TRIGONOMÉTRIE. I Cercle trigonométrique - Radian. Définition. Remarques. Exemples ( voir animation )

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1 TRIGNMÉTRIE I Cercle trigonométrique - Radian sens trigonométrique M Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( i, j ). n appelle cercle trigonométrique le cercle de centre et de rayon 1, sur lequel on définit un sens de parcours appelé sens trigonométrique et correspondant au sens inverse des aiguilles d'une montre. s Le périmètre du cercle trigonométrique est égal à. n considère la droite graduée tangente au cercle en I(1 0). Pour un réel repéré sur la droite, on considère le point M que l'on obtiendrait sur le cercle trigonométrique par "enroulement" de sur le cercle. n dit que M est l'image sur le cercle du réel. I Eemples ( voir animation ) Le périmètre du cercle trigonométrique étant égal à, le point correspondant à est obtenu en parcourant, dans le sens trigonométrique, un demi-cercle à partir de I. le point correspondant à est obtenu en parcourant, dans le sens trigonométrique, la moitié d'un demi-cercle à partir de I. le point correspondant à est obtenu en parcourant, dans le sens trigonométrique, le tiers d'un demi-cercle à partir de I. le point correspondant à - est obtenu en parcourant, dans le sens inverse du sens trigonométrique (appelé sens rétrograde), le quart d'un demi-cercle à partir de I. - Eercice 01 ( voir animation ) Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondant à Eercice 0 ( voir animation ) Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondant à Eercice 0 ( voir animation ) Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondant à ère S Trigonométrie page 1 /

2 II Angles orientés - Mesures M n considère sur le cercle trigonométrique, le point M image du réel. n dit que est une mesure en radians de l'angle orienté ( I M) noté plus simplement ( I M). I Correspondances degrés radians 0 Les mesures d'un angle en degrés et en radians sont proportionnelles. Le coefficient de proportionnalité est de pour passer des degrés au radians et de des radians au degrés. pour passer Deu vecteurs u et v non nuls déterminent un angle orienté noté ( u v ). En considérant un cercle trigonométrique, on définit une mesure en radians de l'angle orienté ( u v ). v u I Si k et k' sont des réels strictement positifs, les mesures des angles (k u k' v ) et ( u v ) sont identiques. Propriété (admise) Soit ( u v ) un angle orienté et une mesure en radians de ( u v ). L'ensemble des mesures de l'angle orienté ( u v ) est l'ensemble des réels + k avec k ZZ. c'est-à-dire qu'un angle est mesuré à un certain nombre de tours de cercle près. (l'entier k représente ce nombre de tours) L'angle orienté ( u v ) a une et une seule mesure dans l'intervalle ]- ], cette mesure est appelée mesure principale de l'angle ( u v ). s n assimilera souvent un angle orienté à ses mesures. Ainsi on pourra écrire ( u v ) = ou ( u v ) = + k k ZZ ou ( u v ) = []. on n'écrira jamais = 5 qui est une égalité fausse entre deu réels mais = 5 []. Pour que deu réels et y soient des mesures du même angle orienté ( u v ), il faut et il suffit que y - soit un multiple entier de (c'est-à-dire y - = k avec k ZZ ). n écrira y - = 0 [] ou y = [] Eercice 0 Déterminer les mesures principales des angles dont les mesures sont : ère S Trigonométrie page /

3 Eercice 05 ( voir animation ) Dans le plan rapporté au repère orthonormé ( i, j ) placer les points M 1, M, M et M tels que : M 1 = et ( i M 1 ) = M = 1 et ( i M ) = M = et ( i M ) = 11 M = et ( i M ) = 7 Eercice 0 Soit ABCD un carré de centre tel que ( AB, AD) = + (on dit que ABCD est un carré direct). Déterminer une mesure (en radians) de chacun des angles (aucune justification n est demandée) : ( AC) ( B BC) ( DC DA) ( A C) ( C DA) ( C BC) ( DB AB ) ( A CB) Propriétés (voir justification 01) Pour tout vecteur non nul u, on a : ( u u ) = 0 [] ( u - u ) = [] Pour tous vecteurs non nuls u, v, on a : ( v u ) = - ( u v ) (- u - v ) = ( u v ) ( u - v ) = ( u v ) + [] et si k et k' sont deu réels strictement positifs (k u k' v ) = ( u v ) Pour tous vecteurs non nuls u, v et w, on a : ( u v ) + ( v w ) = ( u w ) (Relation de Chasles) Propriétés (voir justification 0) Soient u et v deu vecteurs non nuls u et v sont colinéaires et de même sens ( u v ) = 0 [] u et v sont colinéaires et de sens contraire ( u v ) = [] u et v sont colinéaires ( u v ) = 0 [] c'est-à-dire ( u v ) = 0 + k avec k ZZ Eercice 07 n considère deu vecteurs u et v tels que ( u v ) = [] Déterminer ( u - v ) (- u v ) ( v - u ) (- u - v ) Eercice 08 1 ) Soit ABC un triangle. Démontrer que ( AC) + ( BC BA ) + ( CA CB) = []. ) Soit ABC un triangle équilatéral tel que ( AC) = - []. Montrer qu'il n'est pas possible d'avoir ( BC BA ) = + []. En déduire que ( BC BA ) = - []. Justifier de même que ( CA CB) = - []. ) Soit ABC un triangle équilatéral tel que ( AC) = - []. - v 1 u Soient A', B' C' les milieu respectifs de [BC] [AC] [AB]. Déterminer ( AC AB ) ( BA BA') ( CA' CB') ( A'C C'A) ( B'A C'B) (on justifiera) 1ère S Trigonométrie page /

4 III Cosinus et sinus d'un nombre réel ( voir animation ) n dit qu'un repère orthonormé ( i, j ) est direct lorsque ( i j ) = + []. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, si M est le point du cercle trigonométrique image du réel, l'abscisse de M est appelée cosinus de, elle est notée cos() ou cos. l'ordonnée de M est appelée sinus de, elle est notée sin() ou sin. 1 sin M cos 1 Eercice 09 Donner les valeurs de : cos 0 sin 0 cos sin cos sin cos sin cos sin cos - sin - Propriétés (voir démonstration 0) Pour tout réel, on a : - 1 cos 1-1 sin 1 cos + sin = 1 (L'epression cos désigne le carré de cos c'est-à-dire (cos ) et de même sin désigne (sin ) ) Eercice 10 est un réel tel que 0 et cos = 1. Calculer la valeur de sin. est un réel tel que - et sin = - 1. Calculer la valeur de cos. est un réel tel que et cos = 1. Calculer la valeur de sin. est un réel tel que 0 et sin =. Calculer la valeur de cos. 0 sin 0 cos 1 Valeurs particulières (voir démonstration 0) ( voir animation ) n appelle fonction cosinus la fonction : n appelle fonction sinus la fonction : cos : IR IR cos sin : IR IR sin Propriétés (voir démonstration 05) Pour tout réel : cos( + ) = cos et sin( + ) = sin n dit que les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions périodiques de période. Pour tout réel : cos(- ) = cos et sin(- ) = - sin n dit que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire. 1ère S Trigonométrie page /

5 Pour tout réel : Propriétés (voir démonstration 0) ( voir animation ) sin + = cos cos sin - = cos cos + = - sin - = sin - + sin - sin ( + ) = - sin cos ( + ) = - cos cos sin ( - ) = sin cos ( - ) = - cos + Il faut savoir retrouver toutes ces égalités à partir du dessin. Les relations sin - = cos et cos - = sin sont particulièrement importantes car elles permettent de transformer un cosinus en sinus et un sinus en cosinus Propriétés : Formules d'addition (voir démonstration 07) n a cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b cos (a- b) = cos a cos b + sin a sin b sin (a- b) = sin a cos b - cos a sin b Eercice 11 En remarquant que Eercice 1 1 = -, trouver les valeurs eactes de cos 1 et sin 1 Eprimer en fonction de cos et sin : cos - sin + sin - cos - sin - sin - Propriétés : Formules de duplication (voir démonstration 08) cos (a) = cos a - sin a = cos a - 1 = 1 - sin a Eercice 1 Eprimer en fonction de cos et sin : cos - sin ( + ) cos + Eercice 1 Eprimer en fonction de cos et sin : cos - sin + cos + sin sin + sin (a) = sin a cos a - Eercice 15 En utilisant les formules de duplication, déterminer les valeurs de cos 1 et sin 1. Vérifier que cos 1 = + et sin 1 = - Eercice 1 n considère un réel α tel que α et sin α = 1 Calculer les valeurs eactes de cos α sin α cos α sin α cos α 1ère S Trigonométrie page 5 /

6 IV Résolutions d'équations Propriété (admise) L'équation cos = cos α où est l'inconnue et α un réel fié, a pour solutions : α + k et - α + k avec k ZZ L'équation cos = 0 a pour ensemble de solutions + k - + k avec k ZZ. Cet ensemble peut aussi s'écrire sous la forme (k + 1) k ZZ. cos α α + k -α + k Propriété (admise) L'équation sin = sin α où est l'inconnue et α un réel fié, a pour solutions : α + k et - α + k avec k ZZ L'équation sin = 0 a pour ensemble de solutions { 0 + k + k avec k ZZ. }. Cet ensemble peut aussi s'écrire sous la forme {k avec k ZZ }. Eemple Pour résoudre l'équation cos = 1 cos = 1 cos = cos = on pourra écrire : + k ou = - avec k ZZ + k - α + k sin α α + k L'ensemble des solutions de l'équation cos = 1 est donc - + k + k avec k ZZ. Eercice 17 Résoudre dans IR les équations et représenter les solutions sur un cercle trigonométrique. sin = 1 cos = cos = - 1 sin = Eercice 18 Résoudre dans IR les équations et représenter les solutions sur un cercle trigonométrique. cos = cos sin = cos = - cos + 1 = 0 7 Eercice 19 Résoudre dans IR chacune des équations suivantes, représenter les solutions sur un cercle trigonométrique puis donner les solutions dans [- ]. sin = 1 cos sin = 1 cos = sin Eercice 0 Résoudre dans IR les équations : sin - 1 = 0 cos + cos = 0 cos + cos - 1 = 0 sin - sin - = 0 1ère S Trigonométrie page /