre complexe z = x + iy avec x et y réel, on associe le point M de coordonnées x; y On dit que M est le point image de z et que OM est le vecteur image de z Tout point Mx; y est le point image d un seul complexe z = x + iy On dit que z est l affixe du point M et du vecteur OM Le plan est alors appelé plan complexe L axe des abscisses O; u est appelé axe des réels, l axe des ordonnées O; v est appelé axe des imaginaires purs Exemple : Dans le plan complexe muni d un repère orthonormé O; u, v, on peut placer les points A, B et C d affixes respectives i, i et + i Exercice : Soit le nombre complexe z = x + y x + y + i x + y + x et y réels Soit M le point de coordonnées x; y dans le repère orthonormal direct O; u, v Déterminer l ensemble des points M tels que z est un nombre réel Déterminer l ensemble des points M tels que z est imaginaire pur Les points M tels que z est un nombre réels sont les points dont les coordonnées vérifient x + y + = 0 ; or x + y + = 0 est l équation d une droite D Donc l ensemble cherché est la droite D Les points M tels que z est un imaginaire pur sont les points dont les coordonnées vérifient : x + y x + y = 0 équivaut à x + y + = 5 C est l équation d un cercle C de centre Ω d affixe 5 i et de rayon L ensemble des points cherchés est alors le cercle C L Economie - Management - Gestion, Semestre Année 009/00

3 Opérations sur les nombres complexes Addition et multiplication Définition : Soit z = x + iy et z = x + iy x, y, x et y réels La somme de z et de z est le complexe z + z = x + x + iy + y Le produit de z et de z est zz = xx yy + ixy + x y En effet zz = x + iyx + iy = xx + ixy + ix y + i yy = xx yy + ixy + x y Exemples : + i + 5 i = 8 i 5i + i = 6 + i 5i 0i = 6 i + 0 = 6 i Remarque : Les identités remarquables sont valables dans C On a alors pour tous z et z complexes, z + z = z i z = z iz z + iz Exemple : Factoriser z + z + = z i = z iz + i i = ; i = i ; i = ; donc i 5 = i etc Remarque : Soient M d affixe z et M d affixe z des points du plan complexe z + z est l affixe du point N tel que OMNM est un parallélogramme Affixe d un vecteur, d un barycentre Propriété : Deux points A et B du plan complexe ont pour affixes respectives z A et z B L affixe du vecteur AB est zb z A Remarque : Si λ est un réel, l affixe de vecteur λ u est λz où z est l affixe de u Propriété : Deux points A et B du plan complexe ont pour affixes respectives z A et z B L affixe du barycentre G des points pondérés A, α et B, β α + β 0 est : αz A + βz B α + β Démonstration : On a OG = α + β α OA + β OB et le résultat en découle en passant aux affixes On peut généraliser cette propriété : A, α, A, α,, A n, α n sont n points du plan, d affixes respectives z, z,, z n tels que n α i 0 Alors leur barycentre G a pour affixe la moyenne pondérée de leurs affixes : z G = α z + α z + + α n z n α + α + + α n Il en résulte que l affixe z I du milieu I du segment [AB] est z I = z A + z B et celle du centre de gravité G d un triangle MNP est z G = z M + z N + z P Exercice : MNP est un triangle, A est le milieu du segment [NP ], B celui de [P M] et C celui de [MN] Démontrer, à l aide des complexes, que les triangles MNP et ABC ont le même centre de gravité On peut choisir un repère orthonormal direct d origine O quelconque Notons m, n et p les affixes des points de base M, N et P A, B et C sont liés à M, N et P ; leurs affixes notées a, b et c s expriment en fonction de celles de M, N et P A est le milieu de [NP ], d où a = n + p, de même b = m + p et c = m + n Notons G et G les centres de gravités des triangles MNP et ABC G a pour affixe g = m + n + p ; G a pour affixe : g = a + b + c [ n + p = Ainsi G et G sont confondus d où le résultat + m + p + m + n ] = m + n + p = g i= L Economie - Management - Gestion, Semestre Année 009/00

4 Exercice : Dans le plan, complexe + i, i, i et + 5i sont les affixes respectives de A, B, C et D Dessiner une figure Prouver de deux façons différentes que ABCD est un parallélogramme On montre que AB = DC En effet AB a pour affixe i + i = i et DC a pour affixe i + 5i = i On montre que [AC] et [BD] ont le même milieu E L affixe du milieu de [AC] est : + i + i = + i ; + 5i + i l affixe du milieu de [BD] est : = + i [AC] et [BD] ont donc le même mileu E d affixe + i Inverse d un nombre complexe non nul Théorème : Tout nombre complexe non nul z, écrit sous forme algébrique z = x + iy, admet un inverse, noté z, et : z = x iy x + y En effet, on remarque que pour tout nombre complexe non nul z = x + iy, x + iyx iy = x i y = x + y On a alors z = x + iy = x iy x + iyx iy = x iy x + y Exercice : On pose z = i et z = + i Calculer z + z, z z, et z z z z + z = i + + i = i z z = i + i = + i i 6i = + i + 6 = 8 + i = z i = + i + = + i = + i z = i i i i i + 6i 7i = z + i + = = = i Exercice : Résoudre dans C l équation iz + 5i = 0 On isole z, comme on le fait pour résoudre une équation à une inconnue dasn R : z = 5i 5i i 6i + 0i = = = 5 i i i + i Nombre conjugué Définition : Soit z un nombre complexe, z = x + iy Le nombre conjugué de z, noté z, est le nombre complexe x iy Dans le plan complexe, le point M d affixe z est l image du point M d affixe z par la symétrie par rapport à l axe des abscisses Propriété : z est un nombre complexe z est réel équivaut à z = z z est imaginaire pur équivaut à z = z Démonstration : On pose z = x + iy, avec x et y réels : L Economie - Management - Gestion, Semestre Année 009/00

5 Si z est réel, alors y = 0, donc z = z Si z = z, alors x + iy = x iy, donc iy = 0 et on en déduit que y = 0 ce qui signifie que z est réel Si z est imaginaire pur, alors x = 0, donc z = z Si z = z, alors x + iy = x + iy, donc x = 0 et x = 0 z est donc bien un imaginaire pur Propriété : Soit z l affixe d un point M dans le plan complexe z est l affixe du symétrique de M par rapport à l axe des abscisses z est l affixe du symétrique de M par rapport au point O z est l affixe du symétrique de M par rapport à l axe des ordonnées Propriété : Pour tous nombres complexes z et z : z + z = z + z z = z zz = zz pour z 0, = z 5 pour z 0, z z z = z 6 pour n Z, z n = z n z Remarque : Pour tout nombre complexe z, on a les relations Rez = z + z Exemple : i5 + i = + i5 i = i ; + i i = + i + i + i = + i i + = + i + i = + i 5 i = 5 + i = 5 + 0i = + 0i Exercice : Résoudre dans C l équation z + iz = i et Imz = z z i = i = + i + = + i On écrit z et z sous la forme : z = x + iy et z = x iy avec x et y réels Donc l équation { devient x iy + ix + iy = i x y + ix y = i x y = On a alors x y = Ainsi x = 9 5 et y = 5 Donc l unique solution de l équation est le nombre i Module d un nombre complexe Définition : z est un nombre complexe, z = x + iy x et y réels Le module de z est le nombre réel positif noté z et défini par z = x + y Interprétation géométrique : Dans le plan complexe, si M a pour affixe z, alors OM = z Remarques : Si z est un nombre réel, le module de z correspond à la valeur absolue de z z = 0 équivaut à z = 0 car OM = 0 équivaut à O = M z z = x + y = z Résolution dans C d équations du second degré à coefficients réels Propriété : L équation az + bz + c = 0 a, b et c réels, a 0 admet des solutions dans C Soit = b ac le discrimant du trinôme Si = 0 : une solution réelle égale à b a Si 0 : deux solutions distinctes : réelles si > 0 : b a et b + a ; L Economie - Management - Gestion, Semestre 5 Année 009/00

6 complexes conjuguées si < 0 : b + i a et b i a Démonstration : La forme canonique du trinôme az +bz+c a, b et c réels, a 0 est a Si 0, on retrouve les résultats vus en première Si < 0, alors > 0 On pose δ = On peut écrire δ = δ On a alors : az + bz + c = a z + b δ + = a a a az + bz + c = a z + b δ a i z + b δ a a + i a Les solutions de l équation sont donc b δ a + i a = b + i a z + b a δ i a et b δ a i Exemple : Factoriser dans C l expression : z + z + = = 7 < 0, donc l équation admet deux solutions complexes conjuguées Et comme 7 = i 7, les deux solutions sont z = 7 + i et z = On peut donc écrire : z + z + = z + 7 i z i [ z + b ] a a a = b i a 7 i Exercice : Soit le polynôme P défini sur C par : P z = z z + z z + Montrer qu il existe un polynôme Q du second degré, à coefficients réels, tel que pour tout complexe z, P z = z + Qz En déduire les solutions dans C de l équation P z = 0 On cherche a, b, c réels tels que P z = z + az + bz + c Pour tout complexe z, z + az + bz + c = az + bz + a + cz + bz + c Par identification avec les coefficients de P, on obtient a =, b = et c = D où pour tout complexe z, P z = z + z z + P z = 0 équivaut à z + = 0 ou z z + = 0 L ensemble des solutions de l équation P z = 0 est {i; i; ; } Exercice : On considère la fonction f : C C z z z + z + Montrer que si z 0 est solution de l équation fz = 0, alors son conjugué est également solution Montrer que + i et + i sont solution de fz = 0 Résoudre fz = 0 Montrer que f est le produit de deux fonctions polynômes du second degré à coefficients réels Si z 0 est solution, alors fz 0 = z 0 z 0 + z 0 + = z 0 z 0 + z 0 + = fz = 0 Donc z 0 est solution de fz = 0 L Economie - Management - Gestion, Semestre 6 Année 009/00

7 + i = + i + i = i ; + i = + i + i = i + i = + i + i = + i = i = alors f + i = + i + i + + i + = + i + i + = 0, donc + i est solution de fz = 0 + i = = + i = + i + i = i + i + i = + i + i = + i alors f + i = + i + i + = + = 0 = i = Donc + i est solution de fz = 0 On a déterminé deux solutions de l équation, et comme on sait que leurs conjugués sont aussi solution, on en déduit que les solutions de l équation fz = 0 sont : z = + i, z = i, z = + i et z = i On a alors fz = z z z z z z z z et z z z z = z z + z z + z z où z + z = Rez R et z z = z R De même z z z z = z z + z z + z z où z + z = Rez R et z z = z R De plus Rez = et z = + = ; Rez = et z = + = + = Donc fz = z z + z + z + Nombres complexes et transformations Ecriture complexe d une translation Propriété : w est un vecteur d affixe b L écriture complexe de la translation de vecteur w est z = z + b Démonstration : t est la translation de vecteur w ; M = tm équivaut à MM = w, c est à dire z z = b où z et z sont les affixes respectives de M et M Ecriture complexe d une homothétie Propriété : Ω est un point d affixe ω et k un réel non nul L écriture complexe de l homothétie de centre Ω et de rapport k est z ω = kz ω Démonstration : h est l homothétie de centre Ω et de rapport k ; M = hm équivaut à ΩM = k ΩM On note z et z les affixes respectives de M et M, l affixe de ΩM est z ω, celle de k ΩM est kz ω Donc M = hm équivaut à z ω = kz ω Exercice : h est l homothétie de rapport et de centre I d affixe + i A est le point d affixe i L Economie - Management - Gestion, Semestre 7 Année 009/00

8 Donner l écriture complexe de h Calculer l affixe du point A image de A par h L écriture complexe de h est z + i = z + i soit z = z i L affixe de A est i, l affixe de A est alors z = i i = 5i 5 Ecriture trigonométrique d un nombre complexe 5 Argument d un nombre complexe Un point M peut être repéré dans le plan muni d un repère orthonormé direct O; u, v de deux façons : par ses coordonnées cartésiennes x et y ou par ses coordonnées polaires notées r et θ où r = OM et θ = u, OM si M est distinct de O Définition : Soit z un nombre complexe non nul et M le point d affixe z dans le plan muni d un repère orthonormé direct O; u, v On appelle argument de z, noté argz, une mesure de l angle orienté de vecteurs u ; OM Remarque : 0 n a pas d argument Tout point M est repéré dans le plan complexe par son affixe z = x + iy, et lorsque M est différent de O, par ses coordonnées polaires z et argz 5 Ecriture trigonométrique Théorème : Soit z un nombre complexe non nul d écriture algébrique z = a+ib et θ un argument de z Alors : a = z cos θ et b = z sin θ On a alors z = z cos θ + i sin θ En effet, z est un nombre complexe non nul et M le point d affixe z dans le plan complexe On sait que OM = z Donc on a bien a = z cos θ et b = z sin θ Définition : Soit z un nombre complexe non nul L écriture z = z cos θ + i sin θ, où θ désigne un argument de z est appelée écriture trigonométrique ou forme trigonométrique de z Remarque : Soit z un nombre complexe non nul Si on connait une écriture trigonométrique de z, z = rcos θ + i sin θ r > 0, alors on obtient son écriture algébrique a + ib en écrivant : a = r cos θ et b = r sin θ Si on connait l écriture algébrique de z, z = a + ib, alors on obtient son écriture trigonométrique z = rcos θ + i sin θ en écrivant : r = a + b, cos θ = Exercice : a a + b, sin θ = b a + b On pose z = + i Trouver la forme trigonométrique de z z est le complexe de module et d argument π Quelle est la forme algébrique de z? L Economie - Management - Gestion, Semestre 8 Année 009/00

9 z est de la forme a + ib, avec a = et b = On a alors r = + = cos θ = et sin θ =, donc θ = π 6 + kπ k Z Il en résulte que z = cos π 6 + i sin π 6 Pour z, r = et θ = π, donc a = r cos θ et b = r sin θ nous donne : a = cos π = et b = Il en résulte que z = i Propriété : Soit z un nombre complexe z est un réel non nul si, et seulement si, argz = 0 + kπ k Z z est un réel strictement positif si, et seulement si, argz = 0 + kπ k Z z est un réel strictement négatif si, et seulement si, argz = π + kπ k Z z est un imaginaire pur si, et seulement si, argz = π + kπ k Z Egalité de complexes écrits sous forme trigonométrique Si z = rcos θ + i sin θ et z = r cos θ + i sin θ sont égaux, alors puisqu ils sont associés au même point, on a r = r et θ = θ + kπ k Z z = z équivaut à r = r et θ = θ mod π Propriété : Si z = rcos θ + i sin θ avec r > 0, alors z = r et argz = θ mod π 6 Propriétés des modules et arguments z = z arg z = argz mod π z = z arg z = π + argz mod π 6 Inégalité triangulaire Propriété : Pour tous nombres complexes z et z, z + z z + z 6 Module et argument d un produit Théorème : Quels que soient les nombres complexes non nuls z et z : zz = z z argzz = argz + argz mod π Démonstration : Posons z = rcos θ + i sin θ avec r = z et θ = argz mod π et z = r cos θ + i sin θ avec r = z et θ = argz mod π z z = rcos θ + i sin θ r cos θ + i sin θ = rr [cos θ cos θ sin θ sin θ + icos θ sin θ + cos θ sin θ] z z = rr [cosθ + θ + i sinθ + θ ] comme rr > 0, on a zz = rr = z z et argzz = θ + θ mod π = argz + argz mod π [ π π ] Exemple : z = cos + i sin et z = [ cos π + i sin π ] 5 5 zz = et argzz = π 5 π mod π = π 0 mod π, d où zz = [ cos π + i sin π ] 0 0 Conséquence : On peut alors démontrer que z n = z n et argz n = n argz mod π Formule de Moivre : Pour tout entier n et tout nombre réel θ, cos θ + i sin θ n = cosnθ + i sinnθ Exercice : Donner la forme algébrique du nombre z = i 5 Pour calculer des puissances, il est préférable d utiliser la forme trigonométrique z = [ + = et z = i = cos π + i sin π ], alors argz = π mod π L Economie - Management - Gestion, Semestre 9 Année 009/00

10 On a alors z 5 = [cos 5 Or cos 5π 5π = et sin 5π + i sin = 5π ] donc z5 = + i 6 Module et argument d un quotient Théorème : Quels que soient les nombres complexes non nuls z et z : z z z = z z arg z = argz argz mod π En effet, en posant Z = z z, on obtient Zz = z, ce qui donne Zz = Z z = z et Z = z z et argzz = argz + argz mod π = argz mod π, d où argz = argz argz mod π Conséquence : Si z est non nul, z = et arg = argz mod π z z Exercice : Donner la forme trigonométrique du nombre Z = + i + i Posons z = + i et z = + i on a z = et argz = π + kπ k Z ; z = et argz = π 6 + k π k Z alors z = = et argz = π + 8kπ = π + 8kπ k Z donc z = cos π + i sin π = z = = 8 et argz = π 6 + 6k π = π + 6k π donc z = 8cos π + i sin π = 8i Donc Z = 8i = i Exercice : Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes z = i, z = i et Z = z z Ecrire Z sous forme algébrique, en déduire les valeurs exactes de cos π et sin π z = et argz = π 6 mod π ; z = et argz = π mod π On en déduit Z = = et argz = π 6 + π mod π = π mod π [ Donc z = cos π + i sin π ] ; z = [ cos π + i sin π ] 6 6 et Z = [ π π cos + i sin ] i Z = = i + i + = + i i Par comparaison des deux écritures de Z, on obtient : cos π 6 + = et sin π 6 = 7 Forme exponentielle d un nombre complexe 7 Définition Posons fθ = cos θ + i sin θ θ R On a démontré que fθ + θ = fθfθ Si on prolonge aux complexes les propriétés de la dérivation, on vérifie que f θ = ifθ Pour cette raison, on adopte la définition suivante : L Economie - Management - Gestion, Semestre 0 Année 009/00

11 Définition : Pour tout réel θ, on pose e iθ = cos θ + i sin θ Ainsi tout nombre complexe z non nul s écrit re iθ Cette forme est la forme exponentielle de z Exemple : Placer les points images des complexes suivants : e iπ ; e i π ; e i π ; e i π Conséquence : e iθ = et arge iθ = θ mod π Exercice : Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes : e i π ; 6e i π Ecrire sous forme exponentielle les nombres suivants : 5i ; + i e i π = [ cos π + i sin ] π = + i = + i de même 6e i π = + i 5i = 5e i π et + i = ; + i = + i donc + i = e i π 7 Règles de calcul sur les formes exponentielles Propriété : Soient r et r deux réels strictement positifs reiθ re iθ r e iθ = rr e iθ+θ r e iθ = r r eiθ θ re iθ = r e iθ équivaut à r = r et θ = θ mod π re iθ = re iθ Exemple : z = e i π, z = e i π alors zz = 6e i π π = 6e i π ; z z = ei π + π = Formule de Moivre : e iθ est le nombre complexe de module et d argument θ, e iθ n a pour module et pour argument nθ, donc il s écrit e inθ : pour tout réel θ, e iθ n = e inθ Formules d Euler : Puisque e iθ = cos θ + i sin θ et e iθ = cos θ i sin θ, on en déduit les relations, appelées formules d Euler : cos θ = eiθ + e iθ et sin θ = eiθ e iθ i ei 7π Exercice : Ecrire sous forme exponentielle le nombre suivant : 5 = = e i π 6 et donc 5 = e i 5π 6 ] Exercice : θ est dans 0; π [ Donner une forme exponentielle du complexe z = + e iθ z = + cos θ + i sin θ Or cos θ = cos θ = cos θ d où + cos θ = θ cos et sin θ = cos θ sin θ Donc z = cos θ [ cos θ + i sin θ ] ] Puisque θ est dans l intervalle 0; π [, il en résulte que cos θ > 0 donc z = cos θ ei θ L Economie - Management - Gestion, Semestre Année 009/00

12 8 Géométrie et nombres complexes 8 Mesure des angles orientés Théorème : Le plan est muni d un repère orthonormé direct O; u, v Soient les points Mz, M z, Az A, Bz B, Cz C et Dz D tels que : M et M sont distincts, et A, B, C, D sont deux à deux distincts argz z = u ; MM mod π zb z A arg z D z C = CD; AB = θ mod π et z B z A z D z C = AB CD eiθ M appartient au cercle de centre Az A et de rayon r si, et seulement si : z = z A + re iθ avec θ réel Démonstration : Soit P le point d affixe z z, on a argz z = u ; OP mod π Or OP = MM, donc argz z = u ; MM mod π AB; CD = AB; u + u ; CD = u ; CD + AB; CD on obtient alors AB; CD = argzd z C argz B z A, donc AB; CD = arg zd z C z B z A M appartient au cercle de centre A et de rayon r équivaut à AM = r, c est à dire z z A = r On a alors z z A = re iθ c est à dire z = z A + e iθ Exercice : Le plan est muni d un repère O; u, v orthonormé direct Soient les points A d affixe + i, B d affixe i et C d affxe i + Le triangle ABC est-il équilatéral? z C z A = i + + i = 0 0i = z B z A i + i 0 Comme i = et arg i Donc le triangle ABC n est pas équilatéral, par contre il est isocèle en A i = π 6 mod π, on en déduit que : z C z A z B z A = e i π 6 Exercice : O; u, v est un repère orthonormal du plan complexe C 0 est le cercle trigonométrique, C est le cercle de centre Ω d affixe ω et de rayon r et M est un point du plan d affixe z Démontrer que M appartient à C 0 si et seulement si, il existe θ dans ] π; π] tel que z = e iθ En déduire que M appartient à C si et seulement si, il existe θ dans ] π; π] tel que z = ω + re iθ Si M a pour affixe e iθ θ ] π; π[ alors OM = e iθ = et M appartient à C 0 Réciproquement, si M appartient à C 0, on désigne par θ la mesure principale de u ; OM, θ ] π; π[ et l affixe de M est e iθ M appartient à C équivaut à ΩM = r, c est à dire z ω r = Le point N d affixe z ω est un point de C 0 D après ce qui précède, cela revient à dire qu il existe θ de r ] π; π[ tel que z ω = e iθ ce qui donne z = ω + re iθ r L Economie - Management - Gestion, Semestre Année 009/00

13 8 Ecriture complexe d une rotation Théorème : Ω est le point d affixe ω, θ est un réel La proposition :«r est la rotation de centre Ω et d angle θ» équivaut à la proposition :«r a pour écriture complexe z ω = e iθ z ω» Démonstration : équivaut à rω = Ω et pour tout point M Ω, d image M, ΩM = ΩM et ΩM, ΩM = θ mod π c est à dire z ω z z ω = et arg ω = θ mod π, ce qui donne z ω z ω z ω = e iθ, soit z ω = e iθ z ω Mais cette égalité est également vraie pour z = ω M = Ω Donc les propositions et sont équivalentes Cas particulier : la rotation de centre O et d angle θ a pour écriture complexe : z = e iθ z Exercice : La transformation T a pour équation complexe z = iz + + Démontrer qu il existe un seul point M tel que T M = M On note Ω ce point et ω son affixe Vérifier que z ω = iz ω En déduire la nature de la transformation T z et z sont les affixes respectives de M et T M T M = M équivaut à : z = iz + + Or cette équation admet pour unique solution ω = + i = i T a donc pour unique point invariant, le i point Ω d affixe i z i = iz + + i = iz + = iz i Comme i = e i π, z = iz + + s écrit z i = e i π z i On reconnaît l écriture complexe de la rotation de centre Ω et d angle π L Economie - Management - Gestion, Semestre Année 009/00