KECHICHE Naouel STABILISATION DE L EQUATION DES ONDES AVEC DES COEFFICIENTS VARIABLES ET CONDITIONS AUX LIMITES DYNAMIQUES

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1 MINISTÈRE DE L ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITÉ DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE HOUARI BOUMEDIENNE FACULTÉ DE MATHÉMATIQUES Mémoire présené pour l obenion du diplôme de Magiser en mahémaiques Spécialié : Analyse : Équaions aux dérivées parielles Par KECHICHE Naouel THÈME STABILISATION DE L EQUATION DES ONDES AVEC DES COEFFICIENTS VARIABLES ET CONDITIONS AUX LIMITES DYNAMIQUES Souenue publiquemen le:././4 devan le jury composé de: Professeur à L U.S.T.H.B Présiden. Mr. Ammar KHEMMOUDJ M.de conférences à L U.S.T.H.B Direceur. Professeur à L U.S.T.H.B Examinaeur. Professeur à L U.S.T.H.B Examinaeur.

2 Chapire Inroducion La Théorie du Conrôle des Equaions aux Dérivées Parielles (EDP) inervien dans di érens conexes e de plusieurs manières. Les problèmes de conrôlabilié, d observabilié e de sabilisaion des équaions aux dérivées parielles on fai l obje, récemmen, de nombreux ravaux. La sabilisaion a pour bu d aénuer les vibraions par réro-acion (feedback); elle consise donc à garanir la décroissance de l énergie des soluions vers de façon plus ou moins rapide par un mécanisme de dissipaion. Plus précisémen, le problème de sabilisaion auquel on s inéresse revien à déerminer le comporemen asympoique de l énergie que l on noe E() (c es la norme des soluions dans l espace d éa), à éudier sa limie a n de déerminer si cee limie es nulle ou pas. Il exise plusieurs degrés de sabilié que l on peu éudier. Le premier degré consise à analyser simplemen la décroissance de l énergie des soluions vers zéro, i.e. : E()! ; lorsque! +: C es ce que l on appelle la sabilisaion fore. Pour le second, on s inéresse à la décroissance de l énergie la plus rapide, c es-à-dire lorsque celle-ci end vers de manière exponenielle, i.e. : E() Ce ; 8 > ;

3 . Inroducion où C e son des consanes posiives. Quan au roisième, il éudie des siuaions inermédiaires, dans lesquelles la décroissance des soluions n es pas exponenielle, mais du ype polynomial par exemple E() C ; 8 > ; où C e son des consanes posiives. Il y a d aure degrés de sabilié qu on a pas cier. Dans ce mémoire on éudie la décroissence exponenielle de l énergie des soluions lorsque le emps end vers l in ni de l équaion des ondes semi linéaire amories avec des coe ciens variables e des condiions aux limie dynamiques. Ce problème modilise les vibraions d un corpe élasique recouver d une couche mince sur le bord. bu du ravail on considére le problème suivan: 8 >< >: u div(aru) div(aru ) = ; u (x; ) = ; v (x; ) = a u u + div (A rv ) r jv j m v (x; ) + jvj p v ; (u (x; ) ; v (x;)) = (u (x) ; v (x)) ; (u (x; ) ; v (x; )) = (u (x) ; v (x)) x ; > x ; > x ; > x (..) Où (u; v) = (u (x; ) ; v (x; )),, x, es un domaine régulier e borné de R N, (N = [, mes( ) >, \ =? e A = (a ij ) es une de marice, a ij (x) = a ji (x) son des foncions de C (R n ) dans R = P n i;j= a j i, = ( ; ; :::; n ) T désigne la dérivée normale uniaire de exérieure de, A = A, e m, a, e r son des consanes posiives, p > e u ; u v ; v son des foncions données. Pour des raisons de simplicié, dans ce mémoire on considére le cas où a =. :

4 . Inroducion On suppose que les opéraeurs di erenielles de deuxième order A e A véri en la condiion d ellipicié uniforme On suppose que nx nx a ij (x) i j > i ; x ; 6= = ( ; ; :::; n ) T R n : (..) i;j= i;j= nx a ij (x) i j > ; x R n ; 6= = ( ; ; :::; n ) T R n : (..3) i;j= Dans ce ravail on considére le problème (..) e on monre que si les données iniiales son dans "l ensemble sable", les condiions de la soluion Reseran ainsi oujaurs les mêmes. En oure, nous allons monrer que la présence de puissanes forces d amorissemen la soluion end à zéro de manière uniforme e avec un aux de décroissance exponenielle, même si l amorissemen de la fronière es non linéaire i.e. m >. Pour obenir nos résulas, en uilisan nous la méhode puis de poeniel avec la méhode de l énergie modi e. on considére les espaces où e munis des normes suivanes: V = (u; v) H () H ( ) : u= = v H = u H () : u= = H =L () L ( ): k(u; v)k H = juj L () + jvj L ( ) k(u; v)k V = juj H () + jvj H ( ) V e H son des espace de Hilber e V es dense dans H e injecion coninue. 3

5 .. Noe hisorique sur la noion de sabilisaion exponenielle de l équaion des ondes l énergie associée au probléme (..) es dé nie par E () = h ku k + kv k ; + kr guk + (rg ) v i : ; Donnons mainenan un bref résumé du conenu de ce documen. Dans le premier chapire es consacré aux dé niions e aux rappels de quelque noions de base d analyse foncionnelle. Dans le deuxième chapire :on éudie l exisence e l unicié de la soluion du problème (..) e ce chapire compore deux secion Dans la premier secion on éudie l exisence e l unicié locale de la soluion du problème (..), on uilise la méhode de faedo -Galarkin e le héorème de l applicaion conracane. Dans la deuxième secion on monre que si les données iniiales son dans le l ensemble sable, e nous allons alors monrer l exisence globale de la soluion. Dans le roisième chapire on moner que l équaion des ondes avec condiions aux limie dynamique exponeniellemen sable.. Noe hisorique sur la noion de sabilisaion exponenielle de l équaion des ondes Ce secion a pour bu de rappeler les ravaux principaux sur la décroissance exponenielle de l énergie d un sysème gouverné par des équaions aux dérivées parielles (appelé sysème disribué). Cee noion a pris, sous l in uence des ravaux de D.L.Russell (cf.[8]) le nom de sabilisaion fronière ou inerne exponenielle... Sabilisaion fronière d un exemple modèle Soi un domaine borné de R n ; n, don la fronière es `: es de classe 4

6 .. Noe hisorique sur la noion de sabilisaion exponenielle de l équaion des ondes On désigne par le champ uniaire normal à la fronière exérieur à, e l opéraeur de dérivaion dans cee direcion. On appelle sabilisaion fronière de l équaion des ondes dans, avec une condiion de Dirichle homogène e une condiion de Newmann non homogène considérées respecivemen sur e, où ( ; ) es une pariion de, la donnée d un opéraeur (appelé opéraeur de feedback fronière) F : V H! K où V, H, K son des espace de foncions ou de disribuions, els que l énergie associée à la soluion du problème 8 u u = dans R + >< >: u = sur R u = F (u; u ) sur R + u (x; ) = u dans R + u (x; ) = u dans R + décrois de manière exponenielle quand! +, e ceci pour ous u ; u pris dans des espaces convenables. Remarque.. Le problème de sabilisaion fronière consise à exhiber un opéraeur de feedback fronière de elle sore que l énergie E () du sysème véri e E () C exp ( ) ; 8 : où C e son des consanes posiives es appelé aux de décroissance de l énergie. Dé niion.. On dé ni aussi la noion d opéraeur de feedbach inerne G : V H! K 5

7 .. Noe hisorique sur la noion de sabilisaion exponenielle de l équaion des ondes (où V ; H; K son des espaces de foncions ou de disribuions), ensuie on s inéresse au comporemen asympoique de l énergie associée au problème 8 >< >: u u = G (u; u ) dans R + u = sur R u = F (u; u ) sur R + u (x; ) = u dans R + u (x; ) = u dans R + Remarque.. A vrai dire la noion de sabilisaion fronière n pas propre aux condiions de Dirichle homogène e Neumann non homogène, ni même à l équaion des ondes; on peu se poser ce genre de problème pour ou sysème évoluif, avec condiions aux limies choisisses de sore que le problème soi bien posé... Noe hisorique On a vu ci-dessus que les problèmes de sabilisaion exponenielle, que l on peu se pose pour les sysème évoluifs consise à rouver un opéraeur de feedback fronière ou inerne de sore que l énergie du sysème décroisse en exponenielle. On va rappeler, d une manière brève les di érenes phases qu à connues la noion de sabilisaion exponenielle, sans vraimen renrer dans les déails, ou préendre que ce aperçu hisorique soi exhausif. Les ravauxde C. S. Morawez En 959, en analysan l expression explicie de la soluion obenue par séparaion des variables de l équaion des ondes dans un domaine non borné de R 3, C. Wilcox (cf. [3]) a réussi à monrer que l énergie locale, décroi de maniéré exponenielle quand le emps end vers l in ni. Sous les hypohèse plus générales que celle de C. Wilcox, en 96 C. S. Moraweez (cf. [5]) a monré que l énergie locale, décroi comme l inverse du emps. En combinan leurs méhodes, P. D. Lax, C. S. Morawez e R. S. Phillips (cf. [7]) on prouvé en 963, que l énergie locale associée à la soluion de 6

8 .. Noe hisorique sur la noion de sabilisaion exponenielle de l équaion des ondes l équaion des ondes dans un domaine de R 3, exérieur à un domaine éoilé, décroi de manière exponenielle quand le emps end vers l in ni. Les ravaux de G.Chen e de J.Lagnese En se basan sur les ravaux de C. S. Morawez (cf. [5] e [9]) sur l équaion des ondes dans un domaine exérieur, D. L. Russell a conjecuré, en 974, un phénomène analogue pour l équaion des ondes dans un domaine borné. Énoncé de la conjecure (cf. [9]) Soi un domaine borné de R 3, s il exise un poin x R n, exérieur à el que le bord de, noé, admee une pariion véri an la condiion géomérique suivane: m (x) : (x) ; pour ou x : où - (x) désigne la normale uniaire exérieur à : -m (x) = x x, pour ou x R n : 3- = [ ; \ = : Alors il exise deux consanes, C e w posiives elles que l énergie associée au sysème évoluif 8 u u = dans R + >< >: u = sur R + u + u = sur R + u (x; ) = dans R + u (x; ) = u dans R + ; (..) où L ( ), e (x) > ; 8x ; véri e l inégalié suivane E () C exp ( w) ; 8 : En 977, J. P. Quin e D. L. Russell cf. [7]) son parvenus à monrer, sous les hypohèses de la conjecure de Russel, l inégalié E () C (E ()) ; 8 : (..) + 7

9 .. Noe hisorique sur la noion de sabilisaion exponenielle de l équaion des ondes Mais malheureusemen, ils n on pas réussi à moner que C (E ()) véri e C (E ()) k:e () : (..3) où k es une consane qui ne dépend ni de E () ni de emps. Il es inéressan de savoir qu à parir de (..) e (..3) on peu déduire la décroissance exponenielle de E () par une simple applicaion des propriéés des semi groupes (cf. (7]). Le primer résula posiif consernan la conjecure de Russell, a éé obenu en 979 par G. Chen, en paran des hypohèses suivanes: il exise un poin x R n el que m (x) : (x) ; pour ou x (..4) m (x) : (x) > ; pour ou x : - (x) désigne le champ uniaire normal exérieur à : -m (x) = x x, pour ou x R n : 3- = [ : Ensuie, en adapan les echniques, en pariculier la echnique des muliplicaeurs, uilisées par C. S. Moraweez, W. A. Srauss e J. U. R alson, dans les domaines exérieurs, G. Chen (cf. [6]) a pu alléger les hypohèses (..4), ces résulas on éé améliorés par J. Lagnese (cf; [3]), en 983, sous l hypoénuse il exise un champ de veceur h ` n el que : 8 >< >: la j m (x) : (x) ; pour ou x : m (x) : (x) > ; pour ou x : Les ravaux de I. Lasiecka e R. Triggiani i es uniformémen dé nie posiive sur : En 987, uilisan des méhodes di érens de celles de chen e Lagnese, I. Lasicka e R. Triggiani (cf. [6]) on pu redémonrer les résulas de chen e Lagnese pour l équaion des ondes avec une condiion de Dirichle non homogène sur ou le bord : 8

10 .. Noe hisorique sur la noion de sabilisaion exponenielle de l équaion des ondes Il fon appel à un opéraeur de feedback fronière donnée par : F (u; u ) (Gu ) ; sur : où b L ( ), e b (x) b > ; pour ou x suivan :, e G es l inverse de l isomorphe qu on noe G = ( ) : ( ) : H () \H ()! L () : Dans ous les ravaux, dans un domaine borné, cié ci dessus l inégalié E () C exp ( w) ; 8 : A éé obenue, à parir d une esimaion sur R E () d; en uilisan un résula du à R. Dako (cf. [7]) e A. Pazy (cf. [6]), malheureusemen ce héorème prouve l exisence des consanes C, e w sans donner des esimaions explicies. On remarquer que lorsque la fronière, la condiion (..4) exige que \ = (..5) Les ravaux de V. Komornik e E. uazua En 987, V. Komournik e E. uazua on allégé la condiion (..4) de G. Chen en la remplaçan par m (x) : (x) > ; pour ou x : donc permean, en principe, de généraliser les résulas de Chen e langnese aux domaines à bords réguliers e connexes, mais au prix de remplacer la condiion aux limies, du problème (..), sur R + u = m:u, R + Si saisfai à la condiion (..5), alors pour ou n ; la méhode de Komornik e uazua (cf []) donne, d une manière simple des esimaions explicies pour C e w en foncion de géomérie de e x : 9

11 .. Noe hisorique sur la noion de sabilisaion exponenielle de l équaion des ondes Leur procédé devien inapplicable dans le cas général où \ 6= (..6) car dans ce cas la régularié des soluions n es pas su sane pour jusi er l applicaion de la méhode des muliplicaeurs. Ce pendan, la même année (987), P. Grisvard es parvenu à monrer (cf. [8]) que, au moins pour n 3, l idenié fondamenale, sur laquelle es basée la echnique des muliplicaeur de Komornik e uazua, devien une inégalié qui es su sane pour mener les calcules a bou e obenir une décroissance exponenielle de l énergie, avec des esimaion explicies pour C e w. Le cas n 4, sans l hypohèse (..5) res ouver; à moins que l inégalié de Grisvard ne puisse ére prouvée dans ce cas; alors le procédé de sabilisaion de Komornik e uazua peu ere appliqué avec e cacié. Les ravaux de J. L. Lions En 986, Lions a élaboré une méhode générale de sabilisaion exponenielle pour oue les sysème linéaires réversibles exacemen conrôlables. Son précédé repose esseniellemen sur la héorie du conrôle opimale e la méhode de pénalisaion. Mais il ne donne méhode explicie pour consruire l opéraeur de feedback, ni d esimaion sur le aux de décroissance de l énergie.

12 Chapire Noions d analyse foncionnelle: Dans ce chapire, on vas rappeler des noions essenielles d analyse foncionnelle nécessaire à la compréhension des énoncés on vas aussi démonrer des problèmes qui formen le hème de ce mémoire. Topologie faible (X; X ) Soi X un espace de Banach e soi f X X l espace dual de X : On désigne par ' : X! R l applicaion dé nie par ' f (x) = hf; xi :Lorsque f parcour X on obien une famille ' f d applicaions de X dans R. fx. La opologie faible (X; X ) : Dé niion.. La opologie faible (X; X ) sur X es la opologie lamions ne sur X rendan coninues oues les applicaions ' f fx : Pour dé nir cee opologie d une façon plus précise il su de dé nir une base de voisinage pour ou élémen x X comme sui: Éan donné un poin x X on obien une base de voisinages de x pour la opologie (X; X ) en considéran les ensembles de la forme \ finie ' f (V f ) ; ou V f es un voisinage de ' f (x) dans R. (i.e. V f = ]a "; a + "[ avec a = hf; xi) : Dé niion.. On di qu une suie (u n ) nn de veceurs d un espace de Hilber X converge faiblemen vers u X, e on noe u n * u, si

13 .. La opologie faible (X; X ) : lim n! hv; u n i = hv; ui pour ou v X: Remarque.. a)-la limie faible quand elle exise es unique. En e e si hu ; vi = hu ; vi pour ou v X; on a pour v = u = u ku u k = hu u ; u u i = donc u = u (On peu perender v X, car X es espace de Hilber, donc X = X (héorème de Riesz). b)-si la suie (u n ) nn converge vers u X pour la norme (on di alors qu elle converge foremen vers u) alors u n * u. En e e, on a jhu n u; vij ku n uk kvk : Ce qui implique que hu n u; vi! quand, n! : c) Si X es de dimension nie alors la convergence faible implique la convergence fore: Il su de considéré la base e ; :::; e n e d observer que hu; e i i = u i pour u X ce qui moner que la convergence faible équivau alors à la convergence composane par composane, c es à dire à la convergence fore. Proposiion.. Soien X e des espaces de Hilber, (u n ) nn X une suie qui converge faiblemen vers u e l (X; ) opéraeur linéaire coninu de X dans : Alors la suie (A (u n )) nn converge faiblemen vers A (u) Preuve : En e e, pour ou v, la foncion u 7! ha (u) ; vi es linéaire coninu car jha (u) ; vij kak kvk kuk ; 8u X; 8v Il exise donc w X (w = A (v)), A es l adjoin de A) el que On a alors, pour ou v X ha (u) ; vi = hu; wi pour ou u X lim ha (u) ; vi = lim hu n; wi = hu; wi = ha (u) ; vi : n! n!

14 .. La opologie faible (X; X ) : Théorème.. Soi (u n ) nn une suie bornée dans un espace de Hilber X. Alors la suie(u n ) nn posséde une sous -suie faiblemen convergene. Théorème.. Toue suie faiblemen convergene dans un espace de Hliber X es bornée. Corollaire.. Soien (u n ) nn une suie qui converge faiblemen vers u e (v n ) nn une suie qui converge foremen vers v. Alors lim hu n; v n i = lim hu; vi n! n! Dé niion..3 Soi X un espace normé, e soi X = l (X; R) son dual opologique. Alors la opologie éoile faible sur X noée (X ; X) es la opologie iniiale associée au sysème (R; ; u ) ux ou désigne la opologie usuelle de R e u : X! R es dé nie par u (l) = l (u) : C es donc la moins ne des opologie sur X rendan coninues oues les foncionnelles u ; u X: Proposiion.. Soi (f n ) nn une suie de X. On a / f n! f ( éoile faible ) () (hf n ; xi! hf;xi ; 8x X) : / Si f n! f pour (X ; X) e x n! x foremen dans X, hf n ; xi! hf n ; xi : Remarque.. L espace X des foncionnelles linéaires sur un espace X adme deux inerpréaions: -Ou bien il es considéré comme le dual de l espace iniial X. -Ou bien X es considéré comme espace de base e alors on lui associe son dual X " : Cela signi e que nous pouvons inroduire sur X la opologie faible de deux maniérés di érens: -Ou bien comme dans l espace des foncionnelles, en dé nissan les voisinages dans X à l aide des sous-ensembles nie de X (opologie éoile faible ), -Ou bien comme dans l espace de base, à laide de l espace dual X ". Dans le cas d un espace 3

15 ré exif cela revien, bien sur, au même... Espace foncionnels Si, par coner, l espace X n es pas ré exive, ce son deux opologie différenes sur X. Il es éviden que la opologie éoile faible de l espace X es moins ne que la opologie faible de X (c es -à- dire la opologie faible conien au moin d ensembles ouvers que ceux de la opologie faible éoile ). Éan donné un espace normé X, son dual opologique X es muni d une srucure d espace normé en posan klk = sup jl (u)j : kuk La boule unié de X (ainsi que oues les boules fermées ) possédé alors une propriéé remarquable, comme le monre le héorème suivan. Théorème..3 Soi X un espace normé, alors la boule unié de X es (X ; X)compace. B = fl X : klk g. Espace foncionnels.. Espace L P () : On rappelle ici quelques dé niions e propriéés élémenaires : Soi p R avec p < e un ensemble au sens de Lebesgue de R n, on dé ni L p () = classe de foncions f :! R : f mesurable e R jf (x)jp dx < : On noe kfk p = jf (x)j p dx : Si p =, on noe L () l espace des foncions mesurables esseniellemen bornées sur 8 < L () = : f :! R : f mesurable e il exise une consane C elle que jf (x)j C p:p sur 9 = ; : 4

16 .. Espace foncionnels On noe Noion : kfk = inf fc > ; jf (x)j C p:p sur g = sup ess jfj : Soi p ;on désigne par p l exposan conjugué de p i.e. p + p = : Inégalié de Hölder Théorème.. (Inégalié de Hölder) Soien f L p () e g L p () avec p alors fg L () kfgk L () kfk L p () kgk L p () Il convien de reenir une conséquence rés uile de l inégalié de Hölder Inégalié de Hölder généralisée Corollaire.. (Inégalié de Hölder généralisée) Soien f ; f ; :::; f k des foncions elles que f i L p i () ; i k avec p = p + p + ::: + p k : Alors le produi f = f f :::f k apparien à L p () e kfk p kf k p ::: kf k k pk : Théorème.. L p () es ré exif pour < p < : lemme de Gronwall Lemme.. (de Gronwall).Soien g une foncion L (; T ) ; g () ; p:p: [; T ] ; a une foncions L (; T ) Alors une foncion a () ; p:p: [; T ] : On suppose g () a (s) g (s) ds + ; p:p: [; T ] : g () exp a (s) ds ; p:p: [; T ] : 5

17 .. Espace foncionnels.. Noions de base sur les disribuions: On appelle suppor d une foncion ' :! R le plus pei fermé k ' en dehors duquel la foncion ' es nulle presque parou. Une foncion ' :! R es die à suppor compac dans si son suppor es un compac conenu dans. On noera par D () l espace des foncions ' dé nies e indé nimen dérivables sur e à suppor compac conenu dans : On désigne par D l espace des resricions à des foncions de D (R n ) : La longueur d un muli-indice = ( ; :::; i ; :::; n ) N n es l enier noé jj e dé ni par: jj = + ::: + i + ::: + n : Pour ou muli-indice = ( ; :::; i ; :::; n ) N n ;on dé ni l opéraeur de : D ()! D () '! i ' ::: i n ' (') :::@x i Proposiion.. 8p, l ensemble D () es dense dans L p () : i :::@x n n Preuve :.Vo-kHAC KHOAN en donne une démonsraion dans [6] en page 48. Convergence dans D () Dé niion.. Convergence dans D () : on di qu une suie f' n ; n Ng D () converge vers une foncion ' D () s il exise un compac K coninu dans el que : i) supp (' n ) K, 8n N (' n ) converge uniformémen ' n ; 8 = ( ; :::; i ; :::; n ) N n Espace des disribuions D () Dé niion.. Espace des disribuions D () : On appelle espace des disribuions sur, l ensemble D () des applicaions linéaires T : D ()! R elles que pour oue suie f' n ; n Ng D () ; on a: 6

18 .. Espace foncionnels ' j jn! ' dans D () =) T ' j! T (') dans R On noera ht; 'i = T (') la dualié enre D () e D () : E on dira, que deux disribuion T e T sur son égales si elles le son en an qu applicaion de D () dans R: ht ; 'i = ht ; 'i; 8' D () Remarque.. Les disribuions généralisen la noion de foncion puisque à oue classe de foncions f L () on peu associer de façon canonique e biunivoque une disribuion noée T f ht f ; 'i D ();D() = ht f ; 'i L () = e dé nie par: f (x) ' (x) dx 8' D () e 8f = f p:p sur On dira qu une disribuion T D () apparien à L () s il exise une classe de foncions f L () elle que ht; 'i D ();D() = La convergence dans D () Dé niion..3 Convergence dans D () : f (x) ' (x) dx, 8' D () ; f L () On di qu une suie de disribuions ft n ; n Ng D () converge vers T dans D () si : 8' D () : lim n! jht n ; 'i ht; 'ij = Dé niion..4 On peu ideni er L () à son dual e comme D () es dense dans L () ; on a les inclusions suivanes D () L () = L () D () Dérivaion dans D () Dé niion..5 Dérivaion dans D () : 7

19 .. Espace foncionnels pour oue disribuion T D (), on dé ni pour ou indice i f; :::; ng l opéraeur i : D ()! D () par 8' D () ; ; i = ( i E en général, pour ou muli-indice 8 = ( ; :::; i ; :::; n ) N n, on dé ni l opéraeur de : D ()! D () par :' 7! h@ T; 'i = ( 8' D () i.e Coninuié dans D () h@ T; 'i = ( ) T; :::@x i Dé niion..6 Coninuié dans D () : i :::@x n n ; 8' D () ) 'i On di qu une applicaion linéaire A : D ()! D () es coninue si pour oue suie de disribuions ft n ; n Ng D () l implicaion suivane es véri- é: T n converge dans D () vers T =) A (T n ) converge dans D () vers A (T ) Proposiion.. Pour oue disribuion T D () e pour ou muli-indice = ( ; :::; i ; :::; n ) N n l opéraeur de : D ()! D () es coninu au se de la dé niion précédene e on T D () 8T D () Preuve : Voir en page 83 dans [6] de Vo-kHAC KHOAN 8

20 .. Espace foncionnels..3 Espace de Sobolev: On inrodui l espace H m () comme éan l espace des foncions v L () don oues les dérivées parielles d ordre inférieure ou égale à m-prises au sens des disribuions son dans L () ; ou es ouver borné de R n : Ces espaces jouen un rôle fondamenal dans l éude des équaions aux dérivées parielles. Dé niion..7 Pour m N, on dé ni l espace de Sobolev d ordre m N par: H m () = u D () ; D u L () ; jj m où = ( ; :::; n ), j N; jj = + ::: + i + ::: + n ; e D :::@ n n On muni H m () du produi scalaire (u; v) m X jjm e la norme associée à ce produi scalaire kuk H m () X On inrodui ensuie : jjm jd u (x)j dxa D u (x) D v (x) A dx H () = adhérence de D () dans H () X kd u (x)k dx A : jjm i : = sous-espace de H () des foncions "nulles" sur Puisque (par dé niion) D () es dense dans H () ; on peu ideni er le dual H () de H () à un espace de disribuions sur : 8 < : H () = (H ()) ; H (),! L (),! H (),! D () : Les injecions précédenes son coninues. Proposiion..3 /Si m m ; H m () es conenu, avec injecion coninu, dans H m () : /H m () muni du produi scalaire (:; :) m es un espace de Hilber. 9

21 Théorème..3 (Formule de la Green ) Pour ou u H () ; v H () on a div ruvdx = es la dérivée normale de u à p < vdx dirigée vers l exérieur... Espace foncionnels De façon générale,x éan un espace de Banach, on désigne par L (; T ; X) ; l espace des classes de foncions! f () de ]; T [! X qui son mesurables à valeurs dans X e ells que T kf (x)k p p d si p = ; on remplace la norme précédene par l espace normé L p (; T ; X) es comple. = kf (x)k L (;T ;X) < ; ess sup kfk X = kfk L (;T ;X) < : <<T On dé ni L p (; T ; L p ( )) comme éan l espace des foncions w L p (; T ; L p ( )) elles que w (x; ) = p.p. dans ; où p <, muni de la norme Si q = kwk L q (;T ;L p ( )) = T kw (; x)k q L p ( ) dxd q : kwk L q (;T ;L p ( = sup )) ess kw (; x)k L p ( ) <<T On dé ni de la même façon les espaces L q ; T ; H ( ), p < : Remarque.. Nous rappelons que si X e Y son deux espaces de Banach els que X,! Y (injecion coninue), puis L p (; T ; X),! L p (; T ; Y ) ; p : Nous dé nissons l exposan criique de Sobolev pour l espace foncionnel race par 8 < (N ) q = ; si N 3 N : + si N = ; : (..)

22 .. Espace foncionnels Inégalié de Young Lemme.. (Inégalié de Young ) Soien < q; p < ; + = ;Alors p q on a aussi ab ap p + bq ; (a; b) > ; q 8a; b ; " > ; ab "a + C (") b ; C (") = ("p) q p q ; appelée inégalié de Young avec " l injecion de sobolev Théorème..4 (l injecion de Sobolev) On suppose que ouver borné. Alors il exise une consane sricemen posiive C (dépendan de ) elle que kuk ; C kruk ; 8u H () : E dans cee documen on noe par H () = u H () =u = : E e V = H () L m ( ) kvk = kvk q; +r krvk Y T = f (u; v; u ; v ) : (u; v) C [; T ]; H () H ( ) \ C [; T ]; L () L ( ; (..) (u ; v ) L (; T ; H () H ( )) v L m ((; T ) ) g: (..3)

23 .. Espace foncionnels Muni de la norme: h k(v; v )k Y T = max ku k T + kv k ; + kr guk + (rg ) v i T + kv ; k L m ((;T ) ) + kr g v (s)k ds: Pour m q ; de l inégalié de Poincaré, la coninuié de l opéraeur race sur e Sobolev insérer de cee norme es équivalene à : k(u; v)k = max hkr g uk T + ku k + kv k ; + (rg ) v i : (..4)

24 Chapire 3 Exisence e unicié de la soluion du problème (P) 3. Exisence locale Dans ce mémoire en considéran l équaion suivane 8 >< >: u div(a ru) div(a ru ) = ; u (x; ) = ; h v (x; ) = a u = + div (A rv ) r jv j m v (x; ) + jvj p v ; (u (x; ) ; v (x; )) = (u (x) ; v (x)) ; (u (x; ) ; v (x; )) = (u (x) ; v (x)) ; x ; > ; x ; > ; x ; > ; x ; > ; x ; ; où (u; v) = (u (x; ) ; v (x; )),, x, es un domaine régulier e borné de R N, (N = [, mes( ) >, \ =? e A = (a ij ) es une marice, a ij (x) = a ji (x) son des foncions de C (R n ) dans R = P n i;j= a j i, = ( ; ; :::; n ) T, désigne la dérivée normale uniaire exérieure de, e A = A, e m, a, e r son des consanes posiives, p > e u ; v, u ; v son des foncions données. Pour des raisons de simplicié, dans ce mémoire on considère le cas où a =. 3

25 3.. Exisence locale On suppose que les opéraeurs di ereniells du second ordre A e A en la condiion d ellipicié uniforme nx a ij (x) i j > i;j= On suppose que nx i;j= nx i ; x ; 6= = ( ; ; :::; n ) T R n : i;j= a ij (x) i j > ; x R n ; 6= = ( ; ; :::; n ) T R n : véri- Dans ce chapire, nous allons monrer l exisence e l unicié locale de la soluion du problème (..). Nous allons aussi adaper les idées uilisées par Georgiev e Todorova de [7] dans le cas du probléme à coe ciens consans, qui consisen à consruire des approximaions de Faedo-Galarkin a n d uiliser le héorème de l applicaion conracane. Cee méhode nous perme de réduire les resricions sur les données iniiales. Par conséquen, le même résula peu êre éabli en uilisan la méhode d approximaion de Faedo-Galarkin couplée avec la méhode du puis du poeniel [7]. A cause de la présence de l amorissemen linéaire for div(a ru ) e les condiions aux limies dynamiques sur, on ne peu pas uiliser direcemen le résula d exisence de Todorova de [7], ni le résula de Viillaro [44, 45]. Ainsi, on a le héorème d exisence locale suivan. Théorème 3.. Soien p q e max ; q q+ p m q: Alors, éan donné (u ; v ) H () H ( ) e (u ; v ) L () L ( ), il exise T > e une unique soluion (u; v) du problème (..) dans (; T ) elle que (u; v) C [; T ] ; H () H ( ) \ C [; T ] ; L () L ( ) ; (u ; v ) L [; T ] ;H () H ( ) ; v L m ([; T ] ; ) : Nous allons démonrer ce héorème en uilisan l approximaion de Faedo- Galerkin e le héorème de l applicaion conracane. Pour dé nir la foncion pour laquelle il exise un poin xe, nous allons examiner d abord un problème connexe. 4

26 3.. Exisence locale Pour v C ([; T ]; H ( )) \ C ([; T ]; L ( )) donné, On considère le problème suivan 8 >< >: ' div(a r') div(a r' ) = ; x ; > ; ' (x; ) = x ; > ; (x; ) + div (A r ) r j j m (x; ) + jvj p v x ; > ; ' (x; ) = (x; ) ; ; > ; (' (x; ) ; (x; )) = (u (x) ; v (x)) ; (' (x; ) ; (x; )) = (u (x) ; v (x)) ; x ; > ; (3..) Lemme 3.. Soien p q e max ; q q+ p m q. Ean donnée (u ; v ) H () H ( ) e (u ; v ) L () L ( );il exise T > e une unique soluion ('; ) du problème (3..) dans (; T ) elle que ('; ) C [; T ]; H () H ( ) \ C [; T ]; L () L ( ) ; (' ; ) L (; T ; H () H ( )) L m ((; T ) ) e véri e l idenié de l énergie pour s T: h k' k + kr g'k + k k ; + (rg ) ; T T r k ()k m m; d= s jv ()j p i T T + kr g ' ()k d+ v () () ddx: Pour démonrer ce lemme, on éudie d abord: pour T > e f H (; T; L ( )) le problème suivan 8 >< >: ' div(a r') div(a r' ) = ; x ; > ; ' (x; ) = ; x ; > ; + div (A r (x; ) = 4 r j j m (x; ) + f (x; ) 5 ; x ; > ; ' (x; ) = (x; ) ; x ; > ; (' (x; ) ; (x; )) = (u (x) ; v (x)) ; (' (x; ) ; (x; )) = (u (x) ; v (x)) ; x ; (3..) 5

27 3.. Exisence locale Comme l a fai Doronin e al [3] dans le cadre d un problème à coe ciens consans, il fau préciser exacemen à quel ype de soluion du problème (3..) on s aend. Dé niion 3.. une foncion ('; ) elle que ('; ) L ; T ; H () H ( ) ; (' ; ) L (; T ; H () H ( )); L m ((; T ) ) ; (' ; ) L (; T ; H () H ( )); L (; T ) L ( ) ; (' ; ) L (; T ; L ()) L (; T ; L ( ) ; (' (x; ) ; (x; )) = (u (x) ; v (x)) ; (' (x; ) ; (x; )) = (u (x) ; v (x)) ; es une soluion généralisée du problème (3..), si pour oue foncion w = (w ; w ) H () H ( ), avec w L m ( ) e C (; T ) avec (T ) =, on a l idenié suivane T f; w () d = T + + T T ' () ; w () + Ar' () ; rw () + Ar' () ; rw () () d () () Lemme 3.. Soien p q e max () ; w () r j j m (x; ) ; w () dd div (A r ) () ; w () dd: ; q q+ p m q. Soien (u ; v ) H () H ( )\V; (u ; v ) H () H ( ) e f H ; T ; L ( ), alors pour ou T >, il exise une unique soluion généralisée (dans le sens de la dé niion (3..), ('; ) du problème (3..)). 3.. La démonsraions du lemme 3.. Pour démonrer le lemme ci-dessus, on va uiliser la méhode de Faedo- Galerkin, qui consise à consruire des approximaions de la soluion. On 6

28 3.. Exisence locale obien ensuie des esimaions à priori nécessaires pour garanir la convergence de ces approximaions. Pour évier les di culés renconrées pour esimer (' () ; ()) dans l espace L () L ( ) e suivan les méhodes de Doronin e Larkin dans [] e Cavalcani e al [8], on fai un changemen de foncions, en posan ' (; x) ' (; x) = (; x) (; x) F (; x) avec F (; x) = (; x) = (; x) Les changemen e ecués nous permeen d obenir ' (; x) = ' (; x) u (x) + u (x) v (x) + v (x) div (Ar') = div (A r') + div A r div (Ar' ) = div (A r' ) + div A ' + (; x) ' m v + div A ' (; x) u (x) u (x) u (x) = + = (; x) v (x) v (x) v (x) ' (; x) u (x) u (x) = = : (; x) u (x) u (x) r : + Par conséquen, on a le problème suivan avec l inconnu ' (; x) ; (; x) e des condiions iniiales nulles 8 >< >: ' div (A r') div (A r' ) = div A r + div A r ; x ; > ; ' (x; ) = ; x ; > (x; ) = 4 + ) + div A r + r + m 5 ; x ; > ; (x; ) + (x; ) + f (x; ) ' (x; ) = (x; ) x ; > ; '(x;) (x;) = ' ; (x;) (x;) = ; x ; (3..3) Remarque 3.. Il es bien éviden que si ' (; x) ; (; x) es une soluion du problème (3..3) sur [; T ], alors ('; ) es une soluion du problème (3..) sur [; T ]: Donc l écriure du problème en foncion de ('; ) monre exacemen les régularies nécessaires sur les condiions iniiales (u ; v ) e (u ; v ) pour assurer l exisence. 7

29 3.. Exisence locale Mainenan, on va consruire des approximaions de la soluion du problème ' n ; n par la méhode de Faedo- Galerkin de la maniére suivane Pour chaque n ; soi W n = span fw ; :::; w ngfw ; :::; w ng ; où w j (x) ; w j (x) jn es la base de l espace V. En uilisan le processus d orhogonalisaion de Grahm -Schmid, que on peu prendre, w = fw ; :::; w ng, w = fw ; :::; w ng ; orhonormées dans L () L ( ) : On dé ni les approximaions ' n (; x) ; n (; x) = nx gjn () wj (x) ; j=! nx gjn () wj (x) ; (3..4) où ' n ; n son des soluions pour le problème de Cauchy en dimension nie (écrie sous forme normale puisque w = (w ; w ) es une base orhonormée dans L () L ( ) En muliplian la premièr équaion de (3..3) par wj paries sur, on obien (' n ) wj dx A r (' n + ) rwj dx + ' + wj j= e en inegran par A r ((' n ) + ) rw j dx ' + wj d = : (3..5) De même en muliplian la seconde équaion de (3..3) par w j e en inegran par paries sur n, on obien +r m + + wj d+ A n + rw j d= Mainenan, en combinan (3..5) e (3..6), il vien alors (' n ()) wj dx + A r (' n + ) rwj dx + ' + ' + d+ wj A fw jd: (3..6) A r ((' n ) + ) rw j dx+ n () + r m + + wj d A r n + rwj d = fwj d: (3..7) 8

30 3.. Exisence locale gjn () = gjn () = ; j = ; :::; n; gjn () = gjn () = ; j = ; :::; n; d après le héorème de Carahéodory, voir [], le problème (3..3) adme une soluion (gjn () ; gjn ()) j=;n H 3 (; n ) H 3 (; n ) dé nie sur [; n ). On a besoin mainenan de monrer que: Premièremen que pour ous n N; n = T: Deuxièmemen, que ces approximaions convergen vers la soluion du problème (3..3). Pour ce la, nous avons besoin de deux esimaions à priori, La premiere esimaion à priori pour démoner le premier poin, e la deuxiéme esimaion à priori pour démonrer le second poin, la présence du erme non linéaire jv j p v nous oblige à irer une seconde esimaion à priori pour passer à la limie dans le erme non linéaire. En e e, l ouil clé dans nore preuve es le lemme d Aubin-lions qui uilise la compacié de l inclusion H ( ),! L ( ) : 3.. Première esimaion à priori En muliplian l équaion (3..5) par g jn on rouve (' n ()) gjn () w j dx + A r (' n ) Ar' n gjn () rw j dx + gjn () rw j dx + En muliplian l équaion (3..6) par g jn on obien n () A r gjn () r w j d + Ar g jn () rw j dx+ A r g jn () rw j dx+ (3..8) + r + m + gjn () w j d A r gjn () r w j d = Ensuie, en somman les équaions (3..8) e (3..9) pour obenir (' n ()) gjn () w j dx + A r' n gjn () rw j dx + A r f (; x) g jn () w j dx: (3..9) g jn () rw j dx+ 9

31 + A r (' n ) gjn () rw j dx + A r 3.. Exisence locale g jn () rw j dx+ n () + r + m + gjn () w j d A r gjn () r w j d + A r gjn () r w j d = f (; x) gjn () w j dx: En faisan la somme par rappor a j, on obien + (' n ()) nx j= gjn () w j dx+ A r' n A r (' n ) n () A r nx j= nx j= On rouve, donc + nx j= nx j= gjn () rw j dx+ A r nx j= g jn () rw j dx+ gjn () nx rw j dx + A r gjn () rw j dx+ j= + m nx + gjn () w j d g jn () w j d + r gjn () r w j d+ (' n ()) (' n ()) dx + A r nx j= A r' n (' n ()) dx + j= gjn () r w j d = f (; x) A r (' n ()) dx+ A r (' n ) (' n ()) dx + A r (' n ()) dx+ n () n () d + r + m + n () d A r n () d + A r n () d = f (; x) n () d: En inégran enre e, e en inégran par paries, on obien pour chaque n k(' n ()) k + kr g ' n ()k + k(' n ()) k + (rg ) ; n () + Ar r (' n (s)) dx + Ar r (' n (s)) dx + n (s) + r + m + n dds = ; nx j= g jn () w j dx: + kr g ' n (s)k ds A r r n (s) d f (; x) n (s) dds: (3..) 3

32 On a A r r ce qui donne on a aussi A r r ce qui donne n (s) n (s) dds = dds = A r r (' n ) (s) dds = A r r (' n (s)) dds = A r r n (s) dds A r r n (s) dds A r r' n (s) dds A r r' n (s) dds En uilisan l inégalié de Young, il exise > el que e on a e e e A r r (rg n (s) d ) n ; A r r n (s) d (r g ) n A r r (' n (s)) dxds Ar r' n (s) dxds 3.. Exisence locale A r r n (s) d: A r r n () d: A r r' n () d: A r r' n () d: ds + (rg ) ds; (3..) 4 ; ds + 4 kr g ' n k ds + 4 kr g ' n k ds + 4 (rg ) rg rg Ar r' n (s) dxds kr g ' n k ds + 4 rg ds; D après l inégalié de Young, on obien f (x; ) n (s) dxds C ds; (3..) ds; (3..3) ds; (3..4) f + n (s) dxds: (3..5) 3

33 3.. Exisence locale Le dernier erme du membre gauche de l équaion (3..) peu êre reécri sous la forme r m n + n + n dd = r r n + m n + n + m dd dds; L applicaion de l inégalié de Young nous donne, pour > n + m n m m + dds m m m=(m ) n + m dds+ m dds: (3..6) Par conséquen, en subsiuan les inégaliés (3..)-(3..6) dans l équaion (3..), e en choisissan e assez pei, on obien k(' n ()) k + + kr g ' n ()k + k(' n ()) k ; + + (r g ()) ' n ; + kr g ' n (s)k ds + kr g (' n (s)) k + kr g ' n (s)k + (r g ) n (s) ds + rg ds + rg 4 + (rg ) 4 ds + (rg ) ; 4 ; + (rg ) 4 + ; n + m m dd m n + m dds+ m m=(m ) m ddsc f + m n (s) dxds: Donc k(' n) k + + kr g ' n k + + n ; (rg + ) n + ; kr g ' n (s)k ds kr g (' n (s)) k + kr g ' n (s)k + (rg ) n (s) + C n (s) ; + 4 r g + 4 ; ds+ rg ds (r g ) ds+ (r ; g ) 4 ; ; 3

34 + 3.. Exisence locale n + m m dd m n + m dds+ m m=(m ) m dds + C f dxds: m En appliquan le lemme.. (de Gronwall), (pour assez pei) on dédui k(' n ) ()k + kr g ' n ()k + n où C T es une consane posiive indépendane de n. On dédui aussi () + (r g ) n () C T ; ; ; k(' n ()) k + kr g ' n ()k + n () + (r g ) n () ; ; + kr g ' n (s)k ds + r n + m dd CT ; (3..7) D aure par, l esimaion (3..7) nous donne, n = T; 8n N, c es à dire que ' n ; n nn bornée dans L ; T ; H () H ( ) ; (3..8) ((' n ) ) nn bornée dans L ; T ; L () (3..9) ' n ; n n nn nn bornée dans L bornée dans L ; T ; L ( ) : ; T ; H () H ( ) Mainenan, en uilisan l inégalié algébrique suivane (voire [6]) (A + B) A + B, A, B, ; (3..) on peu rouver des consanes posiives c, c >, elles que n + m dd c n m dds c m dds: (3..) D après l injecion de H (),! L m ( ) ( m q), on conclu que v L m ( ). Par conséquen, à parir des inégaliés (3..7) e (3..); il exise une consane C T ce qui donne > elle que n nn n m dds C T ; es borné dans L m ((; T ) ) : (3..) 33

35 3.. Exisence locale 3..3 Seconde esimaion à priori A n d obenir une seconde esimaion à priori, nous allons d abord esimer les quaniés k(' n ()) k e n () Pour cela, en posan wj ;. = (' n ()) e = dans l équaion (3..5), on obien (' n ()) (' n ()) dx+ A r ' n + r (' n ()) dx+ A r (' n ) + r ('n ()) ' n (' n ) n ()) d + + (' n ()) d = : (3..3) A En posan aussi w j = n () A r e = dans l équaion (3..6), on ' n (' n n () d + + n () d A n n () d + r + m + n () n + r n () d = d: f (; ) n () dxds: (3..4) Mainenan, en somman les équaions (3..3) e (3..4), on rouve (' n ()) (' n ()) dx+ n A r A r ' n + r (' n ()) dx+ n () d + r + m + n () d n + r n () d = f (; ) n () dxds: En inegran par paries pour obenir l equaion suivane r k(' n ()) k + n () + ; () m n () dds A r r (' n ()) dx + A r r Puisque les égaliés suivanes son véri ées () () = u v ; = n () u v ; A r (' n ) + r ('n ()) dx+ d = A r r (' n ()) dx+ f (; ) n () d: (3..5) 34

36 A r () r (' n ()) = div A r () (' n ()) Exisence locale d; Comme f H (; T ; L ( )) e (u ; u ) H () H ( ); d après l inégalié de Young e l injecion de H (),! L m ( ), on dédui l exisence d une consane C > indépendane de n, elle que k(' n ()) k + n () En dérivan l équaion (3..5) par rappor à, on obien d d C: (3..6) ; (' n ()) wj dx + d Ar ' d n + rwj dx + d Ar (' d n ) + rw j dx+ ' n + wj d (' n ) + wj d = : (3..7) d d En dérivan l équaion (3..6) par rappor à, il vien d d d d n () wj d + r d d n + m n + wj d ' n + wj d + (' n ) + wj d+ A A A r n + r wj d = f (x; ) n (s) dxds: (3..8) En muliplian les égaliés (3..7) e (3..8) par respecivemen pour obenir d (' d n ()) g jn () w j dx + d d d Ar (' d n ) + g jn () rw j dx + d d + d r d n + m n + A r n + g jn () r w j d = d d d d En somman par rappor à j, on dédui d d kr g (' n ()) k + k(' n ()) k + n () g jn () ; g jn () Ar ' n + g jn () rw j dx+ n () g jn () g jn () w j d w j d f (; x) g jn () w j (s) dxds: + ; r g n () ; 35

37 + A r r (' n ()) dx + kr g (' n ()) k + r (m ) n + m n + n A r r d = 3.. Exisence locale n () d+ f (; x) n () d: (3..9) Comme =, le dernier erme du membre gauche de l équaion (3..9) peu êre écri sous la forme n + m En replaçemen R n + n + m n n d = n + d par 4 m R dans l équaion (3..9) e en inégran enre e, il vien kr g (' n ()) k + k(' n ()) k + n () k(' n ()) k + n () n () 4r (m ; + + m + ; + r g n () kr g (' n (s)) k ds+ n () ; m n + A r r n + + m d n Ar r (' n ()) n () dds+ f (; x) n (s) dxds: (3..3) En uilisan l inégalié (3..6) e les inégalié de Young e Poincaré (comme dans (3..6), on obien D aure par Ar r (' n ()) dxds Ar r n (s) puisque = on a h Ar r dds = n (s) En uilisan l esimaion suivane Ar r n () i d (rg ) kr g (' n (s)) k ds + 4 Ar r d = n () n (s) Ar r ; dds rg (s) ds; n () d: h Ar r + (rg ) 4 : ; n (s) i d; 36

38 dans(3..3), on obien kr g (' n ()) k + k(' n ()) k + n () 4r (m ) m 4 + ; (r g ) n () 3.. Exisence locale ; + kr g (' n (s)) k n () + n () + d C+ kr g (' n ) k ds+ r g + (r g ) n (s) + r g ds+ ; 4 ; C kf k ds + n (s) ds : (3..3) ; Un réarangemen des ermes dans l ingalié(3..3) donne kr g (' n ()) k + k(' n ()) k + n () 4r (m n () C+ 4 + m + ( + ) ; n () + (r g ) d rg dx+ (rg ) +C 4 ; n () f ds: ; Mainenan, en appliquan le lemme.. (de Gronwall), on obien kr g (' n ) k + k(' n) k + n 4r (m ) + m n () + (r g ) n m ; n () kr g (' n (s) kr g (' n (s)) k +C r g n (s) ds d C T ; où C T es une consane posiive, indépendane pour ou [; T ] ; n N D après ce qui précède on dédui ((' n ) ) nn es bornée dans L ; T ; L () ; (3..3) n nn (' n ) ; n es bornée dans L ; T ; L ( ) ; nn es bornée dans L ; T ; H () H ( ) : A parir de (3..8), (3..9), (3..) e (3..3), on a (' n ) nn es borné dans L ; T ; H () : 37

39 3.. Exisence locale Ensuie Puisque (' n ) nn es borné dans L ; T ; H () ; ((' n ) ) nn es borné dans L ; T ; L () ; ((' n ) ) nn es borné dans L ; T ; L () ; par conséquen (' n ) nn es borné dans H ; T ; H () ; Puisque l injecion de H (; T ; H ()),! L (; T ; L ()) es compac, en uilisan le héorème d Aubin-lions, on peu exraire une sous-suie ' ; de ' n ; n nn elle que '! ' foremen dans L ; T ; L () : N e! foremen dans L ; T ; L ( ) : Donc '! ' foremen e presque parou dans (; T ) : D aure par, on a déjà prouvé dans la secion précédene que Comme e n () r () nn nn es bornée dans L ; T ; L ( ) ; es bornée dans L ; T ; L ( ) : n () C kr g ' n ()k H ; ( ) n () H ( ) e à parir de (3..8), (3..3) on dédui que C kr g (' n ()) k ; (' n ()) nn es bornée dans L ; T ; H ( ) ((' n ()) ) nn es bornée dans L ; T ; H ( ) ; ; ((' n ()) ) nn es bornée dans L ; T ; L ( ) ; 38

40 3.. Exisence locale Comme l injecion de H ( ),! L ( ) es compace, e d après le héorème d Aubin-Lions, on peu exraire une sous suie de ' n ; n ' ; N elle que Donc à parir de (3..), on obien que m nn noée aussi! foremen dans L ; T ; L ( ) : (3..33) Il rese mainenan à monrer que * faiblemen dans L m ((; T ) ) ; = m : Il es clair, à parir de (3..33) que l on a m! m foremen e presque parou dans (; T ) : En uilisan le Lemme.3 de Lions [6], on obien = m : D aure par, le lemme 3. de Lions [6], donne p! p foremen e presque parou dans (; T ) : La preuve peu mainenan êre compléée en faisan comme dans [6, Théorème 3.] Unicié Soien (v ; v ) ; (z ; z ) deux soluions du problème (3..) avec les mêmes données iniiales. on noe v z = = ; v z Grad = r g ; (r g ) ; 39

41 3.. Exisence locale on noe aussi = ; = Grad = r g ; (r g ) e Div = div ; div ; = div r g ; div (r g ) ; on considère mainenan le problème linéaire du probleme (3::) suivan où e On dé ni aussi Alors véri e 8 >< >: A B = F (x; ) + G (x; ) () = () = F (x; ) = jv j p v jz j p : z G (x; ) = jv j m v jz j m z A = A ; B = A ; (; ) = ( ; ) (A; ) (B ; ) + (G (x; ) ; ) Par une inégraion par parie, on a Par conséquen, on a d d = d kk H d + H kgradk + rg + (G (x; ) ; ) h + ; + r g + (r g ) i + r g 4

42 +r h v (s) m v (s) z m i z (s) En inégran (3..34) enre e, on obien r h + h v (s) m ; v (s) + rg + (rg ) i + z m En uilisan l inégalié algébrique i z (s) 3.. Exisence locale v (s) z (s) d = : (3..34) rg ds v (s) z (s) dds = : (3..35) 8m ; 9c > ; 8a; b R; jaj m a jbj m b (a b) c ja bj m (3..36) l égalié (3..35) devien h + d où l on ire =. ; c + rg + (rg ) i + Ceci achève la démonsraion du Lemme 3.. Preuve : du lemme 3.. rg ds+ v (s) z (s) m dd : (3..37) Premièremen on approxime (u; v) C [; T ]; H () H ( ) \C muni de la norme sandard par une suie k(u; v)k = max <T [ku ()k + kv ()k u k kn C ([; T ] ) ; v k kn C ([; T ] ) ; [; T ]; L () L ( ) en uilisan des argumens sandards de convoluion (voir [4]). Il es clair que f v k = v k p v k H ; T ; L ( ) : Ce ype d approximaion a déjà éé uilisé par Viillaro dans [44, 45]. 4

43 3.. Exisence locale Ensuie, en approchan les données iniiales par une suie (u ; v ) L () L ( ) ; u k ; v k kn C () C ( ) : Finalemen, puisque l espace H () \H () [H ( ) \L m ( )] es dense dans H () H ( ) pour la norme de H () H ( ), on approxime par une suie u k ; v k (u ; v ) H () H ( ) kn H () \H () H ( ) \L m ( ) On considère mainenan l ensemble des problèmes suivans 8 >< >: ' k div (Ar' k ) div (Ar' k ) = ; x ; > ; ' k (x; ) = ; x ; > k k (x; ) = + div A r k 3 r k m k (x; ) + 5 x ' k p ; > ; ' k ' k (x; ) = k (x; ) : ' k (x; ) ; k (x; ) = u k (x) ; v k (x) ; ' k (x; ) ; k (x; ) = u k (x) ; v k (x) x : (3..38) Comme les hypohèses du lemme (3..) son véri ées, on peu rouver une suie de soluions uniques (' k ; k ) kn du problème (3..38). Nore bu mainenan es de monrer que l espace ' k ; k ; ' k ; k kn es une suie de Cauchy dans ; Y T = f('; ; ' ; ) : ('; ) C [; T ]; H () H ( ) \ C [; T ]; L () L ( ) ; muni de la norme k('; ; ' ; )k Y T = max T (' ; ) L (; T ; H () H ( )) L m ((; T ) )g; h k' k + kr g'k + (rg ) i + ; T k k L m ((;T ) ) + kr g ' (s)k ds: 4

44 3.. Exisence locale Pour cela, on noe U = U v k v k V ' k ' k ; = k k : V Il es facile de voir que V véri e 8 >< >: V div(arv ) div(arv ) = ; x ; > ; V (x; ) = ; x ; > ; 3 V 6 (x; ) = 4 V (x;) V (x;) = ' k ' k 7 5 x ; > ; + div A rv + v k p v k v k p v k r k m k (x; ) k m k (x; ) ; V (x;) V = 'k 'k (x;) k ; x : k (3..39) En muliplian scalairemen les premièrs équaions di érenielles de (3..39) par V, e en inegran par paries sur, on obien V V dx ArV V dx ArV V V V V d = ; (3..4) En muliplian scalairemen les secondes équaions di érenielles de (3..39) par V, e en inégran par paries sur V V d + r A r V V d = k m k, on rouve k m k k k d v k p v k v k p v k k k d: (3..4) En somman les équaions (3..4) e (3..4) pour obenir VV dx+ r Par conséquen, on a d d ArV rv dx + k m k Ar V r V d = k m k ArV rv dx+ k k d V V d+ v k p v k v k p v k k k d: V + rg V + V + (rg ) V ; ; + rg V ds+ 43

45 r = k m k En inégran enre e, on obien V = + r g V + V r k m k k k d v k p v k v k p v k k k d: k ; m k + (rg ) V ; k m k + k k d 3.. Exisence locale rg V (s) ds+ V () + rg V () + V () ; + (rg ) V () ; + v k p v k v k p v k k k dd; 8 (; T ): (3..4) En uilisan l inégalié algébrique (3..36), on rouve k m k k m k k k k c k m : En subsiuan cee dernière inégalié dans (3..4) ; on obien V + rg V + V + (rg ) V + ; ; rg V (s) ds+ c V () m V m; () + rg V () + V () + (rg ) V () ; ; + v k p v k v k p v k k k dd; 8 (; T ): A n de rouver une majoraion du erme v k p v k v k p v k k k dd; 8 (; T ); dans l inégalié précédene, on uilise le résula de Georgiev e Todorova [7] (en pariculier leurs équaions (.5) e (.6) dans la proposiion.). L hypohèse sur p nous assure l uilisaion du même argumen. L inégalié de Hölder avec + + = ; nous donne q n v k p v k v k p v k k k dd + 44

46 3.. Exisence locale C v k v k (n=n k k ; v k p ); n(p ); Ensui l injecion de H ( ),! L n(n ); donne p v k : (3..43) n(p ); e donc (3..43), il vien v k v k (n=n C r g v k v k ; C kuk (3..44) ); C v k p n(p ); C kukp (3..45) v k p v k v k p v k k k dd rg v k p p + r g v k kv k kruk d En subsiuan (3..47) e (3..44) dans l inégalié (3..43) on rouve V + rg V + V + (rg ) V + ; ; rg V (s) ds+ c V () m V m; () + r g V () + V () + (rg ) V () + ; ; +C kuk YT kv k YT dd; 8 (; T ): Ainsi, en appliquan les inégaliés de Young e de Gronwall, il exise C ne dépendan que de e p elle que V + rg V + V ; + (rg ) V ; + V () + rg V () + V () + (rg ) V () +C ; ; rg V ds + c V () m m; k k V ; V YT C V () + r g V () + V () + (rg ) V () ; ; On remarque qu à parir des noaions uilisées, on a V () = V () ' k ' k k k V ; () V () ' k = ' k k k ;e U = v k v k : ds +CT kuk YT : 45

47 3.. Exisence locale Ainsi, puisque ' k ; k es une suie convergene dans kn H () H ( ); ' k ; k es une suie convergene dans L () L ( ) e ' k ; k es une suie convergene dans C [; T ]; H () H ( kn ) \C [; T ]; L () L ( ) (donc dans Y T aussi); On dédui que ' k ; k ; ' k ; k kn dire que ' k ; k ; ' k ; k converge vers ('; ; ' ; ) Y T. la soluion du problème (3.. )faible es une suie de Cauchy dans Y T ; c es à Mainenan avec la même procédure que celle uilisée par Georgiev e Todorova dans [7], on monre que cee limie es une soluion faible du problème (3..). Pour ou G = ( ; ) H () H ( ); L m ( ); l équaion kn d d ' ; + d d ; + Ar'; r + Ar' ; r + A r ; r r j j m ; = jvj p v; ; (3..46) es véri ée pour ous [; T ]. En muliplian l équaion ' k div Ar' k div Ar' k = par H (); e en inégran par paries sur, on obien ' k ; + Ar' k ; r + Ar' k ; r e en muliplian l k + div (A r ) r j j m + jvj p v par G = H ( ), L m ( ), e inegran par paries sur k ; = (3..47), on ; + A r ; r j m ; = jvj p v; ; A en somman l égaliés (3..47) e (3..48) on rouve (3..48) d d ' ; + d d ; + Ar' k ; r + Ar' k ; r + A r k ; r 46

48 r k m k v ; k = p En faisian endre (k ; k )!, on voi que v k ; 3.. Exisence locale (3..49) dans C ([; T ]). Ar' k ; r! Ar'; r ; Ar' k ; r! Ar' ; r ; r k m k ;! r j j m ; ; v k p v k ;! jvj p v; ; A r k ; r! A r ; r ; ; ( ; ) = ((' ; ) ; ( ; )) Ensuie l égalié (3..49) monre que lim ' k ; k k! es une foncion absolumen coninue, donc chaque erme dans (3..46) vrai. De la même manière, à parir de l idenié de l énergie pour démonre que l idenié de l énergie pour ('; ) es véri ée. Démonsraion de l unicié de la soluion du problème (..) ' k ; k, on Pour monrer l unicié de la soluion de (..) on prend U, U dans C([; T ]; H) e soien V, V les soluions correspondanes de (..), avec X = V e X V = V En posan dans l équaion (..), on obien + V V W = X + r g V V + V p V V p V V V dd = V X V ; + r g V V juj p U U p U V Si U = U, alors cee idenié implique W = e la soluion es unique. Ceci achève la démonsraion du lemme 3... ; V V dd; 3..5 la démonsraion de héorème 3.. Pour démonrer le héorème 3.., on uilise le héorème du poin xe. 47