MODULE 10 La fonction tangente

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1 MODULE La oncton tanente Corré, p Préparaton a) Ou, Caterne a rason Sot ABC, un tranle rectanle dont les anles correspondant au sommets sont appelés a, b et c On suppose que l anle c est l anle drot du tranle Voc à quo ressemble le tranle: B b a C A Ans, on obtent : BC AC tan( a) et tan( b) AC BC Dans les deu cas, l s at du rapport entre les mesures des deu catètes b) Pour tous les anles dont la valeur est éale à 8 derés, où est un nombre naturel ( nclus) : deré, 8 derés, derés, 5 derés, et ans de sute c) Pour tous les anles dont la valeur est éale à 58 derés, où est un nombre naturel ( nclus) : 5 derés, 5 derés, 5 derés, 585 derés, et ans de sute d) Ou Par eemple, en a), tan( b) AC est un rapport supéreur à pusque le côté AC est plus lon BC que le côté BC e) Pour tous les anles dont la valeur est éale à 98 derés, où est un nombre naturel ( nclus) : 9 derés, 7 derés, 5 derés, derés, et ans de sute Pour passer d une mesure d anle en radans à une mesure d anle en derés, on utlse la ormule suvante : radans derés a) 9 derés 9 b) derés c) derés d) 5 derés 5 8 e) derés 7 ) 7 derés 8 7 Module La oncton tanente

2 Corré, p (sute) ) 8 derés 8 ) 5 derés Dans ce numéro, on se sert de la proprété suvante de la oncton tanente : tan( a) tan( ) où a est un nombre naturel et est une mesure d anle en radans a) tan tan Les coordonnées du pont sur le cercle tronométrque sont, Ans, tan b) Les coordonnées du pont sur le cercle tronométrque sont, Ans, tan c) tan tan Les coordonnées du pont sur le cercle tronométrque sont, Ans, tan d) Le rapport est ndétermné tan tan Les coordonnées du pont sur le cercle tronométrque sont (, ) Ans, tan Ce rapport est donc ndétermné e) 5 tan tan Les coordonnées du pont sur le cercle tronométrque sont Ans, tan ) Les coordonnées du pont sur le cercle tronométrque sont (, ), Module AITHMÉTIQUE ET ALGÈBE Ans, tan( )

3 Corré, p 7 Actvté er temps a) On peut eprmer la auteur du bâtment en oncton de la mesure de l anle de dépresson de la açon suvante: 5 tan 5 tan 5 tan On peut eprmer la auteur du bâtment en oncton de la mesure de l anle d élévaton de la açon suvante : 5 tan 5 tan 5 tan S l on eprme les anles de dépresson ( ) par des nombres néats et les anles d élévaton ( ) par des nombres posts, on peut eprmer la auteur, en mètres, attente par le bâtment en oncton de la mesure, en derés, de l anle (de dépresson ou d élévaton) par une seule équaton, sot 5 tan b) Lorsque l arpenteur-éomètre mesurera un anle de deré, selon la stuaton, le bâtment devrat être à la auteur de la lne orzontale de vsée Cela sne que le bâtment devrat alors mesurer eactement 5 mètres de aut à partr des ondatons En remplaçant par dans l équaton trouvée en a), on obtent: 5 tan c) 5 tan À l ade de la calculatrce, on trouve que tan, 89 Donc, 5(, 89) 5, 85 5, 8 Pour un anle d élévaton de derés, la auteur du bâtment est d envron 5,8 mètres depus ses ondatons e temps Actvté d écane et de valdaton Les auteurs sont réalstes s elles sont comprses entre et 5,8 mètres (qu est la auteur nale du bâtment trouvée en c)) Cela correspond à des mesures d anles comprses entre,8 derés et derés e temps Actvté d écane et de valdaton Les nconvénents occasonnés par un tel canement de repère seraent, entre autres, relés au at que les anles que l arpenteur-éomètre aurat à mesurer seraent comprs dans un ntervalle beaucoup plus rand que de,8 derés à derés Ans, pour observer le bâtment au début et à la n de sa constructon, l devra postonner son apparel de açon presque vertcale, ce qu correspondra à des mesures d anles très randes ou très pettes (selon qu l s ara d anles posts ou néats) De plus, de mnmes canements de mesures d anles correspondront à de rands canements de auteur; la précson sera alors très mportante Ce canement de stuaton entraînera une modcaton du paramètre valant dans l équaton 5 tan trouvée en a) Module La oncton tanente

4 Corré, p 8 Actvté Parte,,,,8, 8, 8,8 (derés) ( ) tan ,577,7 Impossble,7, 5,,,577 Domane Imae Crossance et décrossance \, 7, 9, 9, 7, \{ 9( n), oùn Z } { } La oncton est crossante 5,577,7 Zéro(s) Ordonnée à l orne Sne 8n, où n Z La oncton est postve sur les ntervalles suvants: [8n, 9 8n[, où n Z ou [8n, (n )9[ La oncton est néatve sur les ntervalles suvants: ] 9 8n, 8n], où n Z ou ](n )9, 8n] Impossble,7,577,577 Etremums 5,7 7 Impossble Actvté d écane et de valdaton En comparant le rapque de la oncton tanente avec les rapques des autres onctons étudées auparavant, on peut constater qu l comporte pluseurs caractérstques que l on observe sur les rapques des autres onctons Ans, on peut remarquer que la oncton tanente n est pas contnue (l est mpossble de la tracer sans lever le craon), tout comme les onctons parte entère et ratonnelle De plus, elle est pérodque, tout comme les onctons snusoïdales Fnalement, le rapque de la oncton tanente comprend des asmptotes, tout comme ceu des onctons eponentelle, loartmque et ratonnelle Module AITHMÉTIQUE ET ALGÈBE

5 Corré, p 8 (sute) Actvté (sute) Parte 5 Domane Imae Crossance et décrossance Zéro(s) Ordonnée à l orne Sne Etremums,,,,8,,,8,,, 5 \,,,,, \ n, n Z où ou \ ( n) oùn Z La oncton est crossante n, où n Z La oncton est postve sur les ntervalles suvants: n, n, ou n( n), où n Z La oncton est néatve sur les ntervalles suvants: n, n, ou ( n), n, où n Z (radans) ( ) tan ,577,7 Impossble,7,577,577,7 Impossble,7,577,577,7 Impossble Actvté d écane et de valdaton La oncton tanente est une oncton qu n est pas contnue pusque la courbe de cette dernère est nterrompue (l est mpossble de tracer une oncton tanente sans lever le craon) Les onctons parte entère et ratonnelle sont des onctons que les élèves ont déjà étudées et qu ne sont pas contnues Module La oncton tanente 5

6 Corré, p 9 Actvté (sute) Parte a) a, b, et k b) Pluseurs descrptons possbles Eemple: Pour le paramètre a: en asant varer la valeur du paramètre a (sans caner son sne), on observe une dlataton ou une contracton vertcale du rapque S l on ne cane que le sne du paramètre a, on observe une réleon du rapque par rapport à l ae des abscsses Pour le paramètre b: en asant varer la valeur du paramètre b (sans caner son sne), on observe une dlataton ou une contracton orzontale du rapque S l on ne cane que le sne du paramètre b, on observe une réleon du rapque par rapport à l ae des ordonnées Pour le paramètre : en asant varer la valeur du paramètre, on observe une translaton orzontale du rapque Pour le paramètre k: en asant varer la valeur du paramètre k, on observe une translaton vertcale du rapque c) À partr de l équaton canonque () a tan(b( )) k, on peut détermner: la pérode dont la valeur correspond à P, b P les équatons des asmptotes, qu sont dénes ans: np où n Z, les coordonnées du pont mleu d un ccle qu correspond à (, k) Parte Actvté d écane et de valdaton En consdérant le rapque de la oncton tanente de base et en asant varer la valeur des dérents paramètres de l équaton sous la orme canonque (ndépendamment l un de l autre), on peut constater que le rapque obtenu à la sute de caque modcaton correspond à l mae du rapque de la oncton de base par dverses transormatons éométrques du plan Ans, cette mae est obtenue: par une translaton orzontale dont le nombre d untés est ndqué par le paramètre ; par une translaton vertcale dont le nombre d untés est ndqué par le paramètre k; par contracton ou dlataton orzontale sous l nluence du paramètre b; par contracton ou dlataton vertcale sous l nluence du paramètre a Fnalement, la varaton des snes des paramètres a et b aura une nluence sur le rapque en entraînant une réleon orzontale ou vertcale du rapque, ce qu permettra de détermner la crossance ou la décrossance de la oncton entre deu asmptotes consécutves Ans, s ab (ou ont le même sne), la oncton est alors crossante entre deu asmptotes consécutves, et s ab (ou ont des snes contrares), elle est alors décrossante entre deu asmptotes consécutves Corré, p Actvté Démarces proposées pour trouver la valeur des proprétés au er temps: Pérode : à détermner avec la valeur du paramètre b dans l équaton canonque en procédant avec la ormule suvante: P b Domane : l aut retrer des nombres réels les valeurs de qu correspondent au équatons des asmptotes P en consdérant l équaton np, où n Z, à partr de l équaton canonque Imae : toujours les nombres réels Crossance et décrossance : à partr de l équaton canonque, s ab, la oncton est alors crossante entre deu asmptotes consécutves, et s ab, elle est alors décrossante entre deu asmptotes consécutves Module AITHMÉTIQUE ET ALGÈBE

7 Corré, p (sute) Zéros : on évalue la valeur d un zéro à l ade de l équaton Pus, on énéralse à l ade de la pérode Par eemple, pour : 5 tan 5 5 tan 5 tan tan, 5 9, 9 5, 7877 Pus, on énéralse à l ade de la pérode: 5, 7877 n, où n Z Ordonnée à l orne : on la détermne en résolvant l équaton canonque par la substtuton de par Par eemple, pour : 5 () tan 5 5 tan 5 5 (, 577) 5, 5, Sne : on le détermne à partr des équatons des asmptotes et de la valeur des zéros On énéralse le tout à l ade de la pérode Par eemple, pour : la oncton est postve sur les ntervalles suvants (n Z) : n, 5, 7877 n ; la oncton est néatve sur les ntervalles suvants (n Z) : 5, 7877 n, n Etremums : l n a jamas d etremums er temps ( ) tan 7,, 5,,,,, 5 5,,,, 5,, 7, Module La oncton tanente 7

8 Corré, p (sute) ( ) tan 5,,,,, 5,, 5,, 5, ( ) tan,,5,,5,,5 5 5,5,,5,,5, 5 ( ) tan 5 5,, 5,, 5,, 5, 5 5 5,, 5, 8 Module AITHMÉTIQUE ET ALGÈBE

9 Corré, p (sute) Proprété Équatons dénssant les onctons Pérode Domane Imae Crossance et décrossance Zéro(s) Ordonnée à l orne Sne Etremums ( ) tan \ n n Z La oncton est crossante n, où n Z La oncton est postve sur les ntervalles suvants (n Z): n, n La oncton est néatve sur les ntervalles suvants (n Z): n, n ( ) tan \ Z n n La oncton est décrossante n, où n Z La oncton est postve sur les ntervalles suvants (n Z): n, n La oncton est néatve sur les ntervalles suvants (n Z): n, n Proprété Équatons dénssant les onctons Pérode Domane Imae Crossance et décrossance Zéro(s) Ordonnée à l orne Sne Etremums ( ) tan \ n n Z La oncton est crossante n, où n Z La oncton est postve sur les ntervalles suvants (n Z): n, n La oncton est néatve sur les ntervalles suvants (n Z): n, n 5 ( ) tan 5 { \ n n Z La oncton est décrossante 5, 7877 n, où n Z, La oncton est postve sur les ntervalles suvants (n Z): n, 5, 7877 n La oncton est néatve sur les ntervalles suvants (n Z): 5, 7877 n, n } e et e temps Actvtés d écane et de valdaton Module La oncton tanente 9

10 Corré, p 7 Eercces a) ) ( ) tan ) ) ) ( ) tan 5 ( ) tan ( ) tan( ), 5,,,,, 5,, 5,, 5,, b) Le paramètre a) ) ) ) ) ( ) tan( ) 5 ( ) tan( ) ( ) tan( ) ( ) tan( ) 7,,8,,,,,,8, b) Le paramètre k Module AITHMÉTIQUE ET ALGÈBE

11 Corré, p 8 Eercces (sute) a) ) ) ) ( ) tan et j ( ) tan ( ) tan et ( ) tan ( ) tan, j,8,,,,,,8, b) Le paramètre a a) ( ) tan ( ) tan ( ) tan( ) ( ) tan j ( ) tan j j,,8, j,,,,,,8, b) Le paramètre b Module La oncton tanente