Racines carrées. 1. Généralités : 2. Propriétés. 3. Exercices de bases corrigés. 4. Exercices non corrigés. 5. Approfondissement.

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1 Rcines crrées. 1. Générlités : ) Déinition : b) Nottion. c) Exemples.. Propriétés. ) Produits de rcines crrées. b) Quotient de rcines crrées. c) Lien vec les puissnces. d) Modiiction d écritures vec des rdicux u dénominteur.. Exercices de bses corrigés. 4. Exercices non corrigés.. Approondissement.

2 1. Générlités : ) Déinition : soit un nombre positi ou nul. On ppelle rcine crrée de le nombre positi dont le crré est égl à Cette déinition se trduit en écritures mthémtiques pr : 0,9 0,9 π π Pour x > 0 : 0,7 0,7 x x Remrque : il est essentiel d cquérir cet utomtisme pour se simpliier les écritures mthémtiques. b) Nottion : on note l rcine crrée de pr. Le symbole est le symbole «rdicl». c) Exemples : Des rcines entières (entier nturel) : Des rcines décimles : 0,1 0, 01 0,01 0,1 0,0 0,00 0,00 0,0, 1, 1,, 7, 4 7, , , 4 Des rcines rtionnelles. : 9 9 Des rcines irrtionnelles : l écriture l plus simple de l rcine crrée de est.

3 . Propriétés. ) Produits de rcines crrées : b En conséquence : Automtismes à cquérir : Il est essentiel de connître s tble des crrés pour se simpliier les écritures mthémtiques vec rdicux qund celles-ci ont pprître des rcines crrés de crrés de nombre entier Il ut connître pr cœur l série suivnte : Exemples d ppliction : ( ) 9 c 1 c c c c c 10

4 ( ) d d d 1 d 1 e e 0 0 e 0 e b) Quotient de rcines crrées : Pour o et b > 0 : b b c) Lien vec les puissnces : On remrque que les ormules reltives ux rcines crrées sont des extensions des ormules reltives ux puissnces d un nombre ppliquées ux rcines crrées. ( ) n n n b et b ( 0 et b 0) n b b n n ( b 0) et b ( 0 et b > 0) b En it, u lycée, tu pprendrs que pour 0 : 1 d) Modiiction d écritures vec des rdicux u dénominteur : Une règle d écriture veut de ne jmis voir de rdicux en dénominteur. Ainsi, une écriture telle que est à trnsormer. Il suit de multiplier numérteur et dénominteur pr un même cteur pour voir écritures diérentes de. On v bien sûr multiplier numérteur et dénominteur pr. Générlistion : c c c d cd b d b d b d d bd

5 . Exercices de bses corrigés. ) Sns clcultrice, donne l écriture l plus simple des nombres ci-dessous c, c, d π d π ( ) e e e g g ( ) b) Donne l écriture l plus simple des nombres suivnts g + 1 g g + 1 Attention : b b c) Montre que les nombres ci-dessous sont des entiers nturels à trouver. Donne les étpes de trnsormtion d'écriture c 4 c 4 c 4 c 10 d) Ecrire les nombres suivnts sous l orme où est un nombre entier relti c c c

6 e) Donner le nombre B sous l orme vec entier relti. L réussite psse pr l tble de B B B B + 4 B + 8 ( ) B + 8 ) Démontre que A 40 1 est un nombre entier à déterminer. A 40 1 A 4 10 A A A 0 g) Soit E ( 1)( + ) +.Développer E et donner le résultt sous l orme + b où et b sont des entiers reltis. ( 1)( ) E + + E E E E 1+ 9 h) Trnsormer ces écritures pour ne plus voir de rdicux en dénominteur : ( ) 9 c 0 0 ( ) ( ) 9 9 c ( ) c c c 9 ( ) c

7 i) Géométrie et rcine crrée : Pythgore. Aire du tringle rectngle. Cosinus. ABC est un tringle rectngle en B tel que : 1. Démontre que l ire A du tringle ABC vut 1. cm ². Démontre que AC. cm.. Clculer cosĉ b c en donnnt le résultt sous l orme 4. En déduire l mesure de l ngle Ĉ u degré près. j). Attention : ( b ) ² b² 1) Aire de ABC : AB AC 4 A A 4 4 A 4 1. cm ) Clcule de AC : D près Pythgore ppliqué u tringle ABC rectngle en B : AC AB + BC AC AC AC ( ) ( 4 ) AC AC 108. cm ) Clcul de ˆ cosc : ˆ BC 4 cos C AC 4) Clcul de Ĉ : ˆ ˆ 1 cos C C cos 19 u degré près.

8 4. Exercices non corrigés. ) ABC est un tringle équiltérl de côté noté. M est le milieu du segment [AC]. 1. Clculer les mesures des ngles du tringle ABM en justiint.. Démontrer que cos(0 ).. Démontrer que tn(0 ) b) En développnt E, montrer que E + 0 E ( + )( 4 ) c) ABCD et AEFG sont deux crrés. Clculer l ire du polygone EBCDGF. d) Clcul littérl et rdicux. Démontrer que ( ) Démontrer que + ( + ) Soit et b deux nombres positis. Démontrer que b + b b b b + b b + Sns clcultrice, en déduire l vleur excte de α 1 +

9 e) Le tringle ABC est rectngle et isocèle en B. Les cercles en pointillés sont des ides à l construction et à l nlyse de l igure. Fis une igure en prennt AB. cm Pour l suite : on supposer que AB 1 cm. Clculer l longueur de l hypoténuse des premiers tringles rectngles et en déduire les utres. Soit P le périmètre de l «spirle» ormée pr ces 17 tringles rectngles Donner l vleur excte de P et s vleur pprochée u mm près. Soit A son ire : donner s vleur excte et s vleur pprochée u mm près. ) Sns utiliser ucune vleur pprochée de quelque nombre que ce soit, dessiner un crré de côté c cm. Expliquer votre démrche. g) Soit n un entier nturel : Si n est pir : lors il existe un nombre entier nturel unique k tel que n k. Si n est impir : lors il existe un nombre entier nturel unique k tel que n k + 1 Trouver k pour n n 9 n 1 n 19. Démontrer que : n Si n est pir : lors 10 n 10 Si n est impir : lors n 1 n Clculer 10, 9 10, 1 10 et

10 . Approondissement. ) Propriété n 1 : Soit trois nombres, b et k Si > b, lors b > 0. Démonstrtion : Si > b, il existe un nombre d > 0 tel que b + d. On lors b + d d > 0. C.Q.F.D. Propriété n : Si > b, lors + k > b + k. Démonstrtion : Si > b, il existe un nombre d > 0 tel que b + d. + k b + d + k b + k + d On lors ( ) Comme d > 0, ( b k ) d b k + + > +. On donc + k > b + k. Autrement dit, l ddition d un même terme ne modiie ps l ordre entre deux nombres. (Ni l soustrction, puisque soustrire équivut à jouter l opposé.) Propriété n : Si b 0 Démonstrtion : >, lors b Si b > 0, lors b + b > 0 + b ( propriété n ), soit > b. C.Q.F.D. > (Réciproque de l propriété n 1) Cette propriété sert à comprer des nombres en étudint le signe de leur diérence. Propriété n 4 : Soit deux nombres, b quelconques et k,un troisième POSITIF. > b, lors k > kb Si Démonstrtion : k k k( b) Comme > b, lors b > 0. (Propriété n 1) Comme 0 k b est positi. (Cr produit de cteurs positis.) k >, d près les hypothèses, lors ( ) Conclusion: k kb > 0. C est donc que k > kb. (Propriété n ). C.Q.F.D. Autrement dit : multiplier nombres pr un même cteur positi ne modiie ps leur ordre.

11 Propriété n : Soit nombres positis et b : si > b, lors > b. Démonstrtion : Si > b, lors > b (d près l propriété n 4) Soit : si > b, lors > b Si > b, lors b > b b (d près l propriété n 4) Soit : si > b, lors b > b. Conclusion : si > b, lors > b > b, donc > b C.Q.F.D.. Propriété n : Soit nombres positis et b : si (Réciproque de l propriété n 4) > b, lors. > b Démonstrtion : ( )( ) b b b + (Cours identité remrquble.) Comme > 0 et b > 0 (d près les hypothèses), lors + b > 0. Comme > b (d près les hypothèses), lors b > 0 (Propriété n 1). Donc le produit de deux cteurs ( + b)( b) est de signe positi. Or un produit de deux cteurs positis est obligtoirement un produit de deux cteurs de même signe. Comme + b > 0, lors b > 0,donc > b. (propriété n ). C.Q.F.D. Autrement dit : deux nombres positis sont dns le même ordre que leur crré. b) Clsser des nombres s écrivnt vec des rdicux : On donne 9 7 et 7. et b sont dns le même ordre que leur crré Comme > b, lors > b. 7 9 > 7

12 c) Un élève clcule le cosinus d un ngle α et propose : cos ( ) α. Il cherche ensuite l ngle α en utilisnt l procédure clssique vec l touche messge d erreur. 1 cos et obtient un Rien de plus norml cr 9 7. Comme 7 >, lors 7 1 > Comme 1 1, on > 1 > 1. Or, un cosinus est obligtoirement inérieur ou égl à 1, d où le problème. h) Propriétés des rcines crrées : Soit et b deux nombres positis : Si Si > b, lors > b. (n 1) < b, lors < b. (n ) (n 1) : Soit et b deux nombres positis tels que > b. ( )( ) + b b d près les identités remrqubles. Or > 0 et b > 0 d près l déinition des rcines crrées. On donc + b > 0. ( + b )( b ) est donc du signe de ( b ) Or ( )( ) + b b. D près les hypothèses, > b b > 0. ( + b )( b ) est donc positi, ( b ) Conclusion : Si > b, lors > b.. est donc positi et b > 0 > b (n ) : Elle se démontre de mnière nlogue à l n 1. Démontre que : Si > 1, lors Si < 1, lors >. <.

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