Correction et amélioration des performances des SLCI

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1 Correction et aélioration des perforances des SLCI Nous avons vu les paraètres influents sur les perforances des SLCI : pour avoir une bonne rapidité, il faut que le systèe ait un gain de la FTBO élevé, pour que le systèe soit précis, il faut un gain élevé et une FTBO ayant des intégrateurs. pour que le systèe soit stable, il faut que le gain de la FTBO ne soit pas trop élevé si le déphasage est de π. Il n existe donc pas de solution qui puisse rendre le systèe stable, précis et rapide à la fois.. Principe de la correction des SLCI Le principe de la correction des systèes est de odifier la FTBO en aenant son diagrae de Nyquist vers la fore souhaitée. Nous venons de voir qu il n est pas possible de odifier un systèe de façon à l avoir stable et précis/rapide. On intercale donc un correcteur dans les zones ou le transfert d énergie est le plus faible : E(p) + - ε(p) Correcteur Capteur Processus S(p) On aéliore ainsi les perforances d un systèe : On aéliore la stabilité en augentant et en diinuant le gain aux hautes fréquences On aéliore la rapidité et la précision en augentant le gain aux basses fréquences. 2. Principe de la correction proportionnelle Une correction proportionnelle est de la fore. Une correction proportionnelle provoque : une translation verticale dans le diagrae de Bode en gain une hoothétie de centre l origine dans le diagrae de Nyquist. Un correcteur qui augente le gain de la FTBO d un systèe provoque généraleent : un systèe oins stable, un systèe plus précis, un systèe plus rapide. Déterination du gain du correcteur : On déterine le gain du correcteur par réglage : soit de la arge de gain. soit de la arge de phase. Exeple : Soit le systèe de FTBO non corrigée FTBO(p)= p 2 +,22p+ de Nyquist de cette FTBO. ( )( ) 3p+. On donne le diagrae

2 2.5 Point critique I(FTBO(jω)) Re(FTBO(jω)) Ce systèe n est pas stable. Pour le rendre stable, on doit diinuer le gain de anière à ce que le point critique soit laissé à gauche dans le diagrae de Nyquist. On prend un correcteur proportionnel de C p =K. fonction de transfert ( ) Réglage de K par la arge de gain : On souhaite que le systèe soit stable avec une arge de gain de db. Le systèe non corrigé est tel que ω -π =.3 rad/s. Le gain pour ω -π =.3 rad/s est de 2,7 db. Le correcteur proportionnel ne odifie pas la phase, donc pour le systèe corrigé, ω -π =.3 rad/s.

3 On veut que 2log FTBO ( ω -π ) =-db. On a donc 2logK+2.7=-dB, donc K= =, Systèe non corrigé Systèe corrigé K=, Réglage par la arge de phase : On veut rendre le systèe stable avec une arge de phase de 45. Pour le systèe non corrigé, ω db=,6 rad/s et ω db'=,8rad/s etω -35 =,94 rad/s. On veut que le gain soit nul pour ω -35 =,94 rad/s. Le gain du systèe non corrigé est de 3,4 pour On a donc : 2logK+3,4=dB et donc K= =,7. ω =,94 rad/s. On veut que : ( ) 2log FTBO ω =db Systèe non corrigé Systèe corrigé K=,

4 .5 Entrée Systèe non corrigé Systèe Corrigé K=,25 Systèe Corrigé K=,7 Signaux Teps (s) 3. Principe de la correction proportionnelle intégrale Pour rendre un systèe plus précis, nous avons vu qu il faut augenter le nobre d intégrateurs dans la FTBO. On prend donc un correcteur de la fore C( p ) =K +. T i p Le but de ce correcteur est d introduire un gain infini aux basses fréquences, ce qui rend le systèe plus précis, ais il diinue la phase de 9, ce qui peut rendre le systèe instable logK - T i

5 Déterination des paraètres K et T i : On veut que le correcteur de odifie pas la phase dans la zone ou le gain change de signe ou lorsque la phase passe -8. On va donc placer Ti tel que ωdb ouω-π T. i Reprenons l exeple précédent où FTBO(p)=. L introduction d un correcteur p 2 +,22p+ 3p+ ( )( ) proportionnel de gain,25 stabilise le systèe avec une arge de gain de db. La phase vaut -8 pour une pulsation de ω -π =.3 rad/s. Prenons T i = s Systèe non corrigé Systèe corrigé PI Entrée Systèe non corrigé Systèe Corrigé PI 2 Signaux - On a bien annulé l erreur statique Teps (s)

6 4. Principe de la correction dérivée Le but de la correction dérivée est de rendre un systèe stable et de le rendre plus rapide. C p =K +T p.ce correcteur On utilise un correcteur dont la fonction de transfert est ( ) ( ) d rajoute de la phase dans la zone des pulsations voisines de T. d log K T d 45 Exeple : Reprenons FTBO(p)= p +,22p+ 2 ( )( ) 3p+. On désire stabiliser le systèe et avec une erreur statique de /. Les exigences de précision iposent K=. Choisissons ici Td=8 s. On constate que cela odifie la phase telle qu elle est toujours supérieure à -8. Le systèe est alors stable.

7 Systèe non corrigé Systèe Corrigé PD Entrée Systèe non corrigé Systèe Corrigé K=,25 Systèe Corrigé PD Signaux Teps (s) On a ainsi rendu le systèe plus rapide à précision égale.

8 5. Correction PID Les correcteurs PI et PD agissant sur des bandes de pulsations différentes, il peut être judicieux de les associer en un correcteur PID de fonction de transfert C( p ) =K + +Td p. Ti p Correction à avance de phase Les correcteurs PI purs et PD purs étant irréalisables physiqueent, on leur préfère les correcteurs à avance et à retard de phase. +atp C p = avec +Tp Un correcteur à avance de phase est un correcteur de fonction de transfert ( ) a- a>. On a ϕ =arcsin. A précision égale, ce correcteur rend le systèe plus stable. a+

9 log a Ce correcteur est souvent associé à un correcteur proportionnel (gain K). Réglage de K, a et T : On déterine K les exigences de précision. On ajuste ω de anière à ce qu elle corresponde à la pulsation de coupure de la FTBO corrigéeω dbc. Cette pulsation correspond au critère de rapidité du cahier des charges. Si cette pulsation n est pas iposée, on choisit usuelleent la pulsation pour laquelle on souhaite l apport axial de phase. + sinϕ La arge de phase iposée M ϕc =45 = ϕ ( ω dbc ) +8 + ϕ. On en déduit ϕ et donc a =. sinϕ On calcule enfin T=. ω a dbc Exeple : Soit un systèe de ( ) (arge de gain infinie). ϕ at ( ) T a T FTBO p = p +,p. Ce systèe est stable avec une arge de phase de 52

10 Mφ On souhaite le corriger de anière à avoir : une arge de phase de 45 une erreur de traînage de % une pulsation de gain nul égale àω dbc = 5 rad/s. Pour que l erreur de traînage soit de %, on doit avoir un gain de en FTBO. On prend K=. Le systèe est encore stable ais la arge de phase baisse à 8 ( ω =3,2rad/s ). db Systèe corrigé K= Mφ On souhaite une arge de phase de 45 et φ( ω dbc ) =-68 donc on choisit +sinφ + sin 33 -sinφ sin 33 a= = = 3,4.

11 On choisit T= =,3 s. ω a dbc Systèe corrigé K= Systèe corrigé avance phase -35 Mφ Mφ c Correction à retard de phase Un correcteur à retard de phase est un correcteur de fonction de transfert ( ) b>. Il aéliore la précision du systèe en conservant la arge de stabilité. Ce correcteur est souvent associé à un correcteur proportionnel (gain K). +Tp C p = avec +btp

12 φ bt T b T Réglage de K, b et T : On ajuste K avec les exigences de précision. On ipose usuelleent une phase de -5,7 pour le correcteur pour ω dbc. ϕ ( ω dbc ) doit être égale à 8 + Mφ +5,7, on en déduit ω dbc. On trouve ainsi la valeur qui doit être copensée par le correcteur 2log b. On en déduit b. +Tjω On calcule enfin T tel que Arg =-5,7 +btjω -b On a ϕ =arcsin. +b Exeple : Reprenons l exeple précédent ( ) une arge de phase de 45 l erreur de traînage soit de %. ( ) On prend K=. La arge de phase est de 8 pourω =3,2rad/s. FTBO p = p +,p. On souhaite avoir db ϕ ( ω dbc ) doit être égale à ,7 =29,3. On en déduit que ω dbc =8,2rad/s. Le correcteur doit baisser le gain de environ 2dB, soit On en déduit T=, s. 2 2 b= =.

13 Systèe corrigé K= Systèe corrigé retard phase Mφ c Mφ Retenir de anière générale : L augentation du gain entraîne une augentation de la précision et de la rapidité ais diinue la stabilité. L action dérivée à avance de phase peret, à précision égale, de rendre le systèe plus stable. L action intégrale à retard de phase peret, à stabilité égale, de rendre le systèe plus précis.

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