Les lendemains de l approche de Lebesgue. Cours du 24 mars 2015

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1 Les lendemains de l approche de Lebesgue Cours du 24 mars 2015

2 Dans les années qui suivent sa thèse (1902), Lebesgue va chercher à montrer la puissance de sa technique d intégration. Usage se révèle révolutionnaire : les résultats laborieusement obtenus précédemment, ou impossible à obtenir, «tombent» les uns après les autres. En général, obtenus en application des propriétés fondamentales de la mesure et de l intégrale et notamment du théorème de dérivation : Théorème (Lebesgue) : Toute fonction F à variations bornées est dérivable presque partout. 1 ère application : problème «historique» des séries trigonométriques.

3 Problème : Fourier : en «admettant» l interversion série-intégrale, identification des coefficients. Du Bois Reymond : ça marche si f est Riemann-intégrable (démonstration assez alambiquée)

4 Lebesgue repart de Riemann (thèse de 1854): Riemann avait montré : Lebesgue commence par remarquer une propriété élémentaire : Lemme : On a Et il propose deux méthodes pour identifier les coefficients.

5 1 ère méthode : Lebesgue introduit : C est une fonction harmonique pour r <1, au sens où, posant et et de plus Si r <1, la série converge uniformément donc Du lemme précédent et du caractère harmonique, Lebesgue arrive à montrer que f(r,u) est uniformément bornée. Alors, faisant tendre r vers 1 et en utilisant la convergence dominée on a

6 2 ème méthode : Lebesgue reprend la méthode de du Bois Reymond qui repose sur le fait que F est reliée à une «double primitive» de f i.e. Démonstration de du Bois-Reymond de cette égalité assez pénible Lebesgue remarque : est uniformément bornée en Par le théorème de convergence dominée Et donc où F 1 désigne une primitive de F, F 2 une primitive de F 1. De ce fait,

7 Extension de Fejer et Parseval : avec Fejer (1900) : Si f est Riemann intégrable alors est continue Lebesgue (1905) : Si f est mesurable bornée, en tout point x où f presque partout. Lebesgue montre: uniformément bornée, et donc :

8 Thèse en Sans doute la première fois que l intégrale de Lebesgue est systématiquement utilisée. Pierre FATOU ( ) But : établir les relations entre f périodique sommable et la fonction harmonique associée Ecriture systématique à l aide du noyau de Poisson Fatou montre que si Alors pour tout t où F est dérivable.

9 Posant, par le théorème de dérivation F ()=f(t) presque partout. D où, presque partout par une intégration par parties Problème : étendre ce résultat si f est non bornée. C est à cette occasion qu il énonce Lemme : Si (f n ) est une suite de fonctions positives, intégrables sur [a,b] telles que presque partout, alors f est intégrable et Démonstration : Soit L fixé et On pose

10 On a pour tout x dans [a,b]. Comme pour x dans E L, le théorème de convergence dominée s applique sur E L et Alors, puisque sur E L. Donc Ceci étant vrai pour tout L, on fait tendre L vers l infini en utilisant la convergence monotone

11 Fatou obtient un résultat général de convergence des séries trigonométriques Théorème : Une série trigonométrique telle que na n et nb n tendent vers 0 converge presque partout. Riesz : sans doute celui qui a le plus fait (après Lebesgue lui même) pour disséminer la nouvelle intégration parmi les mathématiciens. Etudes à Budapest puis à Göttingen et à Zürich. Frigyes RIESZ ( ) Doctorant en géométrie à Budapest en 1902.

12 Etudes d Hilbert et Schmidt sur l équation intégrale de Fredholm : Si est un système orthogonal complet Frigyes RIESZ ( ) de fonctions au sens du produit scalaire intégral et solution continue de (*) : sont solutions «de carré sommable» d un système infini linéaire

13 Problème général : si suite de coefficients de carré sommable, existe-t-il une fonction telle que Clairement hérité des questionnements sur les séries de Fourier. Frigyes RIESZ ( ) Riesz va faire appel à de toutes nouvelles techniques de topologie introduites par Fréchet. Personnage étonnant. Va se donner comme objectif d axiomatiser la topologie et notamment les espaces métriques. Thèse (1906) Maurice FRECHET ( ) Baire à Borel, 9 juin 1906

14 Définition de la limite : Notion de voisinage : Maurice FRECHET ( ) Notion d écart : Fréchet invente la notion de compacité (extension de Borel par les recouvrements par des ouverts) (Hadamard, 1934)

15 L espace que Riesz va considérer est l ensemble des fonctions de carré sommable, muni de la distance Frigyes RIESZ ( ) Plus tard, ce sera lui qui introduira plus généralement les espaces L p. Théorème de Riesz-Fischer : si équivalence entre sont deux suites réelles, il y a (i) (ii) Il existe une fonction f de carré intégrable qui admet coefficients de Fourier. comme

16 Seul (i) => (ii) : réciproque de Parseval Soit Comme la série converge Frigyes RIESZ ( ) uniformément ( grâce à Cauchy Schwarz puisque ). Donc F est continue. De plus Riesz démontre (// Fatou) que F est à variations bornées. Donc F existe presque partout. Riesz cite Fatou : en t où F existe, Pour r<1,

17 Riesz énonce : Lemme : Soit (f n ) une suite de fonctions de carré intégrable sur [a,b] telle que (i) f n converge vers f presque partout (ii) Il existe K >0, tel que pour tout n, Frigyes RIESZ ( ) Alors f est de carré intégrable et Riesz ne donne pas de preuve, mais probablement vu comme application du Lemme de Fatou : donc f est de carré intégrable, d où intégrable par Cauchy Schwarz. Probablement a-t-il remarqué en outre (il l écrira dans un article ultérieur) que avec

18 D où en appliquant le lemme Frigyes RIESZ ( ) et idem pour les b n.