UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Cours de B. Desgraupes. Corrigé - Simulation Stochastique

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1 UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire L2 MIASHS Cours de B. Desgraupes Corrigé - Simulation Stochastique Séance 03: Exemples introductifs Corrigé ex. 1: poste de déchargement On considère un poste de déchargement de pétrolier dans un port. Chaque jour on peut enregistrer 0, 1 ou 2 arrivées avec une probabilité 1/3. On suppose que le déchargement d un pétrolier prend exactement 1 jour, que tous les pétroliers arrivent à midi et que, si un poste est libre, ils y vont aussitôt. On cherche à déterminer le taux de saturation du poste et combien de temps les pétroliers ont à attendre en moyenne. 1-1 ) Faire une simulation sur 21 jours du fonctionnement de ce poste de déchargement. Quel est le taux d utilisation sur cette période et le nombre de pétroliers-jours d attente? On crée un échantillon de la variable nombre d arrivées au moyen de la fonction runif. Elle prend les valeurs 0, 1 ou 2 de manière équiprobable. On peut construire un vecteur qu on appelle arr de la manière suivante : > n <- 21 > x <- round(runif(n,1,99)) > arr <- numeric(n) > arr[x<=33] <- 0 > arr[x>33 & x <=66] <- 1 > arr[x>66] <- 2 > arr [1] À partir de l échantillon, on effectue la simulation dans un tableau de la forme suivante : Jours Nb d arrivées Nb de déchargements Nb de pétroliers en attente On peut automatiser les calculs dans R comme ceci : > dech <- numeric(n) > att <- numeric(n) > if (arr[1] > 0) { + dech[1] <- 1 + att[1] <- arr[1]-1

2 + } > for (i in 2:n) { + if (arr[i] > 0) { + dech[i] <- 1 + att[i] <- att[i-1]+arr[i]-1 + } else { + if (att[i-1] > 0) { + dech[i] <- 1 + att[i] <- att[i-1]-1 + } + } + } On obtient finalement le tableau suivant : Jours Arrivées Déchargement Attente Jours Arrivées Déchargement Attente Jours Arrivées Déchargement Attente On compte qu il y a 15 jours pendant lesquels le poste de déchargement est occupé, ce qui fait un taux d utilisation de 15/21 = = 71.43%. Le nombre de pétroliers-jours d attente est 6. Remarque Le code pour construire l échantillon arr du nombre d arrivée à partir de la séquence aléatoire x peut être réécrit plus efficacement au moyen de la fonction findinterval comme ceci : > coupe <- c(0,33,66,99) > findinterval(x,coupe)-1 [1] L argument coupe représente les points de coupure de l intervalle considéré. Une autre solution pour construire l échantillon consiste à utiliser la fonction sample de R. On en verra un exemple par la suite de cet exercice. 1-2 ) On suppose maintenant que le temps de déchargement est lui aussi aléatoire : le déchargement prend 1 ou 2 jours avec probabilité 0.5 dans les deux cas. Créer un échantillon de longueur 21 des temps de déchargement correspondant à cette probabilité. 2

3 On crée cette fois l échantillon des temps de déchargement au moyen de la fonction sample (on pourrait aussi bien utiliser runif ) : > tps <- sample(1:2,n,replace=true) [1] > table(tps) tps On refait la simulation en tenant compte des temps de déchargement variables : Jours Arrivées Déchargement Attente Jours Arrivées Déchargement Attente Jours Arrivées Déchargement Attente On compte qu il y a 20 jours pendant lesquels le poste de déchargement est occupé, ce qui fait un taux d utilisation de 20/21 = = 95.24%. Le nombre de pétroliers-jours d attente est ) On suppose cette fois qu il y a deux postes afin d éviter un engorgement croissant. Faire une simulation de fonctionnement sur 21 jours. Le tableau prend maintenant la forme suivante : Jours Nb d arrivées Utilisation du poste 1 Utilisation du poste 2 Pétroliers en attente On va créer un nouvel échantillon de temps d attente de taille 42 pour avoir suffisamment de valeurs disponibles : > tps <- sample(1:2,2*n,replace=true) [1] [39]

4 On refait la simulation dans le tableau suivant : Jours Arrivées Déchargement Déchargement Attente Jours Arrivées Déchargement Déchargement Attente Jours Arrivées Déchargement Déchargement Attente Le taux d utilisation du poste 1 est 16/21 = = 76.19% et celui du poste 2 est 9/21 = = 42.86%. Le nombre de pétroliers-jours d attente est 4. Corrigé ex. 2: méthode du point de commande On considère la tenue de stock d une pièce dont la demande annuelle est de N = 30 pièces. Le coût de stockage annuel unitaire est de c = 480 e (qu on appliquera au stock moyen immobilisé) et le coût d une livraison est de a = 800 e. On suppose d abord que la demande est constante dans le temps et que l approvisionnement se fait selon des quantités constantes Q livrées lorsque le stock tombe à son niveau de sécurité S. 2-1 ) Déterminer le coût de gestion annuel et déterminer la valeur Q qui le minimise. Trouver la période d approvisionnement T correspondante. Le niveau moyen du stock est Q + S qui est la moyenne entre le niveau 2 minimal S et le niveau maximal Q + S. On a donc le coût total C = c ( Q 2 + S) + a N Q En annulant la dérivée par rapport à Q, on obtient : d où Q = 2aN c = 10. C = c 2 an Q 2 = 0 On en déduit T = Q N = 1 3 = 4 mois. 2-2 ) Si le délai de livraison est de d = 2 mois, déterminer le niveau R du stock au moment des commandes. R s appelle le point de commande. 4

5 Si M est la consommation mensuelle moyenne (M = N ), le point de commande est : 12 R = M d + S = = ) On suppose maintenant que la demande de pièces est aléatoire. Le nombre n de pièces demandées par mois suit la distribution suivante : n P (n) Construire un échantillon de la variable nombre mensuel de pièces sur trois années. On peut faire le calcul directement en générant 36 nombres au hasard entre 0 et 99 et en faisant des affectations : de 0 à 14 : n = 1 de 15 à 54 : n = 2 de 55 à 84 : n = 3 de 85 à 94 : n = 4 de 95 à 99 : n = 5 > s <- round(runif(36,0,99)) > s[s<15]<-1 > s[s>=15 & s<55]<-2 > s[s>=55 & s<85]<-3 > s[s>=85 & s<95]<-4 > s[s>=95]<-5 > print(s) [1] Autre méthode : On peut passer un vecteur de probabilités à la fonction sample : > p <- c(0.15,0.4,0.3,0.1,0.05) [1] > n <- sample(1:5,36,replace=true,prob=p) [1] > table(n)/length(n) n ) Calculer les moyennes théorique et empirique de la variable n. 5

6 Moyenne théorique > weighted.mean(1:5,p) [1] 2.5 Moyenne empirique > mean(n) [1] ) Le délai de livraison d est lui aussi aléatoire et suit la distribution suivante : d P (d) Construire un échantillon artificiel (de taille 10) de la variable d. > d <- sample(1:3,10,replace=true,prob=c(0.1,0.8,0.1)) [1] ) La loi de réapprovisionnement consiste à commander la quantité Q lorsque le niveau du stock devient inférieur ou égal au point de commande R. L état du stock est déterminé en fin de mois, les commandes sont passées et reçues en fin de mois. Lorsqu il y a pénurie, la demande non satisfaite n est pas reportée sur le mois suivant. Faire une simulation sur 3 années du fonctionnemement de ce stock en partant d un stock initial de 11 pièces. 2-7 ) On traite maintenant les pénuries par un dépannage d urgence dont le coût est de 800 e. Est-il rentable d augmenter le niveau de sécurité d une unité en partant d un stock initial de 12 pièces? (on utilisera les mêmes échantillons simulés). Corrigé ex. 3: implémentation de l aiguille de Buffon On prend d = 2 et L = 1. π. 3-1 ) Simuler lancers de l aiguille et en déduire la valeur approchée de > n < > X <- runif(n) > theta <- runif(n,0,pi/2) > A <- sum(x <= sin(theta)/2) > print(n/a) [1]

7 3-2 ) Refaire le calcul avec lancers....on trouve cette fois π ) Refaire le calcul en prenant des valeurs de n = 2 k avec k nombre entier variant de 1 à 20. > M <- 20 > val <- numeric(m) > for (k in 1:M) { + n <- 2^k + X <- runif(n) + theta <- runif(n,0,pi/2) + A <- sum(x <= sin(theta)/2) + val[k] <- n/a + } > print(val[1:m]) [1] [9] [17] ) Représenter les résultats sur un graphique. > plot(val,type= l ) > abline(h=pi,lty=3) val Index 3-5 ) Représenter graphiquement le logarithme de l erreur en valeur absolue. 7

8 > K <- 1:M > logerr <- log(abs(val[k]-pi)) > plot(k,logerr,type= o ) logerr K 3-6 ) Comment les erreurs décroissent-elles en fonction de n? On va faire une régression pour trouver la droite qui ajuste le nuage de points (par la méthode des moindres carrés). On utilise pour cela la fonction lm de R comme ceci : > reg <- lm(logerr~k) > C <- coef(reg) (Intercept) K

9 logerr K L équation de la droite de régression est (en arrondissant les coefficients à trois décimales) : y = x Ici la variable x est le nombre k et la variable y est le logarithme des erreurs : log(ε) = k Or on a n = 2 k k = log(n). En remplaçant dans l équation de la droite, log(2) on obtient : log(ε) = log(n) log(2) On en déduit, en prenant l exponentielle des deux membres : ε = n log(2) e = 1.4 n La décroissance est donc en n Si on remplace 0.43 par 0.5 pour avoir un ordre de grandeur, c est approximativement en 1. n 9