Deuxième Principe : bilans entropiques. CORRIGES

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1 Deuxième Principe : bilans entropiques. CORRIGES 1. Création d entropie dans une expérience de calorimétrie : a) L expérience a lieu sous la pression atmosphérique, H = Q p = 0 où H = C 1 (T f T 1 ) + C 2 (T f T 2 ) ce qui donne : T f = (C 1 T 1 + C 2 T 2 )/(C 1 + C 2 ). b) S tot = S 1 + S 2 = C 1 ln(t f /T 1 ) + C 2 ln(t f /T 2 ). S tot = S création > 0 car S e = Echauffement d'un solide : H = Q = nc m.(t f T a ) ; entropie échangée par le cuivre avec le thermostat S e = Q / T S = nc m.(t f T a ) / T S. Variation d entropie du cuivre : S = nc m.ln(t f /T a ) (ici n = 1) ; par le bilan entropique S c = S S e. 3. Entropie produite dans une résistance chauffante : Le système est le résistor. La source de chaleur, ou thermostat est la pièce dont la température reste maintenue constante (justement par l apport thermique du résistor qui vient compenser les pertes thermiques vers l extérieur). Variation d entropie du résistor S = C R.ln(T f / T i ) ; Entropie échangée : S e = Q / T a avec pour bilan énergétique pour le résistor : U = C R (T f T i ) = RI²τ + Q où Q est le transfert thermique qu il aura échangé avec la pièce. D où Q = - (RI²τ - C R.(T f - T i )). D où finalement : S c = S - S e = C R.ln(T f / T i ) - (RI²τ - C R.(T f - T i ))/T a On pourrait aussi évaluer l entropie créée par la perte thermique de la chambre vers l extérieur de température T ext (non précisée dans l exercice). 4. Variation d'entropie d'un gaz parfait : 1 ) Pour la transformation A B, isotherme et connaissant P A et P B = P C on emploie le formulaire sachant qu entre A et B avec T = cste = T A d où : ΔS AB = nr.ln(p C /P A ) Pour la transformation B C, isobare, on emploie la même expression avec cette fois une pression invariante et T B = T A, d où : ΔS BC = C p.ln(t C /T A ) Pour l ensemble du processus A B C : S = C p.ln(t C /T A )-nr.ln(p B /P A ) 1

2 Comme la transformation C A est adiaba que, réversible, concerne un gaz parfait et est à γ = cste, la loi T P / P de Laplace est valide : T c = ( ) 1 A A C γ γ. Ceci doit conduire à ΔS = 0. On peut remarquer que C A étant adiaba que et réversible, cette transformation est isentropique donc S A = S C. P P T B C B C C A A B A V T S 2 ) Le formulaire donne pour l entropie pour le gaz parfait en variables (T, P) : =., = +. où S mo est la valeur d entropie molaire d un état de référence (T o, V o ). En suivant une isobare P = P o entre les états (T o, S o ) et (T,S): S S o = nc pm.ln(t/t o ) d où en passant à l exponentielle : T(S) = T o.exp((s- S o )/C p ) 3 ) A B isotherme : Q AB = -W AB = - nrt A ln2 B C isobare : W BC = -P B (V C V B ) = nr[(-p B /P C )T C + T C ] Q BC = ΔH = C p (T C T B ). C A adiabatique : Q CA = 0 et donc W CA = ΔU = C v (T A T C ). W cy = nrt A ln2-p B (V C V B ) + nc Vm (T A -T C ). Sur le cycle : ΔS = 0 (car S est une fonction d état). Donc S c = -S e Avec S e = (Q AB /T A ) + (Q BC /T A ). Comme sur le cycle ΔU = 0, -W cy = Q AB + Q BC donc S c = W cy /T A. or W cy = kj/mol < 0 : processus impossible! (on a nécessairement S c > 0). 4 ) On reprend la même démarche : S c = -(S e (BC)+S e (AB)) car sur CA : S e = 0 et S cy = 0. 2

3 avec cette fois S c = -(Q BC /T ch )-(Q AB /T fr ) puisque les sources de chaleur ont été modifiées. Le calcul amène S c > 0 ; ce cycle est donc maintenant réalisable. 5. Compressions isotherme ou monotherme d'un gaz parfait : 1 ) La transformation sera isotherme. Le formulaire donne pour l entropie pour le gaz parfait en variables (T, P) : =., = +. où S mo est la valeur d entropie molaire d un état de référence (T o, V o ). D où la variation d entropie entre les états de pression P i etp f : ΔS = -nr.ln(p f /P i ). avec P f = (m +m o )g/s et P i = m o g/s. Il vient S = -nrln(1+m/m o ) ; L entropie échangée vaut S e = Q / T o car le transfert thermique a lieu avec une source de chaleur monotherme. On calcule Q par Q = -W puisque U = 0 pour une transformation isotherme d un gaz parfait et en intégrant l expression δw = - P ext.dv avec P ext = P = nrt o /P on tire W isoth = nr.ln(1+m/m o ) pour le gaz parfait. On vérifie bien S c = ΔS S e = 0, caractéristique d une transformation réversible. 2 ) a) phase 1 : monobare adiabatique, phase 2 : isobare monotherme. S inchangé car S est une fonction d état et l on a même état initial et même état final qu au 1 ) pour le fluide. Par contre les valeurs de Q et W seront modifiées. nr T γ 1 To b) U = W sur la phase 1, adiabatique. ΔU = ( ' ) monobare : W = -P ext (V f V i ) où Pext = (m + mo)g/s. L équation d état fournit : V f = nrt /P f et V i = nrt o /P i. γ 1 m Après simplification, l équation ΔU = W mène à T ' = To + To. γ m. Le travail correspond à une transformation c) phase 1 : S e = 0 ; phase 2 : S e = Q / T o avec Q = H = nc pm (T o -T ) puisque l on a un transfert thermique γ nr γ 1 m m isobare. Soit donc pour la phase 2 : Se = = nr γ 1 γ m m La variation d entropie n est pas modifiée si on en fait le calcul détaillé entre les états (T o, P i = m o g/s) et (T, P f = (m +m o )g/s) puis (T o, P f = (m +m o )g/s. On retrouve S = -nr.ln(1+m/m o ). o o o 3

4 L entropie créée pour l ensemble du processus est donc : m m S c = S S e = nr ln 1+ m o m o 6. Détente de Joule Gay-Lussac de la vapeur d'eau : 1 ) Dans cette détente : ΔU = ΔU gaz = W + Q = 0. Pour un gaz parfait, la première loi de Joule U = U(T) amène : T f = T i puisque U f = U i. Or ici T f T i, le fluide n est donc pas un gaz parfait. Par interpolation linéaire dans le tableau, entre les valeurs données pour U = 54,80 kj et U = 54,70 kj : P 2 = 59,2 bar ; V 2 = 1, m 3 ; S 2 = 6,755 kj/k. 2 ) La détente étant adiabatique : S e = 0. D où S c = S Soit S c = S 2 S 1 = 6,755 6,594 = 161 J/K. 7. Entrée d'air : a) L air répond à : PV = nrt. Dans le ballon, à l état initial, on aura n i moles d air avec n i RT o = P o (1-x).V o ; à l état final, on aura n f moles, avec : n f RT o = P o.v o. Le nombre de moles d air admises dans le ballon sera donc : n a = n f n i = xp o V o /(RT o ). Le phénomène étant supposé isotherme, d après la première loi de joule, on aura ΔU = 0, et donc W = -Q. Le travail reçu correspond à la poussée par l atmosphère (pression P o ) des n a moles d air entrant dans le ballon. Le volume balayé par ces n a moles est xv o. D où : W = xp o V o. et donc le transfert thermique reçu sera : Q = -xp o V o. b) Raisonnons en distinguant les sous-systèmes (A) : les n i moles de gaz initialement présentes dans le ballon et (B) : les n a = n f n i moles de gaz y entrant. Pour (A) : l état du fluide varie d une pression initiale P o (1-x) à une pression finale P o ; sa température restant inchangée. Le formulaire donne pour l entropie pour le gaz parfait en variables (T, P) : =., = +. où S mo est la valeur d entropie molaire d un état de référence (T o, V o ). D où par différence la variation d entropie entre les états de pression P i etp f : ΔS = -n i R.ln(P f /P i ). soit ΔS A = -n i R.ln(P o (1-x)/P o ) avec n i = (1-x)P o V o /(RT o ). Pour (B) : l état initial et l état final ont même valeurs de pression (P o ) et température (T o ). Donc son entropie ne varie pas. La variation d entropie est donc : S = (1-x)(PoV o /T o ).ln((1-x). 4

5 L entropie d échange est, pour ce processus monotherme : S e = Q/T o = -xp o V o /T o. La création d entropie s obtient par le bilan : ΔS = S e + S c qui donne : S c = ΔS S e = S création = (P o V o /T o )[x + (1-x)ln(1-x)]. 8. Echangeur thermique : 1 ) Appliquons le premier principe au système fermé Σ*. Les énergies cinétique et potentielle ne sont pas prises en compte dans le problème (variations négligeables). Le régime étant stationnaire, la quantité de masse dm entrant pendant dt dans le volume de contrôle est égale à celle qui en sort, ceci étant vérifié au niveau de chacune des deux canalisations de l échangeur. En notant u(t i ), h(t i ), v(t i ) respectivement l énergie interne massique, l enthalpie massique et le volume massique du fluide dans les conditions de température T i, le bilan énergétique entre les instants t et t + dt donne, avec δq = 0 puisque l ensemble est calorifugé : dm.[u(t 2 ) - u(t 1 ) + u(t 4 ) - u(t 3 )] + U(t + dt) U(t) = -P o.dm(v(t 2 ) - v(t 1 )) P o.dm(v(t 4 ) - v(t 3 )) Le régime étant stationnaire, l énergie interne U(t) contenue dans le volume de contrôle à l instant t est identique à celle contenue à l instant t + dt. On obtient donc : h(t 2 ) - h(t 1 ) + h(t 4 ) - h(t 3 ) = 0 Ayant dans les deux canalisations un fluide incompressible de même capacité thermique massique à pression constante c p, on a donc en explicitant les variations d enthalpie : c p (T 2 - T 1 + T 4 - T 3 ) = 0 (1) Appliquons maintenant le second principe au même système fermé Σ* entre t et t + dt : dm.[s(t 2 ) - s(t 1 ) + s(t 4 ) - s(t 3 )] + S(t + dt) S(t) = δs e + δs C La transformation étant adiabatique : δs e = 0 ; étant réversible : δs C = 0 Comme le régime est stationnaire, l entropie S(t) contenue dans le volume de contrôle à l instant t est identique à celle contenue à l instant t + dt. Pour une masse unité de fluide traversant l échangeur, la transformation équivaut à changer la température de cette masse unité de T 1 à T 2 d une part et de T 3 à T 4 d autre part. 5

6 Pour chacun de ces fluides incompressibles, on montre que l entropie molaire s écrit alors, d après le formulaire : = + La variation de l entropie massique s entre les températures d entrée et de sortie s obtient par intégration : Δs = c p.ln(t s /T e ). Soit donc ici, en prenant en compte les deux canalisations, et en considérant la masse dm ayant traversé durant dt : dm.c p [ln(t 4 /T 3 ) + ln(t 2 /T 1 )] = 0 (2) Les relations (1) et (2) mènent à deux équations : T 1 + T 3 = T 2 + T 4 (3) T 1.T 3 = T 2.T 4 (4) 2 ) T 1 et T 3 étant connus, on tire de (4) : T 4 = T 1.T 3 /T 2 soit en injectant dans (3) : T 1 + T 3 = T 2 + T 1.T 3 /T 2 équation du deuxième degré sur T 2 qui mène aux solutions : - {T 2 = T 1, T 4 = T 3 } solution évidemment sans intérêt puisqu elle signifierait que a température ne change pas à la traversée de l échangeur, c'est-à-dire qu il n y a pas de transfert thermique entre les deux canalisations. - {T 2 = T 3, T 4 = T 1 } solution que l on retient. Cette situation très simple (voir simpliste ) est obtenue dans l hypothèse de deux fluides de mêmes caractéristiques, et avec des débits identiques dans les deux canalisations. Le problème pourrait être repris dans un cas plus général où les capacités thermiques des fluides concernant les deux canalisations seront différentes et où les débits ne seraient pas identiques Bilans entropiques avec changement de phase. 9. Vaporisation réversible ou irréversible. 1 ) A tout moment l équilibre liquide-vapeur est maintenu (évolution lente), donc le système reste constamment à la température T éq = 100 C et sous la pression de saturation. Transformation isobare, Q = H = h v. U = W + Q où W = -P sat.(v f - V i ) qui donne donc : U = h v -P sat.(v f - V i ) où V i est le volume de 1,00 kg d eau à l état liquide (V i =1, m 3 ) et V f = 1,67 m 3. D après le cours : S = h v /T éq. 2 ) H, U, S Variations de fonctions d état inchangées. Le système = {intérieur de l enceinte} est isochore. Q = U soit Q = h v - P sat.(v f - V i ). S e = Q/T éq amène S c = P sat.(v f - V i )/T éq > 0. 6

7 10. Détente de la vapeur d'eau dans une machine à vapeur. a) T T 1 A I T 2 B F s b) En remarquant que s F = s I puisque la transformation I F est adiabatique et réversible (donc isentropique), on aura s F = s v (T 1 ). sf sl ( T2 ) En explicitant x v par le th. des moments : xv = sv ( T2 ) sl ( T2 ) on tire x = 0,833 ; b) Ecrire un cycle reliant I à F, passant par la courbe d ébullition A B et suivant la palier de condensa on I A ainsi que le palier de vaporisa on (par elle) B F ; l ( T ) T x. l ( T ) T T T vap 1 2 v vap 2 s = + c ln + en notant l vap (T) = h vap (T) s = 0 donne x v = 0,826. La différence obtenue entre les deux valeurs s explique par l approximation du fluide incompressible, faite sur l étape A B dans le c). 11. Production d'entropie au cours d'une vaporisation sous vide : a) Il faut d abord déterminer l état final du système : Si l on supposait que toute l eau introduite dans l enceinte s évaporait, on obtiendrait alors une pression finale : P = nrt/v o avec n = m/m donnant numériquement : P = 1,7 bar. C est impossible puisque supérieur à la valeur de la pression saturante à la température de 373 K : P sat (373 K) = 1,0 bar = 1, Pa. On a donc à l état final un mélange liquide-gaz (état diphasé), dont on doit évaluer le titre en vapeur. 7

8 En employant le théorème des moments : x v v vl = v v massique de la vapeur sous la pression P = P sat et à la température de 373 K. ce qui amène : v v = RT/(PM) = 1,7 m 3.kg -1. v est le volume massique global de l échantillon : v = V/m où 1,0 L = 1, m 3 et m = 1,0 g = 1, kg. v l avec v l = 1, m 3.kg -1 (connu) et v v qui est le volume Il vient donc : x v = x(gaz) = 0,58. A l état final, les 1,0 g d eau introduite se répartissent donc en 0,58 g de vapeur et 0,42 g de liquide, les deux phases étant à 100 C et P = 1,0 bar. b) Bilan entropique : ΔS = S e + S c. ΔS correspond à une vaporisation partielle de l eau à la température T o = 373 K : S = m.x v h v /T o Entropie d échange S e = Q/T o où le transfert thermique a lieu à volume constant (enceinte rigide) : Q = U. U se calcule par un chemin réversible : isobare et isotherme. U = H - (P.V) avec P = P sat sur ce chemin, soit donc : U = H P sat. (V) ΔU = T o.δs P sat (V f V i ) où V i = m.v l = 1, L = 1, m 3 et V f = 1, m 3. Remarque : En toute rigueur, le volume disponible pour la vapeur est V f = 1, m 3 0, m 3 mais le second terme est négligeable. Il vient donc : ΔU = m.x v h v - P sat (V f V i ) D où finalement l entropie créée : S c = ΔS S e = P sat (V f V i ) / T o AN : S c = 0,27 J/K. 12. Bilan entropique sur la cessation d une surfusion. 1 ) a) Par définition h f (-10 C) sera la variation d enthalpie pour la transformation de 1,0 kg d eau de glace en liquide, à la température T o = 263 K. La variation d enthalpie H correspondante s'obtient par le chemin : (glace à -10 C) (glace à 0 C) (eau liq à 0 C) (eau liq à -10 C). Ce chemin met en jeu des transformations dont on connaît les variations d enthalpie : ΔH = c g.(t e T o ) + h f (T e ) + c l.(t o T e ) en notant T e = 273 K ; c g = c glace et c l = c eau. 8

9 b) La transformation étudiée consiste en le passage de l eau liquide à 263 K vers l eau glace à 263 K. Ceci correspond au chemin précédent suivi en sens inverse : (eau liq à -10 C) (eau liq à 0 C) (glace à 0 C) (glace à -10 C). Ce chemin permet le calcul de ΔS car il met en jeu des transformations réversibles, dont on sait exprimer les valeurs à partir du cours, notamment au niveau du changement de phase effectué à 273 K. D après le formulaire, l entropie massique pour une phase condensée (dans le modèle incompressible et indilatable) s écrit alors : =. + et lors d un changement de phase à la température d équilibre T e d une masse unité : S = H/T e En appliquant ces résultats aux transformations décrivant le chemin décrit précédemment : =. + h (attention, on a ici une solidification, d où le terme en - h f ). +. =. + h δq L entropie d échange est : Se = où ici T ext = T o. La transformation est à pression constante Q = ΔH. T ΔH se calcule en empruntant le même chemin : (eau liq à -10 C) (eau liq à 0 C) (glace à 0 C) (glace à -10 C). qui donne : ΔH = (c l - c g ).(T e T o ) - h f (T e ) Donc : Et l on tire : S c = ΔS S e. soit : =. ext + AN : S c = + 44,6 J.K -1 =. h. =. h Remarque : on nomme «variation d entropie du thermostat» l entropie échangée par le thermostats avec le système, donc l opposé de l entropie échangée par le système avec le thermostat : ΔS ther = - S e. Ainsi S c = ΔS + ΔS ther = S(total) > 0. 9