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1 Les triangles Existence d'un triangle Pour construire un triangle, il nous faut 3 segments. Cependant, il existe une condition sur ces trois segments, comme l'illustrent les deux exemples: Exemples: Construisez, si possible, un triangle avec les trois segments donnés: AB= 4cm AC = 3cm BC = 6cm AB= 4cm AC = 3cm BC = 9cm Résolution On construit un segment [AB] avec AB= 4cm, et on construit le cercle de centre A et de rayon 3 ainsi que le cercle de centre B et de rayon 6. Ces deux cercles ont deux points d'intersection C et D. On choisit plutôt le point C en haut pour respecter le sens mathématique positif, qui est celui du "Contre la montre" (non digitale). Ce point C existe, donc le triangle est constructible. Dans le deuxième cas, la somme des longueurs des deux plus petits côtés du triangle est inférieure à la longueur du troisième côté. On voit alors que les deux cercles ne se coupent plus. Par conséquent, le point C, intersection des deux cercles n'existe pas et le triangle donné n'est donc pas constructible. Condition d'existence d'un triangle Pour qu'un triangle soit constructible, il faut que la somme de deux côtés du triangle soit supérieure au troisième côté. Théorème Beran AB - Triangles Géométrie élémentaire - 1 -

2 Illustration du théorème La somme (des mesures) des angles intérieurs d'un triangle vaut 180 Définitions Les trois points A, B et C du triangle sont appelés les sommets du triangle ABC. Une droite qui coupe une autre droite (ou un segment) à angle droit est appelé une droite perpendiculaire ou simplement une perpendiculaire à cette droite (à ce segment). On appelle médiatrice d'un segment, la perpendiculaire élevée au milieu du segment. Un angle α est appelé angle aïgu ou angle saillant ssi 0 <α< 90. (spitzer Winkel) Un angle α est appelé angle droit ssi α = 90. (rechter Winkel) Un angle α est appelé angle obtus ssi 90 <α< 180. (stumpfer Winkel) Un angle α est appelé angle plat ssi α = 180. (platter Winkel) Un angle α est appelé angle rentrant ssi α > 180. Un triangle est acutangle ssi chaque angle intérieur est un angle saillant. Un triangle est rectangle en A ssi l'angle en A est un angle droit. Un triangle est obtusangle ssi un angle intérieur est un angle obtus. Un triangle est isocèle ssi deux côtés ont même longueur. (gleichschenklig) Un triangle ABC est isocèle de sommet principal A ssi AB= AC. Un triangle est équilatéral ssi les trois côtés ont même longueur. (gleichseitig) On appelle hauteur d'un triangle, la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (à ce sommet). On appelle médiane d'un triangle, la droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé. Le point de concours des trois hauteurs d'un triangle est appelé orthocentre. Le point de concours des trois médiatrices d'un triangle est appelé centre du cercle circonscrit. Le point de consours des trois médianes d'un triangle est appelé centre de gravité. Beran AB - Triangles Géométrie élémentaire - 2 -

3 Droites remarquables dans un triangle 1) Le cas général d'un triangle acutangle Les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un point O appelé orthocentre du triangle Les 3 médiatrices d'un triangle se coupent en un point Ω (oméga) appelé centre du cercle circonscrit au triangle. Les 3 médianes d'un triangle se coupent en un point appelé centre de gravité du triangle. En réunissant les trois sortes de droites remarquables d'un triangle dans une même figure, on constate que les trois points O, Ω et G sont alignés sur une droite appelée " droite d'euler ". Remarque: Pour ne pas trop surcharger la figure complète, on ne trace que 2 droites de chaque sorte. Beran AB - Triangles Géométrie élémentaire - 3 -

4 2) Le cas général d'un triangle obtusangle hauteurs médiatrices médianes On constate que, dans le cas d'un triangle obtusangle, les points de concours des hauteurs (O) et des médiatrices ( Ω ) tombent en-dehors du triangle, alors que le centre de gravité (G) reste toujours à l'intérieur. 3) Le cas spécial d'un triangle rectangle Définitions Un triangle est appelé triangle rectangle ssi un des angles intérieurs est un angle droit. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit est appelé hypoténuse. Les deux autres côtés sont appelés côtés de l'angle droit ou cathèdes. médianes hauteurs médiatrices Beran AB - Triangles Géométrie élémentaire - 4 -

5 On constate que, dans le cas d'un triangle rectangle, le point de concours des hauteurs (O) tombe sur le sommet de l'angle droit du triangle rectangle et le centre de gravité (G) reste toujours à l'intérieur. Dans le cas d'un triangle rectangle, la droite d'euler est confondue à la médiane qui passe par le sommet de l'angle droit du triangle. Le point de concours des médiatrices (Ω ) d'un triangle rectangle se retrouve au milieu de l'hypoténuse du triangle. Ce phénomène nous permet de construire un triangle rectangle à l'aide des seuls règle et compas, comme l'indique le graphique ci-joint. Descriptif de la construction Ayant construit le segment [BC] et son milieu, on trace le cercle de Thalès sur ce segment. En reliant n'importe quel point du cercle de Thalès aux deux extrémités du segment [BC], on obtient toujours un triangle rectangle. 4) Le cas spécial d'un triangle isocèle Définition Un triangle est isocèle si et seulement si deux côtés ont même longueur. Dans un triangle isocèle tel que AB= AC, le sommet A est appelé le sommet principal. Construction d'un triangle isocèle à l'aide de la règle et du compas Construisons un segment [BC] Traçons deux arcs de cercle de même rayon r, de centres respectifs B et C, avec 1 r > BC. 2 Désignons par A l'un des points d'intersection de ces deux arcs de cercle. A est alors le sommet principal du triangle isocèle recherché. Les droites remarquables d'un triangle isocèle Beran AB - Triangles Géométrie élémentaire - 5 -

6 hauteurs médiatrices médianes On constate que, dans le cas d'un triangle isocèle de sommet principal A, la médiatrice du segment opposé au sommet principal, ainsi que les hauteur et médiane issues du sommet principal sont confondues avec la droite d'euler. Nous constatons aussi que si le triangle est isocèle de sommet principal A, les deux angles à la base B et C ont même mesure. On dit qu'un triangle isocèle est isogone. 5) Le cas spécial d'un triangle équilatéral Définition Un triangle est équilatéral si et seulement si les trois côtés ont même longueur. Construction d'un triangle équilatéral Construisons un segment [BC] Traçons deux arcs de cercle de même rayon r, de centres respectifs B et C avec r = BC. Désignons par A l'un des points d'intersection de ces deux arcs de cercle. A est alors le troisième sommet du triangle équilatéral recherché. Beran AB - Triangles Géométrie élémentaire - 6 -

7 Les droites remarquables d'un triangle équilatéral hauteurs médiatrices médianes On constate que, dans le cas d'un triangle, les hauteurs, médiatrices et médianes sont confondues. Il s'ensuit que O=Ω= G. Nous constatons aussi que si le triangle est équilatéral, les trois angles intérieurs ont tous la même mesure 60. mes ( A) = mes( B ) = mes( C ) = 60 On dit qu'un triangle équilatéral est équiangle. Exercices de construction Pour chacun des cas ci-dessous, construisez - si possible - un triangle ayant les propriétés suivantes: AB= 5cm AC = 8cm BC = 7,5cm AB = 6cm BC = 8cm B = 50 BC = 6cm B = 52 C = 48 BC = 6cm AC = 4cm B = 150 A= 52 B = 45 C = 70 Beran AB - Triangles Géométrie élémentaire - 7 -

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