Racines carrées d un nombre complexe

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1 Rcnes crrées d un nombre complexe I Exemple Détermnons les rcnes crrées de 3 Les rcnes sont et 4 ' x x ou x On lors : (mpossble cr x ) ou x 4 On cherche les nombres complexes z tels que z 3 (E) On se grde d écrre z 3 ou z 3 (E) x y ou x y z x y (E) vec ; x y 3 x xy y 3 x xy y 3 x y 3 yx 4 x y 3 xy x y (dentfcton des prte réelle et mgnre) Ce système est un système non lnére On ne peut le résoudre que pr substtuton x y 3 (E) y x 4 x 3 x y x x 4 x 4 3x 3x 4 0 ' 4 On obtent ns l forme lgébrque des rcnes crrées de 3 Concluson : Les rcnes crrées de 3 sont et On obtent deux rcnes complexes opposées Attenton, ne jms écrre 3 cr l y deux rcnes crrées Clcultrce TI 83 : L touche donne l rcne crrée II Méthode prtque plus rpde ) On reprend l exemple du I On cherche les nombres complexes z tels que z 3 (E) (E) z x y vec ; x y x y 3 xy 4 x y 5 3 églté de modules (l'explcton est donnée c-dessous) On résout l équton ' z 3 z 3 Il s gt d une équton bcrrée X x L équton ' s écrt X 3X 4 0 Or et x ; y ) z z x y x y (rppel : z x y vec

2 () permet de dre que x et y sont de même sgne (cr leur produt est postf) () et (3) donnent fclement x et y pr ddton et soustrcton membre à membre 3 Donc 3 x 4 y x ou y x y I Cs générl ) Résoluton Équtons du second degré à coeffcents complexes On consdère l équton z bz c 0 (E) vec, b, c On retrouve les deux rcnes crrées de 3 obtenues dns le I : et ) Bln On retendr l méthode qu consste non ps à résoudre le système formé pr les équtons () et () qu condurt à l résoluton d une équton du 4 e degré (bcrrée) ms à rjouter l équton (3) obtenue pr églté de module qu permet une résoluton plus fcle III Proprété Tout nombre complexe dmet deux rcnes crrées opposées IV Cs prtculer : rcnes crrées d un réel b (E) z 4 vec b 4c On note une rcne crrée complexe de donc On lors : b E z b b E z ou z b b E z ou z ) Formules z x0 vec x0 S x0 0, les rcnes crrées complexes de z sont x 0 et x0 S x0 0, l rcne crrée de z est 0 S x0 0, les rcnes crrées complexes de z sont x 0 et x0 (E) dmet deux rcnes dstnctes ou confondues dns : b b z et z où est une rcne crrée de Clcultrce TI 83 : Pour obtenr les rcnes crrées de 9, se plcer en mode b ou tper ) Remrque Le cs où, b, c sont réels est un cs prtculer de ce cs générl V Applcton : équton du second degré à coeffcents complexes VI Technque utlsnt l forme exponentelle Vor plus trd 3 4

3 4 ) Formules vec le dscrmnnt rédut b b' ' b' c Le dscrmnnt rédut est b' ' b' ' Les rcnes complexe de (E) sont z et z où ' est une rcne crrée de ' II Exemples ) Exemple Résoudre dns l équton z 3z 3 0 Il s gt d une équton à coeffcent dns b 3 c 3 On clcule le dscrmnnt : On cherche une rcne crrée de 5 8 On rjoute une églté de modules : () donne et de même sgne () et (3) donnent pr ddton et soustrcton membre à membre : ou ou Grâce à l condton «et de même sgne» (trée de ()), on obtent les rcnes crrées suvntes et est une rcne crrée de L équton (E) pour rcnes : ère méthode (rpde) : On utlse l clcultrce L clcultrce fournt l rcne e méthode (plus longue) : On cherche «à l mn» les rcnes crrées de z 4 z z z 3 z z z z Autrement dt, l fut résoudre dns l équton Z 5 8 Z où et sont deux réels On : 5 8 Sot S l ensemble des solutons de (E) S ; Cette églté donne

4 ) Exemple Résoudre dns l équton z z 0 Il s gt d une équton à coeffcent dns III Somme et produt des rcnes On consdère l équton z bz c 0 vec, b, c On note z et z ses rcnes complexes b c On utlse le dscrmnnt rédut On : b c z z et zz b' On clcule le dscrmnnt : III Fctorston d un polynôme du second degré On consdère un polynôme z bz c On note z et z ses rcnes complexes vec,, z z bz c z z z z b c On cherche une rcne crrée de ère méthode (rpde) : On utlse l clcultrce 8 L clcultrce fournt l rcne On noter que celle-c peut presque se trouver de tête e méthode (plus longue) : On cherche «à l mn» les rcnes crrées de 8 L équton (E) pour rcnes : z z z z z z Sot S l ensemble des solutons de (E) S ; 7 8

5 Résoudre dns l équton z Exercces 3 z 5 0 () Résolvons dns l équton z Solutons 3 z 5 0 () Résoudre dns l équton z z cos 0 () où est un réel Il s gt d une équton du second degré à coeffcent dns L clcultrce nous donne 5 8 [l s gt du même nombre complexe que dns le cours] L équton () pour rcnes : 3 z z 3 3 z z Sot S l ensemble des solutons de () S 3 ; Résolvons dns l équton z z cos 0 () () est une équton du second degré à coeffcents réels que l on v résoudre dns ' cos ' sn Une rcne crrée de ' est ' sn Les rcnes de () sont : z cos sn z e et z cos sn z e Sot S l ensemble des solutons de () S e ; e 9 0

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