Ondes dans les milieux diélectriques PC*

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1 Onds dans ls miliux diélctiqus PC*

2 I) Notions d élctomagnétism dans ls miliux diélctiqus : Dans la matiè, un champ M agit su ls atoms, ls moléculs ou ls ions n ls défomant. L miliu matéil va ainsi : S polais sous l action du champ élctiqu S aimant sous l action du champ magnétiqu Cs modifications vont alos povoqu l appaition d un champ élctiqu (ou magnétiqu) induit pa l champ M xtn, qui s ajout à clui-ci. L but d c chapit st d xpliqu commnt cs phénomèns micoscopiqus s taduisnt à l échll macoscopiqu dans l xpssion ds équations d Maxwll. Dans ctains miliux (métaux, plasmas), ls chags s déplacnt libmnt (on pal d chags t d couants libs). Dans ls diélctiqus, ls chags n s déplacnt qu tès pu t s'oganisnt sous fom ssntillmnt d dipôls élctiqus (on néglig ls contibutions dus à l appaition d quadipôls ou mêm d octopôls élctiqus).

3 Vctu polaisation : Vctu polaisation : Dans la plupat ds miliux (comm l ai ou l au, pa xmpl) soumis à un champ élctiqu xtéiu, ls chagés liés s déplacnt à l échll atomiqu t il appaaît alos ds dipôls élctiqus : l miliu s polais. On put cit diffénts typs d polaisation : * Polaisation élctoniqu : 3

4 * Polaisation d'ointation : n l'absnc d champ (figu (a)), l'ointation ds dipôls élémntais st aléatoi. n pésnc d champ (figu (b)), ls dipôls ont tndanc à s'oint davantag dans la diction du champ (malgé l'fft antagonist d l'agitation thmiqu). 4

5 * Polaisation ioniqu : un cistal ioniqu s défom dans un champ élctiqu t il appaaît alos un momnt dipolai ésultant. Illustation schématiqu ds diffénts mécanisms d polaisation. 5

6 On not P l vctu polaisation, défini comm étant l momnt dipolai pa unité d volum : P dp dτ où dp désign l momnt dipolai du volum mésoscopiqu d τ. 6

7 Vctu dnsité volumiqu d couants liés : Cs chags liés s déplacnt t cént un couant d chags liés dont on put défini l vctu dnsité volumiqu. O i i Volum dτ M i M i : baycnt ds chags négativs O i : noyau fix v i 7

8 Dnsité d chags liés cospondants : On put étudi l état élctiqu d un miliu matéil polaisé n définissant un dnsité volumiqu d chags liés. Ainsi, dans un miliu matéil, on poua utilis ls équations d Maxwll dans l vid à condition d tni compt d cs diffénts dnsités volumiqus d chags t d couants. 8

9 Dnsité sufaciqu d chag d polaisation : è méthod : èm méthod (nutalité du miliu) : 9

10 quations d Maxwll dans ls miliux : La dnsité total d chags dans l miliu matéil put s éci, n tnant compt ds chags libs t ds chags liés d polaisation : ρ ρ + ρ ρ libs liés libs div P D mêm, n tnant compt ds ffts d polaisation, la dnsité d couants dvint : j j libs + j liés j libs + P t

11 Ls équations d Maxwll-Gauss t Maxwll-Ampè donnnt nsuit : ) ( P div div libs ρ ε ε ρ t : t t P j t j B ot libs µ ε µ µ ε µ On définit l champ : P D + ε D st l vctu déplacmnt élctiqu.

12 Ls équations d Maxwll-Gauss t Maxwll-Ampè dvinnnt : D div D ρ libs t ot B µ jlibs + t Ls dux auts équations, n faisant pas intvni ls soucs, stnt inchangés : div B t ot B t On obtint ainsi ls équations d Maxwll dans ls miliux diélctiqus. Dans la suit, on considè ds miliux diélctiqus dépouvus d chags t d couants libs. Ls équations d Maxwll dvinnnt : D B div D ; ot B µ ; div B ; ot t t

13 3 Théoèm d Gauss pou D : Il s éécit simplmnt : D n ds qlibs int éius ( S ). Ainsi, n l'absnc d chags libs : ( S ) D. n ds L vctu D dvint à flux consvatif. 3

14 4 4 Miliu linéai, homogèn t isotop : z y x zz zy zx yz yy yx xz xy xx z y x P P P,,,,,,,,, χ χ χ χ χ χ χ χ χ ε soit [ ] P χ ε où [ ] χ st un matic applé tnsu d suscptibilité élctiqu. L miliu linéai st homogèn si ss popiétés n dépndnt pas du point M ; ls cofficints d la matic [ ] χ n sont pas fonction d la position. Il st isotop si la matic [ ] χ st scalai (pas d diction pivilégié).

15 Finalmnt, dans un DLHI (diélctiqu linéai homogèn isotop), la lation nt ls champs t P st : (n notation complx) P ε χ χ où st la suscptibilité du miliu (sans dimnsion), fonction d la pulsation du champ élctiqu. Rmaqu : pou l vid, χ. 5

16 xpssion du vctu déplacmnt élctiqu (ou induction élctiqu) D : Ls équations d Maxwll dans ls miliux diélctiqus font appaaît un nouvau champ inconnus D : D ε Dans un miliu linéai, homogèn t isotop : (t n notation complx) D + P ε + P ε ( + χ ) ε ε st applé pmittivité diélctiqu complx du miliu. C'st un constant caactéistiqu du matéiau. D ε, alos ε ε Dans l cas du vid, ( P ) vid. 6

17 On définit la pmittivité lativ ε (constant sans dimnsion) pa : ε soit ε + χ ε ε L équation d Maxwll champ élctiqu : div D ρ libs div s éécit alos, n faisant appaaît l ρ ε libs ε n égim stationnai, ε put s msu pa l appot ds capacités d un condnsatu avc t sans diélctiqu. ll dépnd d la tmpéatu t d la pssion. 7

18 Qulqus ods d gandus : * Solids : ε (paaffin), ; ε (v) 5,4 à * au : ε (au) 8 * Ai : ε (v),59 (à C t ba) 8

19 II) tud d'un modèl d polaisation, l modèl d l'élcton élastiqumnt lié : - L modèl d l'élcton élastiqumnt lié : C modèl st dû au physicin hollandais Lontz (853 98). Chaqu élcton st taité comm un oscillatu hamoniqu amoti pa fottmnt fluid (pt d éngi pa ayonnmnt dipolai). Il st placé dans un champ élctiqu supposé unifom à l'échll d la molécul, d la fom cos( t). L PFD appliqué à l'élcton donn : ma k fv + q 9

20 Rmaqus : L champ d l'ond st unifom à l'échll d la molécul : la longuu d'ond d l'ond st >> qu ls dimnsions d la molécul. Pou un miliu pu dns, on néglig ls champs céés pa ls moléculs voisins. L champ élctiqu local st confondu avc clui d l ond. On néglig l'action du champ magnétiqu d l'ond.

21 Dans la suit, on pos : ; ; ε τ m n f m m k p Alos : m q + + τ On put défini τ Q l factu d qualité d l'oscillatu : m q Q τ

22 n égim sinusoïdal focé : + j q m Q

23 3 Vctu polaisation : L momnt dipolai d la molécul st : q p α (où α st la polaisabilité d la molécul). L vctu polaisation s'n déduit : (n * désign l nomb d chags liés pa unité d volum) Q j m q n P * +

24 4 3 Suscptibilité complx du miliu : A pati d P χ ε, on déduit : + + * * : ε χ χ ε χ m q n Avc Q j Q j m q n χ st la suscptibilité diélctiqu statiqu (pou ).

25 5 On pos χ χ χ j, alos : ; χ χ χ χ + + Q Q Q Dans la éalité, Q st d l'od d 3 à 4. On constat qu ls gandus χ t χ vaint notablmnt dans la band passant Q, d pat t d'aut d (voi figus (a) t (b)).

26 Figu (a) Figu (b) (L factu d qualité vaut ici Q ) 6

27 χ Dans ctt band passant, pnd ds valus impotants. n dhos d ctt zon, χ st tès faibl. 7

28 La figu suivant donn ls patis éll t imaginai d la suscptibilité avc dux pulsations d ésonanc, l un à la limit visibl UV t l aut à la limit UV Rayons X : 8

29 On put mont qu χ st dictmnt lié à la puissanc moynn volumiqu dissipé. D'où : P d ε χ Ainsi, l'absoption d l'ond M sa sutout impotant pou ds pulsations compiss autou d. 9

30 4 Polaisation total t od d gandus : Un miliu contint souvnt plusius typs d chags suscptibls d s déplac sous l'action du champ M d l'ond : * Ls auts élctons liés à l'atom ou à la molécul. * Ls noyaux mêm louds. Touts cs chags liés contibunt au vctu polaisation total qui put s mtt sous la fom : P i + ni qi m i * i, i j Q, i, i A chaqu typ d'oscillatu cospond un zon d'absoption. nt cs zons, la dissipation d'éngi au sin du miliu st faibl. 3

31 Qulqus ods d gandus : Ls pulsations caactéistiqus d la polaisation élctoniqu, sont situés dans l domain visibl t l'uv (féquncs d l'od d 4 à 5 Hz). Ls pulsations pops associés aux mouvmnts ds atoms d'un molécul ou ds ions d'un cistal ioniqu, baucoup plus massifs qu ls élctons, sont nttmnt plus faibls. Ls pulsations caactéistiqus d la polaisation atomiqu ou ioniqu,i, suivant ls cas, appaaissnt dans l domain IR (féquncs d l'od d à 4 Hz). Ls factus d qualité associés sont élvés, d l'od d 4 n moynn, d sot qu l'on obsv ds zons d'absoption distincts cospondant aux polaisations élctoniqus t ioniqus. 3

32 Polaisation d ointation Polaisation ioniqu Polaisation élctoniqu 3

33 Ainsi, l'au pésnt : Un zon d tanspanc dans l domain visibl. Ds zons d'absoption dans l'uv (tansitions nt nivaux élctoniqus) t dans l'ir (mods d vibation d la molécul). Un absoption dans l domain ds onds cntimétiqus, à la bas du fonctionnmnt ds fous à mico-onds qui échauffnt l'au contnu dans ls alimnts. 33

34 III) Popagation d'onds M dans un DLHI : quation d popagation : Ls équations d Maxwll dans l miliu sont : (il n'y a ni chags ni couants libs) D div D t ot B µ t B div B t ot t Avc : D P ε ( + χ ε ε + ) ε 34

35 D n maquant qu ot B µ t st idntiqu à ot B ε ε µ t, on voit qu'on s amèn à l'équation d popagation dans l vid à condition d mplac ε pa ε ε. Ainsi, ls champs M véifint l'équation d d'almbt : ε ε B ; B c t c t 35

36 36 Rlation d dispsion, indic du miliu : On n déduit ls patis éll t imaginai d l'indic complx : ) ( ) ( ; ) ( ) ( χ χ Q Q n Q n + + +

37 37

38 Qulqus ods d gandus d pmittivité lativs : 38

39 Rmaqu : on constat qu, pou ls miliux polais comm l'au pa xmpl, n ε : la polaisation n'st pas sulmnt élctoniqu mais sutout polai t dépnd d la féqunc. La pmittivité lativ d l au pa xmpl vaut 8 a GHz t,77 à 5,. 5 Hz (lumiè jaun). 39

40 Dispsion t absoption : L champ élctiqu d'un ond plan monochomatiqu s popagant dans l sns ds x > s'écit : k x j( t kx) ( Avc : k n t k n, positifs ) c c Soit, n notation él t n supposant él : k cos( t k x x ) L'indic n : 4

41 L cofficint n : xp(- x / δ) x Coub à t fixé Pou qu'il y ait absoption, il faut s plac dans un zon d féquncs situé au voisinag d'un pulsation pop du miliu. 4

42 Pa xmpl, l v absob l ayonnmnt UV dont la longuu d'ond st inféiu à 3 nm. L'ozon t l dioxygèn possèdnt égalmnt un zon d'absoption dans l'uv, c qui xpliqu l ôl potctu d l'ozon t d l'atmosphè. Coubs xpéimntals n (λ) t n (λ) pou l'au, d l'uv poch (λ,6 µm) à l'ir poch (λ 8 µm). L'au t l dioxyd d cabon absobnt l'ir (cla xpliqu l'fft d s). 4

43 Application ; Loi d Cauchy pou l'indic d'un pism d v : On s popos d étudi l modèl simplifié suivant d la popagation d un ond dans un miliu nut dilué (du v, pa xmpl) t d démont l xpssion d la loi d Cauchy donné n è anné ( n ( λ) A + B / λ ). On suppos qu f t qu >>. L indic du miliu pou la pulsation st défini pa la lation : v ϕ c / n, où v ϕ st la vitss d phas. B Mont qu l on put éci un fomul appoché (loi d Cauchy) : n A + λ, où λ st la longuu d ond dans l vid d un ond d pulsation t où A t B sont ds constants caactéistiqus du miliu qu l on xpima n fonction d, p t c. 43

44 3 Rlation nt vitss d phas t vitss d goup : La vitss d phas t la vitss d goup sont donnés pa : v c d n ; vg ( k ) dk ϕ k n c Finalmnt : c dn n λ dλ vϕ λ dn n dλ v g 44

45 La vitss d phas st pésnté n taits plins t la vitss d goup n pointillés (limité à c). Dans l domain d absoption, la vitss d phas vai apidmnt t la vitss d goup dépass la valu c. ll n pésnt plus la vitss d popagation d l éngi t pd sa signification. 45

46 IV) Réflxion t éfaction ds onds M : On considè dux miliux diélctiqus LHI () t (). On s plac dans ls zons d tanspanc pou lsqulls ls indics n t n sont éls. Un ond incidnt aiv à l'intfac nt ls dux miliux (su l diopt, sufac qui sépa ls dux diélctiqus). On souhait détmin l'ond éfléchi t l'ond tansmis. Nous savons qu la composant tangntill du champ élctiqu st continu t qu la composant nomal du champ magnétiqu st continu à la tavsé du diopt. La lation d Maxwll valabl pou l champ D, divd, mont qu la composant nomal du champ D st continu (alos qu cll du champ st discontinu). Ds chags sufaciqus d polaisation puvnt appaaît t cci conduit à un discontinuité d la composant nomal du champ élctiqu. n vanch, il n'y a pas d couants sufaciqus d polaisation ; ainsi l champ magnétiqu tangntil sa alos aussi continu. 46

47 Lois d Dscats : L champ élctomagnétiqu d l ond incidnt, s popagant dans la diction du vctu i i u dans l miliu () s écit : i i( t k. ) i t B i k i i i( t ki. ) (avc ki n ui c ) () k i O P P N () k k t 47

48 48 Pou l ond éfléchi dont la pulsation st la mêm qu cll d l ond incidnt (s popagant dans la diction du vctu u dans l miliu ) : ). ( k t i t ). ( k t i k B (avc u c n k ) Pou l ond tansmis dont la pulsation st la mêm qu cll d l ond incidnt (s popagant dans la diction du vctu t u dans l miliu ) : ). ( k t i t t t t ). ( k t i t t t t k B (avc t t u c n k )

49 () k i O P P N k t () k () () k i i i N P k t k 49

50 Réfaction limit, éflxion total, ond évanscnt : L miliu l plus éfingnt à l indic d éfaction l plus gand. Incidnc asant t angl d éfaction limit. 5

51 Cofficints (n amplitud) d éflxion t d tansmission n incidnc nomal : () B i i k x k i B () B t k t t (On a supposé su l dssin ls onds polaisés ctilignmnt) 5

52 On n déduit : t t i i avc avc t n n + n n n n + n Qulqus maqus : * t st toujous positif : il n'y a pas d changmnt d phas los d la tansmission. * put êt positif ou négatif : - n > n : la éflxion n'intoduit pas d déphasag - Si n < n : la éflxion intoduit un déphasag d π. 5

53 53 3 Cofficints (n éngi) d éflxion t d tansmission n incidnc nomal : L vctu d Poynting incidnt st (n valu moynn) : x i i u c n, µ Π Pou ls onds éfléchi t tansmis : x t t x u c n t u c n,, ) ( µ µ Π Π Ls cofficints n éngi d éflxion t d tansmission sont alos : ) ( 4 n n n n t n n T t n n n n R i t i + Π Π + Π Π

54 4 Cofficints (n amplitud) d éflxion t d tansmission n incidnc qulconqu : L calcul ds cofficints d éflxion t d tansmission s'ffctu d maniè analogu n distinguant l cas d'un ond polaisé dans l plan d'incidnc t l cas d'un ond polaisé ppndiculaimnt au plan d'incidnc. Voi polycopié (PC*) 54