Intégration d une suite et d une série de fonctions : ITT et convergence dominée. : L application t 7!

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Intégration d une suite et d une série de fonctions : ITT et convergence dominée. : L application t 7!"

Transcription

1 Iégraio d ue suie e d ue série de focios : ITT e covergece domiée ) Théorème d iégraio erme à erme d ue série de focios a) Théorème : Soi P f ue série de focios coiues (par morceau) covergea simpleme sur I vers ue focio S, c es-à-dire que pour ou I, P + = f () = S() : covergece poi par poi. O suppose que S es coiue (par morceau) e que P N Alors S = P + = f es iégrable e I S = P + = I f : Eemple : ( ) O a E e e, o a 8 [; ], b) Eemple : ( ) l( + ) l( + ) e d = P + ( ) = = P + = ( ) d = P + =! E e e, e = P + =!, doc e = P + =! Eemple : ( ) + I jf j coverge. = l( + ) : L applicaio 7!, e comme d = P + = e d = + P + = e d = P + = :!. d =, la série P + = coiue sur [; ], e la série P + =! + e d = P + = = 6 : es coiue sur ]; ]. d coverge. d coverge. emarque imporae : De faço géérale, si les focios coiues par morceau f so posiives e si P f coverge vers ue focio S coiue (par morceau) e iégrable, alors I S = P + = I f : Eemple : ( ) O a + c) Cas des séries alerées. sh d = + e e d = + P + = e (+) d = P + = ( + ) = 4 : Prop : Supposos que pour ou I, P ( ) f () es ue série véri a le crière spécial des séries alerées. O pose S() = P + = ( ) f (), e o suppose S cpm e les f cpm e iégrables. O suppose de plus que lim!+ I f =. Alors S es iégrable e I S = P + = ( ) I f : emarque : O e peu pas oujours appliquer direceme le héorème ITT, car il se peu que P + = I f = +. Preuve : La focio S es iégrable car jsj f : O pose S = P k= ( )k f k (). O a par liéarié I S = P k= ( )k I f k: Il s agi de prouver que I S = lim P!+ k= ( )k I f k, c es-à-dire I S = lim!+ I S : E posa = S S, il s agi doc de morer : lim!+ I : = : Or, o a j j f +, doc I I f!. Eemple : O a P + ( ) = + = P + = ( ) d qui es égal e fai à d + = l(): emarque : Ue aure soluio cosiserai, pour se rameer au cas du b), à regrouper les ermes deu par deu. E e e, S() = P + k= g k(), où g k () = f k () f k+ () : o peu alors appliquer le h ITT: ) Théorème de covergece domiée pour les suies d iégrales a) Théorème : Soi (f ) N ue suie de focios coiues (par morceau) e iégrables sur I. O suppose que (f ) N coverge simpleme vers f : I! coiue (par morceau).

2 O suppose qu il eise ' : I! iégrable e domia (f ) N, c es-à-dire véri a 8 N; jf j ': Alors f es iégrable sur I, e I f = lim!+ I f : emarque : O a jf ()j '(), doc par passage à la limie, jf()j '(), doc f es iégrable. emarque : Il su que la majoraio jf ()j '() soi vraie pour assez grad. Eemple : ( ) O a lim!+ E e e, o a 8 ]; ], lim!+ l( + ) l( + ) d = l( + ) = l( + ) =, e = d: l( + ) l( + ) = iégrable sur ]; ]. Eemple : ( ) Supposos que I es u segme. Pour que l hypohèse de domiaio soi véri ée, il su que les f soie uiforméme borées (c es-à-dire qu il eise M idépeda de el que 8 N, sup jf j M). Eemple : ( ) Core-eemple : Cosidéros 8 N, I = + f () d, avec 8 ]; +[, f () = e : O a 8 ]; +[, lim!+ (e ) = : Mais o e peu pas rouver de focio de domiaio. D ailleurs, o a 8 N, I = 6= : Ici, la limie des iégrales es pas l iégrale de la limie. Eemple : ( ) O a 8 >, () = + e d. Moros que () = lim!+ d. 8 >< si < Pour N, cosidéros les focios coiues f :]; +[! dé ies par f () = >: si Pour ou >, o a f () = pour assez grad, doc lim!+ = e = f(): D aure par, pour ou N, o a 8 ]; +[, f () e = f(), car e : La focio f es iégrable sur ]; +[. + Par le héorème de covergece domiée, o obie doc lim!+ f = + f, d où le résula. emarque : + f = d = u ( u)! du = ( + ):::( + ) : O e dédui la formule classique () = lim!+ d = lim!+! ( + ):::( + ) : Par eemple, 3 5 :::( )!p, car ( ) = p : 3) Iégrales dépeda d u paramère coiu appel : Caracérisaio séqueielle des limies : Soi g : I!, a [ f ; +g adhére à I. Alors lim!a g() = L ssi pour oue suie ( ) N d élémes de I, o a lim!+ g( ) = L: Prop : Soi f : A I! (; ) 7! f(; ) elle que 7! f(; ) es coiue (par morceau) sur I (pour ou ). O suppose qu il eise : I! coiue par morceau elle que 8 I, () = lim!a f(; ). O suppose qu il eise ' : I! elle que ' es iégrable e 8 A; 8 I; jf(; )j '() : Alors es iégrable sur I e lim!a I f(; ) d = () d : I

3 dem : Il s agi de prouver que pour oue suie ( ) N eda vers a das A, o a lim!+ I f( ; ) d = I ()d: O applique le héorème de covergece domiée à la suie (f ) N, où f () = f( ; ): O a lim!+ f () = () e 8 N, 8 I, jf ()j '(): D où le résula. Aeio : Ce éocé éa hp, la preuve doi êre (e pricipe) reproduie à chaquilisaio. emarque : Il su que la domiaio 8 I; jf(; )j '() soi vraie pour au voisiage de a das A. Eemple : ( ) Soi f iégrable sur [; +[. O cosidère L() = + f() e d: Alors lim!+ L() =. E e e, soi ( ) N ue suie eda vers +. O a 8, lim!+ f()e = e 8 N, jf()e j jf()j : Par le héorème de covergece domiée, o a doc lim!+ L( ) = + = : Eemple : ( ) Théorème de Cesàro (pour les focios). Soi f : [; +[!. Si lim!+ f() = L, alors lim!+ f() d = L: E e e, f() d = f() d: O a lim!+ f() = L e f() L, doc lim!+ f() d = L d = L: 4) Théorème de covergece domiée pour les séries. (hp) Théorème : Soi P N a () ue série do le erme gééral déped d u paramère X (o a souve X = N). O suppose que pour ou N, lim! a () = b. O suppose qu il eise série P N ' à ermes posiifs e covergee elle que 8 A, 8 N, ja ()j ' : Alors les séries P N a () e la série P N b coverge, e lim!+ P + = a () = P + = b : P Eemple : Moros que lim!+ k= k P + = k= e k = e e : O obie doc P k= k e e : O applique le héorème à 8k N, 8 N, a (k) = k si k e si k >. O a 8k N, lim!+ a (k) = lim!+ k = e k e a (k) e k. La série limie e domiae P e k coverge. 5) Théorème de covergece moooe (hp) a) Théorème : Soi (S ) N ue suie croissae de focios coiues posiives (par morceau) covergea simpleme sur I vers ue focio S coiue par morceau. Alors I S() d = lim!+ I S () d. E ermes de séries de focios : Si les f so coiues (par morceau) e posiives e si S = P + = f es coiue, alors I S() d = P + = I f : emarque : O a S S, doc I S () d I S() d. Si lim!+ I S () d = +, alors S() d = +: I emarque : Ce héorème es pas au programme mais se dédui du héorème ITT (ou du héorème de cv domiée). Si lim!+ I S () d < +, c es-à-dire P + = I f coverge, alors I S() d = lim!+ I S () d par le h ITT. Si S es iégrable, alors 8, S S, doc par covergece domiée, I S() d = lim!+ I S () d:

4 Uilisaio du héorème de covergece domiée pour obeir u équivale Le pricipe cosise à se rameer à ue limie o ulle (e praique, à ue focio limie posiive o ulle). O uilise de faço esseielle des chagemes de variables (souve a e e focio du paramère) pour reormaliser l iégrale de sore à faire apparaîre focio limie o ulle. Eemple : ( ) Cosidéros, I = + d ( + ). Le héorème de cv domiée perme d obeir lim!+ I =. E e e, lim!+ ( + ) = e ( + ) + = '(): Mais pour obeir u équivale, o e ecu chageme de variable, a d eploier lim!+ + u E e e, o a I = p + O a 8u >, lim!+ ( + u =) = : D aure par, o a, par la formule du biôme, Doc 8 N, 8u [; +[, du ( + u =) = p J, où J = + ( + u =) + u du ( + u =) : + u + u = + u. = '(u), avec ' iégrable sur [; +[. Par le héorème de covergece domiée, o obie lim!+ J = + du = Eemple : ( ) Cosidéros I = l( + ) d: Le héorème de covergece domiée doe lim!+ I = : E e e, 8 [; [, lim!+ l( + ) = e 8 N, 8 [; ], l( + ) l : p, d où I s r : = : Pour obeir u équivale, o e ecue le chageme de variabl =, c es-à-dire = u =. E e e, o obie I = J, où J = l( + u) du: u = Le héorème de covergece domiée doe lim!+ E e e, 8 N, 8 ]; ], O e coclu que I, où = E e e, o a 8 ]; ], l( + ) l( + ) l( + ) = l( + ) = P + = Eemple : ( ) Cosidéros I() = + ( ) l( + ) d = l( + ) d: = l( + ) l( + ) e 8 ]; ], lim!+ = = d: Moros pour coclure que = : e + d: O cherch équivale de I() lorsque ed vers +., o a par ITT : l( + ) Le héorème covergece domiée doe lim!+ I() = (e prea '() = e ). O e ecue le chageme de variable a = p. O obie I() = p J(), où J() = + =p + u du: d = P + ( ) = = : :

5 = p O a lim!+ + u = p u= e, e + u + u + u : D où lim!+ J() = + Eercice : ( ) O pose 8, f() = + Morer que f() s p lorsque ed vers +. + u du =, e o e coclu qu e +, I() s p : p u + du e 8 >, g() = + O doe f() = ( ) = p : Déermier u équivale de g e + e e +. e p + d: Soluio : O a f() = p + f(u; ) du, avec f(u; ) = p : + u= O a 8u [; +[, lim!+ f(u; ) = e 8 >, 8u [; +[, f(u; ) : O dédui du héorème de covergece domiée que lim!+ + f(u; ) du = + du = : E oue rigueur, o devrai reveir à la caracérisaio séqueielle (e cosidéra ( ) N eda vers +). O obie doc f() s p lorsque ed vers +. E e ecua le chageme de variabl =, o a g() = p + p du = f() p : u + O a doc g() s lorsque ed vers +. D aure par, 8u [; +[, lim!+ Par covergece domiée, o obie lim! + p = p e 8 >, 8u [; +[, p p = '(u): u + u u + u p du = + p du = u + u = p r : D où g() s : Trasformée de Laplace Soi f : [; +[! coiue, elle que pour ou >, la focio 7! e f() es iégrable sur [; +[. O pose 8 >, L() = + e f() d. La focio L es appelée rasformée de Laplace de f: Prop : O a lim!+ L() = : ( lim!+ e f() = si > (e f() si = ) Preuve : O a 8, 8 [; +[, jf()e j jf()j e = '() iégrable, doc lim!+ L() = + d = : Théorème de la valeur iiiale : O suppose f borée e f() 6=. Alors L() f() lorsque ed vers +. Preuve : E e e, L() = + f( u ) du: Posos M = sup [;+[ jfj : 8 >, 8u [; +[; f( u ) M, e 8u [; +[, lim!+ f( u ) = f(): Doc lim!+ + f( u ) du = + f() du = f(): Théorème de la valeur ale : O suppose lim + f = 6=. Alors L() lorsque ed vers +. Preuve : E e e, L() = + e f() d = + f( u ) du: Or, la focio f es borée (car coiue sur [; +[ e covergea e +). O a 8 >, 8u ]; +[; f( u ) M e 8u ]; +[, lim!;> f( u ) = :

Intégrales dépendant d un paramètre

Intégrales dépendant d un paramètre [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés Iégrales dépeda d u paramère Covergece domiée Exercice [ 9 ] [correcio] Calculer les limies des suies do les ermes gééraux so les suivas : a) u = π/4

Plus en détail

Intégrales généralisées

Intégrales généralisées 3 Iégrles géérlisées Pour ce chpire, les focios cosidérées so priori défiies sur u iervlle réel I o rédui à u poi, à vleurs réelles ou complees e coiues pr morceu. L défiiio e les propriéés de l iégrle

Plus en détail

Intégration SUP/ESC MPSI/PCSI/ESC. x dx C

Intégration SUP/ESC MPSI/PCSI/ESC. x dx C MPS/PCS/ESC égraio SUP/ESC Méhodes d iégraio - : égrale immédiae - : Somme ou différece de focios - : Composée de focio -4 : Décomposiio e fracios raioelles -5 : Par subsiuio (chageme de variable) -6 :

Plus en détail

S euls les flux de fonds (dépenses et recettes) définis s ent l investissement.

S euls les flux de fonds (dépenses et recettes) définis s ent l investissement. Choix d ives i s s eme e cer iude 1 Chapire 1 Choix d ivesissemes e ceriude. Défiiio L es décisios d ivesissemes fo parie des décisios sraégiques de l erepris e. Le choix ere différes projes d ivesisseme

Plus en détail

n 1 LES GRANDS THÈMES DE L ITB > 2009 Les intérêts simples et les intérêts composés ( ) C T D ( en mois)

n 1 LES GRANDS THÈMES DE L ITB > 2009 Les intérêts simples et les intérêts composés ( ) C T D ( en mois) LES GRANDS THÈMES DE L ITB Les iérês simples e les iérês composés RAPPELS THÉORIQUES Les iérês simples : l'iérê «I» es focio de la durée «D» (jour, quizaie, mois, rimesre, semesre, aée) de l'opéraio (placeme

Plus en détail

Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI

Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI UV Cour Répoe emporelle de yème dyamique coiu LI ASI 3 Coeu! Iroducio! Eude de yème du premier ordre " Iégraeur " Syème du er ordre! Eude de yème du ème ordre " Syème du ème ordre avec répoe apériodique

Plus en détail

Développement en Série de Fourier

Développement en Série de Fourier F-IRIS-5.ex Développeme e Série de Fourier Développer e série de Fourier les focios de période T défiies aisi : a b { f impaire T = f = si ] ; { f paire T = f = si ; ] Faire das chaque cas ue représeaio

Plus en détail

Exercices de révision

Exercices de révision Exercices de révisio Exercice U ivesisseur souscri à l émissio d u bille de résorerie do les caracérisiques so les suivaes : - Nomial : 5 M - Taux facial : 3,2% - Durée de vie : 9 mois L ivesisseur doi

Plus en détail

Calculer comment se constituer un capitale ; Calculer comment rembourser une dette en effectuant des versements réguliers.

Calculer comment se constituer un capitale ; Calculer comment rembourser une dette en effectuant des versements réguliers. CHAP: 8 Objecifs de ce chpire : Clculer comme se cosiuer u cpile ; Clculer comme rembourser ue dee e effecu des versemes réguliers. RAPPELS : Qu'es-ce qu'ue vleur cquise? Qu'es-ce qu'ue vleur cuelle? Le

Plus en détail

Devoir de statistiques: CORRIGE

Devoir de statistiques: CORRIGE CPP - la prépa des INP ( ème aée). Bordeaux, 6/04/04. Devoir de statistiques: CORRIGE durée h Doées: O rappelle que si Z suit ue loi N (0, ), o a P(Z.96) 0, 975 et P(Z.65) 0, 95. Exercice. θ et O cosidère

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Chapitre 4 Lois discrètes

Chapitre 4 Lois discrètes Chapitre 4 Lois discrètes 1. Loi de Beroulli Ue variable aléatoire X est ue variable de Beroulli si elle e pred que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités o ulles. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p = q, avec

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

Simulation de trajectoires de processus continus

Simulation de trajectoires de processus continus Simulaio de rajecoires de processus coius F. Plache 1 ad P.-E. Thérod Résumé. Les processus sochasiques coius so des ouils largeme employés e fiace e e assurace, oamme pour modéliser aux d iérês e cours

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

L actualisation permet de déterminer le montant X. à placer en t 0 pendant un an au taux d intérêt r pour obtenir en t 1

L actualisation permet de déterminer le montant X. à placer en t 0 pendant un an au taux d intérêt r pour obtenir en t 1 GLOSSAIRE Acualisaio L acualisaio perme de déermier le moa X à placer e peda u a au aux d iérê r pour obeir e 1 la somme X 1, elle que : X X1 = 1 + r. Capialisaio La capialisaio (ou composiio) (discoiue

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

Rentabilité et financement d un investissement

Rentabilité et financement d un investissement REFI01 : Reabilié e fiaceme COURS Jui 2000 Reabilié e fiaceme d u ivesisseme 1 OBJECTIFS O cherche : à assurer la compéiivié de l ereprise sur plusieurs aées ; après avoir examié l opporuié d u ivesisseme

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de

Plus en détail

Texte Ruine d une compagnie d assurance

Texte Ruine d une compagnie d assurance Page n 1. Texe Ruine d une compagnie d assurance Une nouvelle compagnie d assurance veu enrer sur le marché. Elle souhaie évaluer sa probabilié de faillie en foncion du capial iniial invesi. On suppose

Plus en détail

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 5 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Cleet, J. Esteba,

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer

Plus en détail

CH.3 PROBLÈME DE FLOTS

CH.3 PROBLÈME DE FLOTS H.3 PROLÈME E FLOTS 3.1 Le réeaux de ranpor 3.2 Le flo maximum e la coupe minimum 3.3 L'algorihme de Ford e Fulkeron 3. Quelque applicaion Opi-comb ch 3 1 3.1 Le réeaux de ranpor Réeau de ranpor : graphe

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E).

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E). Chapitre 1 Tribus 1.1 Défiitios Soit E u esemble. O appelle classe de parties de E u sous-esemble o vide de P(E). Défiitio 1.1.1. Ue tribu A sur E est u sous-esemble o vide de P(E) tel que : (i) la partie

Plus en détail

Réponse indicielle et impulsionnelle d un système linéaire

Réponse indicielle et impulsionnelle d un système linéaire PSI Brizeux Ch. E2: Réponse indicielle e impulsionnelle d un sysème linéaire 18 CHAPITRE E2 Réponse indicielle e impulsionnelle d un sysème linéaire Nous connaissons ou l inérê de l éude de la réponse

Plus en détail

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

2. Quelle est la valeur de la prime de l option américaine correspondante? Utilisez pour cela la technique dite de remontée de l arbre.

2. Quelle est la valeur de la prime de l option américaine correspondante? Utilisez pour cela la technique dite de remontée de l arbre. 1 Examen. 1.1 Prime d une opion sur un fuure On considère une opion à 85 jours sur un fuure de nominal 18 francs, e don le prix d exercice es 175 francs. Le aux d inérê (coninu) du marché monéaire es 6%

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

Le montant des intérêts acquis est la différence entre la valeur acquise et le capital placé :

Le montant des intérêts acquis est la différence entre la valeur acquise et le capital placé : http://maths-scieces.fr OPÉRATIONS FINANIÈRES A INTÉRÊTS OMPOSÉS I) Itérêts et valeur acquise Défiitio U capital est placé à itérêts composés lorsque le motat des itérêts produits à la fi de chaque période

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

Gestion de production court terme en contexte incertain. Gestion de production à court terme. EDF R&D École Centrale Paris

Gestion de production court terme en contexte incertain. Gestion de production à court terme. EDF R&D École Centrale Paris Geson de producon cour erme en conee nceran EDF R&D École enrale Pars Geson de producon à cour erme Encadrans ndusrels : Gérald Vgnal - Jérôme Quenu Encadran académque : Yves Dallery-Mchel Mnou Snda Ben

Plus en détail

Chapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction

Chapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction Chapitre 3 : Trasistor bipolaire à joctio ELEN075 : Electroique Aalogique ELEN075 : Electroique Aalogique / Trasistor bipolaire U aperçu du chapitre 1. Itroductio 2. Trasistor p e mode actif ormal 3. Courats

Plus en détail

Page # $ %& +',- VAN = 30; F 2 = 50; F 3 = 140. = -200 ; F 1. Avec r = 3% => VAN = 4,38 > 0. Avec r = 5% => VAN = -5,14 < 0.

Page # $ %& +',- VAN = 30; F 2 = 50; F 3 = 140. = -200 ; F 1. Avec r = 3% => VAN = 4,38 > 0. Avec r = 5% => VAN = -5,14 < 0. # $ %& 1. La VAN. Les aures crières 3. Exemple. Choix d invesissemen à long erme 5. Exercices!" '* '( Un proje ne sera mis en œuvre que si sa valeur acuelle nee ou VAN, définie comme la somme acualisée

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

Présentation groupe de travail

Présentation groupe de travail Présenaion groupe de ravail Sofiane Saadane jeudi 23 mai 2013 Résumé L aricle sur lequel on ravaille [LP09] présene un problème de bandi à deux bras comporan une pénalié. Nous commencerons par présener

Plus en détail

Séries numériques. Chap. 02 : cours complet.

Séries numériques. Chap. 02 : cours complet. Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm

Plus en détail

Suites et séries numériques

Suites et séries numériques Maths MP Cours Table des matières Suites et séries umériques Quelques prélimiaires. Les yeux fermés........................................... De quoi parle-t-o?........................................3

Plus en détail

Calculs en chromatographie

Calculs en chromatographie Calculs e chroatographe éthode de la oralsato tere... 1 Coeffcet de répose assque relatf... 1 Calcul des pourcetages assques... 2 Calcul des pourcetages olares... 3 xeple d aalyse CG d ue substtuto copéttve

Plus en détail

Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui :

Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : Sommaire SAMEDI 7 JANVIER 202 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : Un rappel de cours sur les suites ; Page 2 Deu eercices intitulés

Plus en détail

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING LE Age KHOURI Nadie M MMD PROJE DE MONE ARLO SUJE : LE PRIING Selim ZOUGHLAMI QUESION : Supposos d abord que X est u mouvemet browie W t G([ 0, ]) Alors W0 G( 0 ) suit ue loi N(0,0) et doc W 0ps 0 Esuite,

Plus en détail

TD 20-21 : Modèles de marchés - Mouvement brownien

TD 20-21 : Modèles de marchés - Mouvement brownien Universié Paris VI Maser : Modèles sochasiques, applicaions à la finance (MM065) TD 20-2 : Modèles de marchés - Mouvemen brownien. Taux de change. Soi (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé fini non redondan

Plus en détail

Processus et martingales en temps continu

Processus et martingales en temps continu Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de

Plus en détail

Intérêt simple CHAPITRE. Sommaire

Intérêt simple CHAPITRE. Sommaire HAPTRE térêt simple Sommaire A B D E F G H J K L Notio d itérêt Formule fodametale de l itérêt simple Durée de placemet exprimée e mois Durée de placemet exprimée e jours alculs sur la formule fodametale

Plus en détail

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie

Plus en détail

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009 M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie. MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie. MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie VARIABLES ALÉATOIRES déo oco de réro vrble léore dscrèe moyee - vrce - écr ye esérce mhémque vrble léore coue oco d ue vrble léore : rsormo combso lére de vrbles léores Déo E : eérece léore S : esce échllol

Plus en détail

budgétaire et extérieure

budgétaire et extérieure Insiu pour le Développemen des Capaciés / AFRITAC de l Oues / COFEB Cours régional sur la Gesion macroéconomique e les quesions de dee Dakar, Sénégal du 4 au 5 novembre 203 Séance S-4 : Souenabilié budgéaire

Plus en détail

Richard Lagrange Directeur du Centre national des arts plastiques

Richard Lagrange Directeur du Centre national des arts plastiques -è é. é é, é ôé É é é.,, é é é é.,, -ê à é, é é é ç éé. é éé ç œ,, é - É. é 2010. ç é,. é éé é 2012 é é éé éê é. é é é. = // é,. 38. 13/10/11, 24/11/11 î è é ç, é é., é é é à î é à î, é à è. é à,, ç, -à-.,.,

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

LES ESCALIERS. Du niveau du rez-de-chaussée à celui de l'étage ou à celui du sous-sol.

LES ESCALIERS. Du niveau du rez-de-chaussée à celui de l'étage ou à celui du sous-sol. LES ESCALIERS I. DÉF I NIT I O N Un escalier est un ouvrage constitué d'une suite de marches et de paliers permettant de passer à pied d'un niveau à un autre. Ses caractéristiques dimensionnelles sont

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local Appretissage: cours 3a Méthodes par moyeage local Guillaume Oboziski 1 er mars 2012 Réferece : chap. 6 of [Hastie et al., 2009] ad chap. 6 of [Devroye et al., 1996]. Algorithmes par moyeage local O cosidère

Plus en détail

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C. 16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme

Plus en détail

O, i, ) ln x. (ln x)2

O, i, ) ln x. (ln x)2 EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On

Plus en détail

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x )

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x ) Séries de Fourier Les séries de Fourier constituent un outil fondamental de la théorie du signal. Il donne lieu à des prolongements et des extensions nombreux. Les séries de Fourier permettent à la fois

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail

Trading de Volatilité

Trading de Volatilité M émoire moire d Eude d Approfodisseme Tradig de Volailié Chrisia DIDION & Thomas JANNAUD Valdo DURRLEMAN Ecole Polyechique Sommaire Iroducio. Modèle de Blac-Scholes. Iroducio 44. Modèle de Blac & Scholes..5

Plus en détail

RESOLUTION PAR LA METHODE DE NORTON, MILLMAN ET KENNELY

RESOLUTION PAR LA METHODE DE NORTON, MILLMAN ET KENNELY LO 4 : SOLUTO P L MTHO OTO, MLLM T KLY SOLUTO P L MTHO OTO, MLLM T KLY MTHO OTO. toductio Le théoème de oto va ous pemette de éduie u cicuit complexe e gééateu de couat éel. e gééateu possède ue souce

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

La rentabilité des investissements

La rentabilité des investissements La renabilié des invesissemens Inroducion Difficulé d évaluer des invesissemens TI : problème de l idenificaion des bénéfices, des coûs (absence de saisiques empiriques) problème des bénéfices Inangibles

Plus en détail

LES PROBABILITÉS POUR LES OPTIONS B, C ET D

LES PROBABILITÉS POUR LES OPTIONS B, C ET D LES PROBABILITÉS POUR LES OPTIONS B, C ET D PRÉPARATION À L AGRÉGATION EXTERNE DE MATHÉMATIQUES DE L UNIVERSITÉ RENNES 1 1 ANNÉE 2009/2010 1. ESPACE PROBABILISÉ - VARIABLE ALÉATOIRE 1.1 ESPACE PROBABILISÉ

Plus en détail

Coefficient de partage

Coefficient de partage Coeffcet de partage E chme aque, la sythèse d'u composé se fat e pluseurs étapes : la réacto propremet dte (utlsat par exemple u motage à reflux quad la réacto dot être actvée thermquemet), les extractos

Plus en détail

PRÉPAS TOUS LES EXERCICES D'ANALYSE MP 100% Pour assimiler le programme, s entraîner et réussir son concours

PRÉPAS TOUS LES EXERCICES D'ANALYSE MP 100% Pour assimiler le programme, s entraîner et réussir son concours % PRÉPAS EL-HAJ LAAMRI PHILIPPE CHATEAUX GÉRARD EGUETHER ALAIN MANSOUX MARC REZZOUK DAVID RUPPRECHT LAURENT SCHWALD TOUS LES EXERCICES D'ANALYSE MP Pour assimiler le programme, s etraîer et réussir so

Plus en détail

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal :

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal : Colles du 3 ovembre 014 Solutio de la questio de cours 1. (i) Soit E u esemble de cardial. L esemble (E) peut alors être partitioé comme suit : (E) (E), où (E) est l esemble des parties de E de cardial.

Plus en détail

ANNEXES...16 Notation...16 Rente financière certaine...16. Mémo d Actuariat - Sophie Terrier @ 2004 1/16

ANNEXES...16 Notation...16 Rente financière certaine...16. Mémo d Actuariat - Sophie Terrier @ 2004 1/16 ÉO TUIT FOULS TUILLS SU TT Probbé ouo 3 dfféré4 ee gère be à ere échu 5 ee gère be à ere échu ueur fo d ée 6 ee gère à ere be d ce7 ee gère à ere be d ce ueur fo d ée8 urce décè 9 urce décè à c rbe cro

Plus en détail

Etude des micros de guitare électrique.

Etude des micros de guitare électrique. Emmuel Serié Chrisophe Combe Eude des micros de guire élecrique. Sge rélisé du 3 jui u 2 juille u Lboroire d'acousique Musicle (L.A.M.: UMR 764 du CNRS) UFR N 39 de l'uiversié Pris 6 rue de Lourmel 755

Plus en détail

Etude de risque pour un portefeuille d assurance récolte

Etude de risque pour un portefeuille d assurance récolte Eude de risque pour un porefeuille d assurance récole Hervé ODJO GROUPAMA Direcion ACTUARIAT Groupe 2, Bd Malesherbes 75008 Paris Tél : 33 (0 44 56 72 46 herve.odjo@groupama.com Viviane RITZ GROUPAMA Direcion

Plus en détail

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9 Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios

Plus en détail

Méthode d'analyse économique et financière ***

Méthode d'analyse économique et financière *** Méhode d'analyse économique e financière *** Noion d acualisaion e indicaeurs économiques uilisables pour l analyse de projes. Dr. François PINTA CIRAD-Forê UR Bois - Kourou CHRONOLOGIE D INTERVENTION

Plus en détail

IRM fonctionnelle : QUELQUES IDEES SUR LE TRAITEMENT STATISTIQUE DES DONNEES

IRM fonctionnelle : QUELQUES IDEES SUR LE TRAITEMENT STATISTIQUE DES DONNEES IRM foncionnelle : QUELQUES IDEES SUR LE TRAITEMENT STATISTIQUE DES DONNEES Le principe général d'une éude IRMf consise à analyser le signal BOLD (Blood Oxygen Level Dependen) qui radui l'augmenaion d'afflux

Plus en détail

Modes propres de vibration ; interprétation ondulatoire

Modes propres de vibration ; interprétation ondulatoire SPECIALITE TS ( PHYSIQUE ) : FICHE CURS 6 1/5 MDES PRPRES DE IBRATI Ce qu'il faut reteir Modes propres de vibratio ; iterprétatio odulatoire 1. Productio d u so à l aide d u istrumet de musique U istrumet

Plus en détail

ANALYSE DES ENQUETES CAS-TEMOINS. AVEC PRISE EN COMPTE DE FACTEURS DE CONFUSION (Séries non appariées) ad bc. , bc. 762, nmnm

ANALYSE DES ENQUETES CAS-TEMOINS. AVEC PRISE EN COMPTE DE FACTEURS DE CONFUSION (Séries non appariées) ad bc. , bc. 762, nmnm I. DEFINITION ANALYSE DES ENQUETES CAS-TEMOINS AVEC PRISE EN COMPTE DE FACTEURS DE CONFUSION (Séres o apparées) Dr F. Séguret Départemet d Iformato Médale, Épdémologe et Bostatstques U facteur F est ue

Plus en détail

SYSTEMES ELECTRONIQUES I PREMIERE PARTIE

SYSTEMES ELECTRONIQUES I PREMIERE PARTIE Haue Ecole d géierie e de Gesio du cao du Vaud SYSEMES EEONQES PEMEE PAE Marc orrevo A B E E S M A E E S PAGE. NOON...-. B...-. FS ONES E HAPES OS...-.3 ONSÉAONS EHNOOGQES...-3.3. Gééraliés... -3.4 NOES

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa

Plus en détail

LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

Approximation de la solution d une équation différentielle ordinaire avec impulsions qui dépendent de l état

Approximation de la solution d une équation différentielle ordinaire avec impulsions qui dépendent de l état Approximatio de la solutio d ue équatio différetielle ordiaire avec impulsios qui dépedet de l état F. Dubeau A. Ouasafi A. Sakat CRM-276 Jauary 21 Départemet de mathématiques et d iformatique, Uiversité

Plus en détail

chapitre VIII exercices et problèmes de synthèse algorithmique et turbo-pascal

chapitre VIII exercices et problèmes de synthèse algorithmique et turbo-pascal chapitre VIII eercices et problèmes de sythèse algorithmique et turbo-pascal Algèbre liéaire et probabilités : Chaîes de Marov (esco 93) Partie A 4 3 O cosidère la matrice M = 8 6 ) a) Détermier les valeurs

Plus en détail

Remise à Niveau Mathématiques

Remise à Niveau Mathématiques Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet Remise à Niveau Mathématiques Première partie : Calcul et raisoemet Exercices Page sur 9 RAN Calcul et raisoemet Ex - Rev 04 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet

Plus en détail

Les circuits électriques en régime transitoire

Les circuits électriques en régime transitoire Les circuis élecriques en régime ransioire 1 Inroducion 1.1 Définiions 1.1.1 égime saionnaire Un régime saionnaire es caracérisé par des grandeurs indépendanes du emps. Un circui en couran coninu es donc

Plus en détail

Simulation : application au système bonus-malus en responsabilité civile automobile

Simulation : application au système bonus-malus en responsabilité civile automobile 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Simulaion Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus en responsabilié civile auomobile 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Programme

Plus en détail

CLUB ENTREPRISES FRANCE OLYMPIQUE. «Sport & Entreprises : un enjeu de performance économique et sociale»

CLUB ENTREPRISES FRANCE OLYMPIQUE. «Sport & Entreprises : un enjeu de performance économique et sociale» CLUB ENTREPRISES FRANCE OLYMPIQUE «Sport Etreprises : u ejeu de performace écoomique et sociale» LE COMITÉ NATIONAL OLYMPIQUE ET SPORTIF FRANÇAIS, ACTEUR RÉFÉRENT ET D AVANT-GARDE Le Comité Natioal Olympique

Plus en détail

Surveillance et maintenance Prévisionnelle

Surveillance et maintenance Prévisionnelle Page Surveillance e mainenance Prévisionnelle Sommaire Page 2 La Prévisionnelle o Terminologie e Normes o Elémens de conexe ( enjeux, mise en œuvre.) Exemples d applicaions réalisées par le Ceim o L approche

Plus en détail

ISFA Université Lyon 1 β WINTER & Associés γ RÉSUMÉ

ISFA Université Lyon 1 β WINTER & Associés γ RÉSUMÉ Allocaio d acifs selo le crière de maximisaio des fods propres écoomiques e assurace o-vie : préseaio e mise e œuvre das la réglemeaio fraçaise e das u référeiel de ype Solvabilié Frédéric PLANCHET Pierre-E

Plus en détail

Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE

Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-

Plus en détail