Correction de l épreuve de mathématiques du CRPE 2014 du sujet du PG3

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1 Correction de l épreuve de mathématiques du CRPE 2014 du sujet du PG3 Denis Vekemans Exercice 1 Affirmation 1 Sans utiliser de calculateur ni poser l opération, on peut affirmer que l écriture décimale du nombre comporte 17 chiffres. Vrai! = = (2 5) = , qui comporte effectivement exactement 17 chiffres : un 6, un 2, un 5 puis quatorze 0. Affirmation 2 Il y a six chaussettes dans le tiroir. Faux! S il y six chaussettes dans le tiroir, alors dire qu elles sont toutes rouges sauf deux induit qu il y a exactement quatre chaussettes rouges; et dire qu elles sont toutes vertes sauf deux induit qu il y a exactement quatre chaussettes vertes. On dénombre alors au moins quatre chaussettes rouges et quatre chaussettes vertes, soit au moins huit chaussettes. Ceci contredit le fait qu il puisse y avoir six chaussettes dans le tiroir. Remarque. Le tiroir contient forcément trois chaussettes : une rouge, une verte et une bleue. Affirmation 3 Il y a dans le sac exactement quatre billes noires. Faux! Soit n le nombre de billes noires contenues dans le sac. La probabilité de tirer une boule noire est alors de n 11+n (formule de Laplace). Or, d après les données, cette probabilité est de 0,3125. Donc, n = 0,3125 n = 0,3125 (11+n) 11+n n = 3,4375+0,3125 n 0,6875 n = 3,4375 n = 3,4375 0,6875 = 5 Il y a dans le sac exactement cinq billes noires et non quatre.. Université du Littoral Côte d Opale ; Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699; Calais cedex ; France 1

2 Affirmation 4 Le prix de 250 grammes de mélange est 1,90=. Faux! Le prix d arabica contenu dans le mélange est de 0,45 2,00= = 0,90= ; le prix de robusta contenu dans le mélange est de 0,55 1,80= = 0,99=. Le prix total du mélange est ainsi de 0, 90= + 0, 99= = 1, 89= 1, 90=. Remarque. "Un mélange de café se compose de 45% d arabica et de 55% de robusta" : il est supposé, mais ce n est pas dit que ces pourcentages sont massiques, mais cela aurait été bien de le spécifier car les pourcentages auraient pu, dans ce contexte, être sur le prix, ou volumiques, ou... Affirmation 5 L automobiliste va rattraper le cycliste à 13 h 30 min. Faux! À midi, le cylciste a parcouru la distance de 5 h 15 km/h = 75 km. Quand l automobiliste démarre, à midi, il est donc séparé du cylciste d une distance de 75 km, mais il le rattrappe ensuite à la vitesse de 90 km/h 15 km/h = 75 km/h (vitesse de l automobiliste par rapport au cylciste). L automobiliste va donc rattrapper le cycliste en (75 km)/(75 km/h) = 1h. Il sera donc 13 h et non pas 13 h 30 min. Affirmation 6 Toutes les arêtes de l octaèdre sont de même longueur.. Vrai! Soit R = OA = OB = OC = OD = OS = OT le rayon de la sphère. SOA est un triangle isocèle rectangle en O, donc, par le théorème de Pythagore, SA = 2 R, SOB est un triangle isocèle rectangle en O, donc, par le théorème de Pythagore, SB = 2 R, SOC est un triangle isocèle rectangle en O, donc, par le théorème de Pythagore, SC = 2 R, SOD est un triangle isocèle rectangle en O, donc, par le théorème de Pythagore, SD = 2 R, TOA est un triangle isocèle rectangle en O, donc, par le théorème de Pythagore, TA = 2 R, TOB est un triangle isocèle rectangle en O, donc, par le théorème de Pythagore, TB = 2 R, TOC est un triangle isocèle rectangle en O, donc, par le théorème de Pythagore, TC = 2 R, TOD est un triangle isocèle rectangle en O, donc, par le théorème de Pythagore, TD = 2 R, AOB est un triangle isocèle rectangle en O, donc, par le théorème de Pythagore, AB = 2 R, BOC est un triangle isocèle rectangle en O, donc, par le théorème de Pythagore, BC = 2 R, COD est un triangle isocèle rectangle en O, donc, par le théorème de Pythagore, CD = 2 R, DOA est un triangle isocèle rectangle en O, donc, par le théorème de Pythagore, DA = 2 R. Chacune des douze arêtes mesure donc 2 R. Exercice 2 1. (a) Les diviseurs de 28 sont 1, 2, 4, 7, 14 et 28, donc f(28) = = 56 = 2 28 et 28 est un nombre parfait. (b) Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12, donc f(12) = = 28 > 24 = 2 12 et 12 est un nombre abondant. 2. Le plus petit entier naturel est 1, le seul diviseur de 1 est 1, donc f(1) = 1 < 2 = 2 1 et 1 est un Denis Vekemans 2/6 Mathématiques et sciences expérimentales et technologie

3 nombre 1 est donc le plus petit nombre Il suit l entier naturel 2, les diviseurs de 2 sont 1 et 2, donc f(2) = 3 < 4 = 2 2 et 2 est un nombre Il suit l entier naturel 3, les diviseurs de 3 sont 1 et 3, donc f(3) = 4 < 6 = 2 3 et 3 est un nombre Il suit l entier naturel 4, les diviseurs de 4 sont 1, 2 et 4, donc f(4) = 7 < 8 = 2 4 et 4 est un nombre Il suit l entier naturel 5, les diviseurs de 5 sont 1 et 5, donc f(5) = 6 < 10 = 2 5 et 5 est un nombre Il suit l entier naturel 6, les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6, donc f(6) = 12 = 2 6 et 6 est un nombre parfait. 6 est donc le plus petit nombre parfait. Il suit l entier naturel 7, les diviseurs de 7 sont 1 et 7, donc f(7) = 8 < 14 = 2 7 et 7 est un nombre Il suit l entier naturel 8, les diviseurs de 8 sont 1, 2, 4 et 8, donc f(8) = 15 < 16 = 2 8 et 8 est un nombre Il suit l entier naturel 9, les diviseurs de 9 sont 1, 3 et 9, donc f(9) = 13 < 18 = 2 9 et 9 est un nombre Il suit l entier naturel 10, les diviseurs de 10 sont 1, 2, 5 et 10, donc f(10) = 18 < 20 = 2 10 et 10 est un nombre Il suit l entier naturel 11, les diviseurs de 11 sont 1 et 11, donc f(11) = 12 < 22 = 2 11 et 11 est un nombre Il suit l entier naturel 12, les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12, donc f(12) = 28 > 24 = 2 12 et 12 est un nombre abondant. 12 est donc le plus petit nombre abondant. 3. Soit p un nombre premier. Les diviseurs de p sont 1 et p, donc f(p) = 1 + p < 2 p (on a bien 1+p < 2 p ou encore 1 < p car le plus petit nombre premier est 2) et p est un nombre Denis Vekemans 3/6 Mathématiques et sciences expérimentales et technologie

4 Exercice 3 Partie I Le quadrilatère ADEF possède un angle droit en A (celui du triangle rectangle ABC), un angle droit en D (car (AF)//(DE) et (AF) (AD) induit (DE) (AD) : quand deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre), et un angle droit en F (car (AD)//(FE) et (AF) (AD) induit (AF) (FE) : quand deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre), donc trois angles droits et est, par conséquent, un rectangle. Le rectangle ADEF est un carré si et seulement s il possède deux côtés consécutifs de même longueur, c est-à-dire lorsque AD = AF. Posons AD = AF = x cm. Au vu des parallèles (DE) et (AB) et des sécantes (AC) et (BC), le théorème de Thalès donne CD CA = (CE CB =)DE AB. En remplaçant CD = CA AD = 10 cm x cm = (10 x) cm, CA = 10 cm, DE = AF = x cm (car les côtés opposés d un rectangle sont de même longueur) et AB = 6 cm, on obtient 10 x 10 = x 6 6 (10 x) = 10 x 60 6 x = 10 x 60 = 16 x x = = 15 4 Conclusion. ADEF lorsque AD = 15 4 cm. Denis Vekemans 4/6 Mathématiques et sciences expérimentales et technologie

5 Partie II 1. On trace le cercle de centre D passant par E, ce cercle coupe le segment [DF] en un point que l on nomme A. On trace le cercle de centre E passant par D et le cercle de centre A passant par D, ces deux cercles se coupent en les points distincts D et un autre que l on nomme B. Le cercle de centre E passant par D coupe le segment [EF] en un point que l on nomme C. On trace le cercle de centre C passant par E, ce cercle coupe le cercle de centre D passant par E en les points distincts E et un autre que l on nomme G. Les droites (DB) et (EG) se coupent en H, centre du cercle inscrit du triangle DEF. 2. Le périmètre du triangle DEF est EI + ID + DK + KF + FJ + JE (car I [ED], J [FE] et K [DF]). On sait déjà que DF = 13 cm (la longueur de l hypoténuse est donnée). Le cercle est tangent en I à la droite (ED) (par propriété du cercle inscrit), donc (HI) (ED). Le cercle est tangent en J à la droite (EF) (par propriété du cercle inscrit), donc (HJ) (EF). Ensuite, le quadrilatère EIHJ possède trois angles droits (en E, en I et en J) et est donc un Denis Vekemans 5/6 Mathématiques et sciences expérimentales et technologie

6 rectangle. Comme HI = HJ = 2 cm (rayon du cercle inscrit), ce rectangle possède deux côtés consécutifs de même longueur et est donc un carré. On déduit EI = EJ = 2 cm. Les triangles HID et HKD sont isométriques car HD = HD ([HD] est un côté commun à ces deux triangles) ; HI = HK = 2 cm (rayon du cercle inscrit) ; ĤID = ĤKD (en effet, le cercle est tangent en I à la droite (ED) (par propriété du cercle inscrit), donc (HI) (ED) et ĤID = 90 ; le cercle est tangent en K à la droite (DF) (par propriété du cercle inscrit), donc (HK) (DF) et ĤKD = 90 ). Il s ensuit que DI = DK. De même que précédemment, on obtiendrait FK = FJ. Ainsi, le périmètre du triangle DEF est EI +ID +DK +KF +FJ +JE = 2 cm+dk +DK +KF +KF +2 cm = 2 cm+2 (DK +KF)+2 cm = 2 cm+2 DF +2 cm = 2 cm+2 13 cm+2 cm = 30 cm. Denis Vekemans 6/6 Mathématiques et sciences expérimentales et technologie