APPROCHE DESCRIPTIVE DU FONCTIONNEMENT

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1 Chapitre M2 APPROCHE DESCRIPTIVE DU FONCTIONNEMENT D UN VÉHICULE À ROUES PROGRAMME OFFICIEL : Notions et contenus Mouvement rectiligne uniforme d un véhicule à roues dans un référentiel galiléen en l absence de glissement : a) véhicule tracté par une force extérieure F b) véhicule muni de roues motrices. Capacités exigibles Exprimer la condition de non-glissement des roues. Appliquer la loi de la quantité de mouvement et la loi de l énergie cinétique au véhicule. Appliquer la loi du moment cinétique aux roues dans le référentiel du véhicule. Expliquer qualitativement les rôles respectifs du moteur et des actions de contact exercées par la route selon qu on envisage un bilan énergétique global ou un bilan de quantité de mouvement global. Table des matières Introduction 2 I Mouvement d un véhicule à roues non motorisé 2 I.1 Description du modèle I.2 Condition de non glissement des roues I.3 Force nécessaire pour un déplacement sans glissement I.3.a Application du PFD au véhicule I.3.b Application du TMC aux roues I.4 Force nécessaire pour un déplacement avec glissement (roues bloquées) II Mouvement d un véhicule à roues motorisé 6 II.1 Position du problème et modèle II.2 Approche dynamique II.3 Approche énergétique Synthèse 9 PC - Lycée François 1er - Le Havre 1/ / 2017

2 Introduction Le but de ce Chapitre est d utiliser les changements de référentiels pour étudier un système a priori complexe, et de revoir au passage certaines notions sur les solides en rotation autour d un axe fixe et les lois de Coulomb du frottement vues en première année. C est un Chapitre descriptif, ne comprenant aucune nouvelle notion, mais développant des savoirs-faire exigibles, quoique limités. En effet, le programme restreint clairement le problème à envisager (donc les applications possibles en exercices seront limitées) : on étudie un véhicule en mouvement rectiligne uniforme par rapport au sol. Le programme impose également que les roues roulent sur le sol sans glisser. I Mouvement d un véhicule à roues non motorisé I.1 Description du modèle On considère dans cette partie un véhicule à roue non motorisé V, comme un chariot ou un wagonnet. Il est modélisé par un châssis C de masse M et de centre de masse G, muni de deux roues R 1 et R 2 de masse m, de rayon R, reliées au châssis par des liaisons pivots parfaites d axes C 1 z et C 2 z (on travaille en coupe). On suppose que le chariot est en translation rectiligne uniforme à la vitesse V = V u x dans le référentiel R g supposé galiléen, les roues se déplaçant sur une route horizontale, fixe dans R g. Les frottements de l air exercés sur le chariot sont pris en compte sous la forme simplifiée d une force F a = F a u x appliquée au point G et on néglige les frottements de l air sur les roues. Un opérateur exerce par ailleurs une force motrice F op = F op u x au point G et on cherche la valeur de F op nécessaire pour maintenir un mouvement uniforme. L ensemble est soumis au champ de pesanteur g = g u y. I.2 Condition de non glissement des roues Si les roues ne glissent pas sur le sol, il doit y avoir une relation entre leur vitesse de rotation et la vitesse du véhicule. C est cette relation que l on va écrire. PC - Lycée François 1er - Le Havre 2/ / 2017

3 Pour cela, on se place dans le référentiel R lié au châssis du véhicule, ayant les mêmes axes que R g, pour origine G, mais en translation rectiligne uniforme par rapport à lui 1. Comme R g est supposé galiléen, R l est également. Dans ce référentiel R, on note que : le châssis est immobile ; les roues tournent autour des axes C 1 z et C 2 z qui sont fixes ; la route est en translation à la vitesse V = V u x (transformation de Galilée). Dans ce référentiel, on étudie le mouvement de la roue 1. On note ω 1 sa vitesse angulaire autour de C 1 z (on note que, physiquement, ω 1 < 0 si V > 0). Soit I 1 le point de la roue qui à un instant donné est en contact avec la route, et soit J 1 le point de la route qui au même instant coïncide avec I 1. Définition On appelle vitesse de glissement entre 2 solides la différence entre les vitesses des points liés à chaque solide et qui sont en contact à un instant donné. On dit donc qu il y a non glissement si les vitesses des points liés à chaque solide et qui sont en contact à un instant donné sont égales. Exprimons donc les vitesses des points I 1 et J 1 dans R : v (I1 ) R = v (J1 ) R = Par définition, la roue arrière ne glisse pas sur le sol si les points I 1 lié à la roue et J 1 lié à la route qui sont au contact ont la même vitesse soit : De même pour la roue avant : On a donc finalement : ω 1 = ω 2 = V R = cste 1. Ce référentiel est appelé le référentiel barycentrique du châssis. PC - Lycée François 1er - Le Havre 3/ / 2017

4 I.3 Force nécessaire pour un déplacement sans glissement I.3.a Application du PFD au véhicule On va maintenant utiliser le PFD (ou Théorème de la Résultante Cinétique) pour étudier les forces agissant sur le véhicule entier V. Rappel : la quantité de mouvement (ou résultante cinétique, ou impulsion) d un système fermé S s écrit 2 : p (S) = ms v (GS ) où G S est le centre de masse de S. On a alors le choix du référentiel : dans R g, le châssis a un mouvement de translation rectiligne uniforme, et les roues ont un mouvement composé d un translation rectiligne uniforme et d une rotation autour de leur axe ; dans R, le châssis est immobile, et les roues sont en rotation autour de leur axe. Les deux référentiels sont galiléens car le véhicule est en translation rectiligne uniforme. Comme les roues tournent autour de leur axe qui passe par leur centre de masse, la rotation ne joue aucun rôle dans le mouvement de ce dernier : seule la translation éventuelle compte. Comme la vitesse est soit nulle, soit uniforme, la quantité de mouvement de V est constante, donc il en résulte, quel que soit le référentiel d étude, que la somme des forces extérieures s appliquant sur le véhicule est nulle. Bilan des actions mécaniques extérieures : 2. Ce résultat a été démontré en PCSI pour un système de 2 points, mais il s étend par additivité à tout système. PC - Lycée François 1er - Le Havre 4/ / 2017

5 On peut donc écrire : Soit, en projection sur u x : (1) Et en projection sur u y : (2) I.3.b Application du TMC aux roues Pour appliquer le TMC aux roues, le plus simple est de se placer dans R car leur mouvement est alors une simple rotation autour d un axe fixe : leur moment cinétique par rapport à C 1 y (resp C 2 y) s écrit simplement L 1 = Jω 1 (resp L 2 = Jω 2 ), avec J = 1 2 mr2 leur moment d inertie. Or on a établi que ω = ω 2 = cste donc L 1 = L 2 = cste. Par conséquent, si on applique le TMC aux roues dans le référentiel du véhicule R, le moment des actions mécaniques agissant sur chaque roue est nul. Bilan des actions mécaniques extérieures sur R 1 : On peut donc écrire : (3) De même pour la roue avant : (4) En reportant dans (1), on obtient finalement : F op = F a Conclusion Dans cette situation, les frottements des roues sur le sol sont nuls, la force appliquée par l opérateur sert juste à compenser les frottements de l air pour maintenir une vitesse constante. Bien entendu, le modèle est sans doute trop simpliste : quand on pousse un chariot au supermarché, ce ne sont pas les frottements de l air qui nous freinent (à moins d être vraiment en grande forme, et qu il n y ait pas foule)... mais les défauts dans les liaisons pivots et le frottement de roulement (hors programme) qui existe en réalité au niveau du contact entre les roues et le sol. PC - Lycée François 1er - Le Havre 5/ / 2017

6 I.4 Force nécessaire pour un déplacement avec glissement (roues bloquées) On suppose maintenant que les roues sont bloquées (ce qui revient à dire qu il n y a pas de roues...) : l ensemble du véhicule est donc en translation rectiligne uniforme par rapport au sol. Il y a alors glissement au niveau du sol : ce dernier est immobile, alors que les roues avancent à V = V u x. Les lois de Coulomb imposent donc qu il y ait au niveau de chaque point de contact une force de frottement : orientée selon u x de norme telle que T = f N où f est le coefficient de frottement de la roue sur le sol. Comme N 1 > 0 et N 2 > 0, on peut écrire : On reporte dans (1) puis on utilise (2) On obtient finalement : F op = F a + f(m + 2m)g Conclusion On constate tout de suite que la force à appliquer pour déplacer le véhicule est nettement plus importante, et ce d autant plus que la charge est importante. On comprend alors l intérêt de l invention de la roue qui permet de s affranchir des frottements au niveau du sol. Notons que sur la neige ou la glace, comme f est quasi-nul, les roues sont inutiles (et même parfois encombrantes). "Sans l invention de la roue, les coureurs du Tour de France seraient condamnés à porter leur bicyclette sur le dos." Pierre Dac (humoriste, comédien et résistant) II II.1 Mouvement d un véhicule à roues motorisé Position du problème et modèle Un véhicule motorisé à roues se déplace grâce à l action d un moteur intérieur au système, ce qui peut sembler paradoxal puisque seules les forces extérieures à un système interviennent dans la loi de la quantité de mouvement. En revanche d un point de vue énergétique, il n y a aucun doute que c est le moteur qui fournit de l énergie. Nous nous proposons donc de décrire plus précisément la cause du mouvement, tant d un point de vue dynamique que d un point de vue énergétique. On conserve le même modèle que dans la partie précédente à ceci près que le véhicule n est plus désormais mû par un opérateur extérieur (F op = 0) mais par un moteur intérieur solidaire du châssis et qui exerce sur la roue avant un couple moteur Γ m = Γ m u z (on prendra Γ m < 0 pour conserver V > 0). PC - Lycée François 1er - Le Havre 6/ / 2017

7 Par ailleurs on se place dans le cas du non glissement des deux roues, ce qui conduit, comme précédemment, à ω 1 = ω 2 = V R = cste II.2 Approche dynamique Le couple Γ m n intervient pas si l on applique le PFD au véhicule dans son ensemble (un couple n exerce aucune résultante, et c est en plus une action intérieure). On retrouve donc intactes les équations (1) et (2) : (1) (2) On applique ensuite le TMC aux roues, dans le référentiel R. Aucun changement pour la roue arrière R 1 mais pour R 2, il faut introduire le couple moteur : (3) Pour la roue avant : (4 ) On combine ces équations : On obtient finalement : Γ m = RF a Conclusion La roue avant sert donc à transformer un couple moteur intérieur en force motrice extérieure : d un point de vue dynamique, ce sont les forces de frottements exercées par la route sur la roue motrice (T 2 ) qui font avancer le véhicule. On retiendra de cette étude qu il convient de ne pas attribuer un rôle systématiquement nuisible aux frottements. PC - Lycée François 1er - Le Havre 7/ / 2017

8 II.3 Approche énergétique Dans le référentiel R g lié à la route, l énergie cinétique du véhicule V est indépendante du temps car la vitesse est uniforme et les roues tournent également à vitesse constante 3. Le Théorème de l Énergie Cinétique appliqué au véhicule complet dans le référentiel R g s écrit alors (attention, le système est déformable!) : de c dt = 0 = P ext + P int Faisons l inventaire des actions mécaniques et de leur puissance : le moteur fournit une puissance P m le poids : actions de contact avec la route : Frottements de l air : On peut donc écrire : Soit finalement : P m = V F a Conclusion D un point de vue énergétique, les actions de contact entre la route et les roues n ont donc aucun rôle : c est bien le moteur qui permet au véhicule d avancer à vitesse constante en compensant la puissance dissipée par la résistance de l air. 3. En fait, il faut admettre pour les roues que leur énergie cinétique est la somme de l énergie cinétique de translation et de celle de rotation autour de l axe (théorème de Koenig), chacun étant bien constant. PC - Lycée François 1er - Le Havre 8/ / 2017

9 SYNTHÈSE Connaissances Z Quand dit-on qu il y a non-glissement entre 2 solides? Z Pour un véhicule non motorisé mais poussé ou tiré, quel est l intérêt des roues? Z D un point de vue énergétique, qui fait avancer un véhicule motorisé? et d un point de vue dynamique (forces)? Démonstrations et applications b Établir la condition de non glissement d une roue sur le sol. b Démarche générale à savoir reproduire sous forme d exercice. PC - Lycée François 1er - Le Havre 9/ / 2017

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