SOLUTIONS DES EXERCICES DE TRAVAUX DIRIGES. quelle charge électrique correspondent les noyaux d aluminium contenus dans

Transcription

1 PHY 4 : TD cigés SLUTINS DES EXECICES DE TAAUX DIIGES DE L UE PHY4 (F = facile, M = myen, D = difficile) Chages dans la matièe (F) L aluminium est un métal tivalent ( Al) 7 de masse vlumique =,7 g cm A quelle chage électique cespndent les nyau d aluminium cntenus dans cm de ce métal? Même questin pu les électns libes La chage d une sphèe d aluminium de cm de vlume, est limitée, en patique, à 8 0 C envin ; die à quelle factin des électns libes cespnd cette chage maimum : La masse atmique de Al (u masse d un atme-gamme, ie de N = 6,00 atmes, nmbe d Avgad) est A = 7g Le nmbe de nyau cntenus dans cm est dnc N = N / A = 6,00 Ainsi, puisque le nmbe de ptns d un nyau est égal au numé atmique Z =, la chage électique des nyau cntenus dans cm est Q + = N Z e =,50 5 C Al est tivalent ; chaque atme est dnc susceptible de «libée» électns (électns de valence) et la chage en électns libes dans cm est Q + = Q / Z =,90 4 C La chage limite de la sphèe est la factin 0 8 /,90 4 =,50 de la chage en électns libes emaque : la chage en électns de valence est une chage nécessaiement cmpensée pa les ptns des nyau puisque chaque atme est électiquement neute La «chage limite» de la sphèe est, quant à elle, une chage additinnelle ajutée pa un pcédé ad hc, et dnc nn cmpensée pa des ptns ; elle a ainsi peu à vi avec la chage en électns de valence (sauf que les électns dnt elle est cnstituée snt également libes) C est le ptentiel pis pa la sphèe, gandeu pptinnelle à la chage additinnelle cmme n le vea dans un mdule suivant, qui limite la valeu de cette chage additinnelle (il ne peut guèe dépasse quelques millies de lts dans l ai)

2 PHY 4 : TD cigés Fces électstatiques (F) Deu chages électiques de même valeu q, snt fiées en A et B su un ae au abscisses A = a et B = + a Ente A et B n place une chage q libe de se déplace su l ae Quelle est la psitin d équilibe de q? Quelle est la fce eecée su q hs de sa psitin d équilibe? Discute de la stabilité de l équilibe : ' i A(q) a f B M(q') a f A B(q) Sit M ptant q, et M = 4 a Fce ésultante su M : f = K qq# i ( a ) / équilibe pu q en (ca si = 0 n a f = 0 ) / - si q q > 0, f est diigée ves 0 : stabilité - si q q < 0, f fuit 0 : instabilité (M) Un électscpe élémentaie est cnstitué de deu sphèes identiques eliées chacune pa un fil tès fin nn cnducteu et sans masse, de l = 0 cm de lngueu, à un pint fie M Chaque sphèe peut ête cnsidéée cmme pnctuelle, et pte une chage électique q de 0 7 C Quelle est la masse m de chaque sphèe, sachant qu à l équilibe l angle des fils avec la veticale est de 0? : Le dispsitif est symétique pa appt à l ae Sit l angle d équilibe ; les fces appliquées su la sphèe A snt : - sn pids : P = mg i, - la tensin du fil : T A = T cs i T sin j avec T = TA,

3 PHY 4 : TD cigés - la fce de épulsin eecée pa la chage q de la sphèe B : q f BA = K j ( l sin ) A l équilibe, la ésultante de ces fces est nulle ; dnc chacune de ses cmpsantes aussi : mg T cs = 0 et K q ( l sin ) T sin = 0 Als, en éliminant T, n btient : q cs m = K = 0, 04 kg 4g l sin j y l T A B(m,q) A(m,q) f BA P A 4(M) Calcule la fce électique s eeçant su une chage électique q située à l igine d un ae, pa une distibutin linéaie de chages de densité linéaie unifme, épatie ente les abscisses a > 0 et a + L ' (q) i a P( d) a + L d : La fce eecée su q pa l élément d ptant la chage d et situé en P à la distance de, est : df = K q ( d ) ( i ) La fce ttale su q est dnc :

4 PHY 4 : TD cigés a+ L a+ L d ' $ f = i K q ) ( = + i K q ) = K q % ) & # a a a L ( a + L) i 5(M) Un cecle de ayn, centé en dans le plan y, pte une densité linéaie unifme de chages pnctuelle q située su l ae suivant la valeu de z Quelle est la fce eecée pa cette distibutin su une chage z z thgnal à ce plan, à la distance z de? Discute df z df z M(q) z k z' u PM ds P( ds) y q ds : ds en P ptant la chage ds, eece su q en M la fce : df = K u PM PM Le pblème pésente une symétie aiale autu de z z ; la fce ésultante f su q est dnc seln z z et il suffit de ne cnsidée que la cmpsante df z de df seln cet ae, sit : q ds df z = K cs k, PM n peut dnc écie en emaquant que PM = + z et z cs = : z + z f = df z = K q k ds = # K q cecle ( z + ) cecle ( z + ) z k = f k 4

5 PHY 4 : TD cigés Discussin seln z pu q > 0 : z df /dz ma>0 f min<0 0 + Champ électstatique 6(F) Calcule le champ électique pduit pa un électn à une distance de 0 Angstöm : E e 9 = K =,440 m 7(F) Calcule le champ électique pduit en un pint situé à une distance h d un fil ectiligne infini, unifmément chagé de pa unité de lngueu y de M h u ' ( ) j y' i d P P' : Suppsns les chages épaties seln un ae, avec d l élément linéaie de chage au pint P d abscisse Si y y est un ae thgnal à en, et M un pint de cet ae à distance h de, le champ électique E en M est : E = K + # $ d PM u () 5

6 PHY 4 : TD cigés La épatitin de chage pésentant, d une pat, une symétie cylindique d ae et, dnc, une symétie (mii) pa appt à tut plan thgnal à, le champ E céé pésente une symétie cylindique d ae et est thgnal à cet ae Il suffit dnc, dans (), de ne pende en cmpte que la cmpsante de u seln j, sit cs j, en psant MP ˆ = Avec h PM = et = h tan, n btient : cs + K # / K E = cs d j = j h $ h %# / avec K = 4 8(M) Un fil islant est cubé suivant un cecle de ayn = 50 cm et de cente Ente les etémités du fil subsiste un espace de mm assimilable à un élément infinitésimal de lngueu Une chage électique de 9 0 C est épatie unifmément su la lngueu du fil Calcule le champ électique céé en pa ce fil () ' E i s : Si n feme le cecle en cmblant l espace de mm pa un élément δs chagé avec la même densité, n btient une symétie de chage qui pduit en un champ nul En ntant als E le champ en dû au cecle uvet, et de celui dû à l élément ajuté chagé de ds, n dit avi : E + E = 0 sit E = E s s = et D ù E K ( $ i ) # E = K i E = 0,0 m $9 $9 en admettant que # 0 C /( $ s) % 0 C / = 6

7 PHY 4 : TD cigés 9(M) Un demi cecle de cente et de ayn pte une chage électique unifmément épatie de densité linéaie Calcule le champ électique céé en y ' () u j d# i # ds u # u y' : Le champ en s écit : ds E = K u / cecle, ds étant un élément d ac du demi-cecle et u le vecteu unitaie en qui fuit ds Pu calcule E, il est cmmde de chisi cmme vaiable la cdnnée plaie de ds Dans ce cas, n a ds = d et u = cs i sin j Mais, cmme E est nécessaiement seln y y, seule la cmpsante de u seln j est à cnsidée : E = K ( ) d $ # sin j = # K / cecle j 0(D) Une demi sphèe de cente et de ayn, pte une chage sufacique unifme de densité Calcule le champ électique céé en pa cette distibutin : Le champ en s écit : # d E = K / sphèe u, d étant un élément de suface de la demi-sphèe et u le vecteu unitaie en qui fuit d Pu calcule E, il est cmmde de chisi cmme vaiables les cdnnées sphéiques et de d Dans ce cas, il faut emplace d pa sin d d et u pa sa seule cmpsante seln z z, sit cs k, puisque, en aisn de la symétie de épatitin des chages, E est nécessaiement seln cet ae 7

8 PHY 4 : TD cigés E = K sin d d# %% $ cs k = $ & K k / sphèe ( ) (D) Un disque de ayn est centé en dans le plan [ y ] Il pte une densité supeficielle de chage unifme Calcule le champ électique E ( z) ésultant en tut pint z > 0 de sn ae z z Que devient ( z) E lsque? d E z M z ($) k % z' u P d # d y : Le disque ayant une symétie aiale d ae E( z)k Un élément de suface d en un pint (, ) z z, le champ en M de cte z peut s écie E ( z) = P du disque, pduit als en M à distance, le champ élémentaie d d E = K u, dnt seule la cmpsante seln z z est à pende en cnsidéatin Le vecteu u étant l unitaie qui pinte ves M depuis P faisant l angle avec le champ ésultant est : d E ( z) k = K $ k cs# disque z z, Il est cmmde de pende ( ), pu vaiables d intégatin Als, cmme d # = d d, cs = z et = ( + z ) /, la elatin pécédente dnne : ( ) = K z d E z # $ =0 % d% ' $ = = # K ) (% + z ) / () %=0 z z & z + z *, +, 8

9 PHY 4 : TD cigés emaques : / Le appt / Cmme z / z vaut + u, seln que z > 0 u z < 0 K = 4, si : E ( z) + k u # k (seln que z > 0 u z < 0 ), qui snt les valeus du champ céé pa une épatitin plane, unifme et infinie de chages dans le vide 9

10 PHY 4 : TD cigés 008 Ptentiel électstatique et théème de Gauss (D) n cnsidèe dans un epèe ( yz ), une distibutin de chages électiques de densité vlumique unifme ρ, épatie ente deu plans infinis paallèles au plan [ y ] et situés espectivement au ctes z = a / et z = + a / En utilisant le théème de Gauss, calcule le champ et le ptentiel électiques en tut pint ; n penda le ptentiel nul dans le plan [ y ] epésente gaphiquement les vaiatins de ces deu gandeus z Σ a/ z > a/ Σ Σ k z < a/ y : De l analyse de la symétie de la épatitin des chages, il ésulte que E = E avec une symétie ( z) k mii pa appt au plan [ y ] et qu en cnséquence : dans le plan [ y ], E ( z) = 0 (puisque E dit y ête à la fis thgnal et cnfndu), il suffit d étudie E ( z) pu z > 0 (u z < 0 ) Suface de Gauss ( S ) : un tnc de cylinde de lngueu z, dnt l ae est thgnal au plan [ y ], et femé pa deu sufaces ciculaies Σ paallèles au plan [ y ], de ctes espectives z = 0 et z > 0 / Envisagens le cas ù la lngueu de ( S ) est z + a / avec Φ = Σ à z Q int = ρ Σ z (pu ρ > 0 u < 0 ρ z 0 z + a / : E = k, ε et cmme Σ est aussi gand que l n veut, E Q E N d S = E( z) d S = E( z) Σ = ε Σ à z ρ ) D ù il vient que E( z) int ρ z = n a dnc, pu tut ε est bien le champ céé, à la cte z, pa tute la chage Du fait de la symétie mii pa appt au plan [ y ], n vit immédiatement que cette elatin est aussi utilisable pu tut a / z 0 0

11 PHY 4 : TD cigés 008 Le ptentiel : n a pu tut a / z + a / : ρ z ρ z ( d i + dy j + dz k ) = dz = ρ z d = k + ε ε ε avec la cnstante abitaie = 0 puisque le ptentiel est nul pu z = 0 pa hypthèse Ntns qu au limites z = ± a /, n a = 8ε / Etudins, maintenant, le cas ù la lngueu z de ( ) qui pend als sa valeu maimum céé pa tute la chage) est dnc : S est z + a / Seule change la chage Q int a ρ Σ ; pu ρ > 0 u ρ < 0 le champ (assimilable à celui E = k ε Dans cette gamme de valeus de z, n a, als : d = dz = z + ε ε, cmme = en z = + a /, la cnstante abitaie est 8ε = 8ε + 4ε = + 8ε = z + ε 8ε En aisn de la symétie mii pa appt au plan [ y ], le champ électique dit s écie pu tut z a / : E = k d ù, il ésulte que d = + dz = z + ε ε ε, = en z = a / ; la cnstante abitaie est dnc 8ε = 8ε + 4ε = + 8ε = ε z + 8ε E(z) + /εο ρ > 0 + /8 εο ρ < 0 - a/ + a/ z - a/ + a/ z - /εο ρ < 0 - /8 εο ρ > 0

12 PHY 4 : TD cigés 008 (M) Une distibutin de chages électiques de densité vlumique unifme ρ, est épatie ente deu sphèes cncentiques de cente et de ayns et < Calcule le champ et le ptentiel électiques en tut pint, à l aide du théème de Gauss n admetta que le ptentiel est nul à l infini epésente gaphiquement les vaiatins de ces deu gandeus en fnctin de la distance à ( ) u S e S i S (ρ) : Penns cmme igine d un epèe ( yz ) muni des cdnnées sphéiques (,θ,ϕ ) En aisn de la symétie sphéique de cente de la distibutin, le champ pduit est adial et ne dépend que de sa distance à ; n a dnc E = E( ) u et d = E MM = E()d ca MM = d u + dθ u + sinθ dϕ u θ ϕ Sufaces de Gauss : des sphèes de cente / Etude pu Q int = 4π ( )/ vec flu stant : Φ = E u d S = E( ) d S = E( ) 4π ρ E = ε d ù ( ) u ρ ρ d = d = + + ε ε et ( ) ( ) e avec e cnstante abitaie nulle, puisque 0 lsque, pa hypthèse Se Se qe : pu =, le ptentiel vaut / Etude pu ρ ε Suface de Gauss : la suface sphéique ( ) jué pa dans l étude pécédente, d ù : E ρ S i,, équivalant à faie jue à un ôle analgue à celui = ε ε () ( ) E = u ρ

13 PHY 4 : TD cigés 008 et dnc : ρ d ρ d = = + i + ε ε avec i cnstante abitaie telle que ρ ρ + = + i ε ε du ptentiel btenue pu = dans l étude pécédente Il s ensuit que : qe : pu ρ ε = + =, le ptentiel vaut ( ) / Etude pu ρ ε Le flu à taves la suface sphéique ( ), d apès la valeu S, est nul puisque cette suface ne cntient pas de chages E () est dnc nul lui aussi ; ce qui entaîne que le ptentiel sit cnstant et nécessaiement égal à la valeu qu il pssède à la limite E() ρ =, sit tel que, d apès l étude pécédente : = ( ) ε (ρ > 0) (ρ > 0) (ρ < 0) (ρ < 0) 4(M) Au visinage immédiat de la suface de la Tee suppsée sphéique, n elève un champ électique vetical et diigé ves le bas, de mdule m 00 - A quelle densité unifme de chage supeficielle σ ce champ cespnd-il? Quelle est la chage ttale Q ptée pa la Tee, sachant que sn ayn est = 6,7 0 m? 6 - Lsqu n s élève dans l atmsphèe, le champ électique cnseve les mêmes diectin et sens qu au sl, mais sn mdule E vaie en fnctin de l altitude z (en mètes), cmme : E = E ep( 768 z / ) avec E = m Calcule la difféence de ptentiel ente un pint d altitude z = 5 km et le sl

14 PHY 4 : TD cigés 008 : - Sit T le cente de la Tee La densité de chage de suface étant unifme, la chage pésente une symétie sphéique de cente T Il s ensuit que le champ E pduit est adial et que sa nme, E, est la même en tut pint de la suface teeste Penns pu suface de Gauss la sphèe S ( T, ) cnfndue avec la suface de la Tee ; si N est sn vecteu unitaie stant, E qui est diigé ves le bas, peut s écie E E N S T, est als : et la chage intéieue valant AN : n tuve : = Le flu stant de ( ) E N N d S = E 4π, S σ 4π, le théème de Gauss dnne : σ σ E = (σ est dnc < 0 ) E = N ε ε 9 5 σ = ε E = 0,8840 C m et dnc Q = σ 4π = 4,50 C - Sit un pint de la suface teeste, et z l ae vetical mntant (de vecteu unitaie k ) d un epèe ( yz ) A l altitude z, le champ qui est diigé ves le bas, ne vaie pas cmme ( / z) +, mais s écit E = E k = E ep( 768 z / )k (à cause de chages pésentes dans l atmsphèe) n a dnc : d = E MM = E ( d i + dy j + dz k ) = + E ep( 768 z / ) dz z d ù : d ( z) ( ) 0 z z 768 E = + E ep z dz = ep z = E = et l n a : ( z) ( 0 ) ep z = (M) n admet que l atme d hydgène puisse ête assimilé à ptn pnctuel, avec un électn nn lcalisé dnt la chage électique e est épatie en vlume seln une symétie sphéique centée su le ptn Le ptentiel céé pa l atme à la distance du ptn est de la fme : e () = ep 4π ε a Avec a = 0, 5 A Calcule le mdule E du champ électique céé pa l atme à la distance et tuve sa valeu pu = a En appliquant le théème de Gauss, véifie que ce système de chages cmpte bien une chage + e en sn cente, et que sa chage ttale est nulle Détemine la chage q ( ) cntenue dans une sphèe de ayn, centée su le ptn En déduie la gandeu c ( ) dq( ) / d = dnt n tacea les vaiatins en fnctin de 4

15 PHY 4 : TD cigés 008 : - Assimilns le ptn à un pint igine d un epèe ( yz ) muni des cdnnées sphéiques ( ),θ,ϕ En aisn de la symétie sphéique de cente de la distibutin de chage, le champ pduit est adial et ne dépend que de sa distance à ; n a dnc E = E u ( ) Le ptentiel est tel que : d = E MM = E() d E() MM = d u + dθ u θ + sinθ dϕ u ϕ K e E = K e = + a a a a a E = E et E ( a) = E( a) = 4,4 0 m sit : () ep ep ep > 0 d ù : () () = d d ca - Flu Φ stant de la suface sphéique ( ) avec E () > 0, en tut pint de ( ) e Φ = 4π E(), sit : Φ = + ep ε a a Als, si 0, cental ; et si cntient en ttalité q - n a : Φ = ε e ε S, de ayn et cente : cmme E = E() u S, le champ est stant et de même mdule n a dnc Φ ce qui mnte que ( ), 0 () e Φ : la chage dans ( ) q() = e + ep a a () dq e Pa cnséquent : c() = = ep et la déivée d a a S, ne cntient plus que la chage + e du ptn S, est nulle pace qu en plus du ptn, elle ( ) dc d e = ep a a a étant du signe de ( a), les vaiatins de c ( ) (qui peut se défini cmme une ste de «densité adiale» de chage autu de, puisque dq ( ) est la chage cmpise ente les sphèes de ayns et + d ) peuvent ête epésentées cmme ci-dessus : c() a 5

16 PHY 4 : TD cigés 008 Fces électstatiques dans les systèmes de cnducteus 6(M) Un tès petit disque métallique de masse m = 75 mg et de suface s = 75 mm, est psé su un sphèe cnductice de ayn = 50 cm n élève pgessivement le ptentiel de la sphèe Pu quelle valeu de le disque cmmence-t-il à se suleve (n assimilea le disque à une caltte sphéique d épaisseu négligeable et de même ayn que le sphèe)? E f N s p (σ) : En élevant le ptentiel du cnducteu unique que fment, pa cntact, la sphèe et le disque psé su elle, n augmente les chages nn cmpensées - et de même signe - qu ils ptent l un et l aute Les fces de épulsin que subissent, pa ppiété, les chages du disque de la pat des chages du este de la sphèe, cmmencent à suleve le disque dès l instant ù elles deviennent, en nme, égales à sn pids Maintenant, pu mdélise simplement le phénmène, il est cmmde de cnsidée le disque, du pint de vue de la épatitin des chages, cmme se substituant ttalement à l élément de suface de sphèe qu il ecuve En epenant als le aisnnement qui eplique la «pessin électstatique», n peut admette que le champ auquel snt sumises les chages du disque, est celui dû au chages que pte le σ este de la suface de la sphèe, sit : E = N ε, N étant un unitaie nmal stant de la sphèe s σ Le disque (suppsé tès petit) subit dnc la fce électstatique : f = σ s E = N qui s ppse à ε sn pids p = m g N Le ptentiel au cente de la sphèe (ainsi qu en tut aute de ses pints puisqu il s agit d un cnducteu) σ d S σ 4π ε s écit, s il est pis nul à l : = K = ; d ù il vient que : σ = 4π ε et que s ε f = N Le disque puvant se suleve dès que sphèe f + p = 0, le ptentiel qui pemet d atteinde ce seuil est tel s ε que : N m g N = 0 d ù = m g ε s =

17 PHY 4 : TD cigés 008 7(M) Une sphèe métallique pleine de cente et de ayn = 5 cm est ptée au ptentiel = 50 k - Calcule la pessin électstatique à la suface de ce cnducteu - Calcule la ésultante des fces s eeçant su une caltte sphéique de ayn de base = sinα AN : α = 45 - La sphèe métallique est cnstituée de deu hémisphèes acclés au niveau de sn plan équatial hizntal L hémisphèe inféieu est fie, et le supéieu est libe de se déplace Pu quelle valeu du ptentiel, l hémisphèe supéieu se détachea-t-il de l inféieu, sachant que la masse vlumique du matéiau de la sphèe est μ =,7 g cm? : - La pessin électstatique s écit sphèe sumise au ptentiel ptait la densité de chage AN : P = σ ε, dans l eecice N 6, n a mnté qu une σ = Pa cnséquent : ε P = ε = 4,4 Pa - Sit ( yz ) un epèe attaché au cente de la sphèe, muni des cdnnées sphéiques (,θ,ϕ ) ù un élément de suface sphéique s écit d S = sinθ dθ dϕ Sit d f la fce électstatique su un élément de suface d S de la sphèe Etant nécessaiement épulsive, cette fce est diigée ves l etéieu ; de plus, en aisn de la symétie sphéique, elle est adiale ; ce qui pemet d écie en utilisant l epessin pécédemment btenue pu la pessin : d f = sinα d f = P d S u ε = sinθ dθ dϕ u α z d f α k ϕ u θ d S y La ésultante f des fces d f qui s eecent en chaque pint de la caltte, est als telle que : f = d caltte f 7

18 PHY 4 : TD cigés 008 Du fait de la symétie aiale de la caltte autu de z, de vecteu unitaie k, cet ae est le suppt de f L intégatin peut dnc se faie su les seules pjectins qui pemet d écie: sit : AN : f = k d f csθ = caltte ε k caltte d f csθ k de sinθ csθ dθ dϕ, π α ε f = k dϕ sinθ csθ dθ = π ε sin α k f = 0, N 0 d f seln z, ce - L hémisphèe supéieu sumis à sn pids p diigé ves le bas et à la fce électstatique f diigée ves le haut, se détachea à pati du mment ù l n aua p = f 4 f = π ε, ca pu un hémisphèe α = π, et p = m g = μ π g La valeu du ptentiel à pati de laquelle, l hémisphèe supéieu se détachea de l inféieu, est dnc telle que : 4 4 μ g π ε = μ π g sit = = ε 8(M) Deu sphèes cnductices de centes A et B, et de même ayn, snt suspendues pa des fils islants lngs et fins à un même pint ; n a A = B = a et est suppsé petit devant a Chaque sphèe a une masse m Lsque les sphèes snt ptées au même ptentiel, n bseve un angle α ente A et B Calcule ce ptentiel pu : α = 0, = 0,9 cm, a = 8 cm, m = 0, 5 g : Les deu sphèes étant identiques et se tuvant au même ptentiel, elles divent, cmpte tenu de la symétie du dispsitif, pte chacune la même chage Q n suppse que est assez petit devant la distance AB = d = a sinα des sphèes pu que chacune puisse vi l aute cmme un pint (emaquns qu en aisn des influences mutuelles, les densités sufaciques de chages des sphèes ne snt pas unifmes) Les sphèes étant cnductices, leu ptentiel est unifme ; il est égal, pa eemple, à celui du cente B A vue de la sphèe ( B ), qui est dû à la chage Q à sa suface, ainsi qu à la chage Q su la sphèe ( ) pa ( B ) cmme un pint à distance d n a dnc : = K n Σ q i Q Q = K + i= i d Sit, un epèe catésien ( y ) dnt l ae y est vetical mntant A l équilibe, la smme gémétique des fces appliquées en B, est nulle Il s agit de la fce électstatique f AB eecée pa 8

19 PHY 4 : TD cigés 008 la chage Q de ( A ) su la chage Q de ( B ) (chages écipquement vues cmme pnctuelles), de la tensin T B de mdule T du fil de suspensin de ( B ), et du pids les deu aes de ( y ), ces tis fces s écivent : et l égalité : f AB Q = K i, T T i T j B = sin α + csα, P B = m g j, d P B de ( B ) Décmpsées seln + + = 0 Q f AB TB PB pemet d écie, d une pat : K i T sinα i = 0, et, d aute d Q pat : T csα j m g j = 0, sit, en éliminant T : K = tanα, d ù Q = d m g tanα d m g K Ainsi, le ptentiel peut-il ête efmulé cmme : AN : = d = + K m g tanα avec d = a sinα ; j i a α α T B Q (A) A Q B (B) f AB P B 9

20 PHY 4 : TD cigés 8 A Chin ésultats et cectins des eecices su les Cndensateus (seuls les eecices qui n nt pas été taités en TD snt intégalement cigés ci-dessus Pu les autes, n appelle simplement les pincipau ésultats) 9(F) n applique le Théème de Gauss à un vlume dnt la face inféieue S est située dans l une des amatue du cndensateu (champ E nul), dnt les côtés snt pependiculaies au amatues (pduit scalaie E d nul) et dnt la face supéieue S est située à la hauteu z En aisn de la symétie du système, le champ est pependiculaie au amatues, et sn flu se éduit au pduit des mdules su la suface S : = $$ E N S d # = ES = %S / & 0 d ù le champ : S E = k qui ne dépend pas de z # Le ptentiel se déduit de d = E M M # = E dz sit ( z )= E dz = # z + 0 ù 0 est une $ 0 cnstante d intégatin Avec les cnditins (z=0) = 0 et (z=e) = n en déduit 0 = 0 et ( z )= z = z (le ptentiel cît linéaiement de 0 en z=0 à en z=e) # 0 e Avec, en plus, une densité de chages unifme ente les amatues, les aisnnements snt les mêmes et n btient E % = + $ z ( ' * k et ( z )= z + $z avec tujus (z=e) = & # # ) # 0 # 0 0(M) Enegie finale du cndensateu : W C = C Enegie cédée au cicuit pa le généateu : P G = i u ence dw G = dq sit : WG = dwg = dq = Q = C t= 0 Q q= 0 Le endement = W C W est de G N d de de Tensin Chage de C Chage eçue pa C Enegie dépensée pa l péatin du géné en fin d pé au cus de l pé le géné dans l pé C C C C Q = Q = W = = 4 C C C Q = C Q Q = W = =

21 PHY 4 : TD cigés 8 A Chin - Cas des n généateus : N d de de Tensin Chage de C Chage eçue pa C Enegie dépensée pa l péatin du géné en fin d pé au cus de l pé le géné dans l pé C C C C Q = Q = W = = n n n n n n C Q n C C C Q Q = W = = n n n n n n Q = C C C C Q Qn = W n = = n n n Enegie finale du cndensateu : W C = C C C n Enegie dépensée pa le généateu : ( ) ( n + ) W G = n = n n WC n endement : = = qui tend ves si n tend ves l infini W n + G (F) Q = C = 8,00 C, et l énegie W = C = 600 J - Cnsevatin de la chage : Q + Q = Q, sit C + C = C C D ù : = = 8000 C + C 0 (C) + Q B (C') A - Q 0 + Q' B' (C) A' - Q' B A + Q - Q C C C et Q = C = =,60 C et Q = C = = 6,40 C C + C C + C C + =, C + C W W + W 80 Enegies emmagasinées : W W = ( C + C ) = 0 J Enegie pedue : ( ) J = (M) Sit un ae vetical diigé ves le bas, de vecteu unitaie i ; sn igine est chisie à la limite supéieue de la zne cmmune nn petubée pa les effets de bd, de ste que l abscisse de sa limite inféieue puisse en epésente la hauteu Admette, als, qu une «vaiatin de l enfncement pduit une vaiatin égale de», evient à die que dit ête cnsidéé fie pa appt à A La fce électstatique f que A eece su A est attactive puisque les chages ptées pa les deu cylindes snt ppsées ; pa cnséquent, dans la cnfiguatin du dessin, elle tend à enfnce

22 PHY 4 : TD cigés 8 A Chin davantage A dans A ; de ce fait, elle est diigée ves le bas Lsque la difféence de ptentiel est appliquée ente les amatues, f est équilibée pa = P avec P = m g i Un déplacement infinitésimal d i de A sus l effet de dw = f d i = m g d et et f et f et, appte au cndensateu l énegie Les pats du cndensateu cmplet, de capacités espectives C, C ( ) et C, peuvent ête vues cmme cndensateus en paallèle Pa cnséquent, la capacité ttale du cndensateu cmplet est ( ) + C C tt = C avec : C ( ) = ; ln ( ) le déplacement d pduit dnc : les capacités C ne vaiant pas dc tt = dc( ) =, ln ( ) d f = - P et 0 C' cylin de mb ile A (fie) m C() zne nn petubée pa effets de bd i P C' cylinde fie A f Au ptentiel cnstant, le déplacement d entaîne le généateu à tansfée la chage dq d une amatue à l aute, dnc à funi au cndensateu le tavail dw géné = dq

23 PHY 4 : TD cigés 8 A Chin Il s ensuit que la vaiatin de l énegie ptentielle du cndensateu dans l péatin est, finalement, la smme : dw = dw et + dw, d ù : Pa cnséquent : géné C W = dw = dc = dwet + dq = dwet + dc ; dw et = dc m g & # m g d = dc et = ln = 450 $ ( ' % emaque : il auait été ené d écie diectement, en utilisant la elatin W = C, qu à cnstant, la vaiatin d énegie du cndensateu dw = dc epésente le seul tavail des fces etéieues appliquées Cela impliqueait, en effet, que les fces etéieues funissent du tavail ( dw > 0) pu accîte la capacité du cndensateu ( > 0) dc, les amatues s attiant ente elles du fait qu elles ptent des chages ppsées, c est le cndensateu, au cntaie, qui pduit du tavail tut en augmentant spntanément sa capacité (D) Le plan (,,z) (pependiculaie à la feuille) est un plan de symétie du cndensateu Le champ électique E lui est dnc pependiculaie De même, le champ E est pependiculaie au amatues du cndensateu (cnducteus = équiptentielles) Pa etensin, n peut imagine qu ente les amatues, le champ E est pependiculaie à tut plan cntenant l ae (z) Les nappes de champ snt als des acs de cylindes d ae (z) Ce aisnnement qualitatif n est valable que si l n este ente les amatues A et A, et pas tp pès de leus bds Dans tut ce qui suit, n se limitea à cette égin de l espace Appliquns le théème de Gauss à un vlume limité d une pat : pa sectins planes de suface S situées dans deu plans cntenants l ae (z) ; et d aute pat : pa des côtés S' qui suivent des acs de cecles centés su l ae (z) (cf figue) D'apès ce qui pécède : - le flu de E à taves les côtés S' est nul - E est pependiculaie au sufaces S En faisant als tende les sufaces S ves des pints (le vlume de Gauss tend ves une tube mince), n en déduit l epessin : E n S+ E n S = ( E + E )S = 0 ca il n y a aucune 4

24 PHY 4 : TD cigés 8 A Chin chage dans le vlume cnsidéé n en déduit que le champ E est cnstant le lng d une ligne de champ ciculaie n peut als écie : E= E u (en cdnnées cylindiques, ù θ est cmpté pa appt à l ae ()) La cmpsante E peut dépende de et de z mais ne dépend pas de l angle θ ( E est cnstant su une même ligne de champ en ac de cecle) Pu calcule le ptentiel, appelns que les sufaces équiptentielles snt pependiculaies au lignes de champ Ce snt dnc des plans cntenant l ae (z) (epéés pa l angle θ) Le ptentiel d un plan s btient en écivant : ( ) # d = # $E MM' = $ E u d 0 $% # u Sit ( )# 0 = #E ( +$ ) sit : ( )= 0 # E ( +$ ) et n détemine E en écivant que ( )= 0 sit : E = 0 d ù l epessin cmplète du ptentiel : # ( )= % 0 # ( ' * & $ ) le ptentiel vaie linéaiement avec θ ente 0 et 0 Pu détemine la densité supeficielle de chages su la suface A, n écit qu au visinage de ce cnducteu le champ vaut E = # 0 u $ (Théème de Culmb) D aute pat, n vient de vi que E= E u avec E = 0 # d ù : $% = # 0 0 $ Les deu amatues du cndensateu étant en influence ttale, n a = # $ 0 0 (n auait pu etuve % ce ésultat avec le théème de Gauss) n emaque que les densités de chages ne snt pas unifmes, mais vaient avec La quantité ttale de chage Q (su A pa eemple) se calcule avec l intégale : Q = d c +b c +b % $ # = a $ ( )d = a 0 0 Suface c & d = a% 0 0 & l n ' ) c+ b * $, (et Q = -Q ) c ( c + Finalement, la capacité s écit : Q C = = Q = a# 0 0 $ l n % c+ b ( ' * & c ) appelns pu cnclue que tus les aisnnements et calculs qui pécèdent s appliquent à cnditin que les effets de bds sient négligés

25 PHY 4 : TD cigés 9 A Chin Enegie ptentielle électstatique 4(F) a) Sit un cndensateu plan de capacité C et de chage Q, dnt les amatues de suface S snt distantes de l dans le vide Ente ces amatues sumises à la difféence de ptentiel U, le champ est unifme de mdule E = U l = Q C l L énegie ptentielle W = Q C du cndensateu étant suppsée épatie dans la zne ente amatues, sa valeu pa unité de vlume est u = W S l ; ce qu n peut éécie u = Q C S l = E C l S Ainsi, puisque C = S l, btient-n u = E Cette denièe epessin est généale, c est-à-die valable en tut pint du vide ù ègne un champ E b) - Sient f A, f B et f C les fces électstatiques espectivement su A, B et C n a : e f A = K e, a 4a ) - * a ' 4 $ 4a f = 0 B, en aisn de la symétie pa appt au pint ; f C = f, en aisn de la symétie pa appt au pint A + e + K e ( % K e 8 ( i ) + ( i ) = & # i = i f =,70 N A ; Les chages étant pnctuelles, leus ptentiels espectifs snt : ' e + e$ K e A = K % + = a a ; & # a & e e # K e B = K $ + = a a ; % a C = A, en aisn de la symétie pa appt au pint L énegie ptentielle d un système de n cnducteus au ptentiels espectifs i, et ptant les chages espectives n a : Q i, étant : W = n Q i i, i= ' K e K e K e $ K e 8 W = = % = =,460 J =, 6 e & a a a # a ' (- e) (+ e) (- e) (+ e) (- e) (+ e) i a a a a (- e)

26 PHY 4 : TD cigés 9 A Chin - Le ptentiel céé en pa tutes les autes chages, est : - e + e e + e * K e ' $ K e = K L = % + + = Ln a a a 4a ( L, ) a & 4 # a La chage e en étant pnctuelle, l énegie ptentielle qu elle pssède au sein du système des autes chages, est égal au tavail à funi pu l amene (tès lentement) de l infini, ù le ptentiel est nul, en, ù il vaut ; sit : emaque : A l invese, éseau K e w = e 0 a 8 ( 0) = Ln =,90 J = 0, e w est l énegie qu il faudait appte à la chage e pu l etaie de sn 5(F) Sit un dipôle cnstitué des chages + q et q à la distance a l une de l aute Si i est le vecteu unitaie pté pa la dite qui jint ces chages et qui est ienté de mment diplaie s écit p = a q i = p i q ves + q, sn u u M A i B (- q) a a (+ q) p n sait qu en un pint (, ) M tel que >> a, un dipôle cée le ptentiel cs = K p, # # dans les cdnnées plaies, n a E = $ gad = $ u $ u Pa cnséquent, le champ # # en M (, ) s écit : K E = [ p cs u + p sin u ] Maintenant, puisque i = cs u # sin u, le mment p peut se fmule dans les cdnnées plaies, cmme p = p cs u # p sin u Ainsi, en ajutant et etanchant le teme p cs u à l epessin de E, n btient :

27 PHY 4 : TD cigés 9 A Chin K E = [ p cs u # ( p cs u # p sin u )], K sit : E [ ( p u ) u p] = 6(M) L énegie ptentielle d un dipôle dans un champ électique E en un pint, est égale au tavail à pduie pu amene ce dipôle de l infini, ù le ptentiel est suppsé nul, au pint emaquns qu ente les deu chages ppsées du dipôle, il eiste une énegie d inteactin Mais, un dipôle étant cnsidéé indéfmable pa natue, cette énegie est iécupéable et ne peut, en cnséquence, ête cnsidéée cmme «ptentielle» Il seait dnc fau de calcule l énegie echechée pa la elatin n généale W = Q i i / qui pend nécessaiement en cmpte cette énegie d inteactin i= Sient, als, et + d les ptentiels au deu pints M et M infiniment pches l un de l aute, ù se etuvent espectivement les chages q et + q du dipôle dans leus psitins finales Cmme les psitins initiales snt situées infiniment lin de M et M dans une zne ù le ptentiel est suppsé nul, l énegie dépensée pu amene ces deu chages simultanément de l infini, est la smme : ( q)[ 0 ] + ( + q) [( + d ) ] q d w = 0 = Als, si E est le champ en M, la difféence de ptentiel ente M et M étant d = E MM définitin, l énegie ptentielle du dipôle peut s écie, sachant que MM = a i : pa E p u w = q d p = E a q i = E p - Si amene de l infini un dipôle à pimité d un aute nécessite un appt etéieu d énegie, cela signifie qu il faut lutte cnte leus fces d inteactin et qu en cnséquence, celles-ci snt épulsives Si, au cntaie, ce appchement s effectue spntanément, cela signifie évidemment que ces fces snt attactives, dans le pemie cas, l appt etéieu d énegie accît l énegie ptentielle des deu

28 PHY 4 : TD cigés 9 A Chin dipôles depuis zé (puisque, au dépat, ces dipôles snt infiniment lin l un de l aute) jusqu à une valeu finie nécessaiement psitive ; tandis que dans le secnd, le tavail dépensé ne peut ête pélevé que su l énegie ptentielle dispnible qui diminue ainsi de zé jusqu à une valeu finie bligatiement négative Pa cnséquent, une énegie ptentielle psitive est le signe de fces d inteactin épulsives, tandis qu une négative est le signe de fces attactives L énegie ptentielle d inteactin ente p et p, est l énegie ptentielle de p dans le champ E céé en pa p (u celle de p dans E céé en pa p ), sit, seln l eecice pécédent : w K p K [ ( p u ) u p ] p = [ ( p u )( u p ) p ] = E p = p p p p u (a) u (b) p p u (c) u (d) p p Psns p = p et p = p ; als, d apès la figue ci-dessus : (a) Si p et p snt alignés de même sens, n a p u = p p u = p, p p = p p,, et K dnc w = p p < 0 ; les fces d inteactin snt attactives (b) Si p et p snt alignés de sens cntaie, p u = p p u = p, p p = p p,, K et dnc w = + p p > 0 ; les fces d inteactin snt épulsives (c) Si p et p snt côte à côte, paallèles et de même sens, n a p u = 0, p 0 u =, p = p p p (d) Si p et K, et dnc w = + p p > 0 ; les fces d inteactin snt épulsives p snt côte à côte, paallèles et de sens ppsé, n a p 0, p 0 u = u =, p p = p p K, et dnc w = p p > 0 ; les fces d inteactin snt attactives 4

29 PHY 4 : TD cigés 9 A Chin 7(F) Seln l eecice pécédent : K p 0 wint = p p = =,80 J = 4$ # 0,080 e - la gandeu wint epésente l énegie qu il est nécessaie de funi pu disscie deu mlécules d eau (les éligne infiniment l une de l aute) ; elle est dnc liée à la chaleu latente de vapisatin de l eau 8(F) p' H p H (+ e) d H + H + (- e) -- (- e) d (+ e) p H : - Ntns ph le mment diplaie de la mlécule d eau, et deu dipôles ptant chacun les chages ( e) et ( e) cnstituée n devait dnc avi : sit p = p + p p et p' H H les mments des + à la distance d l une de l aute, dnt elle seait H H H, p H = p cs avec =05 et p = p e d ; H H H = d ù l n tie : p d = =,0 e cs H m - La distance ainsi btenue est tis fis plus faible qu en éalité, pace que la chage «effective» de la mlécule d ygène n est pas e, mais e chages «effectivement» ptées pa chacun des deu dipôles pécédemment calculée se tuve ête multipliée pa tis ; ce qui éduit à ( e ) et ( e ) + les deu p et p' H De ce fait, la distance d H 5