TD De Mécanique Générale TRAVAUX DIRIGÉS DE MÉCANIQUE GÉNÉRALE

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1 INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE TRAVAUX DIRIGÉS DE MÉCANIQUE GÉNÉRALE Niveau : L/S EXERCICE (Corrigé) : On défini par : R (O x y z) Un repère de référence Lié au sol R (A u v z) un repère lié au tube Point B caractérise la bille ω : Vitesse angulaire du repère R /R Bille (B) V z B v Tube () A Sol () u o y x La bille glisse dans le tube à la vitesse V Le tube tourne à la vitesse angulaire ; Calculons la vitesse de la bille / au sol γ( B / R ) l accélération de B / sol V ( B / R) et TD Page

2 EXERCICE (Corrigé): Considérons un robot constitué d un socle et de deux bras et (Voir figure) Soit les repères : R ( x y z ) repère fixe lié au socle Socle R ( x y z ) repère lié au bras R ( x y z ) repère lié au bras y y On donne : = l x ; M= l x ( t) = ( x x) ; ( t) = ( x x ) ) Calculer ω (R/R ) et ω (R /R ) ) Calculer (M/R ) par composition des V vitesses avec : V (M / R ) = V (M / R) + V ( / R ) + ω (R / R ) M ) Calculer γ (M/R ) Bras M x x Bras x y EXERCICE (Corrigé) : On considère le mouvement d un vérin hydraulique composé d un corps de longueur constante L et d une tige mobile La course de par rapport à est définie par AB = x( t) x La rotation du vérin est définie par l angle ( t) = x x porté par z On appelle : R = ( x y z) le repère fixe lié au bâti R = x y z ) le repère mobile lié au vérin OB = ( ( L + x( t) ) x L : Constante TD Page

3 y y x(t) B x L A z O (t) x ) Quelles sont les composantes dans R du vecteur rotation ω R/R = ω (/ )? ) Exprimez dans R les composantes des vitesses V (B /) et V (B /) Exprimez dans R les composantes des accélérations γ (B /) et γ (B /) EXERCICE (4) : La figure représente le schéma cinématique minimal d un mécanisme de transformation de mouvement Il est composé des solides suivants : Bâti () lié au repère de référence R ( O x y z ) R O x y z Arbre d entré () lié au repère ( ) il est en liaison pivot d axe ( O z ) avec le bâti () Roue () liée au repère R ( A x y z ) elle est en liaison pivot d axe ( A z ) avec l arbre d entré () et engrène au point B avec une couronne solidaire au bâti () R C x y z Bielle () liée au repère ( ) elle est en liaison pivot d axe ( C z ) avec la roue () Coulisseau (4) il est en liaison glissière d axe( O x ) avec le bâti () et en liaison pivot d axe ( D z ) avec la bielle () On donne : OA = ax ; AB = Rx ; AC = R x + c z ; CD = Lx et OD = λ x + c z = x x = y y = x x = y y γ = x x = y y Travail demandé : ( ) ( ) ; β ( ) ( ) et ( ) ( ) TD Page Les paramètres variables du mécanisme sont : β γ et λ

4 - Donner les expressions des vecteurs vitesses de rotations : Ω ( / ) Ω ( /) ( / ) ( / ) Ω - Exprimer dans R la vitesse du point A par rapport à R - Exprimer dans R la vitesse du point C par rapport à R 4- Déterminer dans R la vitesse du point C en passant par le point A par rapport à R En déduire V ( B / ) 5- En appliquant la condition de roulement sans glissement au point B entre les solides () et () établir une relation entre et β Préciser alors le sens de rotation de () par rapport à () 6- Déterminer en fonction de λ la vitesse de D par rapport à R Quel est donc au point D le torseur cinématique qui représente le mouvement de la bielle () par rapport au bati () Ω et Figure : Mécanisme de transformation de mouvement TD Page 4

5 EXERCICE (5) : Les trains épicycloïdaux sont des réducteurs à engrenages à rapport de réduction très important pour un encombrement minimum Le pignon central () appelé planétaire est entraîné par un moteur ( M ) non représenté il transmet son mouvement au pignon intermédiaire ( ) ( satellite ) qui entraîne ensuite la couronne dentée ( 4 ) ou le porte satellite ( ) suivant la vitesse choisie pour le récepteur (Voir fig ) Données : Bâti ( ) lié au repère de référence R ( O x y ) Planétaire( ) z lié au repère R ( O x y z ) = ( x x ) = ( y y ) Rayon r TD Page 5 Planétaire () de Satellite ( ) lié au repère R ( O x y z ) ψ = ( x x ) = ( y y ) Satellite ( ) Porte satellite ( ) lié au repère R ( O x y z ) = ( x x ) = ( y y ) de rayon r de rayon r ϕ Porte satellite () Couronne ( 4 ) liée au repère R ( O x y z ) θ = ( x x ) = ( y y ) Couronne ( ) rayon r O A = r x si A () ; O A r x r x O B r x + r x = si ( ) = si ( ) B ; O B r4 x4 A = si ( 4) B Les paramètres variables du mécanisme sont ψ ϕ et θ Travail demandé : 4 - Déterminer les vitesses de rotations : ω( / ) ω( / ) ω( / ) et ( 4 / ) - En déduire ω( / ) et ω( 4 / ) - Calculer la vitesse V ( A / ) 4- Calculer la vitesse V ( A / ) 5- En déduire la vitesse de glissement en A de (/) 6- Donner la relation entre ω ( / ) et ( / ) 7- Calculer la vitesse V ( B / ) 8- Calculer la vitesse V ( B 4 / ) 4 ω 4 de ω s il y a roulement sans glissement en A

6 9- En déduire la vitesse de glissement en B de (/4) - Donner la relation entre ω ( / ) et ( 4 / ) - Déduire la relation entre ω ( / ) ω ( 4 / ) - Déterminer la relation entre ω ( / ) ω ( / ) et ω ( 4 / ) ω s il y a roulement sans glissement en B (formule de Willis) y 4 θ y z y y ϕ O ψ y A y O ϕ B ψ x x x x 4 θ x 4 Figure : Train épicycloïdal EXERCICE (6) : Le dispositif qu on veut étudier est un vérin de relevage d un poussoir qui est représenté par le schéma cinématique plan de la figure le poussoir (5) en liaison glissière par rapport au bâti () est entraîné en translation par le levier () par l intermédiaire du galet (4) Le galet (4) a une liaison pivot de centre C avec () et une liaison ponctuelle au point I avec (5) dont la normale a même direction que l axe de la liaison glissière entre (5) et () Le levier () articulé en A au bâti () est entraîné en rotation par la tige de vérin () reliée au levier () par une liaison pivot de centre B La tige de vérin a un mouvement de translation par rapport au corps du vérin articulé en O au bâti () TD Page 6

7 Repères et paramètres de position (Figure 4) On considère les repères orthonormés directs suivants : R ( O X Y Z ) : repère galiléen lié au bâti () R ( O X Y Z ) : lié au corps du vérin () R R ( B X Y Z ) : lié à tige du vérin () R ( A X Y Z ) 4 ( C X 4 Y4 Z ) : lié au galet (4) R ( D X Y Z ) : lié au levier () 5 : lié au poussoir (5) β γ : paramètres angulaires de position La position de la tige du vérin () est repérée par le paramètre λ tel que OB = λx La position du poussoir (5) est repérée par le paramètre δ tel que DH = δ X La position du point de contact I est tel que IH = ρ Y Le rayon du galet (4) est noté r BG = bx AC = LX et G : centre de masse de () Travail demandé : - Donner les éléments de réduction des torseurs cinématiques suivants : a) { V / } O b) { V / } c) { V } G / A d) { V 4 / } C - Donner l expression dans R des vitesses suivantes I 4 / I 5 / V I 4 / 5 a) V ( ) b) V ( ) c) ( ) - a) Quelle est la signification de ( I 4 / 5) b) Que doit valoir la composante de V ( I 4 / 5) V selon X? Justifier c) En déduire δ en fonction β 4- a) Ecrire la condition de roulement sans glissement en I b) En déduire γ en fonction β TD Page 7

8 O Y X 5 D A B I C 4 H Figure : schéma cinématique TD Page 8

9 CORRECTION Exercice : V(B / R ) = V(B / R) + V(B R / R ) dab dρν * V(B / R ) = Vν ou ( ) = ( ) = ρν R R dt dt V(B R / R ) = ω(r / R ) AB = θ z ρν = ρθμ * (B / R V ) = ρν ρθμ γ ( B / R ) = γ(b / R) + γ(b R / R ) + ω(r / R ) V(B / R) vt * γ(b / R ) = ρν ( M rectiligne) * γ(b R / R ) = ρθμ ρθ ν * ω(r / R ) V(B / R ) = θ z ρν = ρθμ γ = ρν ρθμ ρθ (B / R ) ν ρθμ γ ( B / R) = ρ ρθ ( ) ν ( ρθ + ρθ ) μ Exercice : / ω ω R / R R / R = = ω z R / R + ω R / R = z + z = ( + ) z / V( M / R ) = V( M / R ) + V( O / R ) + ωr / R Λ OM TD Page 9

10 dom V( M / R) = dt ω Λ O M = z R d( l x = dt ) R R / R Λ l x = l V( M / R ) = l ( + )y + l y = l y y / dv( M / R ) γ( M / R ) = dt R d( l = ( + )y + l y ) [( + )y ( + ) x ] + l [ y ] = l x dt R Exercice / ω R / R / = z dam d( x x ) V( B / ) = = = x x dt dt R R dob d( L + x )x V( B / ) = = = ( L + x ) y + x x dt dt R R / dv( B / ) γ ( B / ) = dt γ ( M / R ) == R = x x [( L + x ) + x ] y + [ x ( L + x ) ]x TD Page 4

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