eduscol Consultation nationale sur les programmes Mathématiques enseignement obligatoire spécifique (STL spécialité biotechnologies)

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1 eduscol Cosultatio atioale sur les programmes Projet de programme de la classe termiale de la voie techologique Mathématiques eseigemet obligatoire spécifique (STL spécialité biotechologies) L'orgaisatio de la cosultatio des eseigats est cofiée aux recteurs, etre le ludi 28 mars et le vedredi 13 mai Parallèlemet au dispositif mis e place das les académies par les IA-IPR, les cotributios peuvet être evoyées depuis eduscol.educatio.fr/cosultatio 28 mars 2011 MENJVA/DGESCO eduscol.educatio.fr/cosultatio

2 Mathématiques Cycle termial de la série techologique STI2D - STL L eseigemet des mathématiques au collège et au lycée a pour but de doer à chaque élève la culture mathématique idispesable à sa vie de citoye et les bases écessaires à so projet de poursuite d études. Le cycle termial des séries STI2D et STL permet l acquisitio d u bagage mathématique qui favorise ue adaptatio aux différets cursus accessibles aux élèves, e développat leurs capacités à mobiliser des méthodes mathématiques appropriées au traitemet de situatios scietifiques et techologiques et, plus largemet, e les format à la pratique d ue démarche scietifique. L appretissage des mathématiques cultive des compéteces qui facilitet ue formatio tout au log de la vie et aidet à mieux appréheder ue société e évolutio. Au-delà du cadre scolaire, il s iscrit das ue perspective de formatio de l idividu. Objectif gééral Outre l apport de ouvelles coaissaces, le programme vise le développemet des compéteces suivates : mettre e œuvre ue recherche de faço autoome ; meer des raisoemets ; avoir ue attitude critique vis-à-vis des résultats obteus ; commuiquer à l écrit et à l oral. Mise e œuvre du programme Le programme s e tiet à u cadre et à u vocabulaire théorique modestes, mais suffisammet efficaces pour l étude de situatios usuelles et assez riches pour servir de support à ue formatio solide. Pour favoriser la progressivité de l orietatio, le programme est commu aux différetes spécialités de STI2D et de STL. Toutefois, au iveau de la classe termiale, les programmes de STI2D-STL physiquechimie d ue part, de STL biotechologie d autre part, fot l objet de quelques différeces afi de les adapter au mieux aux spécificités des filières. C est au iveau du choix des situatios étudiées qu ue diversité s impose e foctio de chaque spécialité et de ses fialités propres. Les eseigats de mathématiques doivet avoir régulièremet accès aux laboratoires afi de favoriser l établissemet de lies forts etre la formatio mathématique et les formatios dispesées das les eseigemets scietifiques et techologiques. Cet accès permet de : predre appui sur les situatios expérimetales recotrées das ces eseigemets ; coaître les logiciels utilisés et l exploitatio qui peut e être faite pour illustrer les cocepts mathématiques ; predre e compte les besois mathématiques des autres disciplies. Utilisatio d outils logiciels L utilisatio de logiciels, d outils de visualisatio et de simulatio, de calcul (formel ou scietifique) et de programmatio chage profodémet la ature de l eseigemet e favorisat ue démarche d ivestigatio. E particulier, lors de la résolutio de problèmes, l utilisatio de logiciels de calcul formel peut limiter le temps cosacré à des calculs très techiques afi de se cocetrer sur la mise e place de raisoemets. L utilisatio de ces outils iterviet selo trois modalités : par le professeur, e classe, avec u dispositif de visualisatio collective ; par les élèves, sous forme de travaux pratiques de mathématiques ; das le cadre du travail persoel des élèves hors de la classe. Page 1 sur 11

3 Raisoemet et lagage mathématiques Comme e classe de secode, les capacités d argumetatio et de logique fot partie itégrate des exigeces du cycle termial. Les cocepts et méthodes relevat de la logique mathématique e fot pas l objet de cours spécifiques mais preet aturellemet leur place das tous les champs du programme. Il coviet cepedat de prévoir des temps de sythèse. De même, le vocabulaire et les otatios mathématiques e sot pas fixés d emblée, mais sot itroduits au cours du traitemet d ue questio e foctio de leur utilité. Diversité de l activité de l élève Les activités proposées e classe et hors du temps scolaire preet appui sur la résolutio de problèmes essetiellemet e lie avec d autres disciplies. Il coviet de privilégier ue approche des otios ouvelles par l étude de situatios cocrètes. L appropriatio des cocepts se fait d abord au travers d exemples avat d aboutir à des développemets théoriques, à effectuer das u deuxième temps. De ature diverse, les activités doivet etraîer les élèves à : chercher, expérimeter, modéliser, e particulier à l aide d outils logiciels ; choisir et appliquer des techiques de calcul ; mettre e œuvre des algorithmes ; raisoer et iterpréter, valider, exploiter des résultats ; expliquer oralemet ue démarche, commuiquer u résultat par oral ou par écrit. Des élémets d histoire des mathématiques, des scieces et des techiques peuvet s isérer das la mise e œuvre du programme. Coaître le om de quelques scietifiques célèbres, la période à laquelle ils ot vécu et leur cotributio, fait partie itégrate du bagage culturel de tout élève ayat ue formatio scietifique. Les travaux hors du temps scolaire sot impératifs pour souteir les appretissages des élèves. Fréquets, de logueur raisoable et de ature variée, ces travaux sot essetiels à la formatio des élèves. Ils sot coçus de faço à predre e compte la diversité des aptitudes des élèves. Les modes d évaluatio preet égalemet des formes variées, e phase avec les objectifs poursuivis. E particulier, l aptitude à mobiliser l outil iformatique das le cadre de la résolutio de problèmes est à évaluer. Orgaisatio du programme Le programme fixe les objectifs à atteidre e termes de capacités. Il est coçu pour favoriser ue acquisitio progressive des otios et leur péreisatio. So pla idique pas la progressio à suivre, cette derière devat s adapter aux besois des autres eseigemets. Les capacités attedues das le domaie de l algorithmique d ue part et du raisoemet d autre part sot rappelées e fi de programme. Les exigeces doivet être modestes et coformes à l esprit de la filière. Les commetaires otés distiguet des thèmes pouvat se prêter à des ouvertures iterdiscipliaires, e cocertatio avec les professeurs d autres disciplies scietifiques. Page 2 sur 11

4 1. Aalyse O poursuit, e classe termiale, l apport d outils permettat de traiter u plus grad ombre de problèmes relevat de la modélisatio de phéomèes cotius ou discrets. Le travail sur les suites géométriques et les foctios expoetielles permet de s iterroger sur le passage du discret au cotiu et iversemet, variat aisi les approches des problèmes et les modes de résolutio. Cette partie est orgaisée selo quatre objectifs pricipaux : Cosolider l esemble des foctios mobilisables. O erichit cet esemble de ouvelles foctios de référece : les foctios logarithmes, expoetielles et puissaces. Travailler la otio de limite. E classe de première, l étude des suites a été l occasio de découvrir la otio de limite. E classe termiale, la otio de limite est vue à travers celle des suites géométriques puis celle des foctios, sas qu aucue formalisatio e soit attedue. Cette étude, tat pour ces suites que pour les foctios, demade à être accompagée d ue approche graphique et umérique et à s appuyer sur des situatios variées issues des autres disciplies. Les objectifs essetiels sot la compréhesio de cette otio aisi que la recherche évetuelle de seuils ; la pratique de la recherche de limites a pas à être développée. Itroduire le calcul itégral. La otio d itégrale est itroduite à partir de celle d aire. Le calcul itégral, bie que modestemet développé, se révèle u outil efficace tat e mathématiques que das les autres disciplies. Découvrir la otio d équatio différetielle. La otio d équatio différetielle est itroduite et travaillée das le cadre de situatios variées, par exemple les phéomèes d évolutio das le mode du vivat, les phéomèes de saturatio ou la ciétique chimique. Le programme propose l étude d ue équatio différetielle simple du premier ordre mais, selo les besois des autres disciplies, o peut e étudier d autres. L accet est mis sur la diversité des approches umérique et graphique qui cotribuet à l appropriatio des cocepts mathématiques. Suites géométriques Somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique. Recoaître et justifier la présece d ue suite géométrique das ue situatio doée. Coaître et utiliser la formule doat 1 + q q, où q est O peut itroduire la otatio u réel différet de 1. i= 0 Coaître et utiliser lim q Limite d ue suite géométrique dot la raiso est u ombre réel strictemet positif. + pour q strictemet positif. Rechercher le plus petit etier tel que q a ou tel que q a, avec q et a deux réels strictemet positifs doés. Cette recherche est meée à l aide d u logiciel ou d ue calculatrice. q i. Page 3 sur 11

5 Limites de foctios Iterpréter ue représetatio Ces otios sot itroduites par ue graphique e termes de limite. approche umérique et graphique à l aide Iterpréter graphiquemet ue d u logiciel ou d ue calculatrice. limite e termes d asymptote. Asymptotes parallèles aux axes : -limite fiie d ue foctio à l ifii ; -limite ifiie d ue foctio e u poit. Limite ifiie d ue foctio à l ifii. Limites et opératios. Détermier la limite d ue foctio simple. O fait percevoir cette otio par ue approche graphique ou umérique. Elle est esuite mobilisée lors de l étude des foctios logarithme, expoetielle et puissaces. Aucu développemet théorique est attedu. O se limite aux foctios déduites des foctios de référece par additio, multiplicatio ou passage à l iverse et o évite toute techicité. D autres limites peuvet être abordées face à des situatios issues d autres disciplies. Vitesse limite d ue réactio ezymatique. Dérivées et primitives Calcul de dérivées : complémets. Calculer les dérivées des foctios de la forme : x u (x), etier relatif o À partir de ces exemples, o met e évidece ue expressio uifiée de la dérivée de la foctio x f ( u( x)), mais ul ; sa coaissace est pas ue capacité x l( u( x)) ; attedue. Primitives d ue foctio sur u itervalle. u ( x ) x e. Coaître et utiliser des primitives des foctios de référece. Détermier des primitives de foctios de la forme : u' u, u' etier relatif différet de 1,, u u u' e. O se limite au cas où u est ue foctio polyôme de degré 2 au plus. Das d autres cas où cela serait utile, ue primitive est proposée et o e valide l expressio. Pour les primitives de u u', o se limite au cas où u est ue foctio strictemet positive. Vitesse d ue réactio, vitesse de péétratio d u pricipe actif. Page 4 sur 11

6 Foctios logarithmes Foctio logarithme Coaître les variatios, les La foctio logarithme épérie est épérie. limites et la représetatio 0,+ Relatio foctioelle. graphique de la foctio 1 Nombre e. logarithme épérie. qui s aule e 1, de la foctio x. x Utiliser la relatio foctioelle pour trasformer ue écriture. présetée comme la primitive sur ] [ Foctio logarithme décimal. Résoudre ue iéquatio d icoue, etier aturel, de la forme q a ou q a, avec q et a deux réels strictemet positifs doés. O s appuie sur des exemples issus des autres disciplies pour itroduire et exploiter cette foctio. Mesure de l itesité soore, échelle des ph,. Foctios expoetielles Foctio x exp(x). Coaître les variatios, les Pour tout ombre réel a, le réel exp(a ) est limites et la représetatio défii comme uique solutio de l équatio graphique de la foctio d icoue b : l b = a. expoetielle. x Relatio foctioelle. Utiliser la relatio O justifie la otatio e. x Notatio e. foctioelle pour trasformer ue écriture. a Passer de l x = a à x = e et iversemet. Foctio expoetielle de a a Passer de log x = a à x = 10 Pour tout ombre réel a, le réel 10 est base dix. et iversemet. défii comme l uique solutio de l équatio d icoue b : log b = a. Foctios puissaces α x x défiies sur ] 0,+ [ avec α > 0. Utiliser les propriétés opératoires des puissaces, otammet pour résoudre ue α équatio de la forme x = k avec k > 0. Coaître l allure de la courbe α représetative de x x suivat la positio de α par rapport à 1. Croissaces bactériees. Radioactivité. L extesio des foctios puissaces aux exposats o etiers se fait à partir de la foctio expoetielle. Aucu résultat théorique sur les foctios puissaces est à coaître. O s appuie sur des exemples issus des autres disciplies. O fait le lie etre les courbes α représetatives des foctios x x et 1 α x x. Page 5 sur 11

7 Comparaiso des Coaître et iterpréter les Ces résultats sot cojecturés puis admis. comportemets e + de x e l x la foctio expoetielle et limites de x et x O sesibilise les élèves à différets types de la foctio logarithme x x d évolutio, e lie avec les autres épérie avec les foctios e +, état u etier aturel. disciplies. puissaces. Itégratio CONTENUS Défiitio de l itégrale d ue foctio cotiue et positive sur [ a, b] comme aire sous la courbe. CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES O se limite à ue approche ituitive de la cotiuité et o admet que les foctios étudiées e classe termiale sot cotiues sur les itervalles où elles sot itégrées. O s appuie sur la otio ituitive d aire. Notatio b f ( x) dx. a Formule b a f ( x)dx = F( b) F( a) où F est ue primitive de la foctio positive f. Calculer l itégrale d ue foctio positive simple. Détermier l aire du domaie défii comme l esemble des poits M( x, y) tels que a x b et f ( x) y g( x), f et g état deux foctios positives. Cette formule est admise. Détermiatio d ue quatité par aalyse de chromatogrammes. Équatios différetielles Das cette partie, o propose des exemples e lie avec les autres disciplies. O s appuie sur les outils logiciels pour visualiser la famille des courbes représetatives des solutios d ue équatio différetielle. Équatio y ' + a y = b où a et b sot des ombres réels, avec a 0. Existece et uicité de la solutio satisfaisat ue coditio iitiale doée. Résoudre ue équatio différetielle qui peut s écrire sous la forme y ' + a y = b, où a et b sot des ombres réels, avec a 0. Détermier la solutio satisfaisat ue coditio iitiale doée. O traite tout d abord le cas de l équatio homogèe y ' + a y = 0. E liaiso avec d autres disciplies, o peut être ameé à étudier d autres types d équatios différetielles mais ce est pas u attedu du programme. Phéomèes d évolutio, ijectio médicameteuse, croissace d ue plate. Page 6 sur 11

8 2. Statistiques et probabilités E statistiques et probabilités, o approfodit le travail meé les aées précédetes e l erichissat selo trois objectifs pricipaux : Élargir la statistique descriptive à l étude de séries de doées quatitatives à deux variables. C est u outil très utilisé das d autres disciplies pour aalyser, iterpréter et prévoir. Découvrir et exploiter des exemples de lois à desité. O aborde ici le champ des problèmes à doées cotiues. La loi uiforme fourit u cadre simple pour découvrir le cocept de loi à desité et les otios afféretes. Le travail se poursuit das le cadre des lois expoetielle et ormale où le lie etre probabilité et aire est cosolidé. La loi ormale, fréquemmet recotrée das les autres disciplies, doit être l occasio d u travail iterdiscipliaire. Compléter la problématique de la prise de décisio par celle de l estimatio par itervalle de cofiace. O s appuie sur la loi ormale et, e mathématiques, o se limite au cadre d ue proportio. Toutefois, la pertiece des méthodes statistiques utilisées das les disciplies scietifiques et techologiques, e particulier l estimatio d ue moyee, peut s observer par simulatio. Das cette partie, le recours aux représetatios graphiques et aux simulatios est idispesable. Statistique descriptive à deux variables Nuage de poits, poit Représeter graphiquemet u L objectif est d étudier le lie évetuel moye. uage de poits et détermier le etre deux caractères d ue même poit moye. populatio. Ajustemet affie selo la méthode des moidres carrés. Trouver u ajustemet affie selo la méthode des moidres carrés. Utiliser u ajustemet affie pour iterpoler ou extrapoler. L ajustemet est réalisé avec ue calculatrice ou u tableur. O observe à l aide d u logiciel le caractère miimal de la somme des carrés des écarts. E lie avec les autres disciplies, o réivestit les coaissaces d aalyse permettat, par u chagemet de variable doé, de se rameer à u ajustemet affie. Page 7 sur 11

9 Exemples de lois à desité Loi uiforme sur [ a, b]. Toute théorie géérale des lois à desité et des itégrales sur u itervalle o boré est exclue. L istructio «ombre aléatoire» d u logiciel ou d ue calculatrice permet d itroduire la loi uiforme sur [ 0,1] puis sur [ a, b]. Si X est ue variable aléatoire de loi uiforme sur [ a, b] et si I est u itervalle iclus das [ a, b], la probabilité de l évéemet «X I» est l aire du domaie { M ( x, y) ; x I et 0 y f ( x) } 1 où f : x est la foctio de desité b a a, b. de la loi uiforme sur [ ] Espérace et variace d ue variable aléatoire suivat ue loi uiforme. Loi expoetielle. Espérace d ue variable aléatoire suivat ue loi expoetielle. Cocevoir et exploiter ue simulatio das le cadre d ue loi uiforme. Calculer ue probabilité das le cadre d ue loi expoetielle. Coaître et iterpréter l espérace d ue variable aléatoire suivat ue loi expoetielle. La otio d espérace d ue variable a, b est défiie à aléatoire à desité sur [ ] cette occasio par b t a f ( t)dt. O ote que cette défiitio costitue u prologemet das le cadre cotiu de l espérace d ue variable aléatoire discrète. Par aalogie avec la démarche coduisat à la défiitio de l espérace, o présete ue expressio sous forme itégrale de la variace d ue variable aléatoire à desité sur [ a, b]. Par simulatio, o coforte la valeur de la variace d ue variable aléatoire suivat la loi uiforme sur [ a, b]. O s itéresse à des situatios cocrètes, par exemple la radioactivité ou la durée de foctioemet d u système o soumis à u phéomèe d usure. L espérace est défiie par x lim x + 0 t f ( t)dt, où f est la foctio de desité de la loi expoetielle. O peut simuler ue loi expoetielle à 0,1. partir de la loi uiforme sur [ ] Page 8 sur 11

10 Loi ormale N (µ, σ) d espérace µ et d écart type σ. Approximatio d ue loi biomiale par ue loi ormale. Utiliser ue calculatrice ou u tableur pour calculer ue probabilité das le cadre d ue loi ormale. Coaître et iterpréter graphiquemet ue valeur approchée de la probabilité des évéemets suivats : «X [µ σ, µ + σ]» ; «X [µ 2σ, µ + 2σ]» ; «X [µ 3σ, µ + 3σ]» ; lorsque X suit la loi ormale N (µ, σ). Détermier les paramètres de la loi ormale approximat ue loi biomiale doée. La loi ormale est itroduite à partir de l observatio, à l aide d u logiciel, de l additio de phéomèes aléatoires idépedats et de même loi uiforme. O s appuie sur des exemples issus des autres disciplies. O peut simuler ue loi ormale à partir de 0,1. la loi uiforme sur [ ] Toute théorie est exclue. O coforte cette approximatio à l aide de l outil iformatique. La correctio de cotiuité est pas u attedu. Acceptabilité d u résultat. Prise de décisio et estimatio Itervalle de fluctuatio d ue fréquece. Coaître l itervalle de fluctuatio asymptotique à 95 % d ue fréquece obteue sur u échatillo de taille : O fait observer que cet itervalle est proche de celui détermié e première à l aide de la loi biomiale, dès que 30, p 5 et ( 1 p) 5. p 1,96 p(1 p), p + 1,96 p(1 p) lorsque la proportio p das la populatio est coue. Itervalle de cofiace d ue proportio. Exploiter u tel itervalle de fluctuatio pour rejeter ou o ue hypothèse sur ue proportio. Estimer ue proportio icoue avec u iveau de cofiace de 95 % par l itervalle : f 1,96 f (1 f ), f + 1,96 f (1 f ) calculé à partir d ue fréquece f obteue sur u échatillo de taille. Cette expressio de l itervalle de cofiace est admise. O costate par simulatio que, sur u grad ombre d itervalles de cofiace, eviro 95 % cotieet la proportio à estimer. Page 9 sur 11

11 Algorithmique Juger de l égalité de deux proportios à l aide des itervalles de cofiace à 95% correspodat aux fréqueces de deux échatillos de taille. La différece etre les deux fréqueces observées est cosidérée comme sigificative quad les itervalles de cofiace à 95% sot disjoits. C est l occasio d étudier des méthodes statistiques pratiquées das les disciplies scietifiques ou techologiques. E liaiso avec les eseigemets techologiques et scietifiques, o peut observer par simulatio la pertiece d u itervalle de cofiace de la moyee d ue populatio. Icertitude de mesure associée à u iveau de cofiace. Déombremet bactérie e milieu solide. E secode, les élèves ot coçu et mis e œuvre quelques algorithmes. Cette formatio se poursuit tout au log du cycle termial. Das le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sot etraîés à : décrire certais algorithmes e lagage aturel ou das u lagage symbolique ; e réaliser quelques-us à l aide d u tableur ou d u programme sur calculatrice ou avec u logiciel adapté ; iterpréter des algorithmes plus complexes. Aucu lagage, aucu logiciel est imposé. L algorithmique a ue place aturelle das tous les champs des mathématiques et les problèmes posés doivet être e relatio avec les autres parties du programme (algèbre et aalyse, statistiques et probabilités, logique), mais aussi avec les autres disciplies ou le traitemet de problèmes cocrets. À l occasio de l écriture d algorithmes et de programmes, il coviet de doer aux élèves de boes habitudes de rigueur et de les etraîer aux pratiques systématiques de vérificatio et de cotrôle. Istructios élémetaires (affectatio, calcul, etrée, sortie). Les élèves, das le cadre d ue résolutio de problèmes, doivet être capables : d écrire ue formule permettat u calcul ; d écrire u programme calculat et doat la valeur d ue foctio ; aisi que les istructios d etrées et sorties écessaires au traitemet. Boucle et itérateur, istructio coditioelle Les élèves, das le cadre d ue résolutio de problèmes, doivet être capables de : programmer u calcul itératif, le ombre d itératios état doé ; programmer ue istructio coditioelle, u calcul itératif, avec ue fi de boucle coditioelle. Page 10 sur 11

12 Notatios et raisoemet mathématiques Cette rubrique, cosacrée à l appretissage des otatios mathématiques et à la logique, e doit pas faire l objet de séaces de cours spécifiques mais doit être répartie sur toute l aée scolaire. Notatios mathématiques Les élèves doivet coaître les otios d élémet d u esemble, de sous-esemble, d apparteace et d iclusio, de réuio, d itersectio et de complémetaire et savoir utiliser les symboles de base correspodat correspodat :,,, aisi que la otatio des esembles de ombres et des itervalles. Pour le complémetaire d u esemble A, o utilise la otatio des probabilités A. Pour ce qui cocere le raisoemet logique, les élèves sot etraîés, sur des exemples à : utiliser correctemet les coecteurs logiques «et», «ou» et à distiguer leur ses des ses courats de «et», «ou» das le lagage usuel ; utiliser à bo esciet les quatificateurs uiversel, existetiel (les symboles, e sot pas exigibles) et à repérer les quatificatios implicites das certaies propositios et, particulièremet, das les propositios coditioelles ; distiguer, das le cas d ue propositio coditioelle, la propositio directe, sa réciproque, sa cotraposée et sa égatio ; utiliser à bo esciet les expressios «coditio écessaire», «coditio suffisate» ; formuler la égatio d ue propositio ; utiliser u cotre-exemple pour ifirmer ue propositio uiverselle ; recoaître et à utiliser des types de raisoemet spécifiques : raisoemet par disjoctio des cas, recours à la cotraposée, raisoemet par l absurde. Page 11 sur 11