Dérivation de fonctions, cours, terminale STG

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Nathalie Raymond
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1 Dérivation de fonctions, cours, terminale STG F.Gaudon 7 mai 009 Table des matières 1 Suites arithmétiques 1.1 Propriétés des suites arithmétiques Sommes de termes Suites géométriques 5.1 Propriétés des suites géométriques Sommes de termes

2 1 Suites arithmétiques 1.1 Propriétés des suites arithmétiques Dénition : Soit r un nombre réel. On appelle suite arithmétique de raison r toute suite dénie par son premier terme et pour tout entier naturel n par la relation : u n+1 = u n + r Soit (u n ) la suite dénie par u 0 = 56 et u n+1 = u n 4. (u n ) est une suite arithmétique de raison -4. On a u 1 = u 0 4 = 56 4 = 5, u = 5 4 = 48, u 3 = 48 4 = 44. Propriété (expression en fonction de n) : Si (u n ) n est une suite arithmétique de raison r, alors : si le premier terme est u 0, alors pour tout entier n, u n = u 0 + nr si le premier terme est u 1, alors pour tout entier n, u n = u 1 + (n 1)r De manière plus générale, pour tous les entiers naturels n et p avec p < n on a : u n = u p + (n p)r Soit (u n ) la suite arithmétique de raison -4 et de premier terme u 0 = 56. On a par exemple, u 1 = u 0 + 1r = ( 4) = 8 ou encore u 15 = u 1 + 3r = ( 4) = 8 1 = 4. Soit (u n ) une suite de premier terme u 0. (u n ) est arithmétique si et seulement si il existe un nombre réel r tel que pour tout entier naturel n u n+1 = u n + r si et seulement il existe deux nombres réels a et b tels que pour tout entier naturel n, u n s'écrit u n = an + b. Dans ce dernier cas on a u 0 = b et la raison de la suite est a. http: // mathsfg. net. free. fr

3 Soit la suite (u n ) dénie par u n = 3 + (n 1). u n s'écrit u n = 3 + n donc u n = 5 + n donc elle est arithmétique de raison r = et de premier terme u 0 = 5. On considère une suite (u n ). (u n ) est une suite arithmétique si et seulement si les points constituant sa représentation graphique dans un repère du plan sont alignés. On considère une suite arithmétique de raison r. Si r > 0 alors la suite est strictement croissante ; si r < 0 alors la suite est strictement décroissante ; si r = 0 alors la suite est constante. Soit (u n ) une suite arithmétique et p et n deux entiers naturels distincts. Alors la raison r de la suite est donnée par : r = u n u p n p Soit (u n ) une suite arithmétique vériant u 10 = 34 et u 16 = 43. On recherche la raison de la suite. On a u 16 = u r où r est la raison de la suite. D'où 43 = r c'est à dire r = = 1, Sommes de termes Pour tout entier naturel n, n = n(n + 1) Pour toute suite arithmétique (u n ) n et tout entier naturel n : u 0 + u 1 + u u n = (n + 1)(u 0 + u n ) ou pour tout entier naturel p < n, u p + u p u n 1 + u n = nombre de termes (premier terme + dernier terme) http: // mathsfg. net. free. fr 3

4 Preuve : On a : ( n) + ( n) = ( n) + (n + (n 1) + (n ) ) = (1 + n) + ( + (n 1)) + (3 + (n )) ((n 1) + ) + (n + 1) = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) = n(n + 1) donc ( n) = n(n + 1) d'où le résultat. On a : u 0 + u u n 1 + u n = u 0 + (u 0 + r) + (u 0 + r) (u 0 + (n 1)r) + (u 0 + nr) = (n + 1)u 0 + (r + r + 3r (n 1)r + nr) = (n + 1)u 0 + r( (n 1) + n) n(n + 1) = (n + 1)u 0 + r = (n + 1)u 0 + rn(n + 1) = (n + 1) u 0 + u 0 + nr = (n + 1) u 0 + u n Un cycliste décide de reprendre l'entraînement en vue d'une course de la manière suivante : le premier jour il parcourt 50 km et chaque jour suivant il parcourt 10 km de plus. On dénit ainsi une suite arithmétique (u n ) où u n est la longueur parcourue le n ième jour. (u n ) a donc pour raison 10 et pour premier terme u 1 = 50. Le 7 e jour, le cycliste aura parcouru = 110km. Après 7 jours d'entraînement le cycliste aura parcouru au total u 1 + u u 7 = = 560 soit 560 km cumulés. http: // mathsfg. net. free. fr 4

5 Suites géométriques.1 Propriétés des suites géométriques Dénition : Soit q un réel. On appelle suite géométrique de raison q toute suite dénie par son premier terme u 0 (ou u 1 ) et telle que pour tout entier naturel n 0 (ou n 1) : u n+1 = qu n Soit (u n ) la suite dénie par u 1 = 3 et u n+1 = u n pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1. (u n ) est une suite géométrique de raison. On a u = 3 = 6, u 3 = 6 = 1, u 4 = 1 = 4, etc. Propriété (expression en fonction de n) : Si (u n ) n est une suite géométrique de raison q et de premier : u 0, alors u n = q n u 0 ; u 1, alors u n = q n 1 u 1. De manière plus générale, si p et n sont des entiers naturels tels que p < n, on a : u n = u p q n p Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 = 5 et de raison q =. On a par exemple u 1 = u 0 q 1 = 5 1 = = Soit (u n ) une suite de premier terme u 0. La suite (u n ) est une suite géométrique si et seulement si il existe un réel q tel que pour tous les entiers naturels n, u n+1 = qu n si et seulement si il existe deux nombres réels a et b tels que pour tout entier naturel n, u n = ab n. Dans ce dernier cas, on a u 0 = a et la raison de la suite est b. La suite (v n ) dénie par v n = 3 n. v n s'écrit 3 1 n donc 3 ( 1 )n d'où la suite (v n ) est géométrique de raison 1 et de premier terme 3. http: // mathsfg. net. free. fr 5

6 Soit q un réel strictement positif diérent de 1 et u 0 un réel strictement positif. On considère la suite (u n ) dénie par u n = u 0 q n pour tout entier naturel n. Si q > 1, alors la suite (u n ) est strictement croissante et pour tout entier M aussi grand que l'on veut, on peut trouver un rang n tel que pour tous les rangs plus grands que n les valeurs de (q n ) sont au dessus de M entier. On dit que la suite a pour limite + et on écrit lim n + u n = + ; si 0 < q < 1, alors la suite (u n ) est strictement décroissante et pour tout nombre m strictement positif aussi petit que l'on veut, on peut trouver un entier n tel que pour tous les rangs supérieurs à n, les valeurs de (q n ) sont plus petites que m. On dit la suite (q n ) a pour limite 0 et on écrit lim n + u n = 0. Soit (u n ) la suite géométrique de raison 1 3. Comme la raison est inférieure strictement à 1, la suite (u n) est décroissante strictement et admet pour limite 0.. Sommes de termes Si (u n ) n est une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0, alors si n est un entier naturel supérieur ou égal à 1, on a : si q = 1, u 0 + u u n = (n + 1)u 0 ; si q 1, u 0 + u u n = u 0(q n+1 1) q 1 ou plus généralement pour tout entier p inférieur à n u p + u p u n 1 + u n = premier terme raisonnombre de termes 1 raison 1 Preuve : On a u 0 + u 1 + u u n 1 + u n+1 = u 0 + u 0 q + u 0 q + u 0 q u 0 q n 1 + u 0 q n = u 0 (1 + q + q q n 1 + q n ) Or, pour tout réel q 1, (q 1)(1 + q + q q n 1 + q n ) = q n+1 1. Donc u 0 + u 1 + u u n 1 + u n+1 = u 0 q n+1 1 q 1. http: // mathsfg. net. free. fr 6

7 Si q = 1, u 0 + u 1 + u u n 1 + u n+1 = u 0 ( n n ) = u 0 (n + 1). Une personne doit, pour rembourser un prêt, verser 1500 euros la première année, puis 5% de plus par an chaque année pendant 19 ans. On considère la suite géométrique (v n ) de raison 1,05 et de premier terme On a v 0 + v v 19 = 1, , , 93 Au bout de 0 ans la somme remboursée s'élève à ,93 euros. http: // mathsfg. net. free. fr 7

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