10ème cours Une variable numérique : indices de localisation

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1 10ème cours Ue variable umérique : idices de localisatio Das ce cours, o fait u rappel sur les idices de localisatio, médiae, quatiles et moyee, et o étudie la faço de les utiliser pour comparer les distributios de la variable umériques Y sur les différetes sous-populatios iduites par X. Médiae 1 déf La dispersio absolue de l échatillo E autour d ue valeur v est la somme des distaces de chaque observatio à v : d ea (v,e) y i v. Illustratio : si o ted u élastique etre v et chaque observatio y i, d ea (v,e) est la logueur totale des élastiques ; si o déplace v d ue logueur a vers la droite, o dimiue de a les élastiques situés à droite de v, correspodat aux observatios supérieures à v, et o augmete de a les élastiques situés à gauche de v, correspodat aux observatios iférieures à v : d ea (v,e) dimiuera s il y a plus d élastiques et doc d observatios à droite de v (cas v1) et augmetera s il y e a mois (cas v) ; aisi d ea (v,e) sera miimum pour les valeurs v ayat le même ombre d observatios à droite et à gauche : si le ombre d observatios est impair (cas v3), le miimum est atteit pour la valeur cetrale, et s il est pair (cas v4), le miimum est atteit pour toutes les valeurs de l itervalle cetral. déf La médiae d u esemble de mesures de Y est la plus petite des valeurs observables qui miimiset la dispersio absolue. De maière équivalete, c est la plus petite valeur observable v qui vérifiet simultaémet les deux propriétés : P 1 : fréquece(observatios v) 0,5 P : fréquece(observatios v) 0,5. Ce qui reviet à dire que la médiae partage l échatillo ragé das l ordre croissat e deux parties de proportio égales ; pour ue variable cotiue, c est la valeur qui divise l histogramme e deux parties égales à 0,5 : F (médiae)0,5. 3 Calcul de la médiae. Si o dispose des observatios y i, o détermie la médiae e rageat les observatios das l ordre croissat : si est impaire, la médiae est la valeur de l observatio cetrale (la +1 ème observatio), et si est paire, la médiae est la valeur de la ème observatio (la derière de la première moitié). Das l exemple 1 du 9ème cours, das lequel Y est le ombre d efats das ue famille, o peut ordoer par la pesée les 7571 observatios : la médiae est la valeur de la ème observatio, égale à 1. Das l exemple 3, comme il y a 16 observatios la médiae est la valeur de la 8ème observatio, égale à 85. Si la variable est cotiue, o calcule la valeur qui divise l histogramme e deux surfaces égales (la valeur pour laquelle F retoure 0,5).

2 Statistique pour la psycholoie II Das l exemple de ce 9ème cours, à propos des reveus, la valeur à gauche de laquelle la surface de Y sud vaut 0,5 est das la modalité [5 ; 10[, d amplitude 5 et de desité 33,9 5 6,78 : la médiae est doc égale à ,5 6,78 9,06. Quatiles et Box plot 4 déf U quatile de proportio p est la plus petite des valeurs observable q p qui vérifiet simultaémet les deux propriétés : P 1 : fréquece(observatios q p ) p P : fréquece(observatios q p ) 1 p U quatile de proportio p partage les observatios ragées das l ordre croissat e deux parties de proportio p et 1-p. Pour ue variable cotiue, c est la valeur qui coupe l histogramme e deux parties de surface p et 1-p, ou ecore la valeur q p qui vérifie F (q p ) p. 5 Quatiles courats La médiae est le quatile de proportio 0,5. Les 3 quartiles sot des quatiles de proportio 0,5 0,50 et 0,75 ; ils partaget les observatios ragées das l ordre croissat e quatre parties de même proportio 0,5 ; le secod quartile est la médiae. Les 9 déciles sot des quatiles de proportio i 0,1 où 1 i 9 : par exemple, 30% (au mois) des idividus ot ue mesure iférieure ou égale au troisième décile q 0.3 (P 1 ), et 70% (au mois) ue mesure supérieure ou égale à q 0.3 (P ). Les 99 cetiles sot des quatiles de proportio i 0,01 où 1 i 99 ; par exemple 95% des idividus de l échatillo ot ue valeur iférieure ou égale au 95ème cetile q 0,95. 6 Calcul d u quatile q p de proportio p Si o dispose des observatios y i, o les parcourt das l ordre croissat et o s arrête à la première valeur qui vérifie P 1 et P. Si la variable est cotiue, ou bie la foctio de répartitio vaut p sur ue bore et cette bore est le quatile, ou bie o e calcule ue approximatio par la «méthode iverse» déjà décrite das le 8 du 9ème cours. Exemple du reveu des familles : Le premier quartile q 5% de la distributio Y Sud est das la ème modalité [5 ; 10[ puisque F (5),5% < 5% et F (10) 56,4% > 5% ; la desité de cette modalité valat 33,9 5 6,78, q 5% 5 + 5,5 6,78 5,37 Le troisième quartile q 75% est das la 3ème modalité [10 ; 15[ de desité 4, 5 4,84 : q 75% ,4 4,84 13,8. Le 95ème cetile q 95% est das la derière modalité [15 ; 30[ de desité 19,4 15 1,9 : q 95% ,6 1,9 6,. Classemet par Box-Plot 7 Le box plot d ue distributio est u résumé graphique de localisatio et de dispersio de la distributio : sur u axe gradué des valeurs limité par le miimum et le maximum des observatios, o dessie ue boîte passat par le premier et le 3ème quartiles, coupée e deux par la médiae.

3 Statistique pour la psycholoie II 3 8 Le box-plot état u bo résumé graphique d ue distributio, la comparaiso des distributios coditioelles par box-plot iterposé peut être istructive : u box-plot décalé à droite d u autre sigifie e effet que la distributio du secod est globalemet plus grade que celle du premier. E comparat les box-plots des distributios coditioelles, o peut chercher à classer partiellemet ou totalemet les sous-échatillos, à la maière des foctios de répartitio. 9 Exemple du reveu des familles : ous avos calculé précédemmet les 3 quartiles de la distributio de Y pour la populatio du sud : 5,37 9,06 et 13,8 ; les trois quartiles de la distributio Y Nord sot : q 0, ,5 0,159 0,83 6,61 q 0, ,50 0,44 0,83 11,0 q 0, ,75 0,75 0,75 16,36 La représetatio simultaée des deux box-plots doe : Elle cofirme le classemet établi à partir des foctios de répartitio ( 9 du 9ème cours) : la distributio coditioelle Y Nord est globalemet supérieure à la distributio coditioelle Y Sud, ce qui reviet à dire que la sous-populatio du ord est globalemet plus riche que la sous-populatio du sud. Moyee 10 déf La dispersio quadratique d u échatillo E de mesures de Y autour d ue valeur v est la somme des carrés des distaces de chaque observatio à v : d q (v,e) (y i v) ; la dispersio quadratique moyee de l échatillo E autour de v est alors le ombre dq(v,e) 11 déf La moyee d ue série E de mesures de Y est la valeur umérique, observable ou o, qui miimise la dispersio quadratique ; o la ote Y ; o démotre que cette valeur miimale est la moyee arithmétique des observatios, obteue e divisat la somme des valeurs par le ombre de valeurs, 1 y i ; elle peut s iterpréter comme la valeur qu auraiet les idividus de l échatillo s ils se répartissaiet à part égale la somme des mesures. 1 Calcul de la moyee. Si o dispose des observatios y i, o calcule leur moyee arithmétique des valeurs : Y 1 y i À partir de la distributio d ue variable discrète, la moyee se calcule par ue formule équivalete qui cosiste à regrouper das u même terme les j valeurs égales à m j : Y 1 p p j m j f j m j j1 j1 Das cette derière formule, j varie de 1 à p, le ombre de modalités de Y, alors que das la précédete, i varie de 1 à, la taille de l échatillo. Das l exemple 1 du 9ème cours, la moyee de Y pour la sous-populatio des couples, Y couples, est le ombre : ,69

4 4 Statistique pour la psycholoie II 13 À partir de la distributio d ue variable cotiue, la moyee e peut qu être approximée, puisqu o e coaît pas la somme des j valeurs des modalités [b j ; b j+1 [ ; si o suppose ici ecore que la desité est costate das chaque modalité (les valeurs se répartisset uiformémet das l itervalle), ce qui est pas toujours ue hypothèse judicieuse, cette somme est égale à j fois le cetre de l itervalle, b j+b j+1, puisque la moyee de ces j valeurs est cofodue avec le cetre ; sous cette hypothèse la moyee est le ombre : Y 1 p j1 j b j + b j+1 p j1 f j b j + b j+1 Das l exemple sur les reveus, o pred arbitrairemet 30 comme bore supérieure de la derière modalité : Modalités de Y i. f i. Moyee Cetres c i,5 7,5 1,5,5 Y sud ,31 10,484 Y ord ,69 1,46 Y ,7 O a alors Y Sud,5 8+7,5 4+1,5 30+, ,48, Y Nord,5 44+7,5 78+1,5 78+,5 76 1,5 et Y,5 7+7,5 10+1,5 108+, ,70 14 Propriétés y i Y : la somme d ue série de observatios est égale à fois la moyee de cette série ; c est ue coséquece directe de la formule Y 1 y i.. Y + a Y + a : si o ajoute ue même valeur a à chaque observatio y i (o retrache e ajoutat ue valeur égative), o trasforme 1 la variable Y e ue autre variable otée Y + a, dot la moyee vaut la moyee de Y ajoutée de a. 3. Cetrage : la variable Y Y obteue e retrachat Y à toutes les observatios y i, est de moyee ulle, d après la propriété précédete ; elle est dite cetrée. 4. a Y a Y : si o multiplie chaque observatio par ue même valeur a, o trasforme la variable Y e ue variable a Y, dot la moyee vaut la moyee de Y multipliée par a. 5. a Y + b a Y + b : cette formule résume les formules () et (4), a et b état deux ombres positifs ou égatifs. 15 Médiae et moyee. La médiae et la moyee sot des idices de localisatio ou de tedace cetrale d ue série d observatios, qui s exprimet das la même uité que la variable ; elles permettet de résumer la série e ue seule valeur globale ; comme tous les idices, cette valeur doit être iterprétée avec prudece et pertiece 3. La médiae est peu sesible aux valeurs extrêmes, cotrairemet à la moyee : quelques doées aberrates ajoutées à la série (ou retirées de la série) peuvet modifier la moyee de maière importate, mais laisserot la médiae à peu près ichagée. Les boes propriétés algébriques de la moyee e fot u idice plus facile à utiliser que la médiae. 16 Dispersio et distace. O peut utiliser la dispersio de l échatillo autour d ue valeur comme distace de cette valeur à l échatillo : ue valeur sera d autat plus proche de l échatillo que la dispersio autour d elle sera faible ; et la valeur résumera d autat mieux l échatillo qu elle e sera proche ; das cette perspective, la médiae et le moyee sot les valeurs les plus proches de l échatillo, la première si o choisit la dispersio absolue, la secode si o choisit la dispersio quadratique. 1 Cette trasformatio est ue traslatio. Cette trasformatio est ue homothétie. 3 L ouvrage de N. Gauvrit, Statistiques Méfiez-vous, aux éditios Ellipses, présete ces questios d iterprétatio de maière claire et simple.

5 Moyee et sous-populatios Statistique pour la psycholoie II 5 17 Moyees coditioelles. Les moyees coditioelles de la variable umérique Y sot les moyees des distributios coditioelles de Y, c est à dire les moyees de Y sur les souspopulatios iduites par X. 18 Idépedace. Si X et Y sot idépedates, les sous-populatios ot la même moyee, puisque les distributios coditioelles de Y e fréquece sot idetiques ; réciproquemet, l égalité des moyees das les sous-populatios idique pas écessairemet l idépedace de X et Y, puisque deux distributios peuvet avoir la même moyee sas être idetiques. Si X et Y sot statistiquemet idépedates, les sous-populatios ot des moyees différetes mais proches, e raiso des fluctuatios d échatilloage ; décider jusqu à quelles «différeces» o peut cosidérer celles-ci comme le fait des fluctuatios d échatilloage et o comme celui d ue différece etre les sous-populatios est ue questio délicate qu o peut traiter par «l aalyse de la variace», présetée das le prochai cours. 19 Classemet par la moyee. Comme la moyee est u idice global de localisatio, u classemet des moyees coditioelles coduit aturellemet à classer les sous-populatios. Das l exemple des reveus par exemple, l ordre Y Nord 1,5 > Y Sud 10,48 ivite à peser que le reveu das le ord est globalemet supérieur au reveu das le sud, d autat que c est ue cofirmatio de ce que ous avos déjà remarqué. 0 Moyee globale et moyees coditioelles. Ue erreur fréquete est de calculer la moyee sur la populatio globale e faisat la moyee arithmétique des moyees des sous- k échatillos, comme si Y Ym i k ; or cette égalité est fausse : das l exemple des reveus, la moyee sur la populatio globale, 11,70, est pas égale à 10,48+1,5 11,36. E réalité, la moyee de Y sur la populatio globale est la moyee des moyees sur les sous-populatios podérée par leur taille relative qui est la distributio de X : k k Y f i. Y mi k i. Y i. Y mi m i Cette formule est la formule de décompositio de la moyee. La démostratio est assez simple : la moyee globale est la somme totale des observatios divisée par la taille ; la somme totale des observatios est l additio des sommes des observatios sur chaque sous-populatio ; et e remarquat que la somme des observatios sur la i-ème souspopulatio est égale à i. Y mi (propriété 1 13), la moyee sur cette sous-populatio multipliée par sa taille, o obtiet le résultat attedu. Pour l exemple des reveus, la formule de décompositio de la moyee est la formule : Y 11,70 0,31 10,48 + 0,69 1,5

6 6 Statistique pour la psycholoie II Programme de travail Savoir défiir : les dispersios absolue et quadratique ; la médiae ; u quatile ; la moyee ; la formule de décompositio de la moyee. Savoir expliquer : commet o costruit u box-plot ; commet o calcule u quatile das tous les cas de figure ; ce qu est la médiae et la moyee. Savoir faire : calculer u quatile dot la médiae ; calculer ue moyee das tous les cas de figure ; démotrer et appliquer la formule de décompositio de la moyee ; classer les sous-populatios e comparat les box-plot et/ou les moyees.

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