ELECTROSTATIQUE - EXERCICES DE REVISION
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- Tristan Marier
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1 PSI 08/09 ELECTROSTATIQUE - EXERCICES DE REVISION 1.Calculs de champs «classiques» : Calculer le champ et le potentiel en tout point de l espace, pour les distributions suivantes : Remarque : on précisera l origine des potentiels choisie. a) Circonférence de rayon R chargée avec une densité linéique uniforme λ ( on calculera le champ sur l axe de la circonférence ). b) Droite infinie chargée avec une densité linéique uniforme λ ; c) Cylindre infini de rayon R chargé avec une densité volumique uniforme ρ ; d) Sphère de rayon R chargée en surface avec une densité surfacique uniforme σ ; e) Sphère de rayon R chargée en volume avec une densité volumique uniforme ρ ; f) Plan infini x = 0 chargé avec une densité surfacique uniforme σ ; g) Couche infinie d épaisseur 2a chargée avec une densité volumique uniforme ρ ; 2. Piège électronique : On considère un champ électrostatique dérivant du potentiel : V(x,y,z) = - V 0 ( 2z 2 x 2 y 2 ) / 4d 2 avec V 0 > 0 a) Représenter le graphe de V(z) le long de l axe Oz. b) Trouver les équipotentielles dans le plan Oxy et dans un plan quelconque passant par Oz. c) Calculer le champ E. d) Un électron est soumis à la force électrostatique exercée par ce champ. Ecrire les équations du mouvement. e) A quelle condition sur V 0 le mouvement axial est-il confiné dans une région limitée de l espace? Le mouvement transversal est-il confiné? 3. Capacité d un câble coaxial ( PT 99 ) On considère une ligne coaxiale de longueur l constituée de deux cylindres de rayons a et b, d axe Oz et d épaisseur négligeable, séparés par un diélectrique assimilé à du vide. On a l >> a, b : la ligne peut être assimilée à une ligne infinie. l Les conducteurs portent respectivement les charges Q et Q uniformément réparties sur les surfaces des conducteurs de rayons a et b. Q -Q a b a) Montrer que le champ électrique est radial et qu il ne dépend que de r, soit E= E(r).u r. b) Etablir l expression de E(r) en tout point de l espace, en fonction de Q, ε 0, r, l, a et b. c) Le conducteur central est porté au potentiel V 1, et l autre conducteur au potentiel V 2. Exprimer la différence de potentiel V 2 - V 1 en fonction de Q, ε 0, l, a et b. d) La capacité C du condensateur formé par les deux armatures est le quotient de Q par la différence de potentiel V 2 - V 1 ; déterminer C en fonction de Q, ε 0, l, a et b. En déduire la capacité du câble par unité de longueur. e) Quelle est la densité volumique d énergie électrostatique? En déduire l énergie électrostatique emmagasinée par le câble. f) Quelle est l énergie emmagasinée par un condensateur de capacité C chargé sous une différence de potentiel V 2 - V 1? Retrouver l expression de C.
2 4. Condensateur plan On considère un système de deux plans infinis situés en x = ± a, chargés avec les densités surfaciques uniformes ± σ. a) Calculer le champ et le potentiel en tout point de l espace. b) Un condensateur plan est formé de deux armatures planes de surface S portant les charges Q et Q ; on néglige les effets de bord ce qui revient à assimiler les armatures à des plans infinis. Calculer la différence de potentiel entre les deux armatures. En déduire la capacité du condensateur plan. 5.Charge dans le champ d un dipôle : a) Rappeler la définition d un dipole électrostatique, ainsi que le potentiel créé en un point M. b) On considère un dipôle de moment P, au centre d un cercle de rayon r. Donner l expression du potentiel et du champ créés par ce dipôle aux points A et A, extrémités du diamètre parallèle à p, et aux extrémités B et B du diamètre perpendiculaire à p. Représenter E en ces points. c) Une charge q 0 est placée au point A. Quel est le travail d un opérateur déplaçant q 0 de A à A ; de A à B, de B à B? Exprimer ce travail en fonction de q 0 et du potentiel V A en A. A» 4 B B A 6. Interaction entre molécules d eau : Le moment dipolaire d une molécule d eau a pour valeur : p = 0, C.m On considère deux molécules dont les moments dipolaires sont alignés sur une droite D. La distance entre les molécules est d = 10,0 nm. Quelle est la force d interaction qui s exerce entre ces deux molécules? Réponse : f = 6p 2 / 4πε 0 d 4. 7.Etude du potentiel de Yukawa : Ce potentiel fut introduit en 1934 par le physicien japonais Hideki Yukawa pour décrire l' interaction nucléaire forte entre un proton et un neutron. Il prédit qu'une particule devrait être associée à ce champ 1 )Calculer le champ électrostatique crée par cette distribution en tout point de l'espace. On donne en coordonnées sphériques : f 1 f 1 f gradf = u r θ ϕ r r θ r sinθ ϕ 2 ) Calculer la charge q(r) contenue dans une sphère de rayon r et de centre O. 3 ) a) Quelle est la charge contenue dans tout l'espace? b) Montrer qu'il existe en O une charge ponctuelle que l'on déterminera. c) Quel système pourrait être modélisé par cette distribution de charges? 4 ) Calculer la densité volumique de charge ρ(r) en tout point de l'espace. 5 )Etudier et tracer l'allure de la densité radiale de charges Z(r) = 4πr 2 ρ(r). Quelle est d'après vous la signification physique de l'extrémum?
3 PSI 08/09 ELECTROSTATIQUE - EXERCICES DE REVISION 1.Calculs de champs «classiques» : Calculer le champ et le potentiel en tout point de l espace, pour les distributions suivantes : Remarque : on précisera l origine des potentiels choisie. a) Circonférence de rayon R chargée avec une densité linéique uniforme λ ( on calculera le champ sur l axe de la circonférence ). b) Droite infinie chargée avec une densité linéique uniforme λ ; c) Cylindre infini de rayon R chargé avec une densité volumique uniforme ρ ; d) Sphère de rayon R chargée en surface avec une densité surfacique uniforme σ ; e) Sphère de rayon R chargée en volume avec une densité volumique uniforme ρ ; f) Plan infini x = 0 chargé avec une densité surfacique uniforme σ ; g) Couche infinie d épaisseur 2a chargée avec une densité volumique uniforme ρ ; 2. Piège électronique : On considère un champ électrostatique dérivant du potentiel : V(x,y,z) = - V 0 ( 2z 2 x 2 y 2 ) / 4d 2 avec V 0 > 0 a) Représenter le graphe de V(z) le long de l axe Oz. b) Trouver les équipotentielles dans le plan Oxy et dans un plan quelconque passant par Oz. c) Calculer le champ E. d) Un électron est soumis à la force électrostatique exercée par ce champ. Ecrire les équations du mouvement. e) A quelle condition sur V 0 le mouvement axial est-il confiné dans une région limitée de l espace? Le mouvement transversal est-il confiné? 3. Capacité d un câble coaxial ( PT 99 ) On considère une ligne coaxiale de longueur l constituée de deux cylindres de rayons a et b, d axe Oz et d épaisseur négligeable, séparés par un diélectrique assimilé à du vide. On a l >> a, b : la ligne peut être assimilée à une ligne infinie. l Les conducteurs portent respectivement les charges Q et Q uniformément réparties sur les surfaces des conducteurs de rayons a et b. Q -Q a b a) Montrer que le champ électrique est radial et qu il ne dépend que de r, soit E= E(r).u r. b) Etablir l expression de E(r) en tout point de l espace, en fonction de Q, ε 0, r, l, a et b. c) Le conducteur central est porté au potentiel V 1, et l autre conducteur au potentiel V 2. Exprimer la différence de potentiel V 2 - V 1 en fonction de Q, ε 0, l, a et b. d) La capacité C du condensateur formé par les deux armatures est le quotient de Q par la différence de potentiel V 2 - V 1 ; déterminer C en fonction de Q, ε 0, l, a et b. En déduire la capacité du câble par unité de longueur. e) Quelle est la densité volumique d énergie électrostatique? En déduire l énergie électrostatique emmagasinée par le câble. f) Quelle est l énergie emmagasinée par un condensateur de capacité C chargé sous une différence de potentiel V 2 - V 1? Retrouver l expression de C.
4 4. Condensateur plan On considère un système de deux plans infinis situés en x = ± a, chargés avec les densités surfaciques uniformes ± σ. a) Calculer le champ et le potentiel en tout point de l espace. b) Un condensateur plan est formé de deux armatures planes de surface S portant les charges Q et Q ; on néglige les effets de bord ce qui revient à assimiler les armatures à des plans infinis. Calculer la différence de potentiel entre les deux armatures. En déduire la capacité du condensateur plan. 5.Charge dans le champ d un dipôle : a) Rappeler la définition d un dipole électrostatique, ainsi que le potentiel créé en un point M. b) On considère un dipôle de moment P, au centre d un cercle de rayon r. Donner l expression du potentiel et du champ créés par ce dipôle aux points A et A, extrémités du diamètre parallèle à p, et aux extrémités B et B du diamètre perpendiculaire à p. Représenter E en ces points. c) Une charge q 0 est placée au point A. Quel est le travail d un opérateur déplaçant q 0 de A à A ; de A à B, de B à B? Exprimer ce travail en fonction de q 0 et du potentiel V A en A. A» 4 B B A 6. Interaction entre molécules d eau : Le moment dipolaire d une molécule d eau a pour valeur : p = 0, C.m On considère deux molécules dont les moments dipolaires sont alignés sur une droite D. La distance entre les molécules est d = 10,0 nm. Quelle est la force d interaction qui s exerce entre ces deux molécules? Réponse : f = 6p 2 / 4πε 0 d 4. 7.Etude du potentiel de Yukawa : Ce potentiel fut introduit en 1934 par le physicien japonais Hideki Yukawa pour décrire l' interaction nucléaire forte entre un proton et un neutron. Il prédit qu'une particule devrait être associée à ce champ 1 )Calculer le champ électrostatique crée par cette distribution en tout point de l'espace. On donne en coordonnées sphériques : f 1 f 1 f gradf = u r θ ϕ r r θ r sinθ ϕ 2 ) Calculer la charge q(r) contenue dans une sphère de rayon r et de centre O. 3 ) a) Quelle est la charge contenue dans tout l'espace? b) Montrer qu'il existe en O une charge ponctuelle que l'on déterminera. c) Quel système pourrait être modélisé par cette distribution de charges? 4 ) Calculer la densité volumique de charge ρ(r) en tout point de l'espace. 5 )Etudier et tracer l'allure de la densité radiale de charges Z(r) = 4πr 2 ρ(r). Quelle est d'après vous la signification physique de l'extrémum?
5 PSI 08/09 ELECTROSTATIQUE - EXERCICES DE REVISION 1.Calculs de champs «classiques» : Calculer le champ et le potentiel en tout point de l espace, pour les distributions suivantes : Remarque : on précisera l origine des potentiels choisie. a) Circonférence de rayon R chargée avec une densité linéique uniforme λ ( on calculera le champ sur l axe de la circonférence ). b) Droite infinie chargée avec une densité linéique uniforme λ ; c) Cylindre infini de rayon R chargé avec une densité volumique uniforme ρ ; d) Sphère de rayon R chargée en surface avec une densité surfacique uniforme σ ; e) Sphère de rayon R chargée en volume avec une densité volumique uniforme ρ ; f) Plan infini x = 0 chargé avec une densité surfacique uniforme σ ; g) Couche infinie d épaisseur 2a chargée avec une densité volumique uniforme ρ ; 2. Piège électronique : On considère un champ électrostatique dérivant du potentiel : V(x,y,z) = - V 0 ( 2z 2 x 2 y 2 ) / 4d 2 avec V 0 > 0 a) Représenter le graphe de V(z) le long de l axe Oz. b) Trouver les équipotentielles dans le plan Oxy et dans un plan quelconque passant par Oz. c) Calculer le champ E. d) Un électron est soumis à la force électrostatique exercée par ce champ. Ecrire les équations du mouvement. e) A quelle condition sur V 0 le mouvement axial est-il confiné dans une région limitée de l espace? Le mouvement transversal est-il confiné? 3. Capacité d un câble coaxial ( PT 99 ) On considère une ligne coaxiale de longueur l constituée de deux cylindres de rayons a et b, d axe Oz et d épaisseur négligeable, séparés par un diélectrique assimilé à du vide. On a l >> a, b : la ligne peut être assimilée à une ligne infinie. l Les conducteurs portent respectivement les charges Q et Q uniformément réparties sur les surfaces des conducteurs de rayons a et b. Q -Q a b a) Montrer que le champ électrique est radial et qu il ne dépend que de r, soit E= E(r).u r. b) Etablir l expression de E(r) en tout point de l espace, en fonction de Q, ε 0, r, l, a et b. c) Le conducteur central est porté au potentiel V 1, et l autre conducteur au potentiel V 2. Exprimer la différence de potentiel V 2 - V 1 en fonction de Q, ε 0, l, a et b. d) La capacité C du condensateur formé par les deux armatures est le quotient de Q par la différence de potentiel V 2 - V 1 ; déterminer C en fonction de Q, ε 0, l, a et b. En déduire la capacité du câble par unité de longueur. e) Quelle est la densité volumique d énergie électrostatique? En déduire l énergie électrostatique emmagasinée par le câble. f) Quelle est l énergie emmagasinée par un condensateur de capacité C chargé sous une différence de potentiel V 2 - V 1? Retrouver l expression de C.
6 4. Condensateur plan On considère un système de deux plans infinis situés en x = ± a, chargés avec les densités surfaciques uniformes ± σ. a) Calculer le champ et le potentiel en tout point de l espace. b) Un condensateur plan est formé de deux armatures planes de surface S portant les charges Q et Q ; on néglige les effets de bord ce qui revient à assimiler les armatures à des plans infinis. Calculer la différence de potentiel entre les deux armatures. En déduire la capacité du condensateur plan. 5.Charge dans le champ d un dipôle : a) Rappeler la définition d un dipole électrostatique, ainsi que le potentiel créé en un point M. b) On considère un dipôle de moment P, au centre d un cercle de rayon r. Donner l expression du potentiel et du champ créés par ce dipôle aux points A et A, extrémités du diamètre parallèle à p, et aux extrémités B et B du diamètre perpendiculaire à p. Représenter E en ces points. c) Une charge q 0 est placée au point A. Quel est le travail d un opérateur déplaçant q 0 de A à A ; de A à B, de B à B? Exprimer ce travail en fonction de q 0 et du potentiel V A en A. A» 4 B B A 6. Interaction entre molécules d eau : Le moment dipolaire d une molécule d eau a pour valeur : p = 0, C.m On considère deux molécules dont les moments dipolaires sont alignés sur une droite D. La distance entre les molécules est d = 10,0 nm. Quelle est la force d interaction qui s exerce entre ces deux molécules? Réponse : f = 6p 2 / 4πε 0 d 4. 7.Etude du potentiel de Yukawa : Ce potentiel fut introduit en 1934 par le physicien japonais Hideki Yukawa pour décrire l' interaction nucléaire forte entre un proton et un neutron. Il prédit qu'une particule devrait être associée à ce champ 1 )Calculer le champ électrostatique crée par cette distribution en tout point de l'espace. On donne en coordonnées sphériques : f 1 f 1 f gradf = u r θ ϕ r r θ r sinθ ϕ 2 ) Calculer la charge q(r) contenue dans une sphère de rayon r et de centre O. 3 ) a) Quelle est la charge contenue dans tout l'espace? b) Montrer qu'il existe en O une charge ponctuelle que l'on déterminera. c) Quel système pourrait être modélisé par cette distribution de charges? 4 ) Calculer la densité volumique de charge ρ(r) en tout point de l'espace. 5 )Etudier et tracer l'allure de la densité radiale de charges Z(r) = 4πr 2 ρ(r). Quelle est d'après vous la signification physique de l'extrémum?
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